二次函数练习(拔高)
二次函数试题
一;选择题：
1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ）
A -1
B 2
C -1或2
D m 不存在
2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系
D 圆的周长与半径之间的关系
4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2
5、抛物线y= 2
1 x 2
-6x+24的顶点坐标是（ ）
A （—6，—6）
B （—6，6） C
6、已知函数y=ax 2
+bx+c,
①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ A １ B ２ C ３ D ４
7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0）c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2
1
8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2
+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）
二填空题：
13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。
16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c
＝－２的根为————————————。
17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2+bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． AMC （1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积．
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为（1，9
2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D ，试在对称轴上找出P △CDP
为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．
（3）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作 EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在， 求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两
点，抛物线y ＝4
3x 2＋bx ＋c 的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交
于点B ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D ，求四边形ABDC 的面积；
（3）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在
x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是等腰直角三角形？如果存在， 求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（二次函数与四边形）4、已知抛物线217222
y x mx m =
-+-． (1)试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；
(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C ，直线y=x －1与抛物线 交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ．
①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，说明理由；
②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得 C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．
5、如图，抛物线y＝mx2－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．
（1）填空：OB＝_ ▲，OC＝_ ▲；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n
6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直
角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点
M，且M是BC
的中点，A
、B、D三点的坐标分别是A
（ 1 0
-，），B（ 1 2
-，），D（3，0）．连接DM，并把线
段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线2
=++经过点D、M、N．
y ax bx c
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．
7、已知抛物线223 (0)
=--<与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
y ax ax a a
点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O 的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（二次函数与圆）
8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．
2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．
9、如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的
顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m ＞0）
（1）写出A、B、D三点的坐标；
（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。
10、已知抛物线2
=++的对称轴为直线
y ax bx c
x=，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于
2
点C．其中AI(1，0)，C(0，3
-)．
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC
面积相等时．求点P的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，
求直线CP的解析式。
答案：
1、解：（1）由已知条件得，（2分）
解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函数的解析式为y=x 2
﹣x ﹣；（1分）
（2）∵x 2
﹣x ﹣=0，∴x 1=﹣1，x 2=3，
∴B（﹣1，0），C （3，0），∴BC=4，（1分）
∵E 点在x 轴下方，且△EBC 面积最大，∴E 点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分） ∴△EBC 的面积=×4×3=6．（1分）
2、（1）∵抛物线的顶点为（1，92） ∴设抛物线的函数关系式为y ＝a ( x －1) 2＋92
∵抛物线与y 轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋92＝4 解得a ＝－1
2
∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12( x －1) 2＋9
2
（2）解：P 1 (1，17)，P 2 (1，－17)， P 3 (1，8)，P 4 (1，17
8
)，
（3）解：令－12( x －1) 2＋9
2
＝0，解得x 1＝－2，x 1＝4
∴抛物线y ＝－12( x －1) 2＋9
2
与x 轴的交点为A (－2，0) C (4，0)
过点F 作FM ⊥OB 于点M ，
∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴MF OC ＝EB AB 又 ∵OC ＝4，AB ＝6，∴MF ＝EB AB ×OC ＝2
3
EB
设E 点坐标为 (x ，0)，则EB ＝4－x ，MF ＝23 (4－x ) ∴S ＝S △BCE －S △BEF ＝12 EB ·OC －12 EB ·MF ＝1
2
EB (OC
－MF )＝12 (4－x )[4－23 (4－x )]＝－13x 2＋23x ＋83＝－1
3( x －1) 2＋3
∵a ＝－1
3
＜0，∴S 有最大值 当x ＝1时，S 最大值＝3 此时点E 的坐标为 (1，0)
3、（1）∵一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，
∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)代入y ＝4
3
x 2＋bx ＋c 得
∴?????43－b ＋c ＝0c ＝－4 解得?
