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(完整版)初二动点问题(含答案)2

L F

图2

动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.

数学思想：分类思想数形结合思想转化思想

一、单动点问题

小菜一碟：如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为

例

（10 年房ft 二模压轴）25. （1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E

图1

图3

作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ，试证明 CH=EF+EG;

(2) 若点 E 在ＢＣ的延长线上，如图 2，过点 E 作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 的延长线于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ，则 EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(3) 如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线,L 在 BD 上，且 BL=BC, 连结 CL ，点 E 是 CL 上任一点, EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥BC 于点 G ，猜想 EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(4) 观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.

D F 图 2

D F F

1.(2009 临沂 25)数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点． ∠AEF = 90 ，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平行线 CF 于点 F ，求证：AE=EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M ，连接 ME ，则 AM=EC ，易证 △≌AM △E ECF ，所以 AE = EF ．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论

“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

解：（1）正确． A

证明：在 AB 上取一点 M ，使 AM = EC ，连接 ME ． A

∴ BM = BE ．∴∠BME = 45° ，∴∠AME = 135° ． M CF 是外角平分线，∴∠DCF = 45° ，∴∠ECF = 135° ． ∴∠AME = ∠ECF ． B ∠AEB + ∠BAE = 90° ， ∠AEB + ∠CEF = 90° ， E C G B E C G

图 1 A ∴ ∠BAE = ∠CEF ．（2）正确．

∴△≌A M △E BCF （ASA ）． ∴ AE = EF ．证明：在 BA 的延长线上取一点 N ．使 AN = CE ，连接 NE ． B E C

∴ BN = BE ． ∴∠N = ∠PCE = 45° ．

N 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD ∥ BE ． A

∴∠DAE = ∠BEA ． ∴∠NAE = ∠CEF ． ∴△≌A N △E ECF （ASA ）． ∴ AE = EF ．

C E G

图 3

2.（2009 年江西中考题 25）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD //BC ，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF //BC 交 CD 于点 F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．

（1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PM ⊥EF 交 BC 于 M ，过 M 作 MN //AB 交折线 ADC 于 N ，连结 PN ，设 EP ＝x ．

①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；

②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由．

D F

3 7

图1 图2 图3

思路点拨

1.先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF＝4，这是x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与EF、EF 与BC 间的距离相等．

2.当点N 在线段AD 上时，△PMN 中PM 和MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．

3.分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．

满分解答

（1）如图4，过点E 作EG⊥BC 于G．

在Rt△BEG 中，BE =AB = 2 ，∠B＝60°，

所以BG =BE ? cos 60?= 1，EG =BE ?sin 60?=．

所以点E 到BC 的距离为．

（2）因为AD//EF//BC，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中

点．因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF＝4．

①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改

变．过点N 作NH⊥EF 于H，设PH 与NM 交于点Q．

在矩形EGMP 中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝

．

在平行四边形BMQE 中，BM＝EQ＝1＋x．

所以BG＝PQ＝1．

因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH＝2PQ＝

2．在Rt△PNH 中，NH＝，PH＝2，所以PN

＝．

在平行四边形ABMN 中，MN＝AB＝4．

因此△PMN 的周长为＋＋4．

图4 图5

②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．

如图5，当PM＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线

上．在Rt△PCM 中，PM＝，∠PCM＝30°，所以MC＝3．

3 3

3(6 -m)

此时M、P 分别为BC、EF 的中点，x＝2．

如图6，当MP＝MN 时，MP＝MN＝MC＝，x＝GM＝GC－MC＝5－

．如图7，当NP＝NM 时，

∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．

又因为∠FNM＝120°，所以P 与F 重

合．此时x＝4．

综上所述，当x＝2 或4 或5－时，△PMN 为等腰三角形．

考点伸展

图6 图7 图8

第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：

如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m，0），那么点P 的坐标为

m + 6

（m，），MN＝MC＝6－m，点N 的坐标为（，）．

2 2

由两点间的距离公式，得PN 2=m2- 9m + 21 ．

当PM＝PN 时，m2- 9m + 21 = 9 ，解得m = 3 或m = 6 ．此时x = 2 ．

当MP＝MN 时，6 -m = ，解得m = 6 - ，此时x = 5 -．

当NP＝NM 时，m2- 9m + 21 = (6 -m)2，解得m = 5 ，此时x = 4 ．

二、双动点问题

例：如图1，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点

P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度

移动，如果P，Q 分别从A，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6

当t= 时，四边形是等腰梯形. 8

1、（2012 贵州遵义 12 分）如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A 、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E ，连接 PQ 交 AB 于 D ．

