浅谈数学归纳法

贵州师范大学数学与计算机科学学院2011级高等代数专题研究论文

项目名称：浅谈数学归纳法

学院：数学与计算机科学学院

专业年级：2011级数学与应用数学

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指导教师：

二〇一四年4月至5月

目录

1、浅谈数学归纳法 (2)

2、引言 (2)

3、归纳法 (9)

4、数学归纳法 (3)

5、数学归纳法的应用与易错分析 (5)

6、数学归纳法的用法说明 (10)

7、小结 (10)

8、参考文献 (11)

9、致谢词 (12)

10、初谈写“数学归纳法”之收获 (13)

浅谈数学归纳法

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（贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州贵阳）

摘要：数学归纳法是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法.在在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，其次理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法.再次要注重原理的理解，探索证明的严密性与有效性.最后充分利用假设，掌握其实质.数学归纳法的思想贯穿于发现问题和解决问题的全过程.本文将对数学归纳法的由来、应用技巧、解题思路以及需要注意的问题进行简要的论述.

关键词：数学归纳法；归纳；假设；自然数

Discussion on the mathematical induction

Yao Yun

(School of Mathematics And Computer Science,Guizhou Normal University,Guizhou Guiyang)

Abstract：The mathematical induction is a special method in connection with a natural number N the proof of mathematics.In the proposition concerning the natural number is also has its unique features.To apply mathematics skilled inductive method,first must be accurate understanding of its meaning and mastering the problem-solving steps,then understand and master"inductive thinking method--guess--that"the discovery.Once again to focus on the understanding of the principles,strict and effective exploration proved.Finally by hypothesis fully,grasp its essence. The thought of mathematical induction through finding and solving problems in the whole process. This paper discusses the origin,mathematical induction skills,problem-solving ideas and problems needing attention.

Key word:Mathematical induction;Induce;Hypothesis;Natural number.

引言

1.1.引言

1.1归纳法

1.1.1归纳法的定义

归纳论证是一种由个别到一般的论证方法.它通过许多个别的事例或分论点，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论.

1.1.2归纳法的特点

（1）归纳法是根据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论，超越了前提所包含的内容；

（2）归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；

（3）归纳法的前提是单个事实、特殊情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.

归纳法

数学归纳法

2数学

2.1数学归纳法的发展

普通归纳法与无穷自然数相结合的数学证明方法，让人无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”,经历了一个漫长的认识过程.在16世纪晚期,数学归纳法开始出现在代数中.1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法,并利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜.莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底,因为他需要证明的地方没有必要的演绎,但是可以说莫洛里克斯算是一个早期研究数学归纳法的数学家,一般认为,历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）,1654年,帕斯卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式（a+b)^2展开式的系数公式,从而得到有名的帕斯卡三角阵.

继帕斯卡之后,数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具,在费马（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、欧拉（1707-1783）这些大数学家们就运用到数学归纳法做出出色的成就,1889年意大利数学家皮亚诺(C·Peano, 1858～1932,意大利)发表《算术原理新方法》,给出自然数的公理体系,使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础．现在开始我们重新认识一下数学归纳法.

在国内，如《数学教育报》,《数学通报》,《数学通讯》等,刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题.数学归纳法是数学中一种重要的证明方法,也是中学数学一个非常重要的内容,用于证明与无穷的自然数集相关的命题.

2.2数学归纳法的定义

数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立.

2.3数学归纳法的思想

对于一个与自然数有关的命题p(n)，数学归纳法将命题p(n)理解为一系列问题：p(1),p(2),p(3),…,即p(n)={p(n)|n∈N｝.然后有命题p(1),p(2),p(3),…都成立去下决定“命题p(n)成立”，为数学归纳法中的归纳思想.

2.4数学归纳法的依据及步骤

2.4.1数学归纳法的依据

理论依据是自然数的皮亚诺（peano,1858年-1932年，意大利数学家）公理，其中一条叫做归纳定理：“如果某一正整数的集合M含有1，而且只要M含有正整数K，就一定含有K后面紧挨着的那个正整数K+1，那么M就是正整数集本身.”