????b ＝－83c ＝－4 ∴y ＝43x 2－8
3
x －4 （2）∵y ＝43x 2－83x －4＝43( x －1) 2－163 ∴顶点为D （1，－16
3）
设直线DC 交x 轴于点E 由D （1，－16
3）C (0，－4) 易求直线CD 的解析式为y ＝－4
3x －4
易求E （－3，0），B （3，0） S △EDB ＝12×6×16
3
＝16
S △ECA ＝12
×2×4＝4 S 四边形ABDC ＝S △EDB －S △ECA ＝12 （3）抛物线的对称轴为x ＝－1 做BC 的垂直平分线交抛物线于E ，交对称轴于点D 3 易求AB
的解析式为y ＝－3x ＋ 3
∵D 3E 是BC 的垂直平分线 ∴D 3E ∥AB 设D 3E 的解析式为y ＝－3x ＋b
∵D 3E 交x 轴于（－1，0）代入解析式得b ＝－3, ∴y ＝－3x － 3
把x ＝－1代入得y ＝0 ∴D 3 (－1，0), 过B 做BH ∥x 轴，则BH ＝111
在Rt △D 1HB 中，由勾股定理得D 1H ＝11 ∴D 1（－1，11＋3）同理可求其它点的坐标。 可求交点坐标D 1（－1，11＋3）, D 2（－1，22）, D 3 (－1，0), D 4 (－1, 11－3)D 5（－1，－22） 4、(1)?=()2
174222m m ??--?
?- ???
=247m m -+=2443m m -++=()2
23m -+，∵不管m 为何实数，总有()
2
2m -≥0，∴?=()2
23m -+＞0，∴无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点．
(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x =3，∴3m =， 抛物线的解析式为215322y x x =
-+=()2
1322
x --，顶点C 坐标为（3，－2）
， 解方程组21,
15322
y x y x x =-??
?=-+??，解得1110x y =??
=?或2276x y =??=?，所以A 的坐标为（1，0）、B 的坐标为（7，6），∵3x =时y =x －1=3－1=2，∴D 的坐标为（3，2）
，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为E ，则E 的坐标为（3，0），所以AE =BE =3，DE =CE =2，
① 假设抛物线上存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形，则AP 、CD 互
相垂直平分且相等，于是P 与点B 重合，但AP=6，CD=4，AP ≠CD ，故抛物线上不存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形．
② (Ⅰ)设直线CD 向右平移n 个单位（n ＞0）可使得C 、D 、M 、N 为顶
点的四边形是平行四边形，则直线CD 的解析式为x =3n +，直线CD 与直线y =x －1交于点M （3n +，2n +），又∵D 的坐标为（3，2），C 坐标为（3，－2），∴D 通过向下平移4个单位得到C ．
∵C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN 是平行四边形，∴M 向下平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n +，2n -）， 又N 在抛物线215322y x x =
-+上，∴()()2
15233322
n n n -=+-++， 解得10n =（不合题意，舍去），22n =，
（ⅱ）当四边形CDNM 是平行四边形，∴M 向上平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n +，6n +）， 又N
在抛物线215322y x x =
-
+上，∴()()2
15633322
n n n +=+-++， 解得11n =，21n =
(Ⅱ) 设直线CD 向左平移n 个单位（n ＞0）可使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线
CD 的解析式为x =3n -，直线CD 与直线y =x －1交于点M （3n -，2n -），又∵D 的坐标为（3，2），C 坐标为（3，－2），∴D 通过向下平移4个单位得到C ．
∵C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN 是平行四边形，∴M 向下平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n -，2n --）， 又N 在抛物线215322y x x =
-+上，∴()()2
15233322
n n
n --=---+， 解得10n =（不合题意，舍去），22n =-（不合题意，舍去），
（ⅱ）当四边形CDNM 是平行四边形，∴M 向上平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n -，6n -），
又N 在抛物线215322y x x =
-
+上，∴()()2
1563
3322
n n n -=---+，
解得11n =-
21n =-，
综上所述，直线CD 向右平移2或（1+1-+）个单位，可使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．
5、解：（1）OB ＝3，OC ＝8
（2）连接OD ，交OC 于点E ∵四边形OACD 是菱形 ∴AD ⊥OC ，OE ＝EC ＝1
2
×8＝4
∴BE ＝4－3＝1
又∵∠BAC ＝90°，
∴△ACE ∽△BAE ∴AE BE ＝CE AE
∴AE 2＝BE ·CE ＝1×4
∴AE ＝2 ∴点A 的坐标为 (4，2) 把点A 的坐标 (4，2)代入抛物线y ＝mx 2－11mx ＋24m ，
得m ＝－12 ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋11
2
x －12
（3）∵直线x ＝n 与抛物线交于点M
∴点M 的坐标为 (n ，－12n 2＋11
2
n －12)
由（2）知，点D 的坐标为（4，－2）， 则C 、D 两点的坐标求直线CD 的解析式为y ＝1
2
x －4 ∴点N 的坐标为 (n ，12n －4) ∴MN ＝（－12n 2＋112n －12）－（12n －4）＝－1
2
n ＋5n －8
∴S 四边形AMCN ＝S △AMN ＋S △CMN ＝12MN ·CE ＝12（－1
2
n 2＋5n －8）×4＝－(n －5)2＋9
∴当n ＝5时，S 四边形AMCN ＝9
6、解：（1）∵BC ∥AD ，B （-1，2），M 是BC 与x 轴的交点，∴M （0，2），
∵DM ∥ON ，D （3，0），∴N （-3，2），则9302930a b c c a b c ++=??=??-+=?，解得19
132
a b c ?