（1）当∠BQD=30°时，求 AP 的长；

（2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由．

2、如图，已知△ABC 中， AB = AC = 10 厘米， BC = 8 厘米，点 D 为 AB 的中点．

(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动

①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与

△CQP 全等？

（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿

△ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？解：（1）①∵

t = 1秒， ∴ BP = CQ = 3?1 = 3 厘米， A

∵ AB = 10 厘米，点 D 为 AB 的中点， ∴ BD = 5 厘米．

又∵ PC = BC - BP ，BC = 8 厘米， ∴ PC = 8 - 3 = 5 厘米， ∴ PC = BD ．

又∵

AB = AC ， ∴ ∠B = ∠C ， ∴△≌B P △D CQP ．

②∵ v P

≠ v Q

，

∴ BP ≠ CQ ，又∵△≌

B P △D CQP ， ∠B = ∠

C ，则

BP = PC = 4，CQ = BD = 5 ，

v = CQ = 5 = 15

∴点 P ，点Q 运动的时间 t = BP =

4 Q

t 3 3 秒， ∴ 4 4 3 厘米/秒。

E O

M D

E N M

N 图 3

x = 3x + 2 ?10 （2）设经过 x 秒后点 P 与点Q 第一次相遇，由题意，得 4 80

? 3 = 80

，解得

x =

80 3 秒． ∴点 P 共运动了 3

厘米． ∵ 80 = 2 ? 28 + 24 ，∴点 P 、点Q 在 AB 边上相遇，

∴经过 80

3 秒点 P 与点Q 第一次在边 AB 上相遇．

三、线动问题

例：如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB = 90°，∠

° B = 60 ， BC = 2 ．点O 是 AC 的中点，过点O 的

直线l 从与 AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D ．过点C 作CE ∥ AB 交直线

l 于点 E ，设直线l 的旋转角为．

（1） ①当= 度时，四边形

EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为；

②当= 度时，四边形

EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为；

（2）当= 90°

时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=900 时，四边形 EDBC 是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形 EDBC 是平行四边形在 Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.

∴AB=4,AC=2 1

. ∴AO= 2

= A

.在 Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2.

∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形 EDBC 是平行四边形， ∴四边形 EDBC 是菱形

4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线 MN 经过点 C ，且 AD ⊥MN 于

（备用图）

D ，B

E ⊥MN 于 E.

M C

图 1

图 2

(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ；

(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE ；

(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90°

∴∠BCE+∠ACD=90°

∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC

∴△ADC ≌△CEB

3 3 C

②∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE

(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE

(3)当MN 旋转到图3 的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.

初中数学动点问题专题讲解

例1(2０00年·上海)如图1，在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为Ｇ． (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度． (２)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围）． (３）如果△P ＧH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长．解：(１)当点Ｐ在弧A Ｂ上运动时,ＯP 保持不变,于是线段GO 、GP 、 GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是ＧH=32NH=2 1 32?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Ｒt △MPH 中, . ∴y =GP= 32M Ｐ＝23363 1x + （０

八年级几何之动点问题

中考数学动点几何问题 ※动点求最值: 两定一动型（“两个定点，一个动点”的条件下求最值。例如上图中直线l的同侧有两个定点A、B,在直线l上有一动点）例1、以正方形为载体如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是例2、以直角梯形为载体如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=DC=5，点P 在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为一定两动型（“一个定点”+“两个动点”）例3、以三角形为载体如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是例4、以正方形、圆、角为载体正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上的一动点.连接BP，EP，则PB+PE的最小值是

