中考数学真题汇编:锐角三角函数
一、选择题
1.的值等于()
A. B.
C.
1 D.
【答案】B
2.如图,过点,,,点是轴下方上的一点,连接,,
则的度数是()
A. B.
C.
D.
【答案】B
3.如图,一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放,为角与直尺交点,,则光盘的
直径是( )
A.3
B.
C.
D.
【答案】D
4.如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角,升旗台底部到教学楼底部的距离米,升旗台坡面CD的坡度
,坡长米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离米,则旗杆AB的高度约为
()
(参考数据:,,)
A. 12.6米
B. 13.1
米 C. 14.7
米 D. 16.3米
【答案】B
5.一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后
两位)(参考数据:)()
A. 4.64海里
B. 5.49海
里 C. 6.12海
里 D. 6.21海里
【答案】B
6.如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()
A. B.
C.
D.
【答案】B
7. 如图,已知在中,,,,则的值是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
8. 如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(A、D、B 在同一条直线上)()
A. B.
C.
D. h?cosα
【答案】B
二、填空题
9.如图.一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上,继续航
行1.5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在
北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航
行________小时即可到达 (结果保留根号)
【答案】
10.如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子长BC=16m,则tanC=________。
【答案】
11.如图,把三角形纸片折叠,使点、点都与点重合,折痕分别为,,得到
,若厘米,则的边的长为________厘米.
【答案】
12.如图,在菱形中,,分别在边上,将四边形沿翻折,
使的对应线段经过顶点,当时,的值为________.
【答案】
13.如图,将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系,顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上,∠OAB=60°,点A的坐标为(1,0),将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动(先绕点A按顺时针方向旋转60°,再绕点C按顺时针方向旋转90°,…)当点B第一次落在x轴上时,则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
【答案】+ π
14.如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为________米(结果保留根号).
【答案】
15.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连结MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为________。
16.如图,中,,,,将绕点顺时针旋转
得到,为线段上的动点,以点为圆心,长为半径作,当与
的边相切时,的半径为________.
【答案】或
17.在△ABC中,∠C=90°,若tanA= ,则sinB=________.
【答案】
18.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点O,则tan∠AOD=________.
【答案】2
19.如图,菱形ABOC的AB,AC分别与⊙O相切于点D、E,若点D是AB的中点,则∠DOE________.
【答案】60°
20.如图。在的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点. 的顶点都在格点上,则
的正弦值是________.
三、解答题
21.计算:+-4sin45°+.
【答案】原式=
22.随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高,中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图,,两地被大山阻隔,由地到地需要绕行地,若打通穿山隧道,
建成,两地的直达高铁,可以缩短从地到地的路程.已知:,,
公里,求隧道打通后与打通前相比,从地到地的路程将约缩短多少公里?(参考数据:
,)
【答案】解:如图,过点C作CD⊥AB, 垂足为D,
在Rt△ADC和Rt△BCD中,
∵∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=640.
∴ CD=320,AD= ,
∴ BD=CD=320,BC= ,
∴ AC+BC= ,
∴ AB=AD+BD= ,
∴ 1088-864=224(公里).
答:隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短224公里.
23.如图,甲、乙两座建筑物的水平距离为,从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为,
测得底部处的俯角为,求甲、乙建筑物的高度和(结果取整数).参考数据:
,.
【答案】解:如图,过点作,垂足为.
则.
由题意可知,,,,,.
可得四边形为矩形.
∴,.
在中,,
∴.
在中,,
∴.
∴.
∴.
答:甲建筑物的高度约为,乙建筑物的高度约为.
24.如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱的高为11米,灯杆与灯柱的夹角
,路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域长为18米,从、两处测得路灯的
仰角分别为和,且,.求灯杆的长度.
【答案】解:过点B作BF⊥CE于点F,过点作AG⊥BF于点G
∴AG=CF,AC=FG=11
∵∠BAC=120°,∠GAC=90°
∴∠BAG=120°-90°=30°
设BF=x
在Rt△BDF中,
在Rt△BEF中,
∵DE=DF+EF
∴
解之:x=12
∴BG=BF-GF=12-11=1
在Rt△ABG中,∠BAG=30°
∴AB=2BG=2
25.如图,点是的边上一点,与边相切于点,与边,分别相交于点
,,且.