=-???=-??
=???
，∴211293y x x =--+；
（2）连接AC 交y 轴与G ，∵M 是BC 的中点，∴AO=BM=MC ，AB=BC=2，∴AG=GC ，即G （0，1）， ∵∠ABC=90°，∴BG ⊥AC ，即BG 是AC 的垂直平分线，要使PA=PC ，即点P 在AC 的垂直平分线上，故P 在直线BG 上，∴点P 为直线BG 与抛物线的交点， 设直线BG 的解析式为y kx b =+，则21k b b -+=??
=?，解得1
1
k b =-??=?，∴1y x =-+，
∴211
1
293y x y x x =-+??
?=--+??
，
解得1132x y ?=+??=--??
22
32x y ?=-??=-+??，
∴点P
（3 2+--，P （ 2-+，），
（3）∵22111392(93924
y x x x =--+=-++，∴对称轴3
2x =-，
令2
11
2093
x x -
-+=，解得13x =，26x =，∴E （6-，0），
故E、D关于直线
3
2
x=-对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC与
3
2
x=-相交于点Q，即点Q为直线DC与直线
3
2
x=-的交点，
由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，
则
30
2
k b
k b
+=
?
?
+=
?
，解得
1
3
k
b
=-
?
?
=
?
，∴3
y x
=-+，
当
3
2
x=-时，
39
3
22
y=+=，故当Q在（
39
22
-，）的位置时，|QE-QC|最大，
过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则==．
7、解：（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0，
∵a≠0，∴x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；
（2）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，∴C（0，-3a），
又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，∴-a=1，∴a=-1，∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，，解得，
∴直线CD的解析式为y=x+3；
（3）存在．
由（2）得，E（-3，0），N（- ，0）∴F（，），EN= ，
作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM= -m，
EF= = ，MQ=OM=
由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴= ，整理得4m2+36m-63=0，∴m2+9m= ，
m2+9m+ = + （m+ ）2= m+ =±∴m1= ，m2=- ，
∴点M的坐标为M1（，），M2（，- ）．
8、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），
将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a，∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴AC×BC=6，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，
∴二次函数对称轴为x=2，
∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，
∴，解得：，y=x+；
（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，
∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，∴AB=5，AM=3，∴BM=2，
∵∠MBP=∠ABC ，∠BMP=∠ACB ， ∴△ABC
∽△CBM ，∴
，
∴，∴PC=1.5，P 点坐标为：（2，1.5）．
9、解：（1）A （﹣m ，0），B （3m ，0），D （0，m ）．
（2）设直线ED 的解析式为y=kx+b ，将E （﹣3，0），D （0，m ）代入得：
解得，k=，b=m ． ∴直线ED 的解析式为y=mx+m ．
将y=﹣（x+m ）（x ﹣3m ）化为顶点式：y=﹣（x+m ）2
+
m ．
∴顶点M 的坐标为（m ，m ）．代入y=mx+m 得：m 2
=m
∵m ＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M 点在直线DE 上．连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C （m ，0）． ∵OD=
，OC=1，∴CD=2，D 点在圆上
又OE=3，DE 2
=OD 2
+OE 2
=12，EC 2
=16，CD 2
=4，∴CD 2
+DE 2
=EC 2
．∴∠FDC=90°∴直线ED 与⊙C 相切． （3）当0＜m ＜3时，S △AED =AE ．?OD=
m （3﹣m ） S=﹣
m 2
+
m ．
当m ＞3时，S △AED =AE ．?OD=m （m ﹣3）． 即S=m
2_
m ．
10、解：（1）由题意，得032
2a b c c b
a
?
