求通项公式及前n项和的方法

求通项公式的方法

一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 这种类型使用累加法 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求

变式练习：已知{}n a 满足11=a ,)

1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式 二、)(1n f a a n n ?=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)这种类型使用累乘法 例2.已知数列{n a }满足n a a n

n =+1（n ∈N +），1a =1，求n a . 三、q pa a n n +=+1型数列 待定系数法，构造1

n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11b a p +-。 例3. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。

变式练习：已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式. 四、()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数），此类数列可变形为()111++++=n n n n n p n f p a p a 例4已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .

变式练习：已知{}n a 满足11122,2+++==n n n a a a ，求n a 。 五、“已知n S ，求n a ”型

方法是利用111,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?，把已知条件转化成递推式。

例：已知数列{}n a ，n S 表示其前n 项和，若满足231n n S a n n +=+-，求数列{}n a 的通项公式。 五、C

Ba Aa a n n n +=型数列（C B A ,,为非零常数） 这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1n n a pa q +=+型数列。

例6．已知数列{}n a 满足1122,2

n n n a a a a +==+,求n a .

变式练习：数列{}n a 中，11112,22n n n n n

a a a a +++?==+，求{}n a 的通项。 六、n n n qa pa a +=++12型数列（,p q 为常数）

这种类型的做法是用待定糸数法设()n n n n a a a a λχλ-=--=+112构造等比数列。 例7．数列{}n a 中，,3,221==a a 且()2,211≥∈+=++-n N n a a a n n n ，求n a .

数列的前n 项和的求法

一：公式法：①等差数列：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ (1)2

n n n na d -=- ②等比数列： q

q a a q q a S n n n --=--=11)1(11；(1)q ≠ 二、.裂项相消法：此方法主要针对12231111n n a a a a a a -+++这样的求和，其中{a n }等差数列．

例：求和1111133557(21)(21)n n +++???-+ 变式训练：求数列???++???++,11

,,3

21,211

n n 的前n 项和. 三：错位相减法：此种方法主要用于数列}{n n b a 的求和（用于等差数列乘等比数列） 例：试化简下列和式： 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠

变式训练：已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）求数列2n n a ???

???的前n 项和.

数列的通项公式与前n项和的关系

数列的通项公式与前n 项和的关系 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

1.（11辽宁T17） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列??????-12n n a 的前n 项和． 【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1. a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1） （II ）设数列1{ }2n n a -的前n 项和为n S ，即211,22 n n n a a S a -=+++故11S =（步骤2） 12.2242n n n S a a a =+++ 所以，当1n >时， 1211111222211121()2422 121(1)22 n n n n n n n n n n n S a a a a a S a n n -------=+++--=-+++--=--- = .2 n n （步骤3） 所以1.2n n n S -= 综上，数列11 { }.22n n n n a n n S --=的前项和（步骤4） 2.（10上海T20） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n 时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，()15116 n n a a -∴-=-，（步骤1） 又11150a -=-≠，∴数列{}1n a -是等比数列；（步骤2） （2）由(1)知：151156n n a -??-=- ??? ，得151156n n a -??=- ???，（步骤3） 从而()1575906n n S n n -+??=+-∈ ???N ；（步骤4） 解不等式1n n S S +<，得15265n -??< ???，562log 114.925n >+≈，（步骤5） ∴当15n 时，数列{}n S 单调递增；（步骤6） 同理可得，当15n 时，数列{}n S 单调递减； 故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7） 3.（09辽宁T14） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】中等 【参考答案】13 【试题解析】∵11(1)2 n S na n n d =+-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413 a = . 4.（09全国II T19） 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+

数列通项公式、前n项和求法总结

一?数列通项公式求法总结： 1?定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）. 例］.等差数列｛%｝是递增数列,前n项和为S”,且也,％5成等比数列,S5=a;.求数列｛%｝的通项公式. 变式练习： 1.等差数列｛陽｝中,吗=4,如=2為,求匕｝的通项公式 2.在等比数列｛%｝中<2-4 =2,且2勺为3纠和他的等差中项,求数列｝的首项、公比及前"项和. 2 ?公式法 求数列｛a…｝的通项①可用公式= 5,................ ""求解。 ①-昭......... n>2 特征：已知数列的前"项和s“与％的关系 例2?已知下列两数列｛色｝的前n项和S“的公式，求｛?｝的通项公式。