(1)求证:;
(2)当,时,求的长.
【答案】(1)证明:连接OE,BE.
∵ DE=EF,
∴= ,
∴
∵
∴
∴
∴OE∥BC.
∵⊙O与边AC相切于点E,
∴ OE⊥AC.
∴BC⊥AC,
∴∠C=90°.
(2)解:在△ABC中,∠C=90°,BC=3,,
∴AB=5.
设⊙O的半径为r,则
在Rt △AOE中,,
∴.
∴.
26.日照间距系数反映了房屋日照情况,如图①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数,
其中为楼间水平距离,为南侧楼房高度,为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②,山坡朝
北,长为,坡度为,山坡顶部平地上有一高为的楼房,底部到
点的距离为.
(1)求山坡的水平宽度;
(2)欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房,已知该楼底层窗台处至地面处的高度为
,要使该楼的日照间距系数不低于,底部距处至少多远?
【答案】(1)解:∵EF的坡度i=1:0.75=4:3∴EH:FH=4:3
在Rt△EFH中,EF2=EH2+FH2
即16x2+9x2=25x2=152
解之:x=3
∴FH=9,EH=12
答:山坡的水平宽度的长为9m。
(2)解:延长BA、FH,两延长线交于点G,
∵EH=12,AB=22.5
∴AG=EH=12,AE=HG=4
∴L=CG=CF+FH+HG=CF+13
BG=AB+AG=22.5+12=34.5
∴(CF+13):(BG-PC)≥1.25
即(CF+13):(34.5-0.9)≥1.25解之:CF≥29
CF取最小整数
∴CF=29
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
23、锐角三角函数 要点一:锐角三角函数的基本概念 一、选择题 1.(2009·漳州中考)三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan α的值是( ) A . 3 5 B . 43 C .4 D .4 5 【解析】选C. tan α4 3 == 角的邻边角的对边αα. 2.(2008·威海中考)在△ABC 中,∠C =90°,tan A = 1 3 ,则sin B =( ) A B .23 C . 3 4 D . 【解析】选D. 3 1 tan == AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得 ,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+=sin 10 AC B AB = = 3.(2009·齐齐哈尔中考)如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为 3 2 ,2AC =,则sin B 的值是( ) A . 23 B .32 C .34 D .43 【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为 32.得AD=3. sin B =.3 2 sin ==AD AC D
4.(2009·湖州中考)如图,在Rt ABC △中,ACB ∠=Rt ∠,1BC =,2AB =,则下列结论正确的是( ) A .sin A = B .1 tan 2 A = C .cos B = D .tan B = 【解析】选D 在直角三角形ABC 中,1BC =,2AB =, 所以AC ;所以1 sin 2 A = ,cos 2A ,tan 3A = ;sin 2B =,1cos 2 B = ,tan B =; 5.(2008·温州中考)如图,在Rt ABC △中,CD 是斜边AB 上的中线,已知2CD =, 3AC =,则sin B 的值是( ) A . 23 B . 32 C . 34 D . 43 【解析】选C.由CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线,得AB=2CD=4.∴sin B 4 3 == AB AC 6.(2007·泰安中考)如图,在ABC △中,90ACB ∠=,CD AB ⊥于D ,若AC = AB =tan BCD ∠的值为( ) (A (B (C (D 答案:B A C B D
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
锐角三角函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中,两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说:“来吧,你也该工作了。可是我有点担心,你走完三千两百万次以后,恐怕会吃不消的。” “天哪!三千两百万次。”小钟吃惊不已,“要我做这么大的事?办不到,办不到!”另一支旧钟说:“别 听他胡说八道,不用害怕,你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情?”小钟将信将疑,“如果这样,我就试试吧。”小钟很轻松地每秒滴答摆一 下,不知不觉中,一年过去了,它摆了三千两百万次。 成功就是这样,把简单的事做到极致,就能成功。 例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则cosB的值是() A.B.C.D. 例2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,则AC的长为() A.1 B.C.3 D.