?++=?=-???-=?，解得143a b c =-??=??=-?∴抛物线的解析式为2
43y x x =-+-。
（2）①令2
430x x -+-=，解得1213x x ==， ∴B （3, 0）
当点P 在x 轴上方时，如图1，过点A 作直线BC 易求直线BC 的解析式为3y x =-，∴设直线AP 的解析式为y x n =+∵直线AP 过点A （1,0），代入求得1n =-。∴直线AP 的解析式为y =
解方程组2
1
43
y x y x x =-??
=-
+-?，得1
21212
01
x x y y =
=???
?==??， ∴点1(21)P ，
当点P 在x 轴下方时，如图1 设直线1AP 交y 轴于点(01)E -，
， 把直线BC 向下平移2个单位，交抛物线于点23P P 、， 得直线
23P P 的解析式为
5y x =-，
解方程组2
543y
x y x x =-??=-+-?
， 1212
x x y y ?????????????? ∴23P P ， 综上所述，点P 的坐标为：1(21)P ，
，233737(()2222
P P --，，， ②∵(30)(03)B C -，，，∴OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=45° 设直线CP 的解析式为3y kx =- 如图2，延长CP 交x 轴于点Q ，设∠OCA=α，则∠ACB=45°-α
∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°-α
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α ∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt △AOC ∽Rt △COQ ∴
OA OC OC OQ =，∴13
3OQ
=，∴OQ=9，∴(90)Q ， ∵直线CP 过点(90)Q ，，∴930k -= ∴13
k =
∴直线CP 的解析式为1
33
y x =-。
二次函数提高难题练习及答案二
5. （ 2014?珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH． （1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标； （3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E 两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．
12．（2014?舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED 的面积为S． （1）当m=时，求S的值． （2）求S关于m（m≠2）的函数解析式． （3）①若S=时，求的值； ②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．
13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为 A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C． （1）直接写出A、D、C三点的坐标； （2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标； （3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16.（2014?武汉，第25题12分）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点． （1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标； （2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5； （3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．
初中数学二次函数小题拔高训练
初中数学二次函数小题拔高训练 一．选择题（共30小题） 1．（2014?龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣ 2 ．C x= （， 的增大而增大，其最大值为 当≤ 的增大而减小，最大值为 的最大值是 2．（2013?资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（）
﹣ ﹣ 3．（2013?遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）
﹣ ∴ 4．（2013?鞍山一模）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则ax2+bx+c＞0的解集为（） 5．（2013?南开区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）
x= ∵ 6．（2012?金东区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（） x=
7．（2012?高淳县一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①c=2；②b2﹣4ac＞0；③2a+b=0；④a ﹣b+c＜0．其中正确的为（） ==1
9．（2010?秀洲区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上，若x1＜x2，x1+x2=1 10．（2010?邢台一模）如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）
九年级二次函数拔高培优及解析
九年级二次函数拔高培优及解析 一、单选题 1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1.下列结论中： ①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c． 其中正确的有() A．5个B．4个C．3个D．2个 【答案】B 【解析】 【分析】 结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】 ①∵对称轴是y轴的右侧， ∴ab<0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，故①错误； ②∵?b =1， 2a ∴b=?2a，2a+b=0，故②正确； ③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点， ∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根，故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)，故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴是x=1， ∴y有最大值是a+b+c， ∵点A(m,n)在该抛物线上， ∴am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确， 本题正确的结论有：②③④⑤，4个， 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a； ③若y2＞y1，则x2＞4； ④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和1 3 其中正确结论的个数是（） A．1B．2C．3D．4 【答案】B 【解析】 【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数
中考初三数学冲刺拔高专题训练(含答案)
中考数学冲刺拔高 专题训练 目录 专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1) 专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5) 专题提升(三) 数式规律型问题 (9) 专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (14) 专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用错误！未定义书签。专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (29) 专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (37) 专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (43) 专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (49) 专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (53) 专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (61) 专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (69) 专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (74) 专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (81) 专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (87) 专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (93)