变式练习： 1.已知数列｛%｝的前n项和为且S产2n2+m n GN*,数列｛"｝满足山=41。审化+3, n^N*.求色，b「 2.已知数列｛?｝的前门项和S”= —丄“2+如(2皿)，且久的最大值为8,试确泄常数k并求0”。2 3.已知数列仏｝的前"项和$“=伫卩，心".求数列仏｝的通项公式。 2 3 ?由递推式求数列通项法 类型1特征：递推公式为如="”+/(") 对策：把原递推公式转化为a n+1-a…= f(n),利用累加法求解。例3.已知数列｛?… ｝满足a｛=~, % = a n + -J—,求 a”。 2 ir +n

变式练习： 1.已知数列｛色｝满足a^=a n+2n + \9 q=l,求数列｛色｝的通项公式。 2?已知数列:? =皿 =5 +漆通项公式 类型2特征：递推公式为勺屮=/（〃）? 对策：把原递推公式转化为组 = /（〃），利用累乘法求解。例4.已知数列仏｝满足=-, a n^=—a n9求％ 3 ” + 1 变式练习： 1?已知数列｛%｝中,q=2, a n￥l=3n a n9求通项公式?。

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

数列通项公式和前n项和的常见解题方法

一、 观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式 例1、求下列数列的一个通项公式。 ①1 3572,4,8,165101520 -- ②1，0，1，0 ③3，33，333，3333 ④11，103，1005，10007 二、定义法：主要应用于可定性为等差或等比数列的类型，可直接利用等差或等比数列的通项公式进行求解。例2、求下列数列的通项公式 ①已知数列{}a n 中() *112,3n n a a a n N +==+∈求通项公式。 ②已知{}a n 中a 13=-且n n a a 21=+求此数列的通项公式。 ③已知等比数列2，a ，a ＋4，…写出其通项a n 的表达式． ④已知数列{}n a 中，满足a 1＝６，a 1+n +1=2(a n +1) （n ∈N + ），则数列{}n a 的通项公式 三、 递推关系式形如1()n n a a f n +=+ (其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累加法, 利用公式121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+???+-来求解. 例.若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 变式：（1）数列{a n }满足a 1=1且132(2),n n n a a n n a -=+-≥求 （2）数列{a n }满足a 1=1且11(2),2 n n n n a a n a -=+ ≥求 四、 递推关系式形如1()n n a a f n += (其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累乘法,利用公式321121n n n a a a a a a a a -=??? 来求解. 例.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（* N n ∈），求通项n a 。 变式：若1124,n n n a a a n ++==，求n a 五、 (构造数列法) 递推关系式形如 1n n a pa q +=+(,,1,0)q p p q ≠≠为常数且 此类问题可化为1()11n n q q a p a p p ++=+--,即数列{}1 n q a p +-是一个以p 为公比的等比数列. 例．已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式 变式：115,23n n n a a a a -==+且，求 六、利用前n 项和S n 求通项 利用{11,1 ,2n n a n n S S n a -=-≥= ，一定要验证首项。 例：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）223n S n n =-。 （2）12-=n s n （2）若数列{a n }的前n 项和S n ＝32 a n －3，求{a n }的通项公式．

求前n项和公式的常用方法

求数列前N项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。 二.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 例题2：求数列的前n项和S n 解： 点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 例题3：求数列(n∈N*)的和

