07年~11年全国高考理科数学试题及答案(全国卷Ⅱ)
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷
理科数学（必修 + 选修Ⅱ）
注意事项：
1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,共4页,总分150分,考试时间120分钟.
2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上.
3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚
5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效，在草稿纸、本试题卷上答题无效.
6．考试结束、将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P （A +B ）=P （A ）+P （B ）
24R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么
其中R 表示球的半径
P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 33
4R V π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
),,2,1,0()1()(n k P P C k P k n k
k n n =-=-
一、选择题 （1）=
210sin
（A ）
2
3 （B ）2
3-
（C ）
2
1 （D ）2
1-
（2）函数|sin |x y =的一个单调增区间是
（A ）)4
,4(π
π-
（B ）)4
3,4(
π
π
（C ）)2
3,
(ππ
（D ）)2,2
3(
ππ
（3）设复数z 满足==+z i z
i 则,21 （A ）－2+i （B ）－2－i （C ）2－i
（D ）2+i （4）下列四个数中最大的是
（A ）2)2(ln
（B ）)2ln(ln
（C ）2ln
（D ）2ln
（5）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=+==λλ则,3
1
,2
（A ）
3
2 （B ）
3
1 （C ）31-
（D ）3
2-
（6）不等式04
12
>--x x 的解集是 （A ）（－2，1） （B ）（2，+∞） （C ）),2()1,2(+∞- （D ）),1()2,(+∞--∞
（7）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面ACC 1A 所成的角的
正弦值等于
（A ）
4
6 （B ）4
10
（C ）
2
2 （D ）
2
3 （8）已知双曲线x x y ln 34
2-=的一条切的斜率为21，则切点的横坐标为
（A ）3 （B ）2 （C ）1
（D ）2
1
（9）把函数x e y =的图像按向量a =（2,3）平移,得到)(x f y =的图像,则=)(x f
（A ）23+-x e
（B ）23
-+x e
（C ）32
+-x e
（D ）32
-+x e
（10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要
求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （A ）40种 （B ）60种 （C ）100种 （D ）120种
（11）设F 1、F 2分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使
||3||902121AF AF AF F ==∠且 ，则双曲线的离心率为
（A ）2
5
（B ）2
10
（C ）2
15
（D ）5
（12）设F 为抛物线x y 42
=的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若
0=++FC FB FA ，则=++||||||FC FB FA
（A ）9
（B ）6
（C ）4
（D ）3
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. （13）8
2
)1)(21(x
x x -
+的展开式中常数项为 ① .（用数字作答） （14）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布).0)(,1(2>σσN 若ξ在(0,1)内取值的
概率为0.4，则ξ在（0,2）内取值的概率为 ② .
（15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为
1cm ，那么该棱柱的表面积为 ③ cm 2. （16）已知数列的通项25+-=n a n ，其前n 项和为S n ，则2
lim
n S n
x ∞→= ④ .
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）
在△ABC 中，已知内角,32,3
==
BC A 边π
设内角B =x ，周长为y .
（Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式和定义域；
（Ⅱ）求y 的最大值.
（18）（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件.假设事件A ：“取出的2
件产品中至多有1件是二等品”的概率P （A ）=0.96.
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ;
（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列.
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD , E 、F 分别为
AB 、SC 的中点.
（Ⅰ）证明EF//平面SAD .
（Ⅱ）设SD =2DC . 求二面角A —EF —D 的大小.
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切.
（Ⅰ）求圆O 的方程；
（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
设数列}{n a 的首项.,4,3,2,2
3),1,0(1
1 =-=∈-n a a a n n （Ⅰ）求}{n a 的通项公式;
（Ⅱ）设,,231+<-=n n n n n b b a a b 证明其中n 为正整数. （22）（本小题满分12分）
已知函数x x x f -=3)(.
（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点M （)(,t f t ）处的切线方程；
（Ⅱ）设a >0. 如果过点（a , b ）时作曲线y =f （x ）的三条切线，证明： ).(a f b a <<-
2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同.可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3．解答右段所注分数,表示考生正确做到这一步应得到累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题
（1）D （2）C （3）C （4）D （5）A （6）C （7）A （8）A （9）C （10）B （11）B （12）B 二、填空题
（13）－42 （14）0.8 （15）2+42 （16）2
5 三、解答题 （17）解：
（Ⅰ）△ABC 的内角和A+B+C =π,由.3
200,0,3
ππ
<
<>>=B C B A 得 应用正弦定理,知
,sin 4sin 3sin
3
2sin sin x x B A
BC AC ===
π
).3
2sin(4sin sin x C A BC AB -==
π
因为 ,AC BC AB y ++= 所以 ).3
20(32)32sin(
4sin 4π
π<<+-+=x x x y （Ⅱ）因为 32)s i n 2
1
c o s 23(s i n 4+++=x x x
y =),6
56
6
(
32)6
sin(34π
π
π
π
<
+
<++
x x 所以,当2
6
π
π
=
+x ,即y x ,3
时π
=
取得最大值36.
（18）解
（Ⅰ）记A 0表示事件“取出2件产品中无二等品”,
A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”
则A 0,A 1互斥,A =A 0+A 1,故
P （A ）=P （A 0+A 1）
=P （A 0）+P （A 1）
=)1()1(1
22p p C p -+-
21p -=
于是 0.9621p -=
解得 2.02.021-==p P （舍去） （Ⅱ）ξ的可能取值为0,1,2.
