11分式方程章节复习

《分式》训练题

一．解答题（共10小题）

1．化简：

（1）（2）

（3）（4）．

2．计算；

①②．3．先化简：；若结果等于，求出相应x的值．

4．如果，试求k的值．

5．（2011?咸宁）解方程．

6．（2010?岳阳）解方程：﹣=1．

7．（2010?苏州）解方程：．

8．（2011?苏州）已知|a﹣1|+=0，求方裎+bx=1的解．

9．（2009?宁波）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4，，且点A、B到原点的距离相等，求x的值．

10．（2010?钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？

答案与评分标准

一．解答题（共10小题）

1．化简：

（1）

（2）

（3）

（4）．

考点：分式的混合运算；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法。

专题：计算题。

分析：（1）变形后根据同分母的分式相加减法则，分母不变，分子相加减，最后化成最简分式即可；（2）根据乘法的分配律展开后，先算乘法，再合并同类项即可；

（3）先根据异分母的分式相加减法则算括号里面的，再把除法变成乘法，进行约分即可；

（4）先把除法变成乘法，进行约分，再进行加法运算即可．

解答：解：（1）原式=﹣﹣

=

=

=

=﹣；

（2）原式=3（x+2）﹣?（x+2）

=3x+6﹣x

=2x+6；

（3）原式=[]?

=?

=；

（4）原式=?+

=+

=

=

=1．

点评：本题主要考查对分式的混合运算，约分，通分，最简分母，分式的加、减、乘、除运算等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

2．计算；

①

②．

考点：分式的混合运算。

专题：计算题。

分析：①首先进行乘方计算，然后把除法转化为乘法计算，最后进行乘法运算即可；

②运用乘法的分配律和完全平方公式先去括号，再算除法．

解答：解：①

=?（﹣）

=?（﹣）

=﹣；

②

=[﹣x﹣1+1﹣x﹣1+x2+2]÷（x﹣1）

=（x﹣1）2÷（x﹣1）

=x﹣1．

点评：考查了分式的乘除法，解决乘法、除法、乘方的混合运算，容易出现的是符号的错误，在计算过程中要首先确定符号．同时考查了分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．

3．先化简：；若结果等于，求出相应x的值．

考点：分式的混合运算；解分式方程。

专题：计算题。

分析：首先将所给的式子化简，然后根据代数式的结果列出关于x的方程，求出x的值．

解答：解：原式==；

由=，得：x2=2，

解得x=±．

点评：本题考查了实数的运算及分式的化简计算．在分式化简过程中，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．

4．如果，试求k的值．

考点：分式的混合运算。

专题：计算题。

分析：根据已知条件得a=（b+c+d）k①，b=（a+c+d）k②，c=（a+b+d）k③，d=（a+b+c）k④，将①②③④相加，分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论，所以k有两个解．

