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最新高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第九篇-解析几何-第5讲-椭-圆

第5讲椭圆

【2013年高考会这样考】

1.考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题.

2.考查椭圆的方程及其几何性质.

3.考查直线与椭圆的位置关系.

【复习指导】

1.熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程.

2.掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等.体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题.

最新高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第九篇-解析几何-第5讲-椭-圆

基础梳理

1.椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.

集合P ={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:

(1)若a>c,则集合P为椭圆;

(2)若a=c,则集合P为线段;

(3)若a<c,则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2+

y2

b2=1

(a>b>0)

y2

a2+

x2

b2=1

(a>b>0)

图形续表

范围-a≤x≤a

-b≤y≤b

-b≤x≤b

-a≤y≤a

对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点

最新高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第九篇-解析几何-第5讲-椭-圆

顶点

A1(-a,0),A2(a,0)

B1(0,-b),B2(0,b)

A1(0,-a),A2(0,a)

B1(-b,0),B2(b,0)

轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|=2c

离心率e=

c

a∈(0,1)

a,b,c

的关系

c2=a2-b2

一条规律

椭圆焦点位置与x2,y2系数间的关系:

给出椭圆方程x2

m

+y2

n

=1时,椭圆的焦点在x轴上?m>n>0;椭圆的焦点在y轴上?0<m<n.

两种方法

(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2、b2的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程.

(2)待定系数法:根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a、b、c的方程组,解出a2、b2,从而写出椭圆的标准方程.

三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最小距离为a-c.

(2)求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程,再结合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1).

(3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴.

双基自测

1.(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,

则椭圆的方程为().

A.x2

9+

y2

16=1 B.

x2

25+

y2

16=1

C.x2

25+

y2

16=1或

x2

16+

y2

25=1 D.以上都不对

解析∵2a+2b=18,∴a+b=9,又∵2c=6,∴c=3,则c2=a2-b2=9,故a-b=1,从而可

得a=5,b=4,∴椭圆的方程为x2

25+y2

16

=1或x2

16

+y2

25

=1.

答案 C

2.(2012·合肥月考)设P是椭圆x2

25+

y2

16=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|

等于().

A.4 B.5 C.8 D.10

解析依椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2×5=10. 答案 D

3.(2012·兰州调研)“-3<m<5”是“方程

x2

5-m

y2

m+3

=1表示椭圆”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析要使方程

x2

5-m

+y2

m+3

=1表示椭圆,应满足

??

?

??5-m>0,

m+3>0,

5-m≠m+3,

解得-3<m<5且

m≠1,因此“-3<m<5”是“方程

x2

5-m

+y2

m+3

=1表示椭圆”的必要不充分条件.

答案 B

4.(2012·淮南五校联考)椭圆x2

9+

y2

4+k

=1的离心率为

4

5,则k的值为().

A.-21 B.21

C.-19

25或21 D.

19

25或21

解析若a2=9,b2=4+k,则c=5-k,

由c a =45即

5-k 3=45,得k =-19

25;

若a 2=4+k ,b 2=9,则c = k -5,

由c a =4

5,即k -5

4+k

=4

5,解得k =21. 答案 C

5.(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为2

2.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________.

解析 根据椭圆焦点在x 轴上,可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).∵e =22,∴c a =2

2,根据△ABF 2的周长为16得4a =16,因此a =4,b =22,所以椭圆方程为x 216+y 2

8=1. 答案 x 216+y 2

8=1

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考向一 椭圆定义的应用

【例1】?(2011·青岛模拟)已知F 1、F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2

的面积为9,则b =________. [审题视点] 关键抓住点P 为椭圆C 上的一点,从而有|PF 1|+|PF 2|=2a ,再利用PF 1→⊥PF 2→,进而得解.

解析 由题意知|PF 1|+|PF 2|=2a ,PF 1→⊥PF 2→, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2, ∴(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|=4c 2, ∴2|PF 1||PF 2|=4a 2-4c 2=4b 2.

∴|PF1||PF2|=2b2,

∴S△PF1F2=1

2|PF1||PF2|

=1

2×2b

2=b2=9.

∴b=3.

答案 3

椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|;通过整体代入可求其面积等.

【训练1】已知△ABC的顶点B,C在椭圆x2

3+y

2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆

的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是().A.2 3 B.6 C.4 3 D.12

解析由椭圆的定义知:|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,

∴周长为4a=43(F是椭圆的另外一个焦点).

答案 C

考向二求椭圆的标准方程

【例2】?(1)求与椭圆x2

4+

y2

3=1有相同的离心率且经过点(2,-3)的椭圆方程.

(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5、3,过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程.

[审题视点] 用待定系数法求椭圆方程,但应注意椭圆的焦点位置是否确定.

