文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 平面向量与解析几何综合问题

平面向量与解析几何综合问题

平面向量与解析几何综合问题
平面向量与解析几何综合问题

平面向量与解析几何交汇的综合问题

例1.已知j i

,是x,y 轴正方向的单位向量,设a

=j y i x

+-)3(,

b

=j y i x ++

)3(,且满足|a

|+|b

|=4..

(1)求点P(x,y)的轨迹C 的方程.

(2)如果过点Q(0,m)且方向向量为c

=(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ,

B 两点,当?AOB 的面积取到最大值时,求m 的值。 解:(1)

a

=j

y i x +-

)3(, |b

|=j

y i x ++

)3(,且|a

|+|b

|=4.

∴ 点

P(x,y)到点(3,0),(-3,0)的距离这和为4,故点P 的轨迹方

程为14

22

=+y x

(2)设A(11,y x ),B(22,y x )依题意直线AB 的方程为y=x+m.代入椭圆方程,得

044852

2

=-++m mx x ,则1x +2x =-5

8

m, 1x ?2x =)1(25

4

-m 因此,2

25

22

1

)5(m

m d AB S AOB -=

=?

当225m m =-时,即m=2

10±

时,1max =S

[题设变式I.1] 已知j i

,是x,y 轴正方向的单位向量,设a

=j y i x

+-)3(,

b

=j y i x ++

)3(,且满足||a

|-|b

||=2.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(轨迹为双曲

线) [题设变式

I.2] 已知j

i

,是x,y

轴正方向的单位向量,设a

=j

y i x +-

)3(,

b

=j y i x

++

)3(,且满足b ?i

=|a

|.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.

[提示:设K(-3,0),F (3,0),则b ?i

表示KP 在x 轴上射影,即点P 到x=

-3的距离,所以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为1,故点P 的轨迹是以(3,0)为焦点以x= -3为准线抛物线]

[题设变式I.3] 已知j i

,是x,y 轴正方向的单位向量,设a

=j y i x

+-)3(,

b

=j y i x

++

)3(,且满足b ?i

=λ|a

|.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.

[提示:设K(-3,0),F (3,0),则b ?i

表示KP 在x 轴上射影,即点P 到x=

-3的距离,所以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为

λ1 =?i b a

,当110<<λ时,点P 的轨迹是以(

3

,0)为焦点,以x= -3为相

应准线的椭圆;当11>λ

时,点P 的轨迹是以(3,0)为焦点,以x= -3为相应

准线的双曲线的右支;若想得到双曲线的双支λ应满足什么条件?]

[题设变式I.4] 已知平面上两定点K 、F ,P 为一动点,满足,KF KP ?KF PF =.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(以F 焦点,过K 且垂直于KF 的直线为准线的抛物线)

[题设变式I.5] 已知平面上两定点K 、F ,P 为一动点,满足,KF KP ?PF λ=.求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(以F 焦点,过K 且垂直于KF 的直线为准线的圆锥曲线。)

[考题] 已知点A(22-,0),B(2-,0)动点P 满足||||2BP AB AB AP ?=

?

(1)若动点P 的轨迹记作曲线C 1,求曲线C 1的方程. (2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ,过点D (0,3

2-

)作斜率为k 的直线交曲线

C 1于M 、N 点,求证:无论k 如何变化,以MN 为直径的圆过点Q.(解答见附页)

[题设变式II.1] 已知j i

,是x,y 轴正方向的单位向量,设a

=j y i x

+-)3(,

b

=j

y i x ++

)3(,且满足|

a

+b

|=4..求点P(x,y)的轨迹C 的方程.

(OP BP AP 2=+,点P 轨迹为圆,其中A (3,0),B (-3,0)) [题设变式

II.2] 已知j

i

,是x,y

轴正方向的单位向量,设a

=j

y i x +-

)3(,

b

=j y i x ++

)3(,且满足a

?b

=6.求点P(x,y)的轨迹C 的方程. (轨迹为圆)

例2、已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P 在y 轴上的射影是H ,如果

PN PM PH PH ??, 分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程;

(2)已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方两个不同的点,A 、B ,设R

为AB 的中点,若过点R 与定点Q(0,-2)的直线交x 轴于点D(x 0,0),求x 0的取值范围. 导析 (1)设

P(x ,y),则

H(0,y),),0,(x PH -=

),,2(y x PM ---=).,2(y x PN --=

.4)2)(2(,2

2

2

2-+=+---=?=?y x y

x x PN PM x PH PH 所以

又因为

,2=??PH

PH PN PM 所以有

.24

2

2

2=-+x

y x

所以点P 的轨迹方程为y 2-x 2=4(x ≠0).

(2)设AB :y=k(x -2),A(x 1y 1),B(x 2y 2),R(x 3y 3).

???=--=4

2

)(2

2x y x k y 由 化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0. ???

????-=-===.

12,1

222322

213k k y k k x x x 所以有 所以.133k x y =

所以DQ 的方程为

,223

3x y x

y +=

+ 令y=0,得

,21223

3

30

x k

x y x +

=

+=

4

5)211(

221

2122

2

2

0+

--=-?

+=

k k

k

k x 所以 又由

???

?????+?-=--=?.

0,

0,

01632)1(161623

212224y y y y k k k 可得k 2>

2

1,由题意可知

2

2<k <1,

所以1<

k

1<2,所以12-<-(

2

11-

k

)2

+

4

5<1, 所以2<x 0<2+22.

故所求的x 0的取值范围为(2,2+22).