高考数学----数列通项公式与前n项和公式

数列通项与求和 一、观察法（归纳猜想、根据周期规律） 二、根据递推关系求通项 （一）累加法 形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-，且)(n f 不为常数，则求n a 可用累加法。 ① 若)(n f 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若)(n f 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③ 若)(n f 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 （二）累乘法 形如 )2)((1 ≥=-n n f a a n n 或1)(-=n n a n f a ，且)(n f 不为常数，求n a 用累乘法。 （三）待定系数法 形如0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1)型 （1）若1=k 时，数列{n a }为等差数列； （2） 若0=b 时，数列{n a }为等比数列； （3） 若1≠k 且0≠b 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 方法如下：设)(1λλ+=++n n a k a ，比较系数得λ。 （四）倒数法 形如1+= +n n n ca a a d 型，取倒数变成 1111 +=+n n d a c a c 的形式的方法叫倒数变换.取倒数后有两种类型：一是直接转化为等差数列；二是再借助于待定系数法去求解. （五）对数变换法 形如 r n n pa a =+1)0,0(>>n a p 这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。 三、和n S 有关的求通项的方法

已知数列}{n a 前n 项和n S ，则用公式???≥-==-211 1 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ）。 四、形如)(1n f a a n n =++型和 ) (1n f a a n n =?+型 （一）形如)(1n f a a n n =++型 （1）若 d a a n n =++1（d 为常数），则数列{ n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分 奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为) (1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或 用逐差法(两式相减)得) 1()(11--=--+n f n f a a n n ，分奇偶项来分求通项. （二）形如) (1n f a a n n =?+型 （1）若 p a a n n =?+1(p 为常数)，则数列{ n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇 数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得) 1(1-=?-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分 求通项. 一、公式法 ①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n 项和S n ＝? ??? ? ，q ＝1， ＝ ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝ ； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝ ； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝ ； )12)(1(61 12++==∑=n n n k S n k n 2 13)]1(21 [+==∑=n n k S n k n 二、倒序相加：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如__________数列的前n 项和公式即是用此法推导的． 三、错位相减：形如a n ＝b n ·c n ，其中一个是等差数列一个是等比数列 四、分组求和：形如a n ＝b n ＋c n ， 五、裂项(相消)法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，只剩有限项再求 和．

数列通项公式、前n项和求法总结全

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12 -=n s n

变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

数列通项公式和前n项和求解方法全

数列通项公式的求法详解 一、 观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、 公式法 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式前n项和求法总结全

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一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数 列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比 及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 变式练习：

1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和21 2n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列： 求通项公式 类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。 变式练习：

求通项公式的几种方法与总结

睿 博 教 育 学 科 教 师 讲 义 讲义编号： LH-rbjy0002 副校长/组长签字： 签字日期： 教学内容 数列通项及求和 主干知识整合： 1．数列通项求解的方法 (1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：①叠加法；②叠乘法；③转化法．(3)不完全归纳法即从特殊到一般的归纳法；(4)用a n ＝?? ? S 1n ＝1 S n －S n －1n ≥2 求解． 2．数列求和的基本方法： (1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法． ? 探究点 一 公式法 如果所给数列满足等差或者等比数列的定义，则可以求出a 1，d 或q 后，直接代入公式求出a n 或S n . 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，前10项和S 10＝70，则其公差d ＝________. ? 探究点二 根据递推关系式求通项公式 如果所给数列递推关系式，不可以用叠加法或叠乘法，在填空题中可以用不完全归纳法进行研究． 例2 (1)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －13 3a n －7(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项的和为________． (2)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i ＋j ＝k ＋l

