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复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解

1．沿下列路线计算积分

dz z 30

2。

1) 自原点至i +3的直线段；

解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3

()()()??

+=??????+=+=+1

0332330

233

13313i t i dt t i dz z i

2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；

解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =

033

131=???

???==

t dt t dz z

连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =

()()()33

031

233133

13313-+=??????+=+=??

+i it idt it dz z i

（

()()()3

3331

302

133********i i idt it dt t dz z i

+=-++=

++=

∴???

3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。

解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =

()()31

031

131i it idt it dz z i

=???

???==??

连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =

()()()33

031

02323113

131i i i t dt i t dz z i

-+=??????+=+=??

()()3

333320

230

213

13113131i i i i dz z dz z dz z i

+=-++=

∴?

++ 2．分别沿x y =与2

x y =算出积分

()?++i

dz iy x

的值。

解：x y = ix x iy x +=+∴2

()dx i dz +=∴1 ()()()()()???

??++=?????

???? ??++=++=+∴

+i i x i x i dx ix x i dz iy x i

213112131111

0231

x y = ()2

1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()?

????

??++=?????

???? ??++=++=+∴

043210

2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x

而()i i i i i 656121213

3121311+-=-++=???

??++

3．设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。问()[]0=?

dz z f Re ，

()[]0=?C

dz z f Im 是否成立如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。

解：不成立。

例如：()z z f =，?

i e z C =：，π?<≤0

()[]()i i d dz z f C

π???π

=+=

??sin cos cos Re 20

()[]()π???π

-=+=

?sin cos sin Im i d dz z f C

4．利用在单位圆上z z 1

的性质，及柯西积分公式说明i dz z C

π2=?，其中C 为正向单位圆周1=z 。解：01

1-==z z z ()i f dz z dz z C

ππ2020

==-=∴?

? 5． —

6．

计算积分

dz z

的值，其中C 为正向圆周： 1) 2=z ；

解：在2=z 上，?

i e z 2= ()[]i i id e d e dz z z i i C

π??πππ?

42222

2202020====???

2) 4=z

解：在4=z 上，?i e z 4=

()[]i i id e d e dz z z i i C

π??πππ?

?84444

4202020====???

7．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么C 是正向的圆周1=z 。 1)

-C

z dz

解：()21

z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，02=-?C

z dz 2)

++C

z z dz

解：()()2221421+=++=z z z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，04

22=++?C z z dz

3) ^

z dz

cos

解：()z z f cos 1

在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=?C

z dz cos 5)

-C

z dz 2

解：()1=z f 在C 内解析，210=

z 在C 内，i if z dz C ππ22122

1=???

??=-? 6)

z dz ze 解：()z

ze z f =在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=?

dz ze

()?+??? ?

?-C z i z dz

22 解：()()21+=

z z f 在C 内解析，20i

z =在C 内，()22122222i i

i if z i z dz C +=???

??=+??

? ??-

?ππ 8．沿指定曲线的正向计算下列各积分： 1)

-C

dz z e 2

，C ：12=-z .

解：2=z 在C 内，()z

e z

f =在C 解析，根据柯西积分公式：222ie dz z e C

π=-?

-C

a z dz

2，C ：a a z =-

解：a z =在C 内，()a z z f +=

在C 解析，根据柯西积分公式：i dz a

z a

z dz C

C π=-+=-?

dz z e 1

，C ：232=-i z

解：i z =在C 内，()i z e z f iz +=在C 解析，根据柯西积分公式：?

?=-+=

dz i z i z e dz z e π12 4)

-C

dz z z

，C ：2=z 解：3=z 不在C 内，()3-=

z z

z f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：03=-?C

dz z z 5)

()()?--C

z z dz

1132，C ：1<=r z 解：()()()111

32--=z z z f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：()()01

132=--?C z z dz 6)

zdz z cos 3

，C ：为包围0=z 的闭曲线）

解：()z z z f cos 3

=在C 解析，根据柯西—古萨定理：03

zdz z cos

()()?++C z z dz 4

122，C ：23

=z 解：i z =在C 内，()()()41

2++=

z i z z f 在C 解析，根据柯西积分公式：()()?++C

z z dz 4122 8)

dz z z

sin ，C ：1=z 解：0=z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据柯西积分公式：

002==?sin sin i dz z z

π 9)

-C

dz z z

2πsin ，C ：2=z

解：2

π=

z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据高阶导数公式：

222

==?

