解析几何试题及答案

解析几何

1.（21）（本小题满分13分）

设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经

过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足

,求点的轨迹方程。

（21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量

的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵

活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学

素养.

解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直

线上，故可设

①

再设

解得②，将①式代入②式，消去，得

③，又点B在抛物线上，所以，

再将③式代入，得

故所求点P的轨迹方程为

2.（17）（本小题满分13分）

设直线

（I）证明与相交；

（II）证明与的交点在椭圆

（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.

证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交.

（II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而

此即表明交点

（方法二）交点P的坐标满足，

，整理后，得

所以交点P在椭圆

.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将表示为m的函数，并求的最大值。

（19）解：（Ⅰ）由已知得所以

所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为

（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，

点A、B的坐标分别为此时

当m=－1时，同理可得

当时，设切线l的方程为

由；设A、B两点的坐标分别为，则；

又由l与圆

所以

由于当时，因为

且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

．（本小题共14分）

已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.

（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.

（19）解：（Ⅰ）由已知得解得，又

所以椭圆G的方程为

（Ⅱ）设直线l的方程为

由得

设A、B的坐标分别为AB中点为E，

则；因为AB是等腰△PAB的底边，

所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。

此时方程①为解得所以

所以|AB|=.此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离

所以△PAB的面积S=

．（本小题满分13分）

已知直线l：y=x+m，m∈R。

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。

解法一：

（I）依题意，点P的坐标为（0，m）

因为，所以，

解得m=2，即点P的坐标为（0，2）

从而圆的半径

故所求圆的方程为

（II）因为直线的方程为所以直线的方程为

由,

（1）当时，直线与抛物线C相切

（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。

综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。

解法二：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为

依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m），

则解得所以所求圆的方程为

（II）同解法一。

.（本小题满分12分）

如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。

解：（I）由，（*）

因为直线与抛物线C相切，所以解得b=-1。

（II）由（I）可知，

解得x=2，代入故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即

所以圆A的方程为

. （本小题满分14分）

设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程.

（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及

此时点P的坐标.

19．（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知

化

简得L的方程为

（2）解：过M，F的直线方程为

，将其代入L的方程得

解得

因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故

，若P不在直线MF上，在中有

故只在T1点取得最大值2。

（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端

8.

点的点集记为.证明：；

21．解：（１），

直线AB的方程为，即，

，方程的判别式，

两根或，

，，又，

，得，

．

（２）由知点在抛物线L的下方，

①当时，作图可知，若，则，得；

若，显然有点；．

②当时，点在第二象限，

作图可知，若，则，且；

若，显然有点；

．

根据曲线的对称性可知，当时，，

综上所述，（*）；

由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，

同理点M在直线上，方程的两根或，

若，则不比、、小，

，又，

；又由（１）知，；

，综合（*）式，得证．

（３）联立，得交点，可知，

过点作抛物线L的切线，设切点为，则，

得，解得，

又，即，

，设，，

，又，；

，，．

．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP

（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；

（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。

21．（本小题满分14分）

解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

因此即①

另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

MQ为线段OP的垂直平分线，

又

因此M在轴上，此时，记M的坐标为

为分析的变化范围，设为上任意点

由（即）得，

故的轨迹方程为②

综合①和②得，点M轨迹E的方程为

（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2

两部分组成（见图3）：

；

当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E 1于。 再过H 作垂直于的直线，交 因此，（抛物线的性质）。

（该等号仅当重合（或H 与D 重 合）时取得）。 当时，则

综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H 的坐标为 （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。 设

故的方程得： 因判别式

所以与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点。 又由E 2和的方程可知，若与E 2有交点，

则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。 因此，直线的取值范围是 . （本小题满分14分）

平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；

（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎

个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。 20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分

类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（I ）设动点为M ，其坐标为， 当时，由条件可得

即，又的坐标满足

故依题意，曲线C 的方程为

当曲线C 的方程为是焦点在y 轴上的椭圆； 当时，曲线C 的方程为，C 是圆心在原点的圆；

当时，曲线C 的方程为，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当时，曲线C 的方程为C 是焦点在x 轴上的双曲线。 （II ）由（I ）知，当m=-1时，C 1的方程为 当时，C 2的两个焦点分别为 对于给定的，C 1上存在点使得的 充要条件是

由①得由②得 当或时，存在点N ，使S=|m|a 2

； 当或时，不存在满足条件的点N ， 当时， 由， 可得令， 则由，

①

②

从而，

于是由，可得

综上可得：

当时，在C1上，存在点N，使得

当时，在C1上，存在点N，使得

当时，在C1上，不存在满足条件的点N。

11.(本小题满分13分）

如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.

（i）证明：；

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。

解析：（I）由题意知，从而，又，解得。

故的方程分别为。

（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.