专题提升(一)数形结合与实数的运算 类型之一数轴与实数 【经典母题】 如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上． 图Z1－1 【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应； (2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行实 数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题． 【中考变形】 1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是(C) 图Z1－2 A.5＋1 B. 5 C.5－1 D．1－ 5 【解析】∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝22＋12＝5，∵A点表示－1，∴E 点表示的数为5－1. 2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是(D) 图Z1－3 A．M B．N C．P D．Q 3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是(C) 图Z1－4 A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b
二次函数练习(拔高)
二次函数试题 一;选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C 6、已知函数y=ax 2 +bx+c, ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0）c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2+bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． AMC （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积．
2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题(含答案)
2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．
2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
二次函数数学题拔高
二次函数综合性训练题 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y += 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式； （2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于 点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB DCEP P 2、如图2，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和 点B ． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及 点Q 到x 轴的距离 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3, 3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段 0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 图1 图2
二次函数的提高培优训练
二次函数的提高培优训练 【例题精讲】 一、关于二次函数的图像 '（X _ 1）2 _ l（x<3） 例题1、（2011-随州）已知函数,若使y=k成立的x值恰好有三个, （X-5）2-1（X>3） 则k的值为（） X2（X<2） 【变式练习】（2012-贵港）若直线y=m （m为常数）与函数y=G 的图象恒有三个不同的 一（尤 > 2） lx 交点，则常数m的取值国是_______ o 例题2、（2012>）如同，二次函数y=ax-+bx+c的图象过（?1, 1）、（2.?1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（） A. 当x=0时，y的值大于1 B.当x=3时，y的值小于0 C.当x=d时，y的值大于】 D. y的最大值小于0 【变式练习】（2012?）如图，二次函数的图象经过（?2, -1） , （1, 1）两点，则下列关于此二次函数的说确的是（） A. y的最大值小于0 B,当x=0时，y的值大于1 C.当x=?l时，y的值大于1 D.当x=?3时，y的值小于0
例题4、（2010?）设。、b是常数，且b>0,抛物线y=ox斗bx+S?5o-6为下图中四个图象之一，则。 抛物线y=ox：+bx+c （a>0）的对称轴是直线x=l,且A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 2、（2010?新疆）抛物线y=?x=+bx+c的部分图象如图所示，若y>0,则x的取值国是___________ . 【课堂练习】 K （2011 ?威海）二次函数y=x2x?3的图象如图所示.当yvO时，自变量x的取值国是（） A. -1
中考二次函数性质拔高真题
二次函数 一、基本知识点： <1>、二次函数的概念：形如)0(2 ≠++=a c bx ax y 的函数. <2>、抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是 （a b ac a b 44,22--）；对称轴是直线a b x 2-=. <3>、当a ＞0时抛物线的开口向上；当a ＜0时抛物线的开口向下.a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.a 相同的抛物线，通过平移（或旋转、轴对称）一定能够重合. <4>、抛物线y=ax*2+bx+ c 的a ，b ，c 符号的确定 a 的符号：由抛物线的开口方向确定。开口向上a>0;开口向下a<0。 b 的符号：a 、b 同号时抛物线的对称轴在y 轴的左侧；a 、b 异号时抛物线的对称轴在y 轴的 右侧。（简称：左同右异）b=0时抛物线的对称轴是y 轴。 C 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定。交点在x 轴上方时c>0；交点在x 轴下方时c<0；经过坐标原点时c=0。 <5>、二次函数解析式的三种形式： （1）已知抛物线上的三点，设一般式：)0(2 ≠++=a c bx ax y （2）已知抛物线顶点坐标（h, k ），设顶点式：k h x a y +-=2 )( （3）已知抛物线与x 轴的两个交点(X1,0)、 (X2,0)交点式：))((21x x x x a y --=，抛物线与x 轴的交点坐标是（0,1x ）和（0,2x ）. <6>、抛物线的平移规律：从2 ax y =到k h x a y +-=2 )(，抓住顶点从（0，0）到（h ，k ）. <7>、（1）当ac b 42 -＞0时，一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，抛物线 )0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点坐标是A （0,1x ）和B （0,2x ）。 （2）当ac b 42 -=0时，一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根（或说一个 根）a b x x 221- ==，抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 的顶点在x 轴上，其坐标是（0,2a b -）. （3）当ac b 42 -＜0时，一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 没有实数) 0(2 ≠++=a c bx ax y 与x 轴没有交点.
