周末练习5

高三数学综合检测试题

2012-12-26

一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ C ）

A ．090

B ．060

C ．0120

D ．0150

2. 不等式

2

111

1

x x ≥

--的解集为 （ D ）

（A ）(1,)+∞ （B ） [0,)+∞ （C ）[0,1)(1,)?+∞ （D ）(1,0](1,)-?+∞

3. 定义在R 上的函数()f x 满足()2log (4),0(1)(2),0x x f x f x f x x -≤?=?--->?

，则()3f 的值（ B ）

A.-1

B. -2

C.1

D. 2

4. 要得到sin 2cos 2y x x =+的图象，只需将2y x =

的图象

（ B ）

A ．向左平移4

π

个单位 B ．向左平移8

π

个单位

C ．向右平移

4

π

个单位

D ．向右平移

8

π

个单位

5. 若对任意的x R ∈，函数()f x 满足(2012)(2011),(2012)

2f x f x f

+=-+=-且，则

(1)f -=

（ C ） A ．1

B ．-1

C ．2012

D ．-2012

6. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于 （ A ）

A ．52

B ．54

C ．56

D ．58

7. 已知4sin 5

θ=

，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ=（ A ）

A ．2425

-

B ．1225

- C ．45

-

D ．

2425

8. 设函数x 2

31y x y 2-??

== ?

??

与的图像的交点为()00x ,y ，则x 0所在的区间是 ( B ) A.()0,1 B.()1,2

C.()2,3

D.()3,4

9．设()f x 是一个三次函数，'()f x 为其导函数，如图所示是函数'()y xf x =的图像的一部分，则

()f x 的极大值与极小值分别为

（ C ）

A ．(1)(1)f f -与

B ．(1)(1)f f -与

C ．(2)(2)f f -与

D ．(2)(2)f f -与

10. 已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足()()x f x f =-4，且在区间[]()0,2f x x =上.若关于x

的方程()m f x log x =有三个不同的根，则m 的范围为 ( D ) A.（2，4）

B.(2,

C.

D.

11. 满足线性约束条件23,23,

0,0,

x y x y x y +≤??

+≤??≥??≥?的目标函数z x y =+的最大值是（ D ）

（A ）1. （B ）

32

. （C ）2. （D ）3.

12. 定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足：①(2)()f x cf x =（c 为正常数）；②当24x ≤≤时，

2

()1(3).f x x =--若函数()f x 的图像上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c 等

于（ C ）

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．4或2

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．设a b ∈R ，，117i i 12i

a b -+=

-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 .

14. 已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A π

ω?ω?=+∈>><

的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是 f(x)=2sin(πx+π/6)

15.在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是______)2

,3

[π

π

16. 双曲线

222

2

1(,0)x y a b a

b

-

=>和直线2y x =有交点，则它的离心率的取值范围是____

)+∞

三、解答题（本大题共74分，,解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17.(12 分) ．如图，在四边形

A B C D 中，090DAB ∠=，0

135ADC ∠=，5A B =

，

CD =，2AD =，求四边形A B C D 绕A D 旋转一周所成几何体的表面积及体积

18．（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，

PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°． (1)求证：PC ⊥BC ；

(2)求点A 到平面PBC 的距离．

18．(1)证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，∴ PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ． 又PD ∩DC ＝D ，

PD ，DC ?平面PCD ，

∴ BC ⊥平面PCD ．

∵ PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ．

(2)解：(方法一)分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连DE ，DF ，

则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D ，E 到平面PBC

的距

(第18题)

离相等．

又点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离的2倍， 由(1)知，BC ⊥平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD ．

∵ PD ＝DC ，PF ＝FC ，∴ DF ⊥PC ． 又 ∴

平面PBC ∩平面PCD ＝PC ， ∴ DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝

2

2，故点A 到平面PBC 的距离等于2．

(方法二)：连接AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． ∵ AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴ ∠ABC ＝90°． 由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD ，及PD ＝1，得三棱锥P -ABC 的体

积

V ＝3

1S △ABC ·PD ＝3

1

．

∵ PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，∴ PD ⊥DC ． 又 ∴ PD ＝DC ＝1，∴ PC ＝2