由得，

设，则是上述方程的两个实根，于是。

又点的坐标为，所以

故，即。

（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为,又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为.于是

由得，解得或，

则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标为

于是

因此

由题意知，解得或。

又由点的坐标可知，，所以

故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。

．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．

（I）求动点的轨迹的方程；

（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．

解析：（I）设动点的坐标为，由题意为

化简得当、

所以动点P的轨迹C的方程为

（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．

由，得

设则是上述方程的两个实根，于是

．

因为，所以的斜率为．设则同理可得：

故

当且仅当即时，取最小值16．

.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，

过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设

直线PA的斜率为k.

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.

答案：（1）由题意知M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),

直线PA平分线段MN时，即直线PA经过M、N的中点,又直线

（2）直线,由得，，

AC方程：即：

所以点P到直线AB的距离

（3）法一：由题意设，

A、C、B三点共线，

又因为点P、B在椭圆上，，两式相减得：

.

法二：设,

A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,

,两式相减得：,

,

法三：由得

，直线

代入得到，解得，

解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组，共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题；（3）是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.

. （本小题满分13分）

是双曲线：上一点，，分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为.

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值.

【解析】（1）点是双曲线：上，有

，由题意又有，可得，

则

（2）联立，得，设，

则，设，，即

又为双曲线上一点，即，有

化简得：

又，在双曲线上，所以，

由（1）式又有

得：，解出，或

.(本小题满分12分）

已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．

（1）求该抛物线的方程；

（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．

解析：（1）直线AB的方程是

所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，

抛物线方程为：

（2）、由p=4，化简得，从而

,从而A:(1,),B(4,)

设=，又，即8（4），即，解得

20．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，

椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1

交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．

（I）设，求与的比值；

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得

………………4分

当表示A，B的纵坐标，可知

………………6分

（II）t=0时的l不符合题意.时，BO ………………12分

17（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

(20）解：

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).

所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).

再由题意可知（+）?=0, 即（-x,-4-2y）?(x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y=x-2.

(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x

因此直线的方程为，即。

则O点到的距离.又，所以

当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.

17.（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．

（I）求圆C的方程；

（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．

(20）解：

（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为

（

故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.

则圆C的半径为所以圆C的方程为

（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：

消去y，得到方程

由已知可得，判别式

因此，从而①

由于OA⊥OB，可得又所以

②；由①，②得，满足故

.（本小题满分14分）

已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明和均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

【解析】22．（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此①

又因为所以②；由①、②得

此时

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由题意知m，将其代入，得，

其中即…………（*）

又

所以

因为点O到直线的距离为所以

，又

整理得且符合（*）式，

此时

综上所述，结论成立。

（II）解法一：

（1）当直线的斜率存在时，由（I）知

因此

（2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当时，等号成立.

综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为

解法二：

因为

所以

即当且仅当时等号成立。

因此 |OM|·|PQ|的最大值为

（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得

证明：假设存在，

由（I）得

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，

所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.

19.（22）（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时

的外接圆方程；若不能，请说明理由.

（I）解：设直线，

由题意，

由方程组得，由题意，所以

设，

由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点，

因此此时所以OE所在直线方程为

又由题设知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1，所以

当且仅当m=k=1时上式等号成立，此时由得

因此当时，取最小值2。

（II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程，并由

解得，又，由距离公式及

得

由因此，直线的方程为所以，直线

（ii）由（i）得，若B，G关于x轴对称，则

代入即，解得（舍去）

或

所以k=1，此时关于x轴对称。又由（I）得所以

A（0，1）。

由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），

因此故的外接圆的半径为

，

所以的外接圆方程为

．（本小题满分12分）

如图，设Ｐ是圆上的动点，点Ｄ是Ｐ在轴上投影，

Ｍ为PD上一点，且．

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．

【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．

【解】（1）设点M的坐标是，P的坐标是，

因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，

Ｍ为PD上一点，且，所以，且，

∵P在圆上，∴，整理得，

即C的方程是．

（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，设此直线与C的交点为，，

将直线方程代入C的方程得：，化简得，∴，，所以线段AB的长度是：

，即所截线段的长度是．

17.（本小题满分12分）

设椭圆: 过点（0，4），离心率为．

（1）求的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．

【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；

然后利用中点坐标公式求解．

【解】（1）将点（0，4）代入的方程得, ∴b=4,

又得，即，∴，∴的方程为

（2）过点且斜率为的直线方程为，

设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，

AB的中点坐标，，

即所截线段的中点坐标为．注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．

.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作（1）求点到线段的距离；

（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；

（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.

对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于

一种情形，则按照序号较小的解答计分.

①.

②.

③.