解答：解：∵，

∴a=（b+c+d）k，①

b=（a+c+d）k，②

c=（a+b+d）k，③

d=（a+b+c）k，④

∴①+②+③+④得，a+b+c+d=k（3a+3b+3c+3d），

当a+b+c+d=0时，

∴b+c+d=﹣a，

∵a=（b+c+d）k，

∴a=﹣ak

∴k=﹣1，

当a+b+c+d≠0时，∴两边同时除以a+b+c+d得，3k=1，

∴k=．

故答案为：k=﹣1或．

点评：本题考查了分式的混合运算，以及分式的基本性质，比较简单要熟练掌握．

5．（2011?咸宁）解方程．

考点：解分式方程。

专题：方程思想。

分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

解答：解：两边同时乘以（x+1）（x﹣2），

得x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣2）=3．（3分）

解这个方程，得x=﹣1．（7分）

检验：x=﹣1时（x+1）（x﹣2）=0，x=﹣1不是原分式方程的解，

∴原分式方程无解．（8分）

点评：考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

6．（2010?岳阳）解方程：﹣=1．

考点：解分式方程。

专题：计算题。

分析：观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

解答：解：去分母，得4﹣x=x﹣2 （4分）

解得：x=3 （5分）

检验：把x=3代入（x﹣2）=1≠0．

∴x=3是原方程的解．（6分）

点评：本题考查解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

7．（2010?苏州）解方程：．

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：换元法。

分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．

解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，

解得，t1=2，t2=﹣1，

当t=2时，=2，解得x1=﹣1，

当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，

经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．

点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

8．（2011?苏州）已知|a﹣1|+=0，求方裎+bx=1的解．

考点：解分式方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根。

专题：综合题；方程思想。

分析：首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可．

解答：解：∵|a﹣1|+=0，

∴a﹣1=0，a=1；b+2=0，b=﹣2．

∴﹣2x=1，得2x2+x﹣1=0，

解得x1=﹣1，x2=．

经检验：x1=﹣1，x2=是原方程的解．

∴原方程的解为：x1=﹣1，x2=．

点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．同时考查了解分式方程，注意解分式方程一定注意要验根．

9．（2009?宁波）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4，，且点A、B到原点的距离相等，

求x的值．

考点：解分式方程；绝对值。

专题：图表型。

分析：A到原点的距离为|﹣4|=4，那么B到原点的距离为4，就可以转换为分式方程求解．

解答：解：由题意得，=|﹣4|，

解得，

经检验是原方程的解，

∴x的值为．

点评：（1）到原点的距离实际是绝对值．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；

（2）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

10．（2010?钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？

考点：分式方程的应用。

专题：应用题。

分析：设原计划参加植树的团员有x人，则实际参加植树的团员有1.5x人，人均植树棵树=，用原人均植树棵

树﹣实际人均植树棵树=2，列分式方程求解，结果要检验．

解答：解：设原计划参加植树的团员有x人，

根据题意，得，

解这个方程，得x=50，

经检验，x=50是原方程的根，

答：原计划参加植树的团员有50人．

点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．

解分式方程练习题中考)

解分式方程练习题中考) 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：．3．（2011?咸宁）解方程． 4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1．5．（2011?威海）解方程：． 6．（2011?潼南县）解分式方程：．7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：．

9．（2011?陕西）解分式方程：． 请问重庆最专业的课外辅导学校-重庆无忧教育的官网和优惠电话是多少?（AB）A、官网http：//https://www.wendangku.net/doc/1f10714505.html, B、课程优惠电话：400-028-6086 023-******** 10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：． 12．（2011?宁夏）解方程：． 13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：． 15．（2011?菏泽）（1）解方程：

（2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°； （2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1

27．（2009?南昌）解方程： 28．（2009?南平）解方程： 29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：．

9.3《分式方程》典型例题精析

9.3 分式方程 1．了解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般步骤．了解解分式方程验根的必要性． 2．能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程，并验根． 3．掌握列分式方程解应用题的基本步骤． 4．能熟练地应用分式方程的数学模型来解决现实情境中的问题．

1．分式方程的概念 (1)分母中含有未知数的方程叫做分式方程． (2)分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含有未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数．例如x ＋1x ＝2，5y ＝7y －2，1x －2＝x 2 2－x 等都是分式方程，而x 2－2x ＋1＝0，2x ＋33＝x －12，x ＋a b －x －b a ＝2(x 是未知数)等都是整式方程，而不是分式方程． 【例1】下列方程中，分式方程有( )． (1)x ＋1π＝3；(2)1x ＝2； (3)2x ＋54＋x 3＝12；(4)2x －2＝1x ＋1 . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：对于方程(1)，因为π是常数，所以该方程不是分式方程，是整式方程；方程(3)中的分母不含字母，所以不是分式方程．方程 (2)(4)符合分式方程的概念，都是分式方程． 答案：B 2．分式方程的解法 (1)把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，进一步求得分式方程的解，这是解分式方程的关键．本章中，解分式方程都是把分式方程转化为一元一次方程，通过解一元一次方程求解分式方程．分式方程的解题思路如下图：