解(1)由题意,设所求椭圆的方程为x2

4+

y2

3=t(t>0),

∵椭圆过点(2,-3),∴t=22

4+

(-3)2

3=2,

故所求椭圆标准方程为x2

8+

y2

6=1.

(2)设所求的椭圆方程为

x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)或y 2a 2+x 2

b 2=1(a >b >0), 由已知条件得???

2a =5+3,

(2c )2=52-32

, 解得a =4,c =2,b 2=12.

故所求方程为x 216+y 212=1或y 216+x 2

12=1.

运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a 、b 的方程组,先定型、再定

量,若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n ),由题目所给条件求出m 、n 即可.

【训练2】 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程.

(2)已知椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0),若椭圆短轴的两个三等分点M ,N 与F 构成正三角形,求椭圆的方程. 解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上, 设方程为x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0), ∵椭圆过点A (3,0),∴9

a 2=1,a =3, ∵2a =3·2

b ,∴b =1,∴方程为x 29+y 2

=1. 若椭圆的焦点在y 轴上,

设椭圆方程为y 2a 2+x 2

b 2=1(a >b >0), ∴椭圆过点A (3,0),∴02a 2+9

b 2=1,∴b =3, 又2a =3·2b ,∴a =9,∴方程为y 281+x 2

9=1. 综上所述,椭圆方程为x 29+y 2=1或y 281+x 2

9=1.

(2)由△FMN 为正三角形,则c =|OF |=32|MN |=32×2

3b =1.∴b = 3.a 2=b 2+c 2=4.故椭圆方程为x 24+y 2

3=1.

考向三 椭圆几何性质的应用

【例3】?(2011·北京)已知椭圆G :x 24+y 2

=1.过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A ,B 两点.

(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;

(2)将|AB |表示为m 的函数,并求|AB |的最大值.

[审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c ,从而求出离心率.(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程,由弦长公式列出|AB |长的表达式从而求出|AB |的最大值. 解 (1)由已知得,a =2,b =1, 所以c =a 2-b 2= 3.

所以椭圆G 的焦点坐标为(-3,0),(3,0), 离心率为e =c a =32. (2)由题意知,|m |≥1.

当m =1时,切线l 的方程为x =1,点A ,B 的坐标分别为? ????1,32,? ????

1,-32,此时|AB |= 3. 当m =-1时,同理可得|AB |= 3.

当|m |>1时,设切线l 的方程为y =k (x -m ). 由????

?

y =k (x -m ),x 24

+y 2

=1.得(1+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-4=0.

设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则 x 1+x 2=8k 2m 1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2-41+4k 2.

又由l 与圆x 2+y 2=1相切,得|km |

k 2

+1

=1, 即m 2k 2=k 2+1.

所以|AB |=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2= (1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=

(1+k 2

)??????64k 4m 2(1+4k 2)

2

-4(4k 2m 2-4)1+4k 2

=43|m| m2

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+3

.

由于当m=±1时,|AB|=3,

所以|AB|=

43|m|

m2+3

,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).

因为|AB|=

43|m|

m2+3

43

|m|+

3

|m|

≤2,

且当m=±3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.

(1)求椭圆的离心率,其法有三:一是通过已知条件列方程组,解出a,c的值;二是由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.

(2)弦长公式l=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2.

【训练3】(2012·武汉质检)在Rt△ABC中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过A,B两点,它的一个焦点为点C,另一个焦点在AB上,则这个椭圆的离心率为________.

解析

设另一个焦点为F,如图所示,∵|AB|=|AC|=1,△ABC为直角三角形,

∴1+1+2=4a,则a=

2+2

4

设|F A|=x,

??

?

??x+1=2a,

1-x+2=2a,

∴x=2

2

,∴1+

?

?

?

?

?2

2

2=4c2,

∴c=6

4

,e=c

a

=6- 3.

答案6- 3

考向四 椭圆中的定值问题

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【例4】?(2011·重庆)如图,椭圆的中心为原点O ,离心率e =2

2, 一条准线的方程为x =2 2. (1)求该椭圆的标准方程;

(2)设动点P 满足:O P →=OM →+2O N →,其中M 、N 是椭圆上的点,直线OM 与ON 的斜率之积为-1

2 .问:是否存在两个定点F 1,F 2,使得|PF 1|+|PF 2|为定值?若存在,求F 1,F 2的坐标;若不存在,说明理由.

[审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程.(2)充分利用椭圆的定义和性质,利用设而不求的方法求出P 点.

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解 (1)由e =c a =22,a 2

c =22, 解得a =2,c =2,b 2=a 2-c 2=2, 故椭圆的标准方程为x 24+y 2

2=1. (2)设P (x ,y ),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),

则由O P →=OM →+2O N →得

(x ,y )=(x 1,y 1)+2(x 2,y 2)=(x 1+2x 2,y 1+2y 2), 即x =x 1+2x 2,y =y 1+2y 2.