23、解：⑴设是线段上一点，则

，当时，。

⑵设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，

则，点集由如下曲线围成

，

其面积为。

⑶①选择，

②选择。

③选择。

.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知椭圆（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为

（1）若与重合，求曲线的焦点坐标；

（2）若，求的最大值与最小值；

（3）若的最小值为，求实数的取值范围.

22、解：⑴，椭圆方程为，

∴左、右焦点坐标为。

⑵，椭圆方程为，设，则

∴时；时。

⑶设动点，则

∵当时，取最小值，且，∴且

解得。

．（本小题共l2分）

椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（Ⅰ）当时，求直线l的方程；

（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．

本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．

解：（Ⅰ）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为

，

由已知得，，所以，则椭圆方程为．

直线l垂直于x轴时与题意不符．

设直线l的方程为，联立得，

设，，则，，，

．

由已知得，解得，

所以直线l的方程为或．

（Ⅱ）直线l垂直于x轴时与题意不符．

设直线l的方程为（且），所以P点的坐标为．

设，，由（Ⅰ）知，，

直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，

方法一：

联立方程设，解得，

不妨设，则

，

因此Q点的坐标为，又，∴．

故为定值．

方法二：

联立方程消去y得，

因为，所以与异号．

又，

∴与异号，与同号，∴，解得．

因此Q点的坐标为，又，∴．

故为定值．

．（本小题共l2分）

过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．

本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．

解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．

椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得

，解得，代入直线的方程得，所以，

故．

（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．

设直线的方程为．代入椭圆方程得．

解得，代入直线的方程得，

所以D点的坐标为．

又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得

因此，又．

所以．

故为定值．

．（本小题满分分）已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且．求的值．

【解】（Ⅰ）由得，再由得．

因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，

所以，则，

解方程组得．所以椭圆的方程．

（Ⅱ）解法1．由（Ⅰ）得.设点的坐标为，

由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。

于是两点的坐标满足方程组

由方程组消去并整理得，

因为是方程的一个根，则由韦达定理有：，

所以，从而。

设线段的中点为，则的坐标为．

下面分情况讨论：

(1) 当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．

于是，，由得．

(2) 当时，线段的垂直平分线方程为

．

令得，由，，

．整理得．．所以

．

综上，或．

解法2．若轴，则,;

若直线的中垂线斜率存在,设，

则直线中垂线方程：．

令，则，

因为在椭圆上，则，

因此．

．

整理得，解得，（舍）．

，所以．

于是．综上，或．

．（本小题满分分）

已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为．

(ⅰ) 若,求直线的倾斜角;

(ⅱ)点在线段的垂直平分线上，且．求的值．

【解】（Ⅰ）由得，再由得．

因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，

所以，则，

解方程组得．所以椭圆的方程．

（Ⅱ）(ⅰ)由（Ⅰ）得.设点的坐标为，

由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。

于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得

，因为是方程的一个根，则由韦达定理有

，所以，从而．

，由，得，

整理得，，所以．

所以直线的倾斜角为或．

(ⅱ)线段的中点为，则的坐标为．

下面分情况讨论：

(1) 当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．

于是，，由得．

(2) 当时，线段的垂直平分线方程为

．令得

由，，

．整理得．．所以

．

综上，或．

．（本题满分15分）

已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M

（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，

交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的

方程

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

（I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心M（0，4）到准线的距离是

（II）解：设，则题意得，

设过点P的圆C2的切线方程为，即①

则即，

设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以

，将①代入

由于是此方程的根，故，所以

由，得，

解得即点P的坐标为，所以直线的方程为

28.（22）（本小题满分15分）如图，设P是抛物线：上的动点。过点做圆的两条切线，交

直线：于两点。

（Ⅰ）求的圆心到抛物线准线的距离。

（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）解：因为抛物线C1的准线方程为：

所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：

（Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。

再设A，B，D的横坐标分别为

过点的抛物线C1的切线方程为：

（1）

当时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：

可得

当时，过点P（—1，1）与圆C2的切线PA为：

可得

，所以

设切线PA，PB的斜率为，则

（2）

（3）

将分别代入（1），（2），（3）得

从而

又，即

同理，

所以是方程的两个不相等的根，从而

因为，所以

从而，进而得

综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为

29.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，(Ⅱ)小问8分.）

如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为.

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.

20．（本题12分）

解：（I）由

解得，故椭圆的

标准方程为

（II）设，则由得

因为点M，N在椭圆上，所以，

故

设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知

因此所以

所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为

.如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一

条准线的方程是

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，

若不存在，说明理由。

题（21）图解：（I）由

解得，故椭圆的标准方程为

（II）设，则由

得

因为点M，N在椭圆上，所以

，

故

设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知

因此所以

所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。