时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则 12010∑=+2010 1 i i i )b (a 的值是________． (1)200 (2)2012 【解析】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N * )得a 2＝5×2－133×2－7＝3，a 3＝5×3－133×3－7＝ 1，a 4＝5×1－13 3×1－7 ＝2，则{a n }是周期为3的数列，所以S 100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200. (2)由题意得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5；b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，b 4＝5，b 5＝6.归纳得a n ＝n ， b n ＝n ＋1；设 c n ＝a n ＋b n ，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋n ＋1＝2n ＋1，则数列{c n }是首项为c 1＝3，公差为2的等差数列，问题转化为求数列{c n }的前2010项和的平均数． 所以12010∑=+20101i i i )b (a ＝12010× 2010× 3＋4021 2 ＝2012. ? 探究点四 数列的特殊求和方法 数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握，其中通项公式{a n b n }的特征为{a n }是等差数列，{b n }是等比数列． 例4 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4,5a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n . 【解答】 (1)设{a n }公比为q ，由题意得q >0， 且?? ? a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4， 即??? a 1q －2＝3，2q 2 －5q －3＝0， 解得?? ? a 1＝3，q ＝3 或? ?? ?? a 1 ＝－6 5，q ＝－12(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3n －1＝3n ，n ∈N *. (2)由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n ·3n . 所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，① 3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1.② ②－①得，2S n ＝－3－(32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1 ＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1， ＝－ 31－3n 1－3 ＋n ·3n ＋1＝3 2 (1－3n )＋n ·3n ＋1

求数列通项公式和前N项和的方法

求数列前N 项和的方法 1. 公式法 等差数列前n 项和： 1 1 ()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，21 1(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1 n S na = ()1 111n n a q q S q -≠=-，，特别要注意对公比的讨论。 其他公式： 1、 ) 1(21 1 +==∑=n n k S n k n 2、) 12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 3、2 1 3)]1(21 [+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求? ??++???+++n x x x x 32 的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=3 2 （利用 常用公式）

＝x x x n --1)1(＝2 11)2 1 1(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求 1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(2 1 += n n S n ， )2)(1(2 1 1++= +n n S n （利用常用公式） ∴ 1 )32()(++= n n S n S n f ＝64 342 ++n n n ＝ n n 64 341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，50 1) (max = n f 2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 3 2 )12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

数列的通项公式与前n项和的关系

1.（11辽宁T17） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列??????-12n n a 的前n 项和． 【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210, a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1） （II ）设数列1{}2n n a -的前n 项和为n S ，即211,22 n n n a a S a -=+++L 故11S =（步骤2） 12.2242 n n n S a a a =+++L 所以，当1n >时， 1211111222211121()2422 121(1)22 n n n n n n n n n n n S a a a a a S a n n -------=+++--=-+++--=---L L = .2n n （步骤3） 所以1.2n n n S -= 综上，数列11{ }.22 n n n n a n n S --=的前项和（步骤4） 2.（10上海T20） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列； （2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系.

数列通项公式和前n项和求解方法(全)

数列通项公式和前n项和求解方法(全)

数列通项公式的求法详解 n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17 164,1093,542, 2 11（3） ,5 2,21,32 , 1（4） ,5 4,43,32, 21-- 答案：（1） 1 10-=n n a （2） ; 1 22 ++=n n n a n （3） ;1 2 += n a n （4） 1 )1(1+? -=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)， b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且4 32 a a a ??=48，4 32 a a a ++=12， 则数列的通项公式是（ ） (A) 12 2-=n a n (B) 4 2+=n a n (C) 12 2+-=n a n (D) 10 2+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项1 1 =a ，公比10<

数列的通项公式及前n项和例题及练习

求数列的通项公式: ?公式法: 项公式。 ?累加法：适用于：a n 1 a n f(n) 1.等差数列a n是递减数列，且a2 a3 a4=48, a2 a3 a4=12，求数列的通 2. 若在数列a n中，a13, a n 1 a n求通项a n。 练习：已知数列｛a n｝满足a n1 a n 2n, a1 1，求数列｛a n｝的通项公式。 三.累乘法：适用于: a n 1 f(n)a n 3?在数列a n中，a1a n 1 2a n ( n N ),求通项a n。 练习：在数列a n中, a i 1，a n 1 n --- a n n 1 (n N ),求通项a n。

四、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 4..设数列｛a n ｝满足a 1 2, a . 1 六、S n 与a n 之间的关系 练习：设数列a n 的前n 项和S n =n 2 n 2，求a n 。 练习：已知数列｛a n ｝满足a ni a 1 1，求数列｛a n ｝的通项公 式。 五、待定系数法适用于a n 1 qa n f(n) 5.已知数列｛a n ｝中，a 1 1,a n 1(n 2），求数列a n 的通项公式。 练习：已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 4 3n 1, a i 1，求数列a n 的通项公式。 6.设数列a n 的前n 项和S n =|a n 3，求 a n 。

