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文科概率专项练习(几何概率、古典概型)

几何概型

文科概率专项练习(几何概率、古典概型)

1.已知地铁列车每10 min

是 ( A )

A.110

B.19

C.111

D.18

2.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为一边作正方形,则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( C )

A.116

B.18

C.14

D.12

3.《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统计后得

出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为910

,那么该台每小时约有____6____分钟的广告.

文科概率专项练习(几何概率、古典概型)

4.(2009·辽宁高考ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( B ) A.π4 B .1-π4 C.π8 D .1-π8

5.设-1≤a ≤1,-1≤b ≤1,则关于x 的方程x 2+ax +b 2=0有实根的概率是 ( B )

A.12

B.14

C.18

D.116

6.已知Ω={(x ,y )|x +y ≤6,x ≥0,y ≥0},A ={(x ,y )|x ≤4,y ≥0,x -2y ≥0},若向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率为 ( D )

A.13

B.23

C.19

D.29

8.(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ,则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是_____36

π___. 9.已知函数f (x )=x 2-2ax +b 2,a ,b ∈R.

(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b 从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程f (x )=0有两个不相等实根的概率;

(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,求方程f (x )=0没有实根的概率.

题组三 生活中的几何概型

11.在平面直角坐标系xOy 2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则所投的点落在E 中的概率是__________.

A.14

B.13

C.12

D.23

12.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时,求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率.

答案

1解析:设乘客到达站台立即乘上车为事件A ,试验的所有结果构成的区域长度为10 min ,而构成事件A 的区域长度为1 min ,故P (A )=110

.答案:A 2解析:正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间,所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间.线

段AB 的长度为12 cm ,则所求概率为9-612=14

.答案:C 3解析:60×(1-910

)=6分钟.答案:6 4解析:对应长方形的面积为2×1=2,而取到的点到O 的距离小于等于1时,其是以O 为

圆心,半径为1所作的半圆,对应的面积为12×π×12=12π,那么满足条件的概率为:1-12π2

=1-π4

.答案:B 5解析:由题知该方程有实根满足条件????? -1≤a ≤1,-1≤b ≤1,

a 2-4

b 2≥0,作平面

区域如右图:由图知阴 影面积为1,总的事件对应面积为正方

形的面积,故概率为14

.答案:B 6解析:作出两集合表示的平面区域如图所示.容易得出

Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界,A 表示的

区域为三角形OCD 及其边界.

容易求得D(4,2)恰为直线x=4,x-2y=0,x+y=6三线的交点.

则可得S△AOB=1

2×6×6=18,S△OCD=

1

2×4×2=4.

所以点P落在区域A的概率为4

18=2

9.答案:D

7解析:区域为△ABC内部(含边界),则概率为

P=S半圆

S△ABC

π

2

1

2×22×2

π

4.

答案:D

8解析:以A、B、C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC相交出三个扇形(如图所示),

当P落在阴影部分时符合要求.

∴P=3×(

1

π

3×1

2)

3

4×2

2

6.答案:

3

6

π

9解:(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合{0,1,2}中任一个元素,

∴a,b的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),

(3,1),(3,2).

其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即基本事件总数为12.

设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A,

当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的充要条件为a>b.

当a>b时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),

即A包含的基本事件数为6,∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率

P(A)=6

12=

1

2.

(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,则试验的全部结果构成区域Ω={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形区域,其面积SΩ=2×3=6.

设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为

M ={(a ,b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3,a <b },

即图中阴影部分的梯形,其面积

S M =6-12×2×2=4. 由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )=0没有实根的概率P (B )=S M S Ω

=46=23. 11.在平面直角坐标系xOy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则所投的点落在E 中的概率是__________.

11解析:如图:区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界),

区域E 表示单位圆及其内部,因此P =π×124×4=π16

. 答案:π16

12解:甲比乙早到4小时内乙需等待,甲比乙晚到2小时内甲需等待.

以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一

艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为-2≤x -y ≤4,在如

图所示的平面直角坐标系内,(x ,y )的所有可能结果是边长为24的

正方形,而事件A “有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示.由几何概型公式得:

P (A )=242-12×222-12×202242=67288

. 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288

. n a b c d =+++)

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