-?π

ππ'

sin sin i dz z z

10) ?C z

dz z

e 5，C ：1=z

解：0=z 在C 内，()z

e z

f =在C 解析，根据高阶导数公式：()()!!4204245i

f i dz z

e C z ππ=

9．计算下列各题： 1)

￥

?-i

z dz e

ππ32

解：()02

121263232=-=???

???=---?i i i

i z i

e e e dz e ππππππ

?06

zdz ch π

；

解：3203133130

i i sh z sh zdz ch i i -=??? ??-=???

???=?πππ

?-i

zdz ππ

2sin ；

解：πππππππππ222412212212

sh i i z i dz z zdz i

i i

i -=??????-?=-=---??sin cos sin

zdz z sin ；

解：[]???

+-=+-=-=1

11sin cos cos cos cos sin zdz z z z zd zdz z

()?--i z

dz e

i z 0

；

解：()()()[

]()i i i i

z ie e e i dz e

e i z de

i z dz e i z -------=--=+--=--=-???10

】

?+i

dz z tgz

121cos （沿1到i 的直线段）

。

解：()1211212111221

2112tg tg i tg tgi z tg tgz dtgz tgz dz z tgz i

i i

--+=??????+=+=+??cos 10．计算下列积分： 1)

???? ?

?+++C dz i z z 2314

，（其中C ：4=z 为正向）；解：()i i dz i z dz z dz i z z C

C ππ1434223

142314=+=+++=???

?+++??

? 2)

dz z i

，（其中C ：61=-z 为正向）；解：()()()()()()022*******=???

? ??

-++=-+++-=-+=+-==????i z i z C C

C C i z i i z i i dz i z i z i

dz i z i z i

dz z i π

?+=213C C C dz z

cos ，（其中1C ：2=z 为正向，2C ：3=z 为负向）；解：()3z z z f cos =

在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：0213=?+=C C C dz z

z cos 4)

-C

i z dz ，C ：1=z （其中C 为以21±，i 5

±为顶点的正向菱形）； ~

解：在所给区域内，()i z z f -=

有一孤立奇点，由柯西积分公式：i i z dz C

π2=-? 5) ()

?-C z

dz a z e 3

，（其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z 为正向）。解：当a z ≥，()()3a z e z f z -=在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：()03

=-?C z

dz a z e 当a z ≤，()z

e z

f =在所给区域内解析，根据高阶导数公式：()

i e e i dz a z e a a

C z ππ==-?!223

11．证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，

dz z 。证明：当C 所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：

2=?

dz z

；当C 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：

()00212

==?

if dz z

π； 12．下列两个积分的值是否相等积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到为什么 1)

?=2z dz z z

?=4

z dz z z 、

解：1）022220

==?

?-=π

??d ie e

e dz z z i i i z ； 2）044420

==?

?-=π

???d ie e

e dz z z

i i i z 由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为()z

z z f =在复平面上处处不解析。

13．设区域D 为右半平面，z 为D 内圆周1=z 上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连接原点与

z ，证明41102

ζζ=??

????+?z d Re 。[提示：可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周1=z 到z 的曲线作为C 。证明：因为()2

11ζζ+=

f 在D 内解析，故积分?+z d 0211

ζζ与路径无关，取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周1=z 到z 的曲线作为C ，则：

????

++=+++=+?????

??ζζ

0210021

020

1111111

d e ie arctgx de e dx x d i i i i z

+=++=

-??

????π

?π

2414

d i d

e e i i i sec 41102

πζζ=??

????+∴?z d Re 14．设1C 和2C 为相交于M 、N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为1B 与2B 。1B 与2B 的公共

部分为B 。如果()z f 在B B -1与B B -2内解析，在1C 、2C 上也解析，证明：()()??

C C dz z f dz z f 。

证明：如图所示，()z f 在B B -1与B B -2内解析，在1C 、2C 上也解析，由柯西—古萨基本定理有：

()01=?N

NOMP dz z f ()02=?M

MRNP dz z f ?()()??=M

MRNP N

NOMP dz z f dz z f 21

()()()()????+=+∴

NP MRN

MP NOM

dz z f dz z f dz z f dz z f 21

()()()()????-=-N

MP MRN

NP NOM

z f dz z f dz z f dz z f 12

()()()()????+=+M

NP MRN

MP NOM

dz z f dz z f dz z f dz z f 12 ? ()()??=1

C C dz z f dz z f

15．设C 为不经过α与α-的正向简单闭曲线，α为不等于零的任何复数，试就α与α-跟C 的不同位

置，计算积分

-C

dz z z

2α的值。

解：分四种情况讨论：

1）如果α与α-都在C 的外部，则()2

2α

z z

z f 在C 内解析，柯西—古萨基本定理有

2=-?

dz z z

2）如果α与α-都在C 的内部，由柯西积分公式有

()()()()i i dz z z z

dz z z z

dz z z

πααααααπααααα2222=??? ??++---=-+++-=-???

