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高中数学必修2知识点总结归纳整理

高中数学必修二

·空间几何体

1.1空间几何体的结构

棱柱

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如

五棱柱

''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行

且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥'

''''E D C B A P -

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

棱台

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

圆柱

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的

曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面

展开图是一个扇形。

圆台

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之

间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；

③侧面展开图是一个弓形。

球体

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图

1.中心投影与平行投影

中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。

平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。

2.三视图

正视图：从前往后

侧视图：从左往右

俯视图：从上往下

画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

3.直观图：斜二测画法

斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

1.3空间几何体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'

h 为斜高，l 为母线）

ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '

ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积

')(21

21h c c S +=

正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积

()

l r r S +=π2圆柱表

()

l r r S +=π圆锥表

(

2R Rl rl r S +++=π圆台表

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

V Sh

=柱

V Sh r h π==圆柱

13V Sh =锥 h r V 2

31π=圆锥

()3V S S h

=台 '2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台

球体的表面积和体积公式：V 球=3

43R π ； S 球面=2

4R π

·空间点、直线、平面的位置关系

公理1：如果一条直线的两点在一个平面，那么这条直线是所有的点都在这个平面。

（即直线在平面，或者平面经过直线）

应用：判断直线是否在平面

用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；

两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面一点的直线与平面不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。两条异面直线所成角的围是（0°，90°]，

若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤：

A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点

选在特殊的位置上。 B 、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

三种位置关系的符号表示：a ?α a ∩α＝A a ∥α

（8）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

空间中的平行问题

直线和平面平行：直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行，记作α//l 两个平面平行：没有公共点的两个平面叫做平行平面。

（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面一条直线平行,则该直线与此平面平行。

a ////a

b a a b ααα

?????

线线平行?线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平

面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行?线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理:

①如果一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

线面平行?面面平行

②如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行

平行于同一个平面的两个平面平行

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么在一个平面的所有直线都平行于另一个平面β

α//且α

aβ

（面面平行→线面平行）

⊥

a b P

a b

αβ

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

b a b a ////???

??==βγαγβα （面面平行→线线平行）

（3）如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线

空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为 0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

④围：0,2π??

????

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为 90。 ③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

④围：0,2π??

????

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

βαβα⊥?⊥l l 且//

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

围：[]0,π

空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

(2)线线垂直

定义: 直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．该直线叫做平面的垂线，该平面叫做这条直线的垂面

线面垂直的性质：b a b a ⊥?????⊥α

;

线面垂直的判定定理

判定定理：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

αα

⊥?????

??=⊥⊥a c b O c b c a b a , ；注意点：定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

a ∥

b a ⊥α?b ⊥α

线面垂直的性质定理

（1）垂直于同一个平面的两条直线平行

//a a b b αα⊥?

??⊥?

. （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

//a b b a αα?

?⊥?⊥?

三垂线定理：平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直（3）面面垂直

定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直

b a a a b αβαββα⊥??=?

?⊥???

?⊥?

·直线与方程

（1）直线的倾斜角：对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角叫做直线的倾斜角直线的倾斜角取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当[

) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0

②过两点的直线的斜率公式：)(211

2x x x x y y k ≠--=

（3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：

2121

y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y

a b

=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截l

βαl l ααβ

β⊥??⊥???

距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）

，其中直线2l 不在直线系中。（5）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

是平面直角坐标系中的两个点，

则||AB

（7）点到直线距离公式：一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2

200B A C

By Ax d +++=

（8）两条平行线间的距离公式：两条平行线0:11=++C By Ax l 与0:21=++C By Ax l 间的距离2

221B A C C d +-=

·圆的方程

1.定义：平面到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。定点就是圆心，定长就是半径

2.圆的方程

（1）标准方程()()22

2r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x

当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为?

? ?

?--2,2

E D ，半径为F

E D r 42

122-+=

当0422=-+F E D 时，表示一个点?

? ?

?--2,2

E D ，；当0422<-+

F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

·点、线、圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为

A C Bb Aa d +++=

，则有相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?<

（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有

相离与C l ??0

(3)过圆上一点的切线方程：

①圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为200r yy xx =+ (课本命题)． ②圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (课本命题的推广)．

圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()222

111:C x a y b r -+-=，()()222222:C x a y b R -+-=

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；

当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，公切线一条；当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当r R d -=时，两圆切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆含；当0=d 时，为同心圆。