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2020年贵州省高中数学联赛试题

2018年贵州省高中数学联赛试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：每小题6分，本大题共30分.

1.小王在word 文档中设计好一张4A 规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word 文档中“粘贴”）的办法满足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（） A ．9次 B ．10次 C ．11次 D ．12次

已知一双曲线的两条渐近线方程为0x -=

0y +=，则它的离心率是（） A

．

3.在空间直角坐标系中，已知(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则到面OAB 、面OBC 、面OAC 、

面ABC 的距离相等的点的个数是（）

A ．1

B ．4

C ．5

D ．无穷多

若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为3，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（）

A ．

1arcsin

3 B ．1arccos 3 C ．2arcsin 3 D ．2

arccos

5.已知等差数列

{}n a 及{}n b ，设12n n A a a a =++???+，12n n B b b b =++???+，若对*n N ?∈，有

3553n n A n B n +=+，则10

6a b =

（）

A ．35

33 B ．3129 C ．17599 D ．15587

二、填空题（每小题6分，本大题共60分）

6.已知O 为ABC ?所在平面上一定点，动点P 满足(

)

AB AC OP OA AB

λ=++

，其[0,)λ∈+∞，则P 点

的轨迹为．

7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪

生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是．

8.方程组2226()6x y xy x y ?+=?

+=-?

的实数解为．

9.如图，在ABD ?中，点C 在AD 上，

2ABC π

∠=

，

6DBC π

∠=

，1AB CD ==，则AC = ．

10.

函数

z 的最小值是． 11.若边长为6的正ABC ?的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，则ABC ?的重心G 到平面α的距离为． 12.若实数a 使得不等式

22x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围．

13.若方程

(0,1)x a x a a =>≠有两个不等实根，则实数a 的取值范围是． 14.顺次连结圆22

9x y +=与双曲线3xy =的交点，得到一个凸四边形.则此凸四边形的面积为．

15.函数2(5)sin 1(010)y x x x π=--≤≤的所有零点之和等于．

三、解答题（每小题15分，本大题共60分）

16.

已知函数

3y x =. 17.已知椭圆C ：22

21(0)x y a b a b +=>>

的离心率

e =，直线21y x =-与C 交于A 、B

两点，且AB =

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(2,0)M 的直线l （斜率不为零）与椭圆C 交于不同的两点E 、F （E 在点F 、M

之间），记

OME

OMF S S λ??=

，求λ的取值范围.

18.证明：（1）1111112

212221k k k k ++++???+<++-(2,)n n N ≥∈；（2）分别以1，12，13，…，1n ，…为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为3

2的正方形内.

19.已知梯形ABCD ，边CD 、AB 分别为上、下底，且90ADC ∠=，对角线AC BD ⊥，过D 作DE BC ⊥于点E .

（1）证明：2

AC CD AB CD =+?；

（2）证明：22

AE AC CD

BE AC CD ?=-

参考答案

一、选择题

1-5: BACBB

二、填空题

6. BAC ∠的角平分线

7. 牛得亨先生的女儿

8. 13x y =-??=?或31x y =??=-?

240,,,233??

????

12. 33,22??-???? 13. 11e

a e <<

14. 60

三、解答题

16.解：令1u x =-

，则

33y u =+，则1u ≥，

u t =-≥，则

min

01t u <≤=，且11

()2u t t =+.

当0u >时，3111()3()22y t t t t t =++++-2

t t =++，

由于01t <≤，故函数单调递减，所以1236y ≥++=.

当0u <时，3111()3()22y t t t

t t =-++++-

233t t =-++≤-

（当且仅当2t =

，即44x -=时取等号）

所以函数的值域为

(,3[6,)-∞-+∞.

17.解：（1

）由

2e =

得a ==，所以椭圆的方程为222

220x y b +-=，

由22222021x y b y x ?+-=?=-?得

2298(22)0x x b -+-=，所以

26436(22)b ?=--，

由

AB =

9=，即21b =，所以椭圆C 的方程为2

2x y +=.

（2）设l ：2x my =+，且

11(,)

E x y 、

22(,)

F x y ，

由222202x y x my ?+-=?=+?得

22(2)420m y my +++=，所以由0?>解得

2m >，且12242m y y m +=-

+，12

2y y m ?=+①

由

2OME

OMF

OM y S S OM y λ????=

=??得，12

y y λ=②

由①②得2222

211(1)884m m m λλ+==++，

所以

2118(1)4λλ<<+

，解得03λ<<+，且1λ≠. 18.证明：（1）11111

212221k

k k k ++++???+++-2111212222

k k

k k k k <++???+==个

（2）由（1）知，11111

212221k k k k ++++???+<++-，故以边长为12k ，121k +，122k +，…，1121k +-的正方形可以并排放入底为1，高为12k

的矩形内，而不重

叠.

取2,3,4k =，…，即得底分别为

22311122121++???++-，33411122121++???++-，

44511122121++???++-，高分别为212，312，412，…的一系列矩形，

这些矩形的底小于1，高的和为

223411(1)11122lim 122212

n x →∞-+++???=-

111lim (1)222n x →∞=-<. 因此，以1，12，13，…，1n ，…为边长的正方形中，除了边长为1，12，1

3的正方形外，其余的正方形全部可以放入底为1，高为1

2的矩形中（如图阴影部分）.

而边长为1，12，13的三个正方形显然可以放入底为3

2，高为1的矩形内（如图）.

19.证明：如图.

（1）由于90ADC ∠=，故2

AC CD AD =+.

因为对角线AC BD ⊥，所以90DCA BDC ADB ∠=-∠=∠.

而90ADC BAD ∠==∠，则ACD BDA ??，故2AD AB

AD AB CD

CD AD =?=?.

因此，有2

AC CD AB CD =+?.

（2）由于90ADC ∠=，故2

AC CD AD -=，

所以222

AC CD AC CD AC CD

AD ??=-AC CD AC

AB CD AB ?==?. 因为180BAD DEB ∠+∠=，

所以A 、B 、E 、D 四点共圆，故AEB ADB ∠=∠

由于90BAC CAD ADB ∠=-∠=∠，且AEB BAC ∠=∠，EBA ABC ∠=∠，

则ABE

CBA ??，故AE CA

BE AB =

所以22

AE AC CD

BE AC CD ?=-.