[题后反思]若改变q 的值能否构造出椭圆来呢? [当0<q <1时,点P 的轨迹为椭圆]

例3、如图所示,点F (a ,0)(a >0),点P 在y 轴上运动,M 在x 轴上,N

为动

点,且PM PN PF PM -==?,0

(1)求点N 的轨迹C 的方程; (2)过点F(a ,0)的直线l(不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点,设点K(-a ,0),KA 与KB 的夹角为θ,求证:0<θ<

2

π

.

[答案提示] (1)点N 的轨迹C 的方程为ax y 42=

[变化]点F (a ,0)(a >0),点P 在y 轴上运动,M 在x 轴上,N 为动点,

且PM PN PF PM λ==?,0(λ为常数)求点N 的轨迹仍为抛物线吗?;

二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质,曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 例4、已知1F ,F 椭圆12

6

2

2

=+

y

x

的两个焦点,过点F 的直线BC 交椭圆于B 、C

两点, (1))(2

1OB OC OM +=

,求点

M 的轨迹方程.

[答案13)1(22=+-y x ]

(2)若相应于焦点F 的准线l 与x 轴相交于点A ,|OF|=2|FA|,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.设AQ AP λ=(1>λ),过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ,证明:FQ FM λ-=. 解:(1)略

(2) 证明:),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=.由已知得方程组

???????

??=+=+=-=-.

126

,

126

,),

3(322

2

221

2121

21y x y x y y x x λλ 注意1>λ,解得λ

λ2152-=

x

因),(),0,2(11y x M F -,故

),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ

),21

(

),2

1(21y y λ

λλλ--=--=. 而)

,21

(

),2(222y y x FQ λ

λ-=-=,所以

FQ FM λ-=.

[结论发散]设P(00,y x )为椭圆上一点, (1)求PF PF ?1的Min (2)求PF PF ?1的Max

(3)当PF PF ?1<0时,0x 的取值范围。

(4)若相应于焦点F 的准线l 与x 轴相交于点A ,31=?FF AP ,求1PF (5)已知点M 的坐标为(2,3),求OP OM ?的最值。 (6)已知点Q 的坐标为(1,1),求PF PQ 2

6+

的最小值

(7)已知点Q 的坐标为(1,1),求PF PQ +的最值 [提示] PF PQ +≥PF PQ -=QF

PF PQ +=2a+1PF PQ -≤2a+1PF PQ -=2a+Q F 1

例5.已知A 、B 为抛物线py

x

22

=(p>0)上两点,直线AB 过焦点F ,A 、B 在准线

上的射影分别为C 、D ,

(1) 若6-=?OB OA ,求抛物线的方程。

(2) CD 是否恒存在一点K ,使得0=?KB KA Y A

F P B

X O

D K C 解:(1)提示:记A (1,1y x )、B (22,y x )设直线AB 方程为2

p kx y +=代入抛物

线方程得0222=-+-p kpx x

2

4

1

212

21,p

y y p x x =

-=

=?OB OA 62

4

32121-=-

=+p

y y x x

(2)设线段AB 中点P 在在准线上的射影为T , 则)()(PB TP PA TP TB TA +?+=?PB

PA PB PA TP TP

?++?+=)(2

++=

2

4

1)(CA DB PB PA ?=

4

12

)(FA FB +-2

PA =

4

12

AB

4

12

AB

=0

故存在点K 即点T ,使得0=?KB KA

[实质:以AB 为直径的圆与准线相切]

[结论发散1] y 轴上是否恒存在一点K ,使得0=?KF KA [实质:以AF 为直径的圆与y 轴相切] [结论发散2]求证: 0=?DF CF

[结论发散3]求证:存在实数λ使得 AO AD λ= [实质:证明A 、O 、D 三点共线(2001年高考题)]

[结论发散4] 设线段AB 中点P 在在准线上的射影为T ,证明:0=?AB FT [题设变更1] 已知A 、B 为抛物线py

x

22

=(p>0)上两点,0=?OB OA ,点C 坐

标为)4,0(p

(1) 求证:AC ∥AB

(2)若AM =BM λ(R ∈λ)且0=?AB OM 试求点M 的轨迹方程。

[题设变更2](2004全国湖南文21)如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P (0,m )(m>0)作直线与抛物线交于A ,B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.设点P 分有向线段AB 所成的比为λ,证明:)(QB QA QP λ-⊥;

解:依题意,可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得

.0442

=--m kx x ①

设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根. 所以 .421m x x -=

由点P (0,m )分有向线段AB 所成的比为λ, 得

.,012

121x x x x -

==++λλ

λ即

又点Q 是点P 关于原点的对称点,

故点Q 的坐标是(0,-m ),从而)2,0(m QP =.

).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x QB QA λλλλλ-+--=+-+=-

])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-?

2

21212

12

22

12

144)(2])1(4

4

[

2x m x x x x m n x x x x x x m +?

+=+

+?