二次函数提高练习题
二次函数练习题 1．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x =在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x 2+4x+1的图象 沿x 轴方向向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度， 得到图象的顶点坐标是（ ） A ． （﹣1，1） B ． （1，﹣2） C ． （2，﹣2） D ． （1，﹣1） 3．二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程 20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ） A ．3- B ．3 C ．6- D ．9 4．（2012泰安）二次函数2 ()y a x m n =++的图象如图， 则一次函数y mx n =+的图象经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D 第一、三、四象限 5．设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ， 3y 的大小关系为（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >>
6．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象， 由图象可知不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是（ ） 7．已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取 x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 1 8．二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是（ ） A ．0＜t ＜1 B ．0＜t ＜2 C ．1＜t ＜2 D ．﹣1＜t ＜1 9．已知抛物线y=k （x+1）（x ﹣）与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10．设二次函数y=x 2+bx+c ，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c 的取值范围是（ ） A ． c =3 B ． c ≥3 C ． 1≤c≤3 D ． c ≤3 11．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0； ④8a+c＞0．其中正确的有（ ） 12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平 距离x （m ）之间的关系为21(4)312 y x =- -+，由此可知铅球推出的距离 是 m 。
九年级数学函数专题之二次函数基础提高篇拔高练习(含答案)
九年级数学函数专题之二次函数基础提高篇拔 高练习 试卷简介:本卷有四道题，每题25分，满分100分。主要考察学生对二次函数综合知识的掌握程度。 学习建议:本讲重点考察二次函数，二次函数的综合性非常强，灵活多变，需要学生熟练掌握二次函数的基础知识，并学会灵活运用。 一、单选题(共1道，每道25分) 1.（2011江苏）如图，抛物线y= x2 + 1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是的解集是 A.x>1 B.x<-1 C.0 ∴ ∴的顶点坐标为（－1，0）. 解题思路：由于二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，那么方 程的Δ=0，由此可以确定m． 易错点：抛物线和x轴的交点个数与其判别式的关系不是很熟悉。 试题难度：三颗星知识点：抛物线与x轴的交点 2.运算求解：已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点，将 C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（－3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标． 答案：解：设的函数关系式为， 把A（－3，0）代入上式得，得k=－4， ∴的函数关系式为．∵抛物线的对称轴为x=－1，与x轴的一个交点为A（－3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）； 解题思路：首先设所求抛物线解析式为，然后把A（－3，0）代入即可 求出k，也就求出了抛物线的解析式. 易错点：对函数图平移的性质不熟悉，不会设的表达式. 试题难度：四颗星知识点：二次函数的性质 3.运算求解：已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点，若P （n，），Q（2，）是C1上的两点，且>，求实数n的取值范围 答案：解：当x≥－1时，y随x的增大而增大， 当n≥－1时， ∵＞， ∴n＞2． 当n＜－1时，P（n，）的对称点坐标为（－2－n，），且－2－n＞-1， ∵＞，∴－2－n＞2，∴n＜－4．综上所述：n＞2或n＜-4． 解题思路：由于图象的对称轴为x=－1，所以知道当x≥－1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥－1和n≤－1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围． 易错点：对二次函数的增减性掌握的不熟练 试题难度：四颗星知识点：二次函数的性质 九年级数学函数专题之二次函数实际应用进阶 篇(二次函数)拔高练习 试卷简介:二次函数的最值和实际应用，了解二次函数一般的做法，同时对具体实际生活中的应用题做检测，检验学生构造函数解决问题的能力。 学习建议:对二次函数的学习，第一一定要充分了解图象和性质；第二要了解求最值的一般方法，通过大量做题来锻炼这种方法和思路； 一、单选题(共2道，每道30分) 1.(2010舟山)已知二次函数，则函数值y的最小值是（） A.3 B.2 C.1 D.-1 答案：C 解题思路：首先根据题目要求函数最小值，可以把二次函数化为一般式，即，根据顶点式可以知道函数在顶点处取得最小值，最小值就是1。 易错点：对于二次函数的最值知道怎么求，不会化一般式为顶点式 试题难度：一颗星知识点：二次函数的最值 2.（2009昌平二模）当时，二次函数的最小值为（） A.-4 B. C. D. 