若该批产品共100件,由（Ⅰ）知其二等品有100×0.2=20件,故
.
495
316)0(21002
80===C C P ξ
.495160)1(2
100
130180===C C C P ξ
.
495
19)2(21002
20===C C P ξ
所以ξ的分布列为
（19（Ⅰ）作FG//DC 交SD 于点G ,则G 为SD 的中点.
连结AG FG //
//,2
1
CD CD 又AB , 故FG //AE,AEFG 为平行四边形.
EF//AG ,又AG ?平面SAD,EF ?平面SAD . 所以EF //平面SAD .
（Ⅱ）不妨设DC =2,则SD =4,DG =2,△ADG 为等腰直角三角形. 取AG 中点H ,连结DH ,则DH ⊥AG .
又AB ⊥平面SAD ,所以AB ⊥DH ,而AB AG =A .
所以DH ⊥面AEF .
取EF 中点M ，连结MH ，则HM ⊥EF . 连结DM ，则DM ⊥EF .
故∠DMH 为二面角A —EF —D 的平面角.
21
2
tan ===
∠HM DH DMH
所以二面有A —EF —D 的大小为arctan 2 解法二：
（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系D —xyz
设A (a ,0,0),S(0,0,b ),则
)2
,2,0(),0,2,(),0,,0(),0,,(b
a F a a E a C a a B ,
)2
,0,(b a -=,
取SD 的中点)2,0,0(b
G ,则
)2
,0,(b
a AG -=,
,,,//,SAD EF SAD AG AG EF 平面平面??=
所以EF //平面SAD .
（Ⅱ）不妨设A (1,0,0),则 B (1,1,0),C (0,1,0),S (0,0,2),E(1,
21,0),F (0, 2
1,1). EF 中点M (
21,21,21),.,0,),1,0,1(),21
,21,21(EF MD EF MD EF MD ⊥=-=---= 又EF EA EF EA EA ⊥=?-=,0),0,2
1
,0(,
所以向量和的夹角等于二面角A —EF —D 的平面角，
3
3|
|||,cos =?>=
所以二面角A —EF —D 的大小为arccos 3 3. （20）解： （Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离， 即 23 14=+= r 得圆O 的方程为422=+y x . （Ⅱ）不妨设4.),0,(),0,(22121= 222222)2()2(y x y x y x +=+-?++ 即 .22 2 =-y x ). 1(24) ,2(),2(222-=+-=--?---=?y y x y x y x 内于点P 在圆O 内做?????=-<+2 4 222y x y x 由此得：y 2<1 所以 ?的取值范围为).0,2[- （21）解： （Ⅰ）由 ,4,3,22 31 =-= -n a a n n ，， 整理得 ).1(2 1 11--- =-n n a a 又 }1{011n a a -≠-，所以是首项为11a -，公比为2 1 - 的等比数列，得 11)2 1)(1(1----=n n a a （Ⅱ）方法一： 由（Ⅰ）可知.02 3 0>< 2 1n n b b -+ 2 2 22 121)1(4 9)23()2323()23( ) 23()23(-=---?--=---=++n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a 又由（Ⅰ）知0102 21>-≠>+n n n n b b a a ，故且， 因此 1+ 由（Ⅰ）可知 .12 3 0≠< 31n n a a -= + 所以 .2 )3(23111n n n n n a a a a b -= -=+++ 由2 )2 3( )23(1n n n n a a a a -<-≠可得 即n n n n a a a a 2 2 )2 3()23(-<- 两边开平方得 .2 323n n n n a a a a -< - 即 n b b n n ，1+<为正整数. （22）解： （Ⅰ）求函数)(x f 的导数：13)(2-='x x f 曲线))(,()(t f t M x f y 在点=处的切线方程为： ))(()(t x t f t f y -'== 即 .2)13(32t x t y --= （Ⅱ）如果有一条切线过点（a ，b ），则存在t ，使 322)13(t a t b --= 于是，若过点（a ，b ）可作曲线)(x f y =的三条切线，则方程 03223=++-b a at t 有三个相异的实数根， 记 ,32)(2 3 b a at t t g ++-= 则 at t t g 66)(2-=' )(6a t t -= 当t 变化时，)()(t g t g '，变化情况如下表： 由)(t g 的单调性，当极大值0<+b a 或极小值0)(>-a f b 时，方程0)(=t g 最多有 一个实数根； 当0=+b a 时，解方程2 300)(a t t t g ===，得，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根； 当0)(=-a f b 时，解方程a t a t t g =-==，得2 0)(，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根 综上，如果过),(b a 可作曲线)(x f y =三条曲线，即0)(=t g 有三个相异的实数根，则 ?? ?<->+0 )(0 a f b b a 即 ).(a f b a <<- 2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学） 理科数学(必修+选修Ⅱ) 第Ⅰ卷 一、选择题 1．设集合{|32}M m m =∈-< B ．{}101-，， C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3 ()a bi +是实数，则（ ） A ．2 2 3b a = B ．22 3a b = C ．22 9b a = D ．22 9a b = 3．函数1 ()f x x x = -的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 4．若1 3 (1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a
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