因为点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=4上,

所以x 21+2y 21=4,x 22+2y 2

2=4,

故x 2+2y 2=(x 21+4x 22+4x 1x 2)+2(y 21+4y 22+4y 1y 2)

=(x21+2y21)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)

=20+4(x1x2+2y1y2).

设k OM,k ON分别为直线OM,ON的斜率,

由题设条件知k OM·k ON=y1y2

x1x2=-1 2,

因此x1x2+2y1y2=0,所以x2+2y2=20.

所以P点是椭圆x2

(25)2+

y2

(10)2

=1上的点,

设该椭圆的左、右焦点为F1,F2,

则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值.

又因c=(25)2-(10)2=10,

因此两焦点的坐标为F1(-10,0),F2(10,0).

本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题,可先设出动点P,利用设而不求的方法求出P点的轨迹方程,从而找出定点.

【训练4】(2010·安徽)如图,

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已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=1 2.

(1)求椭圆E的方程;

(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程.

解(1)设椭圆E的方程为x2

a2+

y2

b2=1(a>b>0),

由e=1

2,即

c

a=

1

2,得a=2c,得b

2=a2-c2=3c2.

∴椭圆方程可化为x2

4c2+y2

3c2=1.

将A(2,3)代入上式,得1

c2+

3

c2=1,解得c=2,

∴椭圆E的方程为x2

16+

y2

12=1.

(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),∴直线AF1的方程为

y=3

4(x+2),即3x-4y+6=0,直线AF2的方程为x=2.

由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数.

设P(x,y)为l上任一点,则|3x-4y+6|

5=|x-2|.

若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0(因其斜率为负,舍去).

于是,由3x-4y+6=-5x+10,得2x-y-1=0,

∴直线l的方程为2x-y-1=0.

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规范解答16——怎样求解与弦有关的椭圆方程问题

【问题研究】求椭圆的方程是高考的重中之重,几乎每年必考,有的是以选择题或填空题的形式出现,多数以解答题的形式出现.虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法,但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程,难度中等偏上.

【解决方案】解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程,再由直线与椭圆联立,结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数.

【示例】?(本题满分12分)(2011·天津)设椭圆x2

a2+

y2

b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.

点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率e;

(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)2+(y-3)2=16相交于M,N

两点,且|MN |=5

8|AB |,求椭圆的方程.

第(1)问由|PF 2|=|F 1F 2|建立关于a 、c 的方程;第(2)问可以求出点A 、B 的坐标或利

用根与系数的关系求|AB |均可,再利用圆的知识求解.

[解答示范] (1)设F 1(-c,0),F 2(c,0)(c >0),因为|PF 2|=|F 1F 2|,所以(a -c )2+b 2=2c .整理得2? ????c a 2+c

a -1=0,得c a =-1(舍),或c a =12.所以e =12.(4分)

(2)由(1)知a =2c ,b =3c ,可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2,直线PF 2的方程为y =3(x -c ). A 、B 两点的坐标满足方程组???

3x 2+4y 2=12c 2,y =3(x -c ).消去y 并整理,得5x 2-8cx =0.解得x 1=0,

x 2=8

5c .(6分)

得方程组的解为??

?

x 1=0,

y 1=-3c ,

????

?

x 2=85c ,y 2=335c .

不妨设A ? ????

85c ,

335c ,B (0,-3c ), 所以|AB |=

? ????85c 2+? ??

??335c +3c 2=165c .(8分) 于是|MN |=5

8|AB |=2c .

圆心(-1,3)到直线PF 2的距离d =|-3-3-3c |2=3|2+c |

2.(10分)

因为d 2+? ????

|MN |22=42,所以34(2+c )2+c 2=16.

整理得7c 2+12c -52=0. 得c =-26

7(舍),或c =2.

1612 用待定系数法求椭圆方程时,可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个c ),这

样可避免繁琐的运算而失分.

【试一试】 已知直线y =-12x +2和椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)相交于A 、B 两点,M 为线段AB 的中点,若|AB |=25,直线OM 的斜率为1

2,求椭圆的方程. [尝试解答] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0).

则???

??

x 21a 2+y 21b

2=1, ①x 22a 2+y 22

b 2=1, ②

①-②得:y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2x 1+x 2

y 1+y 2.

∴k AB =-b 2a 2×x 0y 0=-1

2.③

又k OM =y 0x 0=1

2,④

由③④得a 2=4b 2. 由?????

y =-12x +2,x 2

4b 2+y 2b 2=1

得:x 2-4x +8-2b 2=0,

∴x 1+x 2=4,x 1·x 2=8-2b 2. ∴|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =5

2(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =5

216-32+8b 2 =5

28b 2-16 =2 5. 解得:b 2=4.

164