+

=

.0444)(22

21=+-?+=x m

m x x m

所以 ).(QB QA QP λ-⊥

思维能力训练 一、选择题

1、(2002年新课程卷)平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知)3,1(),1,3(-B A ,若点C 满足OB OA OC βα+=,其中R ∈βα,,且1=+βα,则点C 的轨迹方程为( )

A. 01123=-+y x

B. 5)2()1(22=-+-y x

C. 02=-y x

D. 052=-+y x

2、已知j

i ,是x,y

轴正方向的单位向量,设a

=j

y i x

+-)2(, b =j y i x ++)2(,

且满足|a

|+|b

|=4.则点P(x,y)的轨迹是.( )

A 、椭圆

B .双曲线

C .线段

D .射线

3、已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C ),则AP= (A )λ(AB+AD), λ∈(0, 1) (B) λ(AB+BC), λ∈(0,

2

2)

(C) λ(AB -AD), λ∈(0, 1) (D) λ(AB -BC), λ∈(0, 2

2)

4、已知O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三点,动点P 满足

)(AC AB OA OP ++=λ,[0,)λ∈+∞,则点P 的轨迹一定通过A B C ?的( )

(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心

5、已知两点A(-1,0),B(1,0),动点P 在y 轴上的射影是Q ,且PB

PA PQ ?=22

则动点P 的轨迹为( ):

A 、抛物线

B .双曲线

C .椭圆

D .直线

6.已知A 、B 为抛物线

py

x

22

=(p>0)上两点,直线AB 过焦点F ,A 、B 在准线上

的射影分别为C 、D ,则(1)y 轴上是否恒存在一点K ,使得0=?KF KA (2)

0=?DF CF (3)存在实数λ

使得 AO AD λ=(4)若线段AB 中点P 在在准线

上的射影为T ,有0=?AB FT 中说法正确的个数为( )

A. 1 B .2 C . 3 D .4 二、填空题

7、已知j

i

,是x,y

轴正方向的单位向量,设a

=j

y i x

+-

)3(, b

=j

y i x ++

)3(,

且满足b ?i =2|a

|.则点P(x,y)的轨迹方程为_________.

8、已知1F ,2F 椭圆

136

100

2

2

=+

y

x

的两个焦点,P(00,y x )为椭圆上一点,

当21PF PF ?<0时,0x 的取值范围为_________.。 三、解答题

9.(2004年全国高考辽宁19)设椭圆方程为14

2

2

=+

y

x ,过点M (0,1)的直线

l 交椭圆于点A 、B ,O 是坐标原点,点P 满足OP

(2

1=+OA )

OB ,点N 的坐标为

)2

1

,21(

,当l 绕点M 旋转时,求:

(1)动点P 的轨迹方程; (2)||NP 的最小值与最大值. 10.已知双曲线C :

),0,0(12

22

2>>=-

b a b

y a

x B 是右项点,F 右焦点,点A 在x 轴

正半轴上,且满足,||OA 、||OB 、||OF 成等比数列,过F 作双曲线C 在第一、第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P 。

(1) 求证:FP PA OP PA ?=?

(2) 若l 与双曲线C 的左、右支分别相交于点D 、E ,求双曲线C 的离心率e

的取值范围。

11.已知点H (0,―3),点P 在x 轴上,点Q 在y 轴正半轴上,点M 在直线PQ

上,且满足0=??→

??→

?PM HP ,?→

??→

?-

=MQ PM 2

3.

(1)当点P 在x 轴上移动时,求动点M 的轨迹曲线C 的方程;

(2)过定点A (a ,b )的直线与曲线C 相交于两点S 、R ,求证:抛物线S 、R

两点处的切线的交点B 恒在一条直线上.

附页:

例1[题设变式I.5]考题:已知点A(22-,0),B(2-,0)动点P 满足

||||2BP AB AB AP ?=

?

(1)若动点P 的轨迹记作曲线C 1,求曲线C 1的方程. (2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ,过点D (0,3

2-

)作斜率为k 的直线交曲线

C 1于M 、N 点,求证:无论k 如何变化,以MN 为直径的圆过点Q. 解:(1)设P(x ,y),则有),22(y x AP += )0,2(=AB ),2(y x BP +=

∵||||2BP AB AB AP ??=

? ∴2

2

)2(2242y x x ++

?

?

=

+

得:4222=+y x

(2)由

12

4

2

2

=+

y

x

得Q (0,2) 设直线C 的方程为y=kx -

3

2

代入x 2+2y 2=4得 (1+2k 2) x 209

323

24=-

-

kx

设M(x 1,y 1) N(x 2,y 2) )2,(),2,(2211-

=-=y x QN y x QM

∵2

21)1(324k

k x x +=

+ )

21(932

2

21k x x +-

=?

又∵

)3

24(121-

+=?kx x x QN QM )3

24(2-

kx

=09

32)

21(3243

2421)

1(9

32

9

32)(3

24)1(2

2

2

21221=+

+?

-

++-

=+

+-

+k k k k

k x x k k x x

∴QN QM ⊥ ∴点Q 在以MN 为直径的圆上.

平面向量复习课

中山市实验高中高三数学备课组 2006。3。8

一.考试要求:

1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度,角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。 二.知识梳理

1.向量的概念:

向量,零向量,单位向量,平行向量(共线向量),相等向量,向量的模等。 2.向量的基本运算

(1) 向量的加减运算

几何运算:向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。

坐标运算:设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)

(2) 平面向量的数量积 : a ?b=a

b cos θ

设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a ?b=x 1x 2+y 1y 2

(3)两个向量平行的充要条件 ∥ =λ

若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2),则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=0

3.两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥ · =0

设 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2),则 ⊥

x 1x 2+y 1y 2=0

三.教学过程

(一)基础知识训练

1.下列命题正确的是 ( )

)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线

2. 已知正六边形ABCDEF 中,若=AB a , =FA b ,则=BC ( )

)

(A )(2

1b a - )

(B )(2

1b a + )(C b a - )

(D b a +21

3. 已知向量,01≠e R ∈λ,+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线,则下列关系一定成立是 ( )