例5、⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°，P是OB上的一动点，PA+PC 的最小值是例6、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是 . 例7：在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求△ABC的面积； (2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？ (3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？A C B

初二数学动点问题练习(含答案)

动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P， Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB ∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90 α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC∵CE∴AB=4,AC=23. ∴AO= 1 2 AC = 3 .在Rt△AOD 中，∠A=300，∴AD=2. O E C D A α l O C A （备用图）

∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形 4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E. (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB ② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE (3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ，又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证 AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过 C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3

初二数学动点问题练习(含答案)

动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类 6 c N t4 o o AD 的长为度时 AD 的长为 ②当 .度时 o C B C B A （备用图） E N E A B B B A A E 时时 M C ” 图1 l E EDBC 是否为菱形，并说明理由 C ,且（1）① 当四边形EDBC 是直角梯形，此时开放性题目关键：数学思想 1、如图1 C 开始沿向点秒当当 CE // AB 交直线I 于点E ，设直线I 的旋转角为 2、如图2,正方形的边长为 4,点M 为 5 90 ° ,直线经过点 3、如图，在只也ABC 中，ACB 四边形是平行四边形；四边形是等腰梯形?8 90° B 60°, BC 2 .点O 是AC 的中点，过四边形EDBC 是等腰梯形，此时（2 ）当 90「时，判断四边形解：（1 ［① 30, 1 :② 60, 1.5 ；（2）当/% =900时，四边形是菱形? ???/a =Z 90°,.?..???，???四边形是平行四边形在△中，/ 900,/ 6002, ???/ 30°. 在边上，且1 , N 为对角线上任意一点，则的最小值 .解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题 . 动中求静? 分类思想数形结合思想转化思想梯形中，// ，/ 90°, 141821,点P 从A 开始沿边以1秒的速度移动，点 Q 从 B 以2秒的速度移动，如果 P , Q 分别从A , C 同时出发，设移动时间为 t D ，丄于 E M C 点o 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D ?过点C 作 ? 2. ???. 又??四边形是平行四边形 ?四边形是菱形 4、在△中 M D C A D 1 42 . 3. ? 2AC 3 .在△中，/ 3。0, (2) 图2 N

初二动点问题(含答案)

动点问题灵活运用有关数学知识解决问题转化思想 6 c 1 8 4 0 0 II ②当 0 C B C AB=4,AC=2 B A (备用图) D C E N D E A B B B A A E (1)①当点M 在边 5 图1 l E - 2 .点°是AC 的中点，过 BE 丄MN 于E 60° BC 且AD 丄MN 于度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为 DC 上，且 CE // AB 交直线l 于点E ,设直线I 的旋转角为交AB 边于点D .过点C 作度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为放性题目?解决这类问题的关键是动中求静关键：动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想 1、如图 1，梯形 ABCD 中，AD // BC , A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点如果P , Q 分别从A , C 同时出发，设移动时间为当t= 时，四边形是平行四边形当t= 时，四边形是等腰梯形 2、如图2，正方形 ABCD 的边长为意一点，贝U DN+MN 的最小值为 / B=90 ° , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 -Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动， t 秒。 3、如图，在 Rt △ ABC 中，ACB 90° B 解：(1)① 30, 1;② 60, 1.5; (2)当/a =900 时，四边形EDBC 是菱形. ???/a = / ACB=90°,「. BC//ED. ?/ CE//AB,二四边形 EDBC 是平行四边形在 Rt △ ABC 中，/ ACB=900,/ B=600,BC=2, /./ A=30°. (2)当 90°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转 M D C ??? BD=2. ??? BD=BC. 又??四边形 EDBC 是平行四边形， ???四边形EDBC 是菱形 4、在厶ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC ，直线 MN 经过点C M C 1 AC AO= 2 = ■ 3 .在 Rt △ AOD 中，/ A=30°,二 AD=2 A D 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开 N 图2 A ____________ …n 1 DM=1 , N 为对角线AC 上任

初中数学几何的动点问题专题练习

动点问题专题训练 1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ································································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ·················································································· （7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得15 32104 x x =+?，解得80 3 x = 秒．