现设p(n)是一个与正整数n有关的命题，用M表示使p(n)成立的正整数的集合.由数学归纳法的第一个步骤，可知命题p(1)成立，所以M含有1.再由数学归纳法的第二个步骤，可知在假设n=k时命题p(k)成立后，可以推出n=k+1时命题p(k+1)也成立；换句话说，只要M含有正整数K，就一定含有K后面紧挨着的那个正整数K+1.因此根据归纳公理，M就是正整数集本身，即命题p(n)对于所有正整数都成立.

2.4.2数学归纳法的步骤

数学归纳法步骤严谨,如果把要证明的命题记作P(n),那么数学归纳法的步骤为：

(1)证明当n取对命题适用的第一个自然数n1时,p(n1)正确.

(2)假设n=k(且k大于等于零)时,命题成立,即p(k)正确.证明当n=k+1时命题成立.

(3)根据(1)、(2)当k≥1且n=k+1时正确,即p(n)正确.

运用数学归纳法证题时,以上三个步骤缺一不可,步骤(1)时正确的奠基步骤,称之为归纳基础,步骤(2)反应了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,若只有步骤(1),而无步骤(2),只是证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法,若只有步骤(2),而没有步骤1,那么假设n=k成立,就时没有根据的,缺少递推的基础,也无法进行递推,有了步骤(1)和步骤(2)使递推成为了可能,步骤(3)是将步骤(1)步骤(2)结合完成数学归纳法中递推的全过程,因此三个步骤缺一不可.

2.5数学归纳法的分类

2.5.1第一类数学归纳法

定义：在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法，介绍如下：原理：设有一个与正整数n有关的命题P(n).如果：（1）当n=1时命题成立（2）假设n=k时命题成立（3）若能证明n=k+1时命题也成立.

证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么s≠?，于是由最小数原理，S中有最小数a,因为命题对于n=1时成立，所以a≠1，a>1，从而a-1是个正整数，又由于条件

（3）当n=a 也成立.因此a S ，导致矛盾，因此该命题对于一切正整数都成立，定理证毕.

在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c 开始的，这时在叙述上只要将n=1换成n=c 即可，第一数学归纳法主要可概括为以下三步：（1）归纳基础：证明c 时命题成立（2）归纳假设：假设n=k 时命题成立（3）归纳递推;由归纳假设推出n=k+1时命题也成立.

2.5.2第二类数学归纳法

第二数学归纳法与第一数学归纳法时等价的，在有些情况下，由归纳法“假设n=k 时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题p(n)，在证明p(n+1)成立，不仅依赖p(K)成立，而且依赖于前面各步成立.这时一般要选用第二数学归纳法.

第二数学归纳法原理：设有一个与正整数n 有关的命题p(n).如果：（1）当n=1时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n ≤k 成立时（3）若能证明n=k+1时命题也成立，则这个命题对于一切正整数n 都成立其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方就不重复了.

第二数学归纳法可概括为一下三步：

（1）归纳基础：证明n=1时命题成立；（2）归纳假设：假设n ≤k 时命题成立；（3）归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.

3数学数学归纳法归纳法归纳法的应用与易错分析

的应用与易错分析3.1数学归纳法的应用

3.1.1数学归纳法在高考中的应用

例1、(全国高考试题)证明下列恒等式：

()()()()()()22222212233445212221143n n n n n n n ??×?×+×?×++??+=?++??

?证明：当1n =时,左边=22122341814×?×=?=?；

右边()()11141314=?+×+=?.等式成立.

假设当n k =时等式成立,即

()()()()()()22222212233445212221143k k k k k k k ??×?×+×?×++??+=?++??

?当1n k =+时,

()()()()()()()()22

2222221223344521222121222223k k k k k k k k ??×?×+×?×++??++??

??++?++???()()()()()()2214321222223k k k k k k k ??=?+++++?++??

()()()()()()214321221123k k k k k k k ??=?++++++?+??

()()()()

1432167k k k k k =?++?++()()

2141514k k k =?+++()()()

1247k k k =?+++()()()111413k k k =?+++++????????

说明当1n k =+时等式也成立,恒等式对任何正整数n 都成立.