3）如果α在C 的内部，α-都在C 的外部，则()α

z z

z f 在C 内解析，由柯西积分公式有 ()()i i dz z z z

dz z z

πα

ααπααα=+=-+=-??

222

4）如果α在C 的外部，α-都在C 的内部，则()α

z z

z f 在C 内解析，由柯西积分公式有 #

()()i

i dz z z z

dz z z

πα

ααπααα=---=+-=-??

222

16．设1C 与2C 为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明

???=????????-+-??内时。

在，当内时，

在，当200102

00022121C z z C z z dz z z z dz z z z i C C sin sin π 证明：因为1C 与2C 为两条互不包含，也不相交，故1C 与2C 只有相离的

位置关系，如图所所示。 1）当0z 在1C 内时，()0

z z z

z f -=

sin 在2C 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式： [

]

020020221

210

21z iz i

dz z z z dz z z z i z z C C =+=????????-+-=??πππsin

2）当0z 在2C 内时，()0

z z z z f -=在1C 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：

[]

00020

212021

21z z i i dz z z z dz z z z i z z C C sin sin sin =+=???

?????-+-=??πππ ?

??=????????-+-∴??内时。在，当内时，在，当200102

00022121C z z C z z dz z z z dz z z z i C C sin sin π 17．设函数()z f 在10<

必需在0=z 处解析试举例说明之。

解：不一定。例如：()2

z z f =

在0=z 处不解析，但01

2=?<=r z dz z 。 18．设()z f 与()z g 在区域D 内处处解析，C 为D 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D 。如果

()()z g z f =在C 上所有的点处成立，试证在C 内所有的点处()()z g z f =也成立。

证明：设z 是C 内任意一点，因为()z f 与()z g 在C 及C 内解析，由柯西积分公式有： ()()?-=

C d z f i z f ζζζπ21，()()?-=C

d z g i z g ζζζπ21 又()()ζζg f =在C 上所有的点处成立，故有：()()??-=-C

C d z g d z f ζζζζζζ 即()()z g z f =在C 内所有的点处成立。

19．设区域D 是圆环域，()z f 在D 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周1K 与2K ，2K 包含1K ，0

z 为1K ，2K 之间任一点，试证()14.3仍成立，但C 要换成21K K +-

。

证明：

20．设()z f 在单连通域B 内处处解析，且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线。问积分

()()

dz z f z f '是

否等于零为什么

解：因为()z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，又解析函数()z f 的导数()z f

仍然是解析函数，故

()()z f z f '在B 内处处解析。根据柯西—古萨基本定理，有()()0=?C

dz z f z f ' 21．？ 22．试说明柯西—古萨基本定理中的C 为什么可以不是简单闭曲线

解：如C 不是简单闭曲线，将C 分为几个简单闭曲线的和。如21C C C +=，则1C ，2C 是简单闭曲线。

()()()0002

=+=+=???C C C

dz z f dz z f dz z f

23．设()z f 在区域D 内解析，C 为D 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对D 内但不在C 上的任

意一点0z ，等式()()()

??-=-C C dz z z z f dz z z z f 2

00'成立。证明：分两种情况：

1）如果0z 在C 的外部，()0z z z f -'和()0z z z f -在C 内解析，故()()()

00=-=-??C C dz z z z f dz z z z f '

2）如果0z 在C 的内部，在C 内解析的函数()z f ，其导函数()z f

仍是C 内的解析函数，根据柯

西积分公式有：()()()00

220z if z if dz z z z f z z C

'''ππ==-=?

由高阶导数公式有：

()()

()()020220

z if z if dz z z z f z z C '

'ππ==-=? ()()()

??-=-∴C C dz z z z f dz z z z f 200' 24．如果()y x ,?和()y x ,ψ都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而x y s ψ?-=，

y x t ψ?+=，那末it s +是iy x +的解析函数。

—

证明：x y s ψ?-= xx yx x

s ψ?-=??∴

，xy yy y s

ψ?-=??

y x t ψ?-= yx xx x

ψ?+=??∴

，yy xy y t ψ?+=?? 又()y x ,?和()y x ,ψ都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即xy yx ??=，yx xy ψ

ψ=。

()y x ,?和()y x ,ψ满足拉普拉斯方程：0=+yy xx ??，0=+yy xx ψψ

y t x s xx yx ??=-=??∴

ψ?，x

y s xy yy ??-=-=??ψ? 故it s +是iy x +的解析函数。 25．设u 为区域D 内的调和函数及y

i x u f ??-??=

，问f 是不是D 内的解析函数为什么解：设it s f +=，则x

s ??=

，y u t ??-=

22x u x u x x s ??=??? ??????=??，x

y u

x u y y s ???=??? ??????=??2 y x u y u x x t ???-=???? ????-??=??2，22y u

y u y y t ??-=???