(2)解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是： ①去分母，即在方程的两边乘以最简公分母，把原方程化为整式方程． ②解这个整式方程． ③验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去． (1)增根能使最简公分母等 于0；(2)增根是去分母后所得的整式方程的根． 以上步骤可简记为“一去(去分母)、二解(解整式方程)、三检验(检查求出的根是否是增根)”． 【例2】解分式方程：(1)x x －2＋6x ＋2 ＝1； (2)7x 2＋x －3x －x 2＝6x 2－1 . 分析：(1)中方程的最简公分母是(x －2)(x ＋2)；(2)中方程的最

分式方程解法的标准

分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊

分式及分式方程题型汇总情况

分式单元复习 （一）、分式定义及有关题型 一、分式的概念： 例：下列各式中，是分式的是 ①1+x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦π x 2、下列各式中，是分式的是 ①x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥13 94y x + ⑦πy +5 3、下列各式：()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 例:当x 时，分式 22+-x x 有意义；当x 时，2 2 -x 有意义。 练习：1、当x 时，分式6 53 2+--x x x 无意义。 2．使分式 ||1 x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1± 3、分式 5 5+x x ，当______x 时有意义。 4、当a 时，分式3 21 +-a a 有意义． 5、当x 时，分式2 2 +-x x 有意义。 6、当x 时， 2 2-x 有意义。 7、当x 时，分式 43 5 x x +-的值为1； 8．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231 x x + D ．2221 x x + 9当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）

A. 23x + B.212x - C.1 x D. 211x + 三、分式的值为零说明：①分式的分子的值等于零；②分母不等于零 例1：若分式2 4 2+-x x 的值为0，那么x 。 例2 . 要使分式 9 632 +--x x x 的值为0，只须（ ）. （A ）3±=x （B ）3=x （C ）3-=x （D ）以上答案都不对 练习：1、当x 时，分式 6 ) 2)(2(2 ---+x x x x 的值为零。 2、若分式2 4 2+-x x 的值为0，那么x 。 3、如果分式 2 ||5 5x x x -+的值为0，那么x 的值是（ ） 4.分式1 21 22++-a a a 有意义的条件是 ，分式的值等于零的条件是 。 5.已知当2x =-时，分式 a x b x -- 无意义，4x =时，此分式的值为0，则a b +的值等于（ ） A ．－6 B ．－2 C ．6 D ．2 6.使分式x 312 --的值为正的条件是 7.若分式 9 32 2-+a a 的值为正数，求a 的取值范围 8、当x 时，分式x x --23的值为负数． 9、若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是 （二）分式的基本性质及有关题型 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 1.填空： aby a xy = ； z y z y z y x +=++2) (3)(6;

分式及分式方程精典练习题分析

分式及分式方程精典练习题 一、填空题： ⒈当x 时，分式1 223+-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零. ⒉分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； ⒊化简：2 42--x x ＝ . ⒋当x 、y 满足关系式________时， )(2)(5y x x y --=－25 ⒌化简=-+-a b b b a a . ⒍分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m ＝ . ⒎若121-x 与)4(3 1+x 互为倒数，则x= . ⒏某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务 9、已知关于x 的方程32 2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________． 二、选择题： ⒈下列约分正确的是( ) A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、2 14222=y x xy ⒉用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= ⒊下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++122 C 、1)()(22 -=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222 ⒋下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+-

分式方程的解法与技巧_知识精讲

分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=

当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。

分式方程教学反思〈最新〉

分式方程教学反思〈最新〉 分式方程教学反思 身为一名优秀的人民教师，课堂教学是重要的工作之一，通过教学反思可以有效提升自己的课堂经验，如何把教学反思做到重点突出呢？下面是本人整理的分式方程教学反思，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。 分式方程教学反思1 本节课作为分式方程的第一节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。 本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。本节教材中的引例分式方程较复杂，学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解。因此，学生学的效果也较好。 我认为比较成功的 1、把思考留给学生，课堂教学试一试这个环节中，我把更多的思维空间留给学生。问题不轻易直接告诉学生答案，而由学生通过动手动脑来获得，从而发挥他们的主观能动性。我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。 2、积极正确的引导，点拨。保证学生掌握正确知识，和清晰的解题思路。由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如