)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ

4. 若向量),1(x a -=,)2,(x b -=共线且方向相同,x =__________。 (二).典例分析

例1:(1)设a 与b

为非零向量,下列命题:

①若a 与b 平行,则a 与b

向量的方向相同或相反;

②若,, AB a C D b == a

与b 共线,则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上;

③若a 与b 共线,则a b a b +=+ ;④若a 与b 反向,则a a b b

=-

其中正确命题的个数有 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个

(2)下列结论正确的是 ( )

(A )a b a b = (B )a b a b -<- (C )若()()0a b c c a b -=

(D )若a 与b 都是非零向量,则a b ⊥ 的充要条件为a b a b +=-

错解:(1)有学生认为①②③④全正确,答案为4;也有学生认为①或④是错的,答案为2或3;(2)A 或B 或C 。

分析:学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆,致使选择错误。

第(1)小题中,正确的应该是①④,答案为2。共线向量(a 与b

共线)的充要条件中所存在的常数λ可看作为向量b 作伸缩变换成为另一个向量a 所作的伸缩量;若a ,b

非零向量,则共线的a 与b 满足a 与b 同向时b a a b = ,a 与b 反向时b

a a b

=-

第(2)小题中,正确答案为(D )。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D 同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法,并进行正确互化。

例2 设a 、b 是两个不共线向量。AB=2a +k b BC=a +b CD=a -2b A 、B 、D 共线则k=_____(k ∈R) 解:BD=BC+CD=a +b +a -2b =2a -b 2a +k b =λ(2a -b )=2λa -λb ∴ 2=2λ且 k=-λ

∴ k=-1

例3 梯形ABCD ,且|AB|=2|DC|,M 、N 分别为DC 、AB 中点。 AB=a AD=b 用a ,b 来标DC 、BC 、MN 。 解:DC=

2

1AB=

2

1a

BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a +

2

1a =b -

2

1a

MN=DN-DM=

2

1a-b -

4

1a =

4

1a-b

例4 |a |=10 b =(3,-4)且a ∥b 求a 解:设a =(x,y)则 x 2

+y 2

=100 (1) 由a ∥b 得 -4x-3y=0 (2)

解(1)(2)得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8

∴ a =(6,-8)或(-6,8) 四. 归纳小结

1. 向量有代数与几何两种形式,要理解两者的内在联系,善于从图形中发现向量间

的关系。

2. 对于相等向量,平行向量,共线向量等概念要区分清楚,特别注意零向量与任何

向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。

五.作业:

1、下列命题正确的是( )

A .若0||=a ,则0=a

B .若||||b a =,则b a =或b a -=

C .若b a ||,则||||b a =

D .若0=a ,则0=-a

2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点)1,2(-A 、)3,1(-B 、)4,3(C ,则顶点D 的坐标为( ) A .)2,1( B .)2,2( C .)1,2( D .)2,2(--

3、设)0(||>=m m a ,与a 反向的单位向量是0b ,则a 用0b 表示为

A .0b m a =

B .0b m a -=

C .01b m

a =

D .01b m a -

=

4、D 、E 、F 分别为ABC ?的边BC 、CA 、AB 上的中点,且a BC =,b CA =,下列命题中正确命题的个数是( ) ①b a AD --

=2

1;②b a BE 2

1+

=;③b a CF 2121+

-

=;

④0=++CF BE AD 。

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个 5、化简:AD D

E AC CE --+=__________。

6、已知向量)2,1(,3==b a

,且b a ⊥,则a 的坐标_____________。

7、若()

0,2,12

2=?-==a b a b a ,则b a 与的夹角为______________。

8、已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a

其中

求 (1)b a b a

+?;的值; (2)a 与b 的夹角。

9、如果向量a 与b ,c 的夹角都是?60,而c b ⊥,且1||||||===c b a ,求)

()2(c b c a +?-的值。

10、如图,设O 为ABC ?内一点,PQ ∥BC ,且

t BC

PQ =,=OA a ,=OB b ,=OC c ,

试用a ,b ,c 表示OQ OP ,.

答案

基础知识训练:D,C,D,2

达标练习: D,B,B,D, 5,0; 6,(

55

6

,—

55

3

),(—

55

6

55

3

)7,450, 8,(1)a?b=10, b

a+=52 (2) θ=arccos

221

10

9,-1 10,OP=(1-t)a+t b, OQ=(1-t)a+t b

平面向量在解析几何中的应用

平面向量在解析几何中的应用 -----高三专题复习课教学案例 福建省福州格致中学宋建辉 一、引言: 平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。正因为如此,在2004年3月25日在校教学公开周中开设了《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课,以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣,让学生树立并应用向量的意识。 二、背景: 向量知识在许多国家的中学数学教材中,早就成了一个基本的教学内容。在我国全面实施新课程后,向量虽然已进入中学,但仍处于起步的阶段。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题,学生应用向量的意识不强。鉴于这种情况,结合我校开展的构建“探究-合作”型教学模式研究的课题,开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课,通过问题的探究、合作解决,旨在进一步探索“探究-合作”型教学模式,使学生树立并增强应用向量的意识。 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。正因为如此,本节课这样设计: 1、教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习,使学生感到认识新事物的乐趣,体验克服困难的喜悦”;教育心理学认为:思维是从提出问题开始的;美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件,就是学生需掌握原理,形成类比,才能让迁移到具体的类似学习中”。因此首先通过两个旧问题的引入解决,让学生体会向量的工具性特点,体会向量解题的优越性。 2、通过例 3、例4两个问题的探究解决,由此让学生发现,用向量法的最大优点是思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。 三、问题:

平面向量综合试题(含答案)

B A C D 一.选择题: 1. 在平面上,已知点A (2,1),B (0,2),C (-2,1),O (0,0).给出下面的结论: ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确..结论的个数是 ( )A .1个 B .2个 C .3个 D .0个 2. 下列命题正确的是 ( ) A .向量A B 的长度与向量BA 的长度相等 B .两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同 C .若非零向量AB 与C D 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线 D .若→ a → b → c ,则→ a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,-1), =(-1,2),则 等于( ) A.+ B. C. D.+ 4. 若 ,且与也互相垂直,则实数的值为( ) A . C. 5.已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为( ) A. B. C. D. 6. 己知 (2,-1) .(0,5) 且点P 在 的延长线上, , 则P 点坐标为( ) A.(-2,11) B.( C.( ,3) D.(2,-7) 7.设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线,则必有( ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b 8.已知D 点与ABC 三点构成平行四边形,且A (-2,1),B (-1,3),C (3,4),则D 点坐标为( ) A.(2,2) B.(4,6) C. (-6,0) D.(2,2)或(-6,0)或(4,6) 9.在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2 AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 10. 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 10.已知P ={a |a =(1,0)+m (0,1),m ∈R },Q ={b |b =(1,1)+n (-1,1),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q 等于 ( )A .{(1,1)} B .{(-1,1)} C .{(1,0)} D .{(0,1)} 二. 填空题:11.若向量a b , 的夹角为 60,1a b ==,则() a a b -= . 12.向量2411()(),, ,a =b =.若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是 . 13.向量a 、b a b =1,b 3-=3,则 b +3 =

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则

????? x -12-y +12-1=0 y -1x +1=-1,解之得????? x =2y =-2, 特殊解法:当直线l :Ax +By +C =0的系数满足|A|=|B|=1时,点A(x0,y0)关于l 的对称 点B(x ,y)的坐标,x =-By0-C A ,y =-Ax0-C B . 4.(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中,矩形OABC ,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O 点落在线段BC 上,设折痕所在直线的斜率为k ,则k 的取值范围为( ) A .[0,1] B .[0,2] C .[-1,0] D .[-2,0] [答案] D [解析] 如图,要想使折叠后点O 落在线段BC 上,可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ,以l 为折痕可使O 与D 重合,故问题转化为在线段CB 上任取一点D ,求直线OD 的斜率的取值范围问题, ∵kOD≥kOB =12,∴k =-1kOD ≥-2,且k<0, 又当折叠后O 与C 重合时,k =0,∴-2≤k≤0. 5.(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x -ay +1=0的两侧,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,10) B .(10,+∞) C.??? ?-∞,43∪(10,+∞) D.??? ?43,10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边,所得两值异号,∴(9-a +1)(3-3a +1)<0,∴43

平面向量综合试题(含答案)

A C 平面向量 一.选择题: 1. 在平面上,已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论: ①= -②= +③2 - = 其中正确 ..结论的个数是() A.1个B.2个C.3个D.0个 2.下列命题正确的是() A.向量的长度与向量的长度相等B.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同C.若非零向量与CD是共线向量,则A、B、C、D四点共线D.若 → a → b → c,则 → a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,-1), =(-1,2),则等于( ) A.+ B. C. D.+ 4.若,且与也互相垂直,则实数的值为( ) A. B.6 C. D.3 5.已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为()A. B. C. D. 6.己知(2,-1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( ) A.(-2,11) B.( C.(,3) D.(2,-7) 7.设, a b是非零向量,若函数()()() f x x x =+- a b a b的图象是一条直线,则必有() A.⊥ a b B.∥ a b C.|||| = a b D.|||| ≠ a b 8.已知D点与ABC三点构成平行四边形,且A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),则D点坐标为() A.(2,2) B.(4,6) C. (-6,0) D.(2,2)或(-6,0)或(4,6) 9.在直角ABC ?中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是 (A) 2 AC AC AB =?(B)2 BC BA BC =? (C) 2 AB AC CD =?(D)2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ??? = 10.设两个向量22 (2,cos) aλλα =+-和(,sin), 2 m b mα =+其中,,m λα为实数.若2, a b =则 m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1] - B.[4,8] C.(,1] -∞ D.[1,6] - 10.已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于()A.{(1,1)} B.{(-1,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1)} 二. 填空题:11.若向量a b ,的夹角为 60,1 a b ==,则() a a b -=. 12.向量2411 ()() ,,, a=b=.若向量() λ ⊥ b a+b,则实数λ

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。 ()向量的模——有向线段的长度,2||a → ()单位向量,3100|||| a a a a →→ → → == ()零向量,4000→ → =|| ()相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数,使()0λλ (7)向量的加、减法如图: OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ (8)平面向量基本定理(向量的分解定理) e e a → → → 12,是平面内的两个不共线向量,为该平面任一向量,则存在唯一

实数对、,使得,、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 (9)向量的坐标表示 i j x y →→ ,是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数,,使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=,称,为向量的坐标,记作:,,即为向量的坐标() 表示。 ()()设,,,a x y b x y → → ==1122 ()()()则,,,a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111,, ()()若,,,A x y B x y 1122 ()则,AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212,、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 ()··叫做向量与的数量积(或内积)。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角,,a b → → ∈0

