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最新高考理科数学大题专项训练:概率与统计

大题专项练:概率与统计

A组基础通关

1.袋子里有除颜色外完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球.

(1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;

(2)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分,求得分ξ的分布列和数学期望.

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从袋子里有放回地取3次球,相当于做了3次独立重复试验,每次试验取出红球的概率为,取出

黑球的概率为,设事件A=“取出2个红球1个黑球”,则P(A)==3×.

(2)ξ的取值可以是3,4,5,6.

P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,

P(ξ=5)=,P(ξ=6)=.

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从而得分ξ的数学期望Eξ=3×+4×+5×+6×.

2.为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析,结果如表:(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”)

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(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”?

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(2)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取3人进行考核,记“成绩不优秀”的乙班人数为X,求X的分布列和期望.

参考公式:K2=-,其中n=a+b+c+d.

临界值表

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补充的2×2列联表如下表:

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根据2×2列联表中的数据,得K2的观测值为k=-≈5.227>3.841,

所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.

(2)X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

所以X的分布列为

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E(X)=0×+1×+2×+3×.

3.自来水公司对某镇居民用水情况进行调查,从该镇居民中随机抽取50户作为样本,得到他们10月份的用水量(单位:吨),用水量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的用水量频率分布直方图如图.

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(1)求a的值,并根据样本数据,试估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值;

(2)以样本的频率作为概率,从该镇居民中随机抽取3户,其中10月份用水量在[5,15]内的用户数为X,求X的分布列和数学期望.

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由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03.

由最高矩形中点的横坐标为20,可估计该镇居民10月份用水量的众数为20吨.

50户居民10月份用水量的平均值=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(吨),

故估计该镇居民10月份用水量的平均值为24.6吨.

(2)利用样本估计总体,该镇居民10月份用水量在[5,15]内的概率为0.2,

则X~B,X=0,1,2,3.

P(X=0)=;

P(X=1)=;

P(X=2)=;

P(X=3)=.

∴X的分布列为

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∴E(X)=0×+1×+2×+3×.

4.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪80元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成6元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一

天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:

甲公司送餐员送餐单数频数表

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乙公司送餐员送餐单数频数表

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(1)现从甲公司记录的50天中随机抽取3天,求这3天送餐单数都不小于40的概率;

(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:

①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;

②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.

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记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M,则P(M)=.

(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a,

则当a=38时,X=38×6=228,当a=39时,X=39×6=234,当a=40时,X=40×6=240,当a=41

时,X=40×6+1×7=247,当a=42时,X=40×6+2×7=254.

所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.故X的分布列为:

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所以E(X)=228×+234×+240×+247×+254×=241.8.

②依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7,

所以甲公司送餐员日平均工资为80+4×39.7=238.8元.

由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为238.8<241.8,故推荐小王去乙公司应聘.

5.为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”(单位:天),某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了80名青年学生(其中男女人数各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组青年学生的月“关注度”分为6

组:[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30],得到如图所示的频率分布直方图.

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(1)求a的值;

(2)现从“关注度”在[25,30]的男生与女生中选取3人,设这3人来自男生的人数为ξ,求ξ的分布列与期望;

(3)在抽取的80名青年学生中,从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人,求至少抽取到1名女生的概率.

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a=--=0.05.

(2)从频率分布直方图可知在[25,30]内的男生人数为0.02×5×40=4(人),女生人数为

0.01×5×40=2(人),男女生共6人,因此ξ的取值可以为1,2,3,

故P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=,

P(ξ=3)=.

所以ξ的分布列为

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数学期望E(ξ)=1×+2×+3×=2.

(3)记“在抽取的80名青年学生中,从月‘关注度’不少于25天的人中随机抽取2人,至少抽到1名女生”为事件A,月“关注度”不少于25天即在[25,30]内的女生人数为2,月“关注度”不少于25天即在[25,30]内的男生人数为4,则在抽取的80名学生中,共有6人月“关注度”不少于25天,从中随机抽取2人,所有可能的结果有=15(种),而事件A包含的结果有=9(种),

所以P(A)=.

6.某理财公司有两种理财产品A和B,这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立):

产品A

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产品B

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注:p>0,q>0

(1)已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求实数p的取值范围;

(2)若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资,以一年后投资收益的期望值为决策依据,则选用哪种产品投资较理想?

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记事件A为“甲选择产品A且盈利”,事件B为“乙选择产品B且盈利”,事件C为“一年后甲,乙两人中至少有一人投资获利”,则P()=,P()=1-p.

所以P(C)=1-P()=1-(1-p)=,解得p>.又因为p++q=1,q>0,所以p<.

所以

(2)假设丙选择产品A进行投资,且记X为获利金额(单位:万元),则随机变量X的分布列为

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则E(X)=4×+0×+(-2)×=1.

假设丙选择产品B进行投资,且记Y为获利金额(单位:万元),则随机变量Y的分布列为

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则E(Y)=2×p+0×+(-1)×q=2p-q=2p--=3p-.

讨论:

当p=时,E(X)=E(Y),选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同,可以在产品A和产品B中任选一个;

当0E(Y),选择产品A一年后投资收益的数学期望较大,应选产品A;

B组能力提升

7.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定,交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是保费浮动机制,保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:

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某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况,随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:

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以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:

(1)某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年,记X为该车在第四年续保时的费用,求X的分布列;

(2)某销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.

①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至少有2辆事故车的概率;

②假设购进一辆事故车亏损4 000元,一辆非事故车盈利8 000元,若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求其获得利润的期望值.

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由题意可知X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a,由统计数据可知:

P(X=0.9a)=,P(X=0.8a)=,P(X=0.7a)=,P(X=a)=,P(X=1.1a)=,P(X=1.3a)=,

所以X的分布列为

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(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为,三辆车中至少有2辆事故车的概率为P=1--;

②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y的可能取值为-4 000,8 000.

所以Y的分布列为:

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所以E(Y)=-4 000×+8 000×=5 000,

所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为

100×E(Y)=50(万元).

8.某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出2种超过质保期后2年内的延保维修优惠方案,

方案一:交纳延保金7 000元,在延保的2年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2 000元;

方案二:交纳延保金10 000元,在延保的2年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1 000元.

某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年内维修的次数,得下表:

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以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的2年内共需维修的次数.

(1)求X的分布列;

(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金及维修费用之和)的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?

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X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.

P(X=0)=,P(X=1)=×2=,

P(X=2)=×2=,

P(X=3)=×2+×2=,

P(X=4)=×2=,

P(X=5)=×2=,

P(X=6)=,

∴X的分布列为

X0123456

P

(2)选择延保方案一,所需费用Y1的分布列为

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E(Y1)=×7 000+×9 000+×11 000+×13 000+×15 000=10 720(元).选择延保方案二,所需费用Y2的分布列为

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E(Y2)=×10 000+×11 000+×12 000=10 420(元).

∵E(Y1)>E(Y2),∴该医院选择延保方案二较合算.

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