何检验等都用多媒体形式给学生展示出来。还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。 3、及时检查纠正，保证学生认识到自己的错误并在第一时间内更正。学生在做题过程中我就在教室巡视，及时发现学生的错误，及时纠正。对于困难的学生也做个别辅导。 虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，这也是我在今后教学中应该注意的地方。第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，从而再强调解分式方程必须检验，不能省略不写这一步。第二，给学生的鼓励不是很多。鼓励可以让学生有充分的自信心。“信心是成功的一半”，“在今后的课堂教学中，应尊重其差异性，尽可能分层教学，评价标准多样化。多鼓励，少批评；多肯定，少指责。用动态的、发展的、积极的眼光看待每个学生，帮助他们树立自信心。赞美的力量是巨大的，有时，一句赞美的话，可以改变人的一生。一句肯定的话、一个赞许的点头、一张表示优胜的卡片，都是很好的鼓励，会起到意想不到的良好结果。 分式方程教学反思2 本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳分式方程的解法。学生不是停留在会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境，使学生的思维得到发挥。 在教学设计上，以探究任务启发引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主探究的舞台，营造了锻练思维的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生探究、归纳的能力。在课堂教学中，我时时注意营造思维氛围，让学生在探究中学会思考、表达。 在本课的教学过程中，我认为应从这样的几个方面入手： 1.分式方程和整式方程的区别：分清楚分式分式方程必须满足的两个条件，⑴方程式里必须有分式，⑵分母中含有未知数。这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件。同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程

分式和分式方程题型

分式与分式方程题型 一、单选题 1、在式子y x y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 2、下列各式中计算正确的是（ ） .A 31273-??= ??? .B 236a a a ?= .C ()23639a a --= .D 538 a a a += 3、分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412() a a b -,④12x -中,最简分式有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x - 5、 |1x －|3x －的值为负值，则x 取值为（ ） A 、x<1 B 、x<3 且x ≠1 C 、x<3 D 、 x=3 6．若把分式xy y x +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ C ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍 7、若方程342(2) a x x x x =+--有增根，则增根可能为（ ） A ：0 B ：2 C ：0或2 D ：1 8、不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A ．2332523x x x x +++- B ．2332523 x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332523x x x x ---+ 9、已知4 32c b a ==，则c b a +的值是（ ）A ．54 B. 47 C.1 D.45 10、一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．x x -=+306030100 B ．306030100-=+x x C ．x x +=-306030100 D ．30 6030100+=-x x 11．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ） A ． 1%206060++=x x B. 1% 206060-+=x x C. 1%2016060++=）（x x D. 1%2016060-+=）（x x 二、填空题 1、用科学计数法表示下列各数：0．000 04=________ －0.0000000102= ； 2、当x ________时，分式x x 2121-+有意义． 3、当x ________时，分式2 21-+x x 无意义 4、当x _________时，分式1 12+-x x 的值为零 5、当x 时，分式21x x -的值为正数；

分式方程教学反思

《分式方程》的教学反思 王素娟 本节课作为分式方程的第一节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。 本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。本节教材中的引例分式方程较复杂，学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解。因此，学生学的效果也较好。 1、把思考留给学生，课堂教学试一试这个环节中，我把更多的思维空间留给学生。问题不轻易直接告诉学生答案，而由学生通过动手动脑来获得，从而发挥他们的主观能动性。我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。 2、积极正确的引导，点拨。保证学生掌握正确知识，和清晰的解题思路。由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来。还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。 3、及时检查纠正，保证学生认识到自己的错误并在第一时间内更正。学生在做题过程中我就在教室巡视，及时发现学生的错误，及时纠正。对于困难的学生也做个别辅导。 虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，这也是我在今后教学中应该注意的地方。第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，从而再强调解分式方程必须检验，不能省略不写这一步。第二，给学生的鼓励不是很多。鼓励可以让学生有充分的自信心。“信心是成功的一半”，“在今后的课堂教学中，应尊重其差异性，尽可能分层教学，评价标准多样化。多鼓励，少批评；多肯定，少指责。用动态的、发展的、积极的眼光看待每个学生，帮助他们树立自信心。赞美的力量是巨大的，有时，一句赞美的话，可以改变人的一生。一句肯定的话、一个赞许的点头、一张表示优胜的卡片，都是很好的鼓励，会起到意想不到的良好结果。