答案：B 解题思路：首先第一步化二次函数为顶点式，；第二步判定x的取值范围是否为全体实数，如果是，在顶点处取得最小值；如果不是，判断x在已知范围内的增减性； 在这道题中很明显y是随着x的增大而减小，所以在时，y取得最小值，最小值为 易错点：1.对于二次函数的最值知道怎么求，不会化一般式为顶点式；2.化为顶点式之后不会判断x的取值范围，误以为在顶点处取得最小值 试题难度：二颗星知识点：二次函数的最值 二、解答题(共1道，每道40分) 1.（2011黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售.当地政府对该特 产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）.当地政 府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可 获利润：（万元）（1）若不进行开发，求5年所获 利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？ 答案：（1）205（2）3175（3）具有很大的实施价值. 解题思路：解：（1）由知，每年只需从100万元中拿出60万元投资，即可获得最大利润41万元，则不进行开发的5年的最大利润P1=41×5=205（万元）（2） 若实施规划，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：万 元，前2年的利润为：40×2=80万元，扣除修路后的纯利润为：80-50×2=-20万元.设在公路通车后的3年中，每年用x万元投资本地销售，而用剩下的（100-x）万元投资外地销售， 则其总利润 当x=30时，W的最大值为3195万元，∴5年的最大利润为3195-20=3175（万元）（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值. 易错点：1．通过读题提取不出有效的信息，不能把信息转化为有利的解题条件；2．在求第（2）问的时候需要注意前两年的最大利润取不到50万元（因为投入最多只有50万元），这是一个陷阱；3．通车后的投资中未知数的表示应该是（100-x），而不是x； 试题难度：四颗星知识点：二次函数综合题 二次函数拔高题 一．选择题 1.已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( ) A．1或－2 B．－√2或√2 C.√2 D．1 2.已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( ) A．1或－5 B．－1或5 C．1或－3 D．1或3 3.已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．k≥3B．k＜3 C．k≤3且k≠2D．k＜2 4.已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2017的值为（）A．2017 B．2020 C．2019 D．2018 5.设抛物线y=x2+8x﹣k的顶点在x轴上，则k的值为（） A．﹣16 B．16 C．﹣8 D．8 6.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为(－1，0)，(3，0)，其形状和开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式为( ) A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5 C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋6 7.当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( ) A．－1 B．2 C．0或2 D．－1或2 8.已知二次函数y=a（x﹣1）2+b（a≠0）有最小值﹣1，则a与b之间的大小关系是（）A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定 9.已知抛物线y=﹣（x﹣1）2+m（m是常数），点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1＜1＜x2，x1+x2＞2，则下列大小比较正确的是（） A．m＞y1＞y2 B．m＞y2＞y1 C．y1＞y2＞m D．y2＞y1＞m 10.若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A．(－3，－6) B．(－3，0) C．(－3，－5) D．(－3，－1) 11.如图，将函数y=1/2（x+3）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （﹣4，m），B（﹣1，n），平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（） A．y=1/2（x+3）2﹣2 B．y=1/2（x+3）2+7 C．y=1/2（x+3）2﹣5 D．y=1/2（x+3）2+4 12.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a＋b<0；②－1≤a≤－2/3；③对于任意实数m，a＋b≥am2＋bm总成立；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个 13.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 14.如图，一次函数y1＝mx＋n(m≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于两点A(－1.5，6)，B(7，2)，请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围是( ) A．－1.5≤x≤7B．－1.5≤x＜7C．－1.5＜x≤7D．x≤－1.5或x≥7 2015高中数学集合综合拔高训练二（有答案） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?嘉兴模拟）已知函数f（x）=x2+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存 ．由于存在 x= 2．（2013?西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性 3．（2013?南开区一模）已知A={（x，y）|x（x﹣1）≤y（1﹣y）}，B={（x，y）|x2+y2≤a}若A?B，则实数a的取 ） [[ ）﹣≤ ，半径为 ，半径为 4．（2013?肇庆二模）各项互不相等的有限正项数列{a n}，集合A={a1，a2，…，a n，}，集合B={（a i，a j）|a i∈A，．