? ????-??=?? 》

因为u 为区域D 内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程

y t x s ??=??∴

，x

t y s ??-=?? ? f 是D 内的解析函数。 26．函数y x v +=是y x v +=的共轭调和函数吗为什么解：1=??x u

，1=??y u ，1=??x

，1=??y v y v x u ??=??∴，x v y u ??-≠?? 故函数y x v +=不是y x v +=的共轭调和函数。

27．设u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，那末u 也是v 的共轭调和函数。这句话对吗为

什么

解：这句话不对。

如果v 是u 的共轭调和函数，则()iv u z f +=是解析函数，满足柯西—黎曼方程：

y v x u ??=??，x v y u ??-=?? ? ()y u y u x v ?-?=??-=??，()x

u x u y v ?-?-=??=?? 即u -是v 的共轭调和函数，u 就不是v 的共轭调和函数。 28． ~ 29．证明：一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。证明：

30．如果()iv u z f +=是一解析函数，试证： 1) ()z f i 也是解析函数；证明：

2) u -是v 的共轭调和函数；证明： 3)

()()()()2

244z f v u y z f x z f x

x '=+=??+

??。证明：

31．证明；2

2y x u -=和2

2y x y

v +=

都是调和函数，但是iv u +不是解析函数。

证明 32．求具有下列形式的所有调和函数u ： 1) ()by ax f u +=，a 与b 为常数；解： 2) ??

? ??=x y f u 。[提示：1)l 令by ax t +=，因0=+yy xx u u ，从而有()0=t f "

；2)令x y t =。]

解：

33．由下列各已知调和函数求解析函数()iv u z f +=。

1) ()(

xy x y x u ++-=；

解： 2) 2

2y x y

v +=

，()02=f ；

解：

3) ()y x u 12-=，()i f -=2；解： 4) x

arctg v =，0>x 。解： 34．设y e v px

sin =，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数()iv u z f +=。

解：

35．如果()y x u ,是区域D 内的调和函数，C 为D 内以0z 为中心的任何一个正向圆周：r z z =-0，它

的内部全含于D 。试证：[提示：利用平均值公式()353..。] 1) ()

y x u ,在

()

00y x ,的值等于

()y x u ,在圆周C

上的平均值，即

()()?

++=

???π

000021d r y r x u y x u sin ,cos ,；

证明： 2) ()y x u ,在

()

00y x ,的值等于()y x u ,，在圆域00r z z ≤-上的平均值，即

()()??

++=

002

0001r dr rd r y r x u r y x u π

???πsin ,cos ,。

证明：

36．如果()iv u z f +=在区域D 内处处解析，C 为D 的正向圆周：R z =，它的内部全含于D 。设z 为

C 内一点，并令z R z 2=~，试证()()02

=-=-??C C d R

z f z d z f ζζζζζζ~。证明：

37．根

据柯西积分公式与习题33的结果，证明

()()(

)

()()(

)

??---=??????-+-=C C d z

R z f z z R i d f z R z z i z f ζζζζπζζζζπ2

2221121，其中C 为R z =。证明：

38．如果令?

ζi Re =，?i re z =，验证

()()()()

()222

Rr R id z z d z R z d +--=--=--κ??ζζ

ζζζcos 。

并由34题的结果，证明()()()()?

+---=

??κ?π20

222

221

d r Rr R f r R

z f i cos Re 。取其实部，得

()()()()()?

+---=

=π

?κ???π

??20

2222

221

d r

Rr R r r u r R

r r u y x u cos sin ,cos sin ,cos ,。这个积分称为泊松积分。通过这个积分，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示。证明：

39．设()z f 在简单闭曲线C 内及C 上解析，且不恒为常数，n 为正整数 1) 试用柯西积分公式证明：()[]()[]?-=C n

d z

f i z f ζζζπ21。证明：

2) 设M 为()ζf 在C 上的最大值，L 为C 的长，d 为z 到C 的最短距离，试用积分估值公式()1013..于1)中的等式，证明不等式：()n

d L M z f 12??

??≤π。证明：

3) 令+∞→n ，对2)中的不等式取极限，证明：()M z f ≤，这个结论表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。证明：!