初中数学分式方程典型例题讲解

a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

分式方程教学设计

《分式方程》教学设计 泰来县江桥镇中心学校潘艳梅 一、教学目标： （一）、知识与技能： 1、理解分式方程的意义； 2、了解解分式方程的基本思路和解法； 3、理解解分式方程时可能产生增根的原因。 （二）、过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。 （三）、情感态度：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 二、教学重、难点： 重点：分式方程的概念和解分式方程的基本步骤； 难点：理解解分式方程时可能产生增根的原因。 三、教学过程设计： （一）回顾旧知 师生在和谐的气氛之下共同回忆以下内容： （1）大家还记得我们以前学过什么方程吗？ （2）你会解一元一次方程吗？ 例如：3x+7=2 0.5x-0.7=6.5-1.3x （3）解二元一次方程组的主要思想是什么？

设计意图：通过以上三个问题让学生投入到方程的世界，也为学生能够自己通过知识的迁移突破本节课的重点做一个铺垫. （二）、创设情景、导入新课 出示问题情境：小明与小亮进行百米赛跑。当小明到达终点时，小亮离终点还有5m ，如果小明比小亮每秒多跑0.35m ，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？ (1)设小明百米跑的平均速度为x m/s,那么，小亮百米跑的平均速度是__________m/s （2）小明跑100m 用的时间等于小亮跑_____________m 所用时间。 师： 同学们，你能解决这个问题吗？ （二）激发兴趣，初次探究 （学生交流、讨论，板演所列方程）： 解：设小亮的速度是 x 米∕秒,由题意得：x 5100- = x +35.0100 师：这种类型的方程，我们以前接触过吗？那我们以前曾学过哪几类方程？你能举出几个例子吗？ 生1：我们学过一元一次方程； 如：1653=+x x ， 13 2253-=+x x ，等。 生2：还有二元一次方程；如：402=+y x ，214332=+n m ，等。 师：仔细观察，这些方程的两边都是怎样的式子？ 生齐答：是整式。 师：我们把这些方程都叫做整式方程。那么，我们刚才所列的方程 x 5100- = x +35.0100与这些整式方程有什么区别？ 生1：这个方程的未知数在分母里。 生2：这个方程的分母中含有未知数。

初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

分式方程教学计划

分式方程教学设计 ●教学目标 （一）教学知识点 1.解分式方程的一般步骤. 2.了解解分式方程验根的必要性. （二）能力训练要求 1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤. 2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径. （三）情感与价值观要求 1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度. 2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信. ●教学重点 1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.

2.明确解分式方程验根的必要性. ●教学难点 明确分式方程验根的必要性. ●教学方法 探索发现法 学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性. ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程. 解方程(3x-1)/2+(5x+2)/3=2-(4x-2)/6 ［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得 3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）. （2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2,

（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4, （4）合并同类项（5）使x的系数化为1 Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法 ［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.（出示投影片§3.4.2 A） ［例1］解方程：1/(x-2) = 3/x （1） ［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［师］同学们说他的想法可取吗？ ［生］可取. ［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.