求数列的前n项和: 、公式法 1.求x x2的前n项和. 分组法求和 1 1 1 2 .求数列12,24,38,???,(n *），???的前n项和。 练习1:求数列的前n项和：1 1,- 4,丄7, a a 1 3n 2 a 练习2:求1 11 111111 n个 1 1之和. 错位相减法 3.求和：S n 1 3x 5x2 7x3(2n 1)x n 1

数列通项公式、前n项和求法总结(全)

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n

变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和212 n S n kn =- +（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 11

数列的通项公式及前n项和例题及练习

求数列的通项公式： 一.公式法： 1.等差数列a n是递减数列，且a2 a3 a4=48, a? a3 a4=12,求数列的通项公式。 二.累加法：适用于：a n i a n f (n) 2.若在数列a n中，a i 3，a n i a n n，求通项a n。 练习：已知数列｛a n｝满足a ni a n 2n，a i 1，求数列｛a n｝的通项公式 三.累乘法：适用于：a n i f(n)a n 3.在数列a n 中，a i i，a n i 2n a n ( n N*)，求通项a“。 练习：在数列a n中，a i i，a n i—^a n( n N*)，求通项a n n i

五、待定系数法适用于a ni qa n f(n) 5.已知数列｛a n ｝中，a i 1,a n 2a “ i 1(n 2)，求数列a n 的通项公式 练习：已知数列｛a n ｝满足a n i 2a n 4 3n 1, 六、S n 与a n 之间的关系 3 6.设数列a n 的前n 项和S n=—a n 3，求a n 2 4.?设数列｛a n ｝满足 a i 2, a . 1 占N),求a n . 练习：已知数列｛a n ｝满足a n 1 Ja i 1，求数列｛a n ｝的通项公式 a n 2 1，求数列a n 的通项公式

练习：设数列a n的前n项和S n= n2n 2，求a n

求数列的前n项和： 一、公式法 1 .求x x 2 x3x n的前n项和. 二、分组法求和 1 1 1 1 2.求数列1 2,24，38'???，（n歹）'？?？的前n项和。 错位相减法 3.求和：S n 1 3x 5x27x3n 1 (2n 1)x 练习：求数列-,- 2 2 6 2 练习1:求数列的前n项和：1 1 1 1, 4,二 a a 7，，洛3n 2 练习2:求1 11 111111 n个 1之和.

求数列通项公式及前n项和常见方法

数列求通项及前n 项和常见方法 求n a 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，2 55a S =．求 数列}a {n 的通项公式 注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、累加法 求形如a n -a n-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。 例2．已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11 (1)n n a a n n -=+ +，求n a ． 注意：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧 三、迭代法 求形如1 n n a qa d +=+(其中,q d 为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。 例3．已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1 =3n a +1，求 n a 注意：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致 走进死胡同 四、公式法 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。

例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式； 注意：利用公式 ?? ?≥-==-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并． 五、累乘法 对形如1 ()n n a f n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累 乘求得通项。 例5．已知数列{}n a 中，311= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，求通项公式n a ． 注意：累乘法是反复利用递推关系得到n —1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的积，要注意求积的技巧 六、分n 奇偶讨论法 在有些数列问题中，有时要对n 的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。 例6．已知数列{a n }中，a 1=1且a n a n+1=21()4n ，求通项公式． 对n 的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有(1)n -时，分n 为奇偶即可自然引出讨论．分类讨论相当于增加条件,变不定为确定．注意最后能合写时一定要合并 七、化归法 想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法．同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。 例7．已知数列}{n a 满足 11, 5a =11211,*,.12n n n n a a n n a a --+>∈=-N 且当时有求a n 注意：本题借助1 {} n a 为等差数列得到了{}n a 的通项公式，是典型的化归法．常用的化归还 有取对数化归，待定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法．