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2012年文数高考试题答案及解析-湖南

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文史类）

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则M ∩N= A.{-1，0，1} B.{0,1} C.{1} D.{0} 【答案】B 【解析】

{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}

【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出{}0,1N =，再利用交集定义得出M ∩N. 2.复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是

A.-1-i

B.-1+i

C.1-i

D.1+i 【答案】A

【解析】由z=i （i+1）=1i -+，及共轭复数定义得1z i =--.

【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力.先把Z 化成标准的

(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义得出1z i =--.

3.命题“若α=

4π

，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4

，则tan α≠1

C. 若tan α≠1，则α≠4π

D. 若tan α≠1，则α=4

【答案】C

【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ?，则q ?”，所以 “若α=4

，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠

π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．

是

【答案】D

【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.

5.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）

C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D

【解析】由回归方程为y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘

法建立的回归方程得过程知?()y bx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利

用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.

【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.

6. 已知双曲线C ：22x a -2

2y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为

A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220

y =1 D.220x -280y =1

【答案】A

【解析】设双曲线C ：22x a -2

2y b

=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.

又

C 的渐近线为b y x a =±

，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b

∴=，即2a b =.

又2

c a b =+，a ∴==∴C 的方程为220x -2

y =1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

7 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：

①

c a ＞c b

；② c a ＜c

b ； ③ log ()log ()b a a

c b c ->-，其中所有的正确结论的序号是__.

A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【答案】D

【解析】由不等式及a ＞b ＞1知

11a b <，又0c <，所以c a ＞c

，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c ->->->，由对数函数的图像与性质知③正确.

【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.

8 . 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于

A ．

2 B.2 C.2

D.4【答案】B

【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知222

2cos AC AB BC AB BC B =+-??，

即2

7422cos60c c =+-???，2

230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=

设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11

sin 22

ABC

AB BC B BC h =

=，知

32sin 60222

h ???=??，解得2h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.

9. 设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当

[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π）且x ≠

时，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上

的零点个数为

A .2

B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ

【解析】由当x ∈（0，π）且x ≠

时，()()02x f x π'->，知

0,()0,()2x f x f x π??'∈

'∈> ???

，时,为增函数

又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和

()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.

【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.

二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 10.在极坐标系中，曲线1C ：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______. 【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程

222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==

，知a ＝2

. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.

11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. 【答案】７

【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.

【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力.

(二)必做题（12~16题）

12.不等式x 2-5x+6≤0的解集为______. 【答案】{}

23x x ≤≤

【解析】由x 2-5x+6≤0，得(3)(2)0x x --≤，从而的不等式x 2-5x+6≤0的解集为{}

23x x ≤≤.

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力.

13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为

_________.089

352

图

(注：方差

2222121()()()n s x x x x x x n

??=

-+-++-??，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)

【答案】6.8 【解析】1

(89101315)115

x =

++++=， 222222

1(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ??=-+-+-+-+-?

? 6.8=. 【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力.

14.如果执行如图3所示的程序框图，输入 4.5x =,则输出的数i = .

【答案】4

【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得0.5x =，输出4i =.

【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养. 15.如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = . 【答案】18 【解析】设AC

BD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=

22AP AB AP BO +2

22()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.

【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.

16.对于N n *

∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=?+?+

+?+?,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时i

a 为0或1，定义n

b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n =1；否则b n =0.

（1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；

（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是___. 【答案】（1）3；（2）2.

【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =?==；1010221202,1,0,1a a b =?+?===；一次类推10331212,0b =?+?=；210

44120202,1b =?+?+?=；

21055120212,0b =?+?+?=；2106121202=?+?+?，60b =，781,1b b ==，

b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知

c m 的最大值为２.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.

（Ⅰ）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率）

【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:

115 1.530225 2.520310

1.9100

?+?+?+?+?=(分钟).

（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得

123153303251

(),(),()10020100101004P A P A P A =

=====. 1

3123,,,A A A A A A A =且是互斥事件， 1

3123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++3317

2010410=

++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7

10.

【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=?+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得

一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 18.（本小题满分12分）

已知函数()sin()(,0,02

f x A x x R π

ω?ωω=+∈><<的部分图像如图5所示.

（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）求函数()()()12

g x f x f x π

的单调递增区间.

【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T T

πππ

πω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126

A ππ

???+=+=即.

又55450,,=26636πππππ???π<<∴<+<+从而，

即=6

?. 又点0,1（）

在函数图像上，所以sin 1,26A A π

==，故函数f （x ）的解析式为()2sin(2).6

f x x π

（Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ????

????=-+-++ ? ?????????????

2sin 22sin(2)3

x x π

=-+

2sin 22(sin 22)2x x x =-

sin 232x x =

2sin(2),3

x π

=- 由222,2

k x k π

ππ-

≤-

≤+

得5,.12

k x k k z π

ππ-

≤≤+

∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ?

?-+∈???

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(

),1212

T ππ

π=-=从而求得

22T

ω=

=.再利用特殊点在图像上求出,A ?，从而求出f （x ）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ω?=+的单调性求得.