分式与分式方程复习题含答案

分式与分式方程复习题 x － 1 1． 已知分式 ，当 x 取何值时 ， (1) 分式的值是零； (2) 分式无意义？ 2． 下列运算中 ，错误的是 () A. a ＝ ac (c ≠ 0) －a － b B. ＝－ 1 b bc a ＋ b 0.5a ＋ b ＝ 5a ＋ 10b x － y ＝y － x C. 0.2a －0.3b 2a － 3b D. x ＋ y y ＋ x 2 （ a － 3）（ a ＋ 1） 的值等于 。 3．若 a ＝ 3，则 （ a － 4）（ a － 3） 4． 4． 通分： x ＋ 2 ， x －1 . 2 2 －4x ＋ 4 x － 2x x 5． 下列各式计算错误的是 () － 3ab 10xy 5a A. 2 · ＝－ 4x y 21b 14x 2 2 B. x y ÷3x y ＝ 4y 2yz 8yz 3x a － b 2 1 C. a ÷(a － ab)＝ 2 a 3 D ． (－ a)3 ÷ a ＝ b b 6． 化简： a 2 － ab a b 2 ÷ ( － )＝． a b a 7． 计算： (1) x － 2 x 2 － 9 ； ·2 ＋ x ＋ 3 x － 4x 4 1 m 2 － 4 (2)(1＋ ) ÷ 2 . m ＋ 1 m ＋ m

8． 某校用 420 元钱到商场去购买 “ 84消”毒液．经过还价 ，每瓶便宜 0.5 元，结果比用原价 多买了 20 瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶 x 元，则可列出方程为 () 420 420 420 420 A. x － x － 0.5＝ 20 B.x － 0.5 － x ＝ 20 420－ 420 ＝ 0.5 D. 420 －420 ＝ 0.5 C. x x － 20 x － 20 x 2 a ＋ 4 9． 解方程： a － 1＝ 1－ a 2. 10． 为响应低碳号召 ，刘老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车 ，刘老师家距学校 15 千米 ，因为自驾车的速度是自行车速度的 3 倍，所以刘老师每天比原来早出发 40 分钟，才 能按原来时间到校 ，刘老师骑自行车每小时走多少千米？ 11． 下列运算结果为 x － 1 的是 () 1 x 2－ 1 x A ．1－ B. x · x x ＋ 1 C. x ＋ 1 1 D. x 2＋ 2x ＋1 x ÷ x ＋ 1 x － 1 12．观察下面一列有规律的数： 1 ，2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，?根据其规律可知第 n 个数应是 (n 3 8 15 24 35 48 为正整数 ) ． 13．当 a ＝ 2＋ 1， b ＝ 2－ 1 时，代数式 a 2－ 2a b ＋ b 2 2 2 的值是． a － b 14．解方程： (1) 3 ＝ x － 1；x ＋ 1 x － 1 2x ＋ 2 x ＋ 2 x 2 － 2 (2) x － x － 2＝x 2－ 2x .

分式方程典型例题

三人行教育陈老师教案——分式方程典型例题 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 11 4 112=---+x x x 专练一、解分式方程 （1）14-x ＝1； （2）3 5 13+=+x x ； （3） 30120021200=--x x （4）255 522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 222746 1x x x x x +=+-- （7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、 若方程x x x --=+-34 731有增根,则增根为 . 例3．若关于x 的方程3 1 3292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少? 专练习二： 1.若方程 33 23-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根?

题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解. 例4、 若方程x m x x -=--223无解,求m 的值. 思考:已知关于x 的方程 m x m x =-+3 无解,求m 的值. 题型四:解含有字母的分式方程时,注意字母的限制. 例5、.若关于x 的方程 81=+x ax 的解为41 =x ,则a = 例6、.关于x 的方程 12 -=-+x m x 的解大于零, 求m 的取值范围. 注:解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解 ①若解为正???>去掉增根正的解0x ;②若解为负? ??<去掉增根负的解0 x 解： 专练三： 1.若分式方程 5 2 )1()(2-=--x a a x 的解为3=x ,则a = . 3.已知关于x 的方程3 23-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围. 4.若方程k x x +=+233有负数根,求k 的取值范围. .