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题,每题5分,共60分) 1.已知直线l 过(1,2),(1,3),则直线l 的斜率() A. 等于0 B . 等于1 C . 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线,则x 的值是( ) A.1 B .-1 C .0 D.7 3. 已知A (x 1,y 1)、B(x2,y 2)两点的连线平行y 轴,则|AB |=( ) A、|x 1-x 2|B 、|y 1-y 2|C、 x 2-x1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >,且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限B.第一象限 C.第四象限D.第二象限 5. 经过两点(3,9)、(-1,1)的直线在x轴上的截距为() A.23- B .32- C .32 D .2 6.直线2x -y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7.满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是( ) (1)1l 的斜率为2,2l 过点(12)A ,,(48)B ,; (2)1l 经过点(33)P ,,(53)Q -,,2l 平行于x 轴,但不经过P ,Q 两点; (3)1l 经过点(10)M -,,(52)N --,,2l 经过点(43)R -,,(05)S ,. A.(1)(2)B .(2)(3) C.(1)(3)D.(1)(2)(3) 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) A 2 B -2 C.21 D .2 1- 9. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =-

平面向量及其应用综合练习题doc

一、多选题 1.若a →,b →,c → 是任意的非零向量,则下列叙述正确的是( ) A .若a b →→ =,则a b →→ = B .若a c b c →→→→?=?,则a b →→ = C .若//a b →→,//b c →→,则//a c →→ D .若a b a b → → → → +=-,则a b →→ ⊥ 2.下列说法中正确的是( ) A .对于向量,,a b c ,有()() a b c a b c ??=?? B .向量()11,2e =-,()25,7e =能作为所在平面内的一组基底 C .设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件 D .在ABC 中,设D 是BC 边上一点,且满足2CD DB =,CD AB AC λμ=+,则 0λμ+= 3.已知在平面直角坐标系中,点()10,1P ,()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时,点P 的坐标为( ) A .4,23?? ??? B .4,33?? ??? C .()2,3 D .8 ,33?? ??? 4.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A . 6 π B . 3 π C . 56 π D . 23 π 5.已知点()4,6A ,33,2B ??- ??? ,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33?? ??? B .97,2?? ??? C .14,33?? - - ??? D .(7,9) 6.在RtABC 中,BD 为斜边AC 上的高,下列结论中正确的是( )

平面向量及解析几何

六、平面向量 考试要求:1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题,掌握向量垂直的条件。6、掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用,掌握平移公式。 1、已知向量与不共线,且0||||≠=,则下列结论中正确的是 A .向量-+与垂直 B .向量-与垂直 C .向量b a +与a 垂直 D .向量b a b a -+与共线 2.已知在△ABC 中,?=?=?,则O 为△ABC 的 A .内心 B .外心 C .重心 D .垂心 3.在△ABC 中设a AB =,b AC =,点D 在线段BC 上,且3BD DC = ,则AD 用b a ,表 示为 。 4、已知21,e e 是两个不共线的向量,而→→→ →→ → +=-+=2121232)2 51(e e b e k e k a 与是两个共线 向量,则实数k = . 5、设→ i 、→ j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,且 →→+=j i 24,→ →+=j i 43,则△OAB 的面积等于 : A .15 B .10 C .7.5 D .5 6、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(,则向量OC 的坐标是 , 将向量按逆时针方向旋转90°得到向量,则向量的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==k ,则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是 A . 2 3 B .21- C .-5 D .31- 8、在锐角三角形ABC 中,已知ABC ?==,1||,4||的面积为3,则=∠BAC ,?的值为 . 9、已知四点A ( – 2,1)、B (1,2)、C ( – 1,0)、D (2,1),则向量与的位置关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法判断 10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围

平面向量综合试题(含答案)

A 平面向量 一.选择题: 1. 在平面上,已知点A (2,1),B (0,2),C (-2,1),O (0,0).给出下面的结论: ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确..结论的个数是 ( )A .1个 B .2个 C .3个 D .0个 2. 下列命题正确的是 ( ) A .向量A B 的长度与向量BA 的长度相等 B .两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同 C .若非零向量AB 与C D 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线 D .若→ a → b → c ,则→ a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,-1), =(-1,2),则 等于( ) A.+ B. C. D.+ 4. 若 ,且与也互相垂直,则实数的值为( ) A . C. 5.已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为( )A. B. C. D. 6. 己知 (2,-1) . (0,5) 且点P 在 的延长线上, , 则P 点坐标为( ) A.(-2,11) B.( C.( ,3) D.(2,-7) 7.设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线,则必有( ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b 8.已知D 点与ABC 三点构成平行四边形,且A (-2,1),B (-1,3),C (3,4),则D 点坐标为( ) A.(2,2) B.(4,6) C. (-6,0) D.(2,2)或(-6,0)或(4,6) 9.在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2 AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 10. 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 10.已知P ={a |a =(1,0)+m (0,1),m ∈R },Q ={b |b =(1,1)+n (-1,1),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q 等于( )A .{(1,1)} B .{(-1,1)} C .{(1,0)} D .{(0,1)} 二. 填空题:11.若向量a b , 的夹角为 60,1a b ==,则() a a b -= .