例3.cos 60°的值等于( ) A . B . C . D . 例4.如图,在半径为1的⊙O 中,∠AOB =45°,则sinC 的值为( ) A . B . C . D . 练习一 锐角三角函数 1.已知sinA= 2 1 (∠A 为锐角),则∠A=_________,cosA_______,tanA=__________. 2.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,1a =,2b =,则cosA=________,tanA=_________. 3.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AB=5,BC=3,则sinA=________, tanA=_________. 4.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,∠A=30o,4b =,则a =__________,c =__________. 5.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,若sinA= 5 3 ,则cosB=_________. 6.已知cosA= 2 3 ,且∠B=90o-∠A ,则sinB=__________. 7.若∠A 是锐角,且cosA=sinA ,则∠A 的度数是( ) A 、30o B 、45o C 、60o D 、不能确定 8.如图,电线杆AB 的中点C 处有一标志物,在地面D 点处测得标志物的仰角为45°,若点D 到电线杆底部点B 的距离为 a ,则电线杆AB 的长可表示为 A .a B .2a C .3 2a D .52 a D C B A
锐角三角函数 1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 2.如图1,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M ,且PM :OM=3:4,则cos α的值等于( ) A .34 B .43 C .45 D .35 图1 图2 图3 图4 图5 3.在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=23 ,则tanB 等于( ) A .35 B .3 C .25 D .2 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则sinA=______,cosA=______,?tanA=_______. 6.如图2,在△ABC 中,∠C=90°,BC :AC=1:2,则sinA=_______,cosA=______,tanB=______. 7.如图3,在Rt △ABC 中,∠C=90°,b=20,,则∠B 的度数为_______. 8.如图4,在△CDE 中,∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D 的三个三角函数值. 9.已知:α是锐角,tan α=724 ,则sin α=_____,cos α=_______. 10.在Rt △ABC 中,两边的长分别为3和4,求最小角的正弦值为 10.如图5,角α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,?另一边经过点P (2,,求角α的三个三角函数值. 12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC 于D ,∠CBD=α,AB=3,?BC=4,?求sin α,cos α,tan α的值. 解直角三角形 一、填空题 1. 已知cosA=2 3,且∠B=900-∠A ,则sinB=__________.
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
2018中考数学专题练习《锐角三角函数》 (时间:100分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.下列各数是有理数的是( ) A. B. 4π C. sin 45? D. 1 cos60? 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡,数据如图1所示,则下列关系或说法正确的是( ) A.斜坡AB 的坡度是10o B.斜坡AB 的坡度是tan10? C. 1.2tan10AC =?米 D. 1.2 cos10AB = ? 米 3.在ABC ?中,A ∠,B ∠都是锐角,且1 sin 2 A = ,cos 2B =,则ABC ?三个角 的大小关系是( ) A. C A B ∠>∠>∠ B. B C A ∠>∠>∠ C. A B C ∠>∠>∠ D. C B A ∠>∠>∠ 4.如图2,在R t A B C ?中,90A ∠=?,AD BC ⊥于点D ,:3:2BD CD =,则t a n B 的值是( ) A. 32 B. 2 3 C. D. 5.如图3,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的点,过点C 作⊙O 的切线,交AB 的延长 线于点E ,30A ∠=?,则s sin E 的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. D.
6.数学社团的同学们对某塔的高度进行了测量,如图4,他们在A 处仰望塔顶,测得仰角为30o,再往楼的方向前进60 m 至B 处,测得仰角为60o,若学生的身高忽略不计, 1.7≈,结果精确到1m ,则该楼的高度CD 为( ) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 7.如图5,点O 是摩天轮的圆心,长为110米的AB 是其垂直地面的直径,小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33o,测得圆心O 的仰角为21o,则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为(参考数据:tan330.65?≈,tan 210.38?≈)( ) 图 5 A.169米 B.204米 C.240米 D.407米 8.如图6,在ABC ?中,已知90ABC ∠=?,点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B , C 不重合),作BE AD ⊥于E ,CF AD ⊥交AD 的延长线于F ,则BE CF +的值( ) A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大,再变小 9.如图7,轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30o方向匀速航行,在B 处观测灯塔A 位于南偏东75o的方向上,轮船航行半小时到达C 处,在C 处观测灯塔A 位于北偏东60o的方向上,则C 处与灯塔A 的距离是( ) A. B.