初二数学动点问题专题分析

初二数学“动点问题”分析所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．一、建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢? 1.应用勾股定理建立函数解析式。 2.应用比例式建立函数解析式。 3.应用求图形面积的方法建立函数关系式。二、动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。（一）以动态几何为主线的压轴题。 1.点动问题。 2.线动问题。 3.面动问题。（二）解决动态几何问题的常见方法有: 1.特殊探路，一般推证。 2.动手实践，操作确认。 3.建立联系，计算说明。（三）本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。三、双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点， 1.以双动点为载体，探求函数图象问题。 2.以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3.以双动点为载体，探求存在性问题。 4.以双动点为载体，探求函数最值问题。双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。四：函数中因动点产生的相似三角形问题五：以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。

初中几何的动点问题专题练习(答案)

初中几何的动点问题专题练习(答案) 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC = ， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ··························· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t = =秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ······················· （7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得 15 32104x x =+?，解得80 3 x =秒． ∴点P 共运动了80 3803 ?=厘米． ∵8022824=?+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，

(完整版)初二动点问题(含答案)2

L F E H F G E C G 图2 F H 动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想一、单动点问题小菜一碟：如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为例（10 年房ft 二模压轴）25. （1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E D A D A D B C B B C 图1 图3 作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ，试证明 CH=EF+EG; (2) 若点 E 在ＢＣ的延长线上，如图 2，过点 E 作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 的延长线于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ，则 EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (3) 如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线,L 在 BD 上，且 BL=BC, 连结 CL ，点 E 是 CL 上任一点, EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥BC 于点 G ，猜想 EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (4) 观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.

初中数学几何动点问题专题训练

初中数学几何动点问题专题训练所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。例题1.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？（3）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？练习1. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C —D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD也为矩形？

初二上动点问题

初二上动点问题 1．如图，已知△ABC中，∠B=90 o，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求线段PQ的长？（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间？ 2．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=10cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线．．．．CB．．方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM．．上以每秒2厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）当t为多少时，△ABD的面积为15cm2？（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（请在备用图中画出具体图形）

3．（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进 1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 4．（12分）在等腰△ABC中，AB=AC=2, ∠BAC=120°,AD⊥BC于D,点O、点P分别在射线AD、BA上的运动，且保证∠OCP=60°，连接OP. （1）当点O运动到D点时，如图一，此时AP=______,△OPC是什么三角形。（2）当点O在射线AD其它地方运动时，△OPC还满足（1）的结论吗？请用利用图二说明理由。（3）令AO=x，AP=y，请直接写出y关于x的函数表达式，以及x的取值范围。图一图二

初中数学几何的动点问题专题练习附答案

动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ··················· （4分） P

②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ··············· （7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得15 32104 x x =+?，解得80 3 x = 秒． ∴点P 共运动了 80 3803 ?=厘米． ∵8022824=?+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过 80 3 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ······· （12分） 2、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 2.解（1）A （8，0）B （0，6） 1分（2）86OA OB ==，

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总训练

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。（1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。（2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最

初二几何动点问题专题

初二几何动点问题专题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

1. 梯形ABCD 中，AD∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t 秒，问：（1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形（2）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形（3）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗为什么（4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形 2. 如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形 3：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A 、C 重合，点E 不与B 、A 重合。（1）判断?OEF 的形状，并加以证明。（2）判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值. （3）设AE=x ，?AEF 的面积为y ，求的y 与x 的关系式。 4：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，（1）写出点O 到△ABC 的三个顶点 A 、B 、C 距离的大小关系。（2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM ，请判断△ A B C D P Q F E O C B A

中考数学几何图形中的动点问题专题训练

中考数学几何图形中的动点问题专题训练 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为( D ) A.29 B.34 C.5 2 D. 41 图6－1－1 第1题答图【解析】令点P 到AB 的距离为h ，由S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，得12×5h ＝13×5×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时P A ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为52＋42＝41，选D. 2．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是 ( D ) 【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 当图6－1－2

2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝???x 2＋a 2（0≤x ≤2a ）， x 2－6ax ＋13a 2（2a

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