19.（本小题满分12分）

如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.

【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥?⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ，而PC ?平面PAC ，所以BD PC ⊥.

（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC ，PO ?平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，

从而梯形ABCD 的高为

111

(42)3,222

AD BC +=?+=于是梯形ABCD 面积 1

(42)39.2

S =?+?=

在等腰三角形ＡＯＤ中，2

2,2

OD AD =

= 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===

故四棱锥P ABCD -的体积为11

941233

V S PA =

??=??=.

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面

PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由1

V S PA =

??算得体积. 20.（本小题满分13分）

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元. （Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）.

【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-，

2113

(150%)2a a d a d =+-=

-， 13

(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得13

2n n a a d -=-

2233

()22n a d d -=-- 233

()22n a d d -=-- = 12213333()1()()222

2n n a d --??

=-++++????

. 整理得 1

3()

(3000)2()12

2n n n a d d --??

=---????

()(30003)22

n d d -=-+. 由题意，1

34000,()(30003)24000,2n n a d d -=∴-+=

解得13()210001000(32)2332()12

n n n n n

n d +??-???-??==--. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)

32n n n n

+--时，经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为４０００元.

【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 的关系式132n n a a d +=-，

第二问，只要把第一问中的13

n n a a d +=-迭代，即可以解决.

21.（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为1

的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为

的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标. 【解析】（Ⅰ）由2

420x y x +-+=，得2

(2)2x y -+=.故圆Ｃ的圆心为点

(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>其焦距为2c ，由题设知

2221

2,,24,12.2

c c e a c b a c a ==

=∴===-=故椭圆Ｅ的方程为： 22

1.1612

x y += （Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为

10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x -=--=-且121

k k =由1l 与圆22:(2)2c x y -+=相切，得

即 2

010020(2)22(2)20.x k x y k y ??--+-+-=?? 同理可得 2

020020(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=??.

从而12,k k 是方程022

0000(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=??的两个实根，于是

022

00(2)20,8(2)20,

x x y ?--≠?

????=-+->???? ① 且2

012222

2.(2)2

y k k x -==--

由22

01,161221(2)22

x y y x ?+=?

??-?=?--?得2

0058360.x x --=解得02,x =或010.5x = 由02x =-得03;y =±由018

x =

得0,5y =±它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 (2,3)-，或(2,3)--

，或18(5

，或18(,5.

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 的方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点的两条直线斜率之积为

，得出关于点P 坐标的一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标.

22.（本小题满分13分）

已知函数f(x)=e x -ax ，其中a ＞0. （1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1

f x e a '=-令()0ln f x x a '==得.

当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-

于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当

ln 1a a a -≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-

当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.

故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.

（Ⅱ）由题意知，21

212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==---

令21

()(),x x x

e e x

f x k e x x ?-'=-=--则

121

12121()()1,x x x e x e x x x x ?-??=----??- 21221221

()()1.x x x e x e x x x x ?-??=---??- 令()1t F t e t =--，则()1t

F t e '=-.

当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t

e t --> 从而21

21()10x x e

x x ---->，12

12()10,x x e

x x ---->又1210,x e x x >-2

0,x e x x >-

所以1()0,x ?<2()0.x ?>

因为函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在

012(,)x x x ∈使0()0,x ?=即0()f x k '=成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

关于数学名言警句大全

1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。——努瓦列斯

2、不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。——罗巴切夫斯基

3、宁可少些，但要好些。——高斯

4、在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。——罗素

5、获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。——克莱因

6、给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。——高斯

7、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。——柯普宁

8、没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。——卡罗斯

9、第一是数学，第二是数学，第三是数学。——伦琴

10、数学的本质在於它的自由。——康扥尔

11、在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。——广中平佑

12、新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。——华罗庚

13、宁可少些，但要好些，二分之一个证明等于0。——高斯

14、从最简单的做起。——波利亚

15、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。——拉普拉斯

16、每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一到曙光初现开始，一直保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止。——牛顿

17、下棋要找高手…。只有不怕在能者面前暴露自己的弱点，才能不断进步，自学，不怕起点低，就怕不到底。——华罗庚

18、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。——纳皮尔

19、一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。——拿破仑

20、每当我的头脑没有问题思考时，我就喜欢将已经知道的定理重新验证一番。()这样做并没有什么目的，只是让自己有个机会充分享受一下专心思考的愉快。——爱因斯坦

21、思维自疑问和惊奇开始。——亚里士多德

22、历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。——培根

23、用一，从无，可生万物。——莱布尼兹

24、数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。——傅立叶

25、如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人的肩上。——牛顿

26、数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的`原始元素，而天体就是用

这些原始元素建立起来的。——开普勒

27、数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗庚

28、现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量。——邱成桐

29、当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。——希尔伯特

30、数缺形时少直观，形缺数时难入微，又说要打好数学基础有两个必经过程：先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄”。——华罗庚

31、学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。——苏步青

32、数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰明

33、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。——冯纽曼

34、我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。

35、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根