例2、设01n a <<,用数学归纳法证：

()()()12121111n n

a a a a a a ???>??????证明：当1,2n =时,101a <<,201a <<,()()121212111a a a a a a ??=???,所以()()1212111a a a a ??>??,

假设n k =时,()()()12121111k k a a a a a a ???>??????成立．证明1n k =+时,

()()()()()()

()12112112112112111111111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++????>?????=?????++++>??????????也成立.所以原命题成立.

例3、设列{}n a 的通项公式为()()12131,2n n a n n ?=+=i ?求数列的前n 项和的公式.

证明：因为

()111121133S a ?==×+×=,

()212212322131823S S a ?=+=+×+×==×,

()231233222323139333S S a ?=+=×+×+×=×=×,

()3413443433241312343S S a ?=+=×+×+×=×=×,

至此,可以猜测数列的前n 项和公式是

()

31,2,n n S n n ==i ?()

3下面用数学归纳法证明.

当1n =时由上述计算可知公式()3是正确的.

设公式当()4n k k =≥时正确,当1n k =+时,因为()()()111321333313k k k k k k k S S a k k k k +++=+=++=+=+????

i i i i 故公式()3当1n k =+时也是正确的.

因此,公式()3对一切自然数n 都成立.

故由数学归纳法知()3是数列｛｝前n 项和公式.

3.1.2数学归纳法在高等代数中的应用

运用数学归纳法来证明整除问题,是充分运用整除的性质,即：/,/h f h g 则/h f g +.

例1、证明22633n n n +++能被11整除.

证明：当n=l 时,22633n n n +++=2363366++=能被ll 整除.

假设n k =时,22633k k k +++能被ll 整除.

则当1n k =+时,

()()()()

21121

22222226333663333366363333363333366333333k k k k k k

k k k k k

k k k k k ++++++++++=×+×+×=×+×?×+×?×=++?+由于22633k k k +++能被1l 整除,()23333k k ++能整除ll,

所以()()222366333333k k k k k ++++?+能整除ll .

即当1n k =+时命题也成立.根据数学归纳法第一步与第二步可知,等式对一切n N ?∈成立.

例2、对每个2n ≥,求证存在n 个互不相等的正整数12,,n a a a ?,使得()()i j i j

a a a a ?|+,对任意的{},1,2,,i j n i j ∈≠?成立.证明：当2n =时,取121,2a a ==,命题显然成立.

假设n k =时命题成立,即存在12,,k a a a ?满足()()i j i j a a a a ?|+,记b 为12,,k a a a ?及它们每两数之差的最小公倍数,则1k +个数b ,12,,k a b a b a b +++?也满足()()t t a b b a b b +?|++????????,()1,2,t k =?,

()()()()i j i j a b a b a b a b ????+?+?+++????

,(),1,2,i j k i j =≠?,即命题对1n k =+时成立,由数学归纳法知命题得证.

3.1.3数学归纳法在几何中的应用

例1、平面内有n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点.

求证：这n 个圆把平面分成22n n ?+个部分.

证明：当1n =时,一个圆把平面分成两部分,21122?+=,命题成立.假设当n k =时命题成立,即k 个圆把平面分成22k k ?+.

当1n k =+时．这1k +个圆中的k 个圆把平面分成22k k ?+个部分,第1k +个圆被前k 个圆分成2k 条弧,每条弧把它所在部分分成了两个部分,这时共增加了2k 个部分．即1k +个圆把平面分成()()()2

222112k k k k k ?++=+?++即命题也成立.

根据数学归纳法第一步与第二步可知,等式对一切n N ?∈成立.

3.2数学归纳法的易错分析

3.2.1运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件

例1、用数学归纳法证明：*n N ∈时，

1111335(21)(21)21

n n n n +++=××?×++?

错误证明：

(1)当n=1时，左边=11133=×，右边=13

,等式成立.(2)假设(1n k k =≥，*k N ∈)时，等式成立.即1111335(21)(21)21k k k k +++=××?×++?则当1n k =+时，

11111335(21)(21)(21)(23)

k k k k ++++××?×++×+?=11111111(1233521212123

k k k k ?+?++?+??+++?)=11(1)223k ?+=12(1)1

k k +++所以1n k =+时，等式成立

综上所述当*n N ∈时，1111335(21)(21)21

n n n n +++=××?×++?成立分析：在证明1n k =+等式成立时，没有用到归纳假设

正确证明：

(1)当1n =时，左边=113×=13

=右边，等式成立.(2)假设(1n k k =≥，*k N ∈)时，等式成立，

121(21)(23)k k k k ++++=(23)1(21)(23)k k k k ++++=2231(21)(23)k k k k ++++=123k k ++=12(1)1k k +++所以1n k =+时，等式也成立

综上所述，对一切*n N ∈，1111335(21)(21)21

n n n n +++=××?×++?都成立.数学归纳法要运用“归纳假设”，没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法.