D 5．（2013?枣庄一模）若曲线y=x2+1与=m有唯一的公共点，则实数m的取值集合中元素的个数为（） ，得 m= 6．（2013?肇庆一模）设集合M={A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在M上定义运算“?”为：A i?A j=A k，其中k为i+j 7．（2013?菏泽二模）设全集U=R，，则如图中阴影部分表示的集合为（） x 9．（2013?惠州二模）已知全集R，集合E={x|b＜x＜}，F={x|＜x＜a}，M={x|b＜x}，若a＞b＞0， E={x|}F={x|M={x| F={x| ={x| 10．（2013?深圳二模）非空数集A={a1，a2，a3，…，a n}（n∈N*）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=．若非空数集B满足下列两个条件： ①B?A； ②E（B）=E（A），则称B为A的一个“保均值子集”． 11．（2013?广州二模）某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A、B、C三个模块中进行选择，R 至少需要选择l 个模块，具体模块选择的情况如下表： 二次函数专题—动点问题 一、 因动点而产生的面积问题 例1：如图10，已知抛物线P ：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1) 求A 、B 、C 三点的坐标； (2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围； (3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)： (2) 若点D 的坐标为(1，0)，求矩形DEFG 的面积. 解析考点：二次函数综合题．专题：压轴题；探究型．分析：（1）可任选三组坐标，用待定系数法即可求出抛物线P 的解析式．然后根据抛物线P 的解析式即可得出A 、B 、C 三点的坐标； （2）求矩形的面积需知道矩形的长和宽，可先在直角三角形AOC 中，根据AD ，OA ，DG ，CD 的比例关系式，用m 表示出DG 的长，同理可在直角三角形BCO 中表示出OE 的长，进而可根据ED=EO+OD 得出ED 的长，然后由矩形的面积公式即可得出S 与m 的函数关系式； （3）根据（2）的函数关系式即可得出S 的最大值及对应的m 的值．进而可得出D ， E ， F ， G 的坐标．如果设DF 的延长线交抛物线于N 点，那么可先求出FN 与DF 的 比例关系．如果过N 作x 轴的垂线设垂足为H ，那么我们可得出EF ：DF=DF ：DN ，而EF ，DF 均为F ，N 点的纵坐标的绝对值，因此要先求出N 点的纵坐标，可先根据D 、F 的坐标求出直线DF 的解析式，然后联立直线DF 的解析式与抛物线P 的解析式求出N 点的坐标，然后根据上述比例关系求出FN 、DF 的比例关系，如果求出此时FN=k1DF ，那么由于M 不在抛物线上，因此k 的取值范围就是k ＞0，且k ≠k1． 若选（2）可参照上面（2）的求解过程进行计算． 解答：解：（1）解法一：设y=ax2+bx+c （a ≠0）， 任取x ，y 的三组值代入， 4a ?2b+c ＝?4 a+b+c ＝?5 2 4a+2b+c ＝0 ， 解得 a ＝1 2 b ＝1 c ＝?4 ， ∴解析式为y ＝1 2 x2+x ?4， 令y=0，求出x1=-4，x2=2； 令x=0，得y=-4 ， ∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （2，0），B （-4，0），C （0，-4）． （2）由题意，AD AO ＝DG OC ， 而AO=2，OC=4，AD=2-m ， 故DG=4-2m ， 又BE BO ＝EF OC ，EF=DG ，得BE=4-2m ， ∴DE=3m ， ∴SDEFG=DG ?DE=（4-2m ）3m=12m-6m2（0＜m ＜2）． 注：也可通过解Rt △BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解． 图10 2 + + s P 1 Q 2 二次函数复习题（1） 1．抛物线 y = x 2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到新的抛物线解析式是 （ ） A ． y = (x + 1)2 + 3 B ． y = (x + 1)2 - 3 C ． y = (x - 1)2 - 3 D ． y = (x - 1)2 + 3 2．如图，在同一直角坐标系中，一次函数 y =ax +c 和二次函数 y =ax 2+b x +c 的图象大致为 （ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 3．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、 脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y （升）与时间 x （分钟） 之间满足某种函数关系，其函数图象大致为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4. 记抛物线 y = - x 2 + 2012 的图象与 y 正半轴的交点为 A ，将线段 OA 分成 2012 等份，设 分点分别为 P 1， P 2，…，P 2011，过每个分点作 y 轴的垂线，分别与抛物线交于点 Q 1，Q 2，…， Q 2011 ， 再 记 直 角 三 角 形 OP 1Q 1 ， P 1P 2Q 2 ， … 的 面 积 分 别 为 S 1 ， S 2 ， … ， 这 样 就 记 w = s 2 + s 1 2 2 ，W 2011 的值为（ ） A. 505766 B. 505766.5 C. 505765 D. 505764 y A P 2 Q 1 x （第 4 题图） y 2 -1 o 1 x 二次函数试题 一;选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 ） D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2— 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （— 6，6） C （6，6 ） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。九年级数学函数专题之二次函数实际应用进阶篇(二次函数)拔高练习(含答案)
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