《平面解析几何》复习试卷及答案解析

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1.已知椭圆C :16x 2+4y 2=1,则下列结论正确的是( ) A .长轴长为12 B .焦距为34 C .短轴长为14 D .离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2+4y 2=1化为标准方程可得 x 2116+y 214 =1,所以a =12,b =14,c =34 , 长轴2a =1,焦距2c =32,短轴2b =12, 离心率e =c a =32 .故选D. 2.双曲线x 23-y 2 9 =1的渐近线方程是( ) A .y =±3x B .y =±13x C .y =±3x D .y =±33 x 答案 C 解析 因为x 23-y 2 9 =1, 所以a =3,b =3,渐近线方程为y =±b a x , 即为y =±3x ,故选C. 3.已知双曲线my 2-x 2=1(m ∈R )与抛物线x 2=8y 有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( ) A .y =±3x B .y =±3x C .y =±13 x D .y =±33x 答案 A

解析 ∵抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2), ∴双曲线的一个焦点为(0,2),∴1m +1=4,∴m =13 , ∴双曲线的渐近线方程为y =±3x ,故选A. 4.(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l :x 4+y 3 =1,若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行,则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为-34,过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行,所以b c =34 , 又b 2+c 2=a 2?????34c 2+c 2=a 2?2516c 2=a 2, 所以e =c a =45 ,故选A. 5.(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2-y 2 b 2=1(b >0)的一条渐近线与圆x 2+(y -2)2=1至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( ) A .(1,2] B .[2,+∞) C .(1,3] D .[3,+∞) 答案 A 解析 双曲线x 2-y 2 b 2=1(b >0)的一条渐近线方程是bx -y =0,由题意圆x 2+(y -2)2=1的圆心(0,2)到bx -y =0的距离不小于1,即 2b 2+1≥1,则b 2≤3,那么离心率e ∈(1,2],故选A. 6.(2019·河北武邑中学调研)已知直线l :y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若|F A |=2|FB |,则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y =k (x +2),y 2=8x ,消去y 得 k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0, Δ=(4k 2-8)2-16k 4>0,又k >0,解得0

高考数学平面向量与解析几何

第18讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、(2000年全国高考题)椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围是___。 解:F 1(-5,0)F 2(5,0),设P (3cos θ,2sin θ) 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?- ( =9cos 2θ-5+4sin 2θ=5 cos 2θ-1<0 解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是(5 53,553-) 点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0),P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求22 PA PB +的最大值和最小值。 分析:因为O 为AB 的中点,所以2,PA PB PO += 故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。 解:设已知圆的圆心为C ,由已知可得:{1,0},{1,0}OA OB =-=

三角函数、平面向量综合题六类型

三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】(2007年高考安徽卷)已知04 πα<<,β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期,(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ,求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值. 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期,故βπ=.因为a b m ?= , 又cos tan()24a b βαα?=?+- ,故cos tan()24 m βαα?+=+. 由于04 π α<< ,所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+. 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式,然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形,以期达到与题设条件或待求结论的相关式,找准时机代入 求值或化简。 题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 【例2】 (2006年高考浙江卷)如图,函数2sin(),y x x R π?=+∈(其中02 π ?≤≤) 的图像与y 轴交于点(0,1)。 (Ⅰ)求?的值; (Ⅱ)设P 是图像上的最高点,M 、N 是图像与x 轴的交点,求PM 与P N 的夹角。 【解答】(I )因为函数图像过点(0,1), 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ,所以6 π ?= . (II )由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像,得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=,故,P M P N <>= 15arccos 17 .

平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题 一.选择题(每小题5分共40分) 1. 下列四个命题中的真命题是( ) A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示; B.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)·(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示; C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示; D.经过定点A (0, b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0(x 0,y 0)与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y -y 0=k (x -x 0)表示,因为其斜率k 不存在;C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b (b ≠0)或x =a (a ≠0)不能用方程b y a x +=1表示;D 中过A (0, b )的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述:本题考查直线方程的知识,应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( ) A.k 1<k 2<k 3 B.k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1 D.k 1<k 3<k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角, 且α2>α3,所以k 2>k 3>0,因此k 2>k 3>k 1,故应选D. 3. 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( ) A. A 1A 2+B 1B 2=0 B.A 1A 2-B 1B 2=0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一:当两直线的斜率都存在时,- 11B A ·(2 2B A -)=-1,A 1A 2+B 1B 2=0. 当一直线的斜率不存在,一直线的斜率为0时,???==???==0 001221B A B A 或,

高一三角函数与平面向量综合题

讲座 三角形内的三角函数问题 ○知识梳理 1.内角和定理:三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记! 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余. ,sin()sin ,sin cos 22 A B C A B C A B C π++=-+== 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角? 任意两边的平方和大于第三边的平方. A>B a>b sinA>sinB ??,60?o A,B,C 成等差数列B= 2.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为三角形外接圆的半径). 注意:①正弦定理的一些变式: ()sin sin sin i a b c A B C ::=::; ()sin ,sin ,sin 222a b c ii A B C R R R = == ; ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===; ②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. 3.余弦定理:2 2 2 2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=等,常选用余弦定理鉴定 三角形的形状. 4.面积公式: 222111222 111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2 ==========++=a b c S ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c (其中r 为三角形内切圆半径,2 a b c p ++=). 5.射影定理: a = b ·cos C + c ·cos B ,b =a ·cos C +c ·cos A ,c =a ·cos B +c ·cos A . 特别提醒:求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题,每题5分,共60分) 1.已知直线l 过(1,2),(1,3),则直线l 的斜率( ) A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线,则x 的值是( ) A .1 B .-1 C .0 D .7 3. 已知A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点的连线平行y 轴,则|AB|=( ) A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >,且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第二象限 5. 经过两点(3,9)、(-1,1)的直线在x 轴上的截距为( ) A .23 - B .32- C .32 D .2 6.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7.满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是( ) (1)1l 的斜率为2,2l 过点(12)A ,,(48)B ,; (2)1l 经过点(33)P ,,(53)Q -,,2l 平行于x 轴,但不经过P ,Q 两点; (3)1l 经过点(10)M -,,(52)N --,,2l 经过点(43)R -,,(05)S ,. A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(1)(2)(3) 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) A 2 B -2 C .21 D .21 - 9. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-

