北师大版九年级数学特殊的平行四边形讲义

讲义：特殊平行四边形

学生：学科：八年级数学教师：日期： 20140601 一、作业检查。

检查学生的作业，及时指点。

二、课前热身：要求学生复述上节课的主要知识。

三、内容讲解：

知识梳理

一、矩形的性质与判定

1．定义

有一个角是直角的____________是矩形．

2．性质

(1)矩形的四个角都是__ ______．

(2)矩形的对角线________．

(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是__________．

3．判定

(1)有三个角是________的四边形是矩形．

(2)对角线________的平行四边形是矩形．[来源:https://www.wendangku.net/doc/1b10816403.html,]

二、菱形的性质与判定

1．定义

一组邻边相等的__________叫做菱形．

2．性质

(1)菱形的四条边都________．

(2)菱形的对角线__________，并且每一条对角线平分一组对角．

3．判定

(1)对角线互相垂直的________是菱形．

(2)四条边都相等的________是菱形．

三、正方形的性质与判定

1．定义

一组邻边相等的________叫做正方形．

2．性质具有菱形和矩形的一切性质。

(1)正方形的四条边都________，四个角都是______．

(2)正方形的对角线______，且互相________；每条对角线平分一组对角．

(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是

中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

3．判定

(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的__________是正方形．

(2)一组邻边相等的________是正方形．

(3)对角线互相垂直的________是正方形．

(4)有一个角是直角的________是正方形．

(5)对角线相等的________是正方形．

考点一矩形的性质与判定

1．定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

2．性质：

(1)矩形的四个角都是直角．(2)矩形的对角线相等．

(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是对角线的交点．

3．判定： 定义

(1)有三个角是直角的四边形是矩形．(2)对角线相等的平行四边形是矩形． 考点二 菱形的性质与判定

1．定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．性质：

(1)菱形的四条边都相等．

(2)菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角． 3．判定： 定义

(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(2)四条边都相等的四边形是菱形． 考点三 正方形的性质与判定

1．定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形． 2．性质：具有菱形和矩形的一切性质。

(1)正方形的四条边都相等，四个角都是直角．

(2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．

(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

3．判定：

(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．

(2)一组邻边相等的矩形是正方形． 定义 (3)对角线互相垂直的矩形是正方形． (4)有一个角是直角的菱形是正方形．(5)对角线相等的菱形是正方形．

课前热身：

1．如图所示，已知ABCD ，下列条件：

①AC ＝BD ，②AB ＝AD ，③∠1＝∠2，④AB ⊥BC 中，能说明ABCD 是矩形的有________(填写序号)． 2．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝15，∠ADC ＝120°，则B ，D 两点之间的距离为( )．

A ．15

B ．153

2

C ．7.5

D ．15 3

3．下列命题中是真命题的是( )．

A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C ．两条对角线相等的平行四边形是矩形

D ．两边相等的平行四边形是菱形

4．下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )． A ．角 B ．任意三角形 C ．矩形 D ．等腰三角形

5．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边B C ，CD 上，AE ，BF 交于点O ，∠AOF ＝90°.

求证：BE ＝CF .

例题讲解：

一、矩形的性质与判定

【例1】 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ，AE 分别是∠BAC 和∠BAC 外角的平分线，BE ⊥AE .

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

(1)求证：DA ⊥AE ；

(2)试判断AB 与DE 是否相等，并证明你的结论．

网

分析：第(1)题利用邻补角的角平分线互相垂直易证；第(2)题中，AB 与DE 是四边形ADBE 的对角线，可考虑利用矩形的判定证四边形ADBE 是矩形即可．

解：(1)证明：∵AD ，AE 分别平分∠BAC ，∠BAF ，

∴∠BAD ＝12∠BAC ，∠BAE ＝1

2

∠BAF .

∵∠BAC ＋∠BAF ＝180°，

∴∠BAD ＋∠BAE ＝12(∠BAC ＋∠BAF )＝1

2

×180°＝90°，即∠DAE ＝90°.∴DA ⊥AE .

(2)AB ＝DE .

理由是：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ．∴∠ADB ＝90°. ∵BE ⊥AE ，∴∠AEB ＝90°. ∵∠DAE ＝90°，∴四边形ADBE 是矩形． ∴AB ＝DE .

方法总结:矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.

【例2】如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上(端点除外)的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE ，AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．

分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等． 解：当点O 运动到AC 的中点(或OA ＝OC )时， 四边形AECF 是矩形．

证明：∵CE 平分∠BCA ，∴∠1＝∠2. 又∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠3， ∴∠3＝∠2，∴EO ＝CO . 同理，FO ＝CO ， ∴EO ＝FO .

又OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5， ∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.

又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°， ∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF ＝90°. ∴四边形AECF 是矩形．

触类旁通:如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.

求证：(1)BF＝DF；

(2)AE∥BD.

证明：(1)在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，

∴∠1＝∠2.[来源:https://www.wendangku.net/doc/1b10816403.html,]

∵∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，∴BF＝DF.

(2)∵AD＝BC＝BE，BF＝DF，

∴AF＝EF，

∴∠AEB＝∠EAF.

∵∠AFE＝∠BFD，∠1＝∠3，

∴∠AEB＝∠3，∴AE∥BD.

二、菱形的性质与判定

【例2】如图，AD∥EF，点B，C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC．

(1)求证：四边形BCEF是菱形；

(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.

证明：(1)∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.

∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.∴BF＝EF.

∵BF＝BC，∴BC＝EF.

∴四边形BCEF是平行四边形．

又∵BF＝BC，∴BCEF是菱形．

(2)∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE.

∴四边形ABEF，四边形CDEF均为平行四边形．

∴AF＝BE，FC＝ED．

又∵AC＝2BC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SSS)．

方法总结:菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法是：(1)四边相等；

(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．

触类旁通：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E.

(1)求△BDE 的周长；

(2)点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，求证：BP=DQ.

【例3】如上右图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD . (1)求证：四边形OCED 是菱形； (2)若∠ACB ＝30°，菱形OCED 的面积为83，求AC 的长．

分析：(1)先证明四边形OCED 是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为△DOC 是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC 的长．

解：(1)证明：∵DE ∥OC ，CE ∥OD ，∴四边形OCED 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OC ＝BO ＝OD . ∴四边形OCED 是菱形． (2)∵∠ACB ＝30°，∴∠DCO ＝90°－30°＝60°.

[来源:https://www.wendangku.net/doc/1b10816403.html,]

又∵OD ＝OC ，∴△OCD 是等边三角形．

过D 作DF ⊥OC 于F ，则CF ＝1

2

OC ，

设CF ＝x ，则OC ＝2x ，AC ＝4x .

在Rt △DFC 中，tan 60°＝DF

FC

，

∴DF ＝FC ·tan 60°＝3x .

由已知菱形OCED 的面积为83得OC ·DF ＝83，即2x ·3x ＝8 3.解得x ＝2.∴AC ＝4×2＝8.

触类旁通：如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD ，BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．

三、正方形的性质与判定

【例4】 如图①，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，HA ＝EB ＝FC ＝GD ，连接EG ，FH ，交点为O .

(1)如图②，连接EF ，FG ，GH ，HE ，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；

(2)将正方形ABCD 沿线段EG ，HF 剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3 cm ，HA ＝EB ＝FC ＝GD ＝1 cm ，则图③中阴影部分的面积为__________cm 2.

分析：根据题目的条件可先证△A EH ，△BFE ，△CGF ，△DHG 四个三角形全等，证得四边形EFGH 的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．

解：(1)四边形EFGH是正方形．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．

∵HA＝EB＝FC＝GD，

∴AE＝BF＝CG＝DH.

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.

∴EF＝FG＝GH＝HE.∴四边形EFGH是菱形．

由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.

∴菱形EFGH是正方形．

(2)1

方法总结:证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”+“一组邻边相等”+“一个角为直角”；(2)“矩形”＋“一组邻边相等”；(3)“矩形”＋“对角线互相垂直”；(4)“菱形”＋“一个角为直角”；(5)“菱形”＋“对角线相等”．

中考回放：

1．(2012山东滨州)若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角的度数比为()．

A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1

2．(2012江苏泰州)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题

．．．共有()．

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．(2011江苏南京)如图，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为__________ cm2.

4．(2012四川成都)如上右图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是() A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC

5．(2012江苏苏州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是()

A．4B．6 C．8D．10

6．(2012贵州铜仁)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB的最小值是__________．

7．(2012山东临沂)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.

(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；

(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？

四、课堂小结。

要求学生复述本节课重点内容。

五、作业布置

1．下列说法不正确的是()．

A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形

C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形[来源学科网Z,X,X,K]

2．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.

若CD＝6，则AF等于()．

A．43B．33C．4 2 D．8

3．如上右图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__________．

4．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是__________．(写出一个你认为正确的结论即可) 5．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是__________．

6．如上右图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.

(1)求证：D是BC的中点．

(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．