分式方程练习题及标准答案

分式方程练习题及答案

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分式方程练习题及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列式子是分式的是（ ） A ．2 x B ．x 2 C ．πx D ． 2 y x + 2．下列各式计算正确的是（ ） A ．1 1--= b a b a B ． ab b a b 2 = C ． ()0,≠=a ma na m n D ． a m a n m n ++= 3．下列各分式中，最简分式是（ ） A ．() () y x y x +-73 B ．n m n m +-22 C ． 2 222ab b a b a +- D ． 2 2222y xy x y x +-- 4．化简 2 293m m m --的结果是（ ）

A.3+m m B.3 +- m m C. 3 -m m D. m m -3 5．若把分式 xy y x +中的x 和y 都扩大2 倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍 6．若分式方程 x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．—1 D ．—2 7．已知 4 32c b a ==，则 c b a +的值是（ ） A ．5 4 B. 4 7 C.1 D.4 5

8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．x x -= +3060 30100 B ．3060 30100-= +x x C ． x x += -3060 30100 D ． 30 60 30100+= -x x 9．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。

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第二讲分式方程 【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 题型一：用常规方法解分式方程 解下列分式方程 （ 1） 1 3 （ 2） 2 1 x 1 x x 3 x （ 3）x 1 4 1 （ 4） 5 x x 5 x 1 x2 1 x 3 4 x 题型二：特殊方法解分式方程解下列方程 （1）x4x 4 4 ；（2）x 7 x 9 x 10 x 6 x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5 （3） 1 1 1 1 x 2 x 5 x 3 x 4 1

题型三：求待定字母的值 （ 1）若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 （ 2）若分式方程 2 x a 1 的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 （ 3）若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。 x 2 2 x （ 4）若关于 x 的方程 x k 2 x 不会产生增根，求 k 的值。 x 1 x 2 1 x 1 （ 5）若关于 x 分式方程 1 k x 2 3 有增根，求 k 的值。 x 2 x 2 4 题型四：解含有字母系数的方程 解关于 x 的方程 (1 ) x a c (c d 0) （2） 1 1 2 (b 2a) ； b x d a x b 2

1a1 b （ 3）(a b) . 题型五：列分式方程解应用题 一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做 4 天可以完成，甲队单独做 15 天可以完成，乙队单独做 12 天可以完成，丙队单独做几天可以完成？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城 市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 二、行程中的应用性问题 2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车 的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度． 3

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分式方程的解法 一、知识清单 1. 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程. 2. 解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程. 3. 解分式方程的一般步骤是： 去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验. 4. 分式方程增根：使最简公分母为0 的未知数的值叫做分式方程的增根. 二、基础夯实 1. 解下列分式方程： （1） 4x x 2 1 3 2 x x 2 （2） 1 x 1 ( x 1)( x 2) 2. 当m 为何值时，分式方程 m 2 x 1 x 1 3 2 x 会产生增根？ 1 三、经典例题 1 1 例1. 我们容易求得分式方程 2 x x 2 的解为x 2或 1 x （口头检验一下）. 2 1 1 （1）方程 3 x x 3 的解为； 1 1 （2）以x为未知数的方程 c x x c 的解为； （3）解方程： x 3x 4 2 3x x 2 4 26 5

例2. 解方程 x x 2 1 x x 3 2 x x 4 3 x x 5 4 例 3. 解 方 程 1 x(x 1) (x 1 1)( x 2) ... ( x 1 1998)( x 1999 ) 1 1 x . 4 ax 例4. 当a 为何值时，以x为未知数的方程 3 x 2 无 解？ 1 1 5 ab 1 x y y z 6 a b 3 例5. 解方程组（1） bc b c 1 4 （2） 1 1 y z z x 7 12 ca 1 1 1 3 c a 5 z x x y 4

四、方法归纳 1. 解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、 1 1 换元法、倒置变换法等，还可以巧妙应用“x c x c ”型的解是x c或x 1 c . 2. 利用增根的意义解题是一类重要题型，其方法为：（1）先将分式方程转化为整式方程；（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的整式方程中. 3. 方程无解与方程有增根不是一回事. 如例4 方程无解时 a 有2 个值，但方程有增根时 a 只 有1 个值. 五、考题演练 1. 解关于x的方程 1 1 x a . x 1 a 1 2. 解方程13 11 2x 2x 17 15 2x 2x 19 17 2x 2x 11 9 2x 2x 3. 解方程x 1 1 1 1 2 x x x x x x2 x 2 2 3 2 5 6 7 12 4 21