三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1．O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++;
若O 是ABC ?的重心，则
AB C AOB AOC BOC S 31
S S S ????=
==故=++;
1()3PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心.
2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?;
若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：
：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++
3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2
2
2
OC OB OA ==)
若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：
：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是
(
OC (
OB (
OA =?=?=-?
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是
ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则
c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=???
故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;
||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?是ABC ?的内心;
向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平
分线所在直线)
；
例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不
共线的三个
点，动点P 满足
OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ）
（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
解析：因为
是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又
AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ?中，AP 平分BAC ∠，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥?=??=-???=?00)(,
同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））
例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（D ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
解析:由0=?-??=?得.即0,0)(=?=-?CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ?的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0?点G 是△ABC 的重心.
证明 作图如右，图中GE GC GB =+
连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ?BGCE 为平行四边形?D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.
将=+代入++=0，
得+=0?2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心?)(3
1
PC PB PA PG ++=. 证明 +=+=+=?)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0?CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3
1++=.（反之亦然（证略））
例6 若O 为ABC ?内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ? 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心
解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则
OB OC OD +=，由平行四边形性质知1
2
OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性
质，所以是重心，选D 。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
例7若O 为ABC ?内一点，OA OB OC ==，则O 是ABC ? 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心
解析：由向量模的定义知O 到ABC ?的三顶点距离相等。故O 是ABC ? 的外心 ，选B 。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2
1
-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =2
1-，
∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.
反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，
1
OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |?点O 是正△P 1P 2P 3的中心.
例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：
112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、,
122(,)33x x y G +212243(,)(,)222
x x y AH x y QF y ∴==--， 212(,)BC x x y =- 2212422142
()0()
AH BC
AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴?=-+=-∴=-
2122232212
32(
)()0222
()22QF AC
x x y
QF AC x y y x x x y y y ⊥∴?=-+-=-∴=+
1212212
24323()(,),)22
x x x x x x y QH x y y --∴=-
-=--2（22y 21122122212
3212212212212
2()(,),)32332
23()23()1 (
,)(,)632
1
=3
x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH
+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y 即=3QH QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2
例10．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证
OC OB OA OH ++=.
证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .
∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，
∴四边形AHCD 为平行四边形，
∴+==，故++=+=.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OH OG 3
1= 证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心?)(3
1OC OB OA OG ++= 按垂心定理 ++= 由此可得 OH OG 3
1=. 补充练习
1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
=31 (21+2
1
+2),则点P 一定为三角形ABC 的 （ B ）
A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点（非重心）
C.重心
D.AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则OM OB OA 2=+，由OP
=
31 (2
1OA +
OB 2
1
+2OC )可得3OM 23+=，∴3
2=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选
B.
2．在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式： 2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2
OC ＋
2
AB
，则Ｏ为ABC ?的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=，则P 为ABC ?的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ C ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：
0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=，则P 点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ?+?+?=，则P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA ?-=22
2
，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →
=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形 解析：非零向量与满足(
||||
AB AC
AB AC +
)·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =
||||
AB AC AB AC ?
=1
2 ，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 8.ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = 1 9.点O 是ABC ?所在平面内的一点，满足?=?=?，则点O 是ABC ?的（B ）
（A ）三个内角的角平分线的交点
（B ）三条边的垂直平分线的交点
（C ）三条中线的交点
（D ）三条高的交点
10. 如图1，已知点G 是ABC ?的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，
AN y AC =，则11
3x y
+=。
证 点G 是ABC ?的重心，知GA GB GC ++=O ，
得()()AG AB AG AC AG -+-+-=O ，有1
()3
AG AB AC =+。又M ，N ，G 三点共线（A 不在直线MN
上）， 于是存在,λμ，使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且，
有AG x AB y AC λμ=+=1
()3
AB AC +，
得1
1
3x y λμλμ+=??
?==??
，于是得113x y +=。 例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程： 1、课前练习
1.1已知O 是△ABC 内的一点，若2
2
2
OC OB OA ==，则O 是△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心
1.2在△ABC 中，有命题①=-；②=++；③若()()
0=-?+，则△ABC 为等腰三角形；④若0>?，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕 A 、①② B 、①④ C 、②③ D 、②③④ 2、知识回顾
2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质
2.3 上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC
中，有0=??? ?+BC
21
=,试判断△ABC 的形状。 练习1、已知△ABC 中，a AB =，b BC =，B 是△ABC 中的最大角，若0
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O 是△ABC
+=+=+，则O 是△ABC 的〔 〕
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P
满足()+∞∈?
? ?++=,0,λλOA OP ，
则动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
练习2、已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足
()+∞∈??
?
??++=,0,21λλBC AB OA OP ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
例4、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点
P 满
足
()+∞∈?
? ?+=,0,λλOA OP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
练习3、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点
P
满
足
()+∞∈?
? ?+++=,0,2λλOC OB ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
例5、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB 、AC 分别相交于M 、N 两点，且
y x ?=?=,，求证：31
1=+y
x
6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，
合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。 7、作业
1、已知O 是△ABC 内的一点，若0=++OC OB OA ，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
2、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，且=++，则?等于〔 〕
A 、21
B 、0
C 、1
D 、2
1-
3、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，A 、B 、C 、所对的过分别是a 、b 、c 若
=?+?+?c b a ，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
4、已知P 是△ABC 所在平面内与A 不重合的一点，满足3=+，则P 是△ABC 的〔 〕
5、平面上的三个向量、、满足=++
，1===，求证：
△ABC 为正三角形。
6、在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，求)(+?
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。
一、“重心”的向量风采
【命题1】 G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．如图⑴.
A'
A
【命题2】 已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.
【解析】 由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，
时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.
二、“垂心”的向量风采
【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是ABC △的垂心． 【解析】 由PA PB PB PC ?=?，得()0PB PA PC ?-=，即0PB CA ?=，所以PB CA ⊥．同理可证
图⑴
图⑵
PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.
【命题4】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ?? ?=++ ???，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．
【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ??
?=+ ?
??，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ?? ?+?= ???
， 即
0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B
AC C
??+
=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且
垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.
三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若
0a I A b I B c I C ++=，则I 是ABC △的内心．
【解析】 ∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，
∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ??
?+=?+?=??+ ???
， 图⑶
图⑸
图⑹
A
B
∴bc AB AC AI a b c AB AC ?? ?=
+ ?++??
．∵AB AB
与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量， ∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．
同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.
【命题6】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
AB AC OP OA AB AC λ?? ?=++ ???
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．
【解析】 由题意得AB AC AP AB AC λ??
?=+ ???
，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线
方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.
四、“外心”的向量风采
【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．
【解析】 若2
2
2
OA OB OC ==，则2
2
2
OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心，如图⑺。
【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ??+ ?=++ ???，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心。
【解析】 由于2
OB OC +过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ?? ?+ ???
表示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC
△的外心，如图⑻。 图⑺
图⑻