平面向量与三角函数、解三角形的综合习题

三角函数与平面向量、解三角形综合题 题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角,且A +B +C =π.若向量→p =(2-2sinA ,cosA +sinA)与向量→q =(cosA -sinA ,1+sinA)是共线向量. (Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)求函数y =2sin 2B +cos C -3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a =(3sinα,cosα),→b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈(3π 2 ,2π),且→a ⊥→b . (Ⅰ)求tanα的值;(Ⅱ)求cos(α2+π 3)的值. 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a =(cosα,sinα),→b =(cosβ,sinβ),|→a -→b |=2 5 5.(Ⅰ)求cos(α-β)的值;(Ⅱ) 若-π2<β<0<α<π 2,且sinβ=-513,求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例3】 设函数f(x)=→a ·→b .其中向量→a =(m ,cosx),→b =(1+sinx ,1),x ∈R ,且f(π2)=2.(Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值. 题型五:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】(山东卷)在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan 37C =. (1)求cos C ;(2)若5 2 CB CA ?=u u u r u u u r ,且9a b +=,求c . 题型六:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =?r r ,其中向量(,cos 2)a m x =r ,(1sin 2,1)b x =+r ,x R ∈, 且函数()y f x =的图象经过点( ,2)4 π . (Ⅰ)求实数m 的值; (Ⅱ)求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

平面解析几何测试题带答案

1.(本小题满分12分)已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0. (1)当a为何值时,直线l与圆C相切; (2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=22时,求直线l的方程. 2.设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜 率为 2 2 ,求椭圆的方程. 3.(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2),且与定直线l:y=-2相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q, 证明:AQ⊥BQ . 4.已知圆(x-2)2+(y-1)2=20 3 ,椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ,若圆与椭圆相交于A、B, 且线段AB是圆的直径,求椭圆的方程.

5.已知m 是非零实数,抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. (I )若m=2,求抛物线C 的方程 (II )设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,F AA 1?,F BB 1?的重心分别为G,H. 求证:对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6. (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点,点A 、B 分别在x 轴,y 轴上运动,且|AB | =8,动点P 满足AP u u u r =35 PB u u u r ,设点P 的轨迹为曲线C ,定点为M (4,0),直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程; (2)求△OPQ 面积的最大值. 7.(文)有一个装有进出水管的容器,每单位时间进出的水量各自都是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y 与x 的函数关系.

完整版平面向量综合试题含答案

第1页共4页 2.下列命题正确的是 5.已知&=(2,3) , h =(-4 ,7),则药在必上的正射影的数量为( 平面向量 一.选择题:1.在平面上,已知点 A(2, 1), B(0, 2), C(-2, ① A B C A BC 其中正确结论的个数是 1), 0(0, 0).给出下面的结论: ②OA ( OC OB )A . 1 个 ③ AC OB B . 2个 2OA C . 3个 D . 0个 1 3 1 3 1 3 1 飞厉+ 2 b B . 牯2b C a 2 b D 2 王+ 2 £ A. uur 2 umr uuu uuu 2 uur uu (A) AC AC AB (B ) BC BA BC uiu r uuu uur uur (C ) uuu AB 2 uuu r uuu CD (D ) uui r 2 (AC Al B) uju (BA BC) 2 AB 设两个向量 r a (2, 2 2 cos )和 r 口 b (m, m sin ),其中,m, 为实数.若a 2b,则一的取值范 2 m 围是 ()A. [6,1] B. [4,8] C .( ,1] D.[ 1,6] 10. D. (2,2)或(—6,0)或(4,6) 则下列 等式不成立的是 B. (4,6) C. (- 6,0) ABC 中,CD 是斜边AB 上的高, A .向量AB 的长度与向量 BA 的长度相等 C .若非零向量AB 与C D 是共线向量,则 B .两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同 B 、C 、D 四点共线 D .若a P b P c ,则 a P c 3.若向量 * = (1,1), =(1, - 1), =(-1,2),则 I"等于( 4. 皿丄且加十%与品-牴 也互相垂直,则实数 F3| B.6 的值为( D.3 6. 己知* (2, - 1) £(0,5)且点P 在舟垃的延长线上 ,|片尸|二引/^|, 则P 点坐标为 A.( — 2,11) B.( C.( ,3) D.(2, - 7) 7.设a , b 是非零向量,若函数 f (x) (xa b)g(a xb)的图象是一条直线,则必有( B . a // b C . |a| |b| D . |a| |b| &已知D 点与ABC 三点构成平行四边形,且 A (- 2,1), B (- 1,3) , C ( 3,4),贝U D 点坐标为( A. (2,2) 9.在直角 10. 于( 已知 P = {a|a = (1,0) + m(0,1), m € R}, Q = {b|b = (1,1) + n(- 1,1), n € R}是两个向量集合,则 P n Q 等 )A . {(1,1)} B . {( - 1,1)} C . {(1,0)} D . {(0,1)} 12. 填空题:11.若向量a,b 的夹角为60 , 1,则 ag 向量a= 2,4, b= 1,.若向量b (a+ b),则实数 的值是 B D

相关文档
相关文档 最新文档