2DC

PD +＝2．

由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝

2

2．

∵ V A - PBC ＝V P - ABC ，∴ 3

1

S △PBC ·h ＝V ＝3

1

，得h ＝2．

故点A 到平面PBC 的距离等于2．

19.（12分）设1()(0)x x

f x ae b a ae

=+

+>。

（I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；

（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32

y x =

；求,a b 的值。

解：（I ）设(1)x

t e t =≥；则22

2

2

111a t y at b y a at

at

at

-'=+

+?=-

=

，

(第18题)

①当1a ≥时，0y '>?1y at b at

=+

+在1t ≥上是增函数，

得：当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1a b a ++。

②当01a <<时，12y at b b at

=++≥+，

当且仅当11(,ln )x at t e x a a

====-时，()f x 的最小值为2b +。

（II ）11()()x x

x

x

f x ae b f x ae ae

ae

'=+

+?=-

，

由题意得：22222

12(2)333131(2)222f ae b a ae e

f ae b ae ??

=++==??????????

?'=???-==?????

。

20.(12分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率

e =

223

。

（I ）求椭圆的方程；

（II ）直线l （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为-

12

，求直线l 倾斜角的取值范围。

解：（I ）设椭圆方程为

y a

x b

c c a

22

22

122223

+

===

，由已知，又

解得 a =3，所以b =1，故所求方程为

y

x

2

2

9

1+= …………………………4分

（II ）设直线l 的方程为y kx b k =+()≠0代入椭圆方程整理得

()k x k b x

b 222

9290+++-= ………………………… 5分

由题意得?=-+->+=-+=-???

?

?()()()24990291222122

kb k b x x kb

k …………………………7分

解得 k k ><-33

或 又直线l 与坐标轴不平行 …………………………10分

故直线l 倾斜角的取值范围是 (

)(

)

π

π

π

π32

2

23

，

，

…………………………12分

21.(12分) 已知数列{}n

a

中，*

112,220,(),n n a a a n n N +=---=∈

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1

2

3

21111

n n n n n

b a a a a +++=

++

++

，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式

2

126

n t m t b

-+

>恒成立，求实数t 的取值范围.

解：（1）由题意12.(2)n n a a n n --=≥

累差叠加得，(1)(2)n a n n n =+≥………………………………3分 又12a =，所以*(1),()n a n n n N =+∈……………………………4分 （2）111(1)(2)(2)(3)

(2)(21)

n b n n n n n n =

+++++++

2

111

21

(1)(21)

231

n

n n n n n n n =

-

=

=

++++++…………………………5分

1123

n b n n =

+

+，n b 的最大值为116

b =

……………………………7分

所以21126

6

t m t -+

>

恒成立，[1,1]m ∈-

构造2()2g m tm t =-+，即()0g m >恒成立[1,1]m ∈-………………………………………………9分 当0t =，不成立； 当0t ≠，是一次函数，(1)0,(1)0

g g ->??

>?………………………11分

解得(,2)(2,)t ∈-∞-+∞ …………………………………12分

22．(14分)已知向量m 1=（0，x ），n 1=（1，1），m 2=（x ，0），n 2=（y 2，1）（其中x ，y

是实数）， 又设向量m =m 1+2n 2，n =m 2－2n 1，且m //n ，点P （x ，y ）的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3

24时，求直线l 的方

程.

解：（I ）由已知，

m 2

2

(0,),x x =+=+

n

(,0)2),2).

x x =-=-…………………………………………4分

//,

m

n 2

()(22)0x x ∴-= (5)

分

即所求曲线的方程是：

.12

2

2

=+y

x

(6)

分

（Ⅱ）由.04)21(:.1,122

22

2=++??

???+==+kx x k y kx y y x 得消去

解得x 1=0, x 2=

212

,(214x x k

k +-分别为

M ，N 的横坐标）.………………………9分

由,23

4|214|

1||1||2

2212=

++=-+=k

k k x x k MN

.1:±=k 解得

……………………………………………………………………12分

所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0.………………………………………14分