3.2.2弄不清n k =到1n k =+时的式子变化

例2、用数学归纳法证明:(1)(2)(n+n)=213(21)n

n n n ++?????,从“k ”到“1k +”左端需增乘的代数式为：

A .2(21)k + B.2(1)k + C.21

1k k ++ D.23

1

k k ++

错误证明：n k =时，式子左端为

(1)(2)()(1)(2)(3)2k k k k k k k k +++=+++??，1n k =+时，式子左端为(1)(2)(11)k k k k +++++?故选B.

分析：1n k =+时，左端第一个因式也有所变化，不能简单地看后面的因式.正确证明：当n k =时，左端为(1)(2)2k k k ++?为从1k +到2k 连续整数的乘积.4.4.数学归纳法的用法说明

数学归纳法的用法说明数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时是一种非常重要的方法,在证明中可以从三方面考虑：(1)、用数学归纳法证明某些与自然数有关的数学命题，在不易证得或不能直接证得时，可以适当的选择另一个与原命题相关的命题以便比较地推证；(2)运用数学归纳法要注意充分利用（即可多次使用）归纳假设；(3)某些与自然数n 有特殊关系的命题在用数学归纳法证明中要注意好这种特殊关系.

5.5.小结

小结从数学归纳法的发展与自然数的皮亚诺公理来看，数学归纳法是数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法.实质是递推思想,只要把握住“递推”,巧妙的进行命题转换,以递推分析为主,这样就可以理解其实质,掌握证题技巧,真正提高分析问题解决问题的能力.充分理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法，探索证明的严密性与有效性，充分利用假设，是用好数学归纳法的一些重要因素.同时，用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的前两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，第三步再作成立说明即可.数学归纳法实现了无限到有限的转化过程，在数学史上很早就出现了跳跃式的严谨逻辑思维，是数学证明中不可多得的行之有效的证明方法.

参考文献

[1]王力，张宇.数学归纳法的教学[J].初等数学研究.2007,23(9).120-123

[2]华罗庚.数学归纳法[M]北京：科学出版社,2002.12-15

[3]夏兴国.数学归纳法纵横谈[M].河南科学技术出版社,1993.

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[6]杨凤安.浅谈“数学归纳法”论证技巧[J].时代教育（教育教学版）, 2009,3:120.

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[9]G·波利亚著.涂泓、冯承天译.怎样解题[M].上海:上海科技教育出版社,2007.15-18

致谢词

在***老师教导安排的基础之上，本论文才得以出稿，感谢***老师提供一次锻炼我在本科生阶段自己学习写论文的机会，为我后续写毕业论文打下了一定的基础！在此，我特表谢意！

初谈写“数学归纳法”之收获

数学归纳法是可多得且行之有效的证明方法.数学归纳法可以证明许多数学问题.同时数学归纳法是中学阶段乃至大学必须要掌握的一种方法.

让我理解到：

（1）学习数学归纳法可以锻炼和梳理一个人严密的逻辑思维能力和开阔一个人的思维模式，使其接受到推理论证的训练；

（2）对于一些用常规的分析综合法不好证明的题，用数学归纳法往往会得到一些意想不到的效果；

（3）在现代数学，特别是高等数学中，数学归纳法未来的发展是十分有前景的，它不仅仅使数学问题的解决变得简单化、规范化，也使我们更容易在解决这些数学问题时轻而易举的观察到在这些数学问题中的普遍规律；

（4）在证明过程中要注意等价转化，解题的技巧需要要在实践中不断总结和积累.

最后，通过论文可以看出,数学归纳法是一种认识可数无限集合性质的重要方法.使用数学归纳法进行论证,将会更深刻的理解所要论证的命题,实现由有限到无限的飞跃.