导数中不等式相关的几个问题
导数中“不等式”相关的几个问题
f (x )＝ln(1＋ax )
－2x
x ＋2
.
专题二：不等式两边“变量”相同且不含参
1. （2016年山东高考）已知.当时，证明对于任意的成立.
2. （2016年全国II 高考）讨论函数的单调性，并证明当时，；
专题三：不等式两边不同“变量”的任意存在组合型
1. 已知函数f (x )＝x －1
x ＋1
，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使
f (x 1)≥
g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________
2. 已知函数.设当时，若()2
21
()ln ,R x f x a x x a x
-=-+
∈1a =()3
()'2
f x f x +＞[]1,2x ∈x
x 2f (x)x 2
-=
+e 0x >(2)20x x e x -++>1()ln 1a f x x ax x -=-+
-()a R ∈2()2 4.g x x bx =-+1
4
a =
对任意，存在，使，求实数取值范围.
专题四：不等式两边不同“变量”的对等构造、齐次消元型
类型1：对称变量，构造法求解
1. 已知函数f(x)=
2
1x 2
-ax+(a-1)ln x ，1a >。 （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有
1212
()()
1f x f x x x ->--。
2. 已知函数 （I ）讨论函数的单调性；
（II ）设.如果对任意，，求的
取值范围。
3. 设函数f (x )＝ln x ＋m
x
，m ∈R .
(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x
3
零点的个数；
(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）
b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．
4. 当()1,,n m n m Z >>∈，时，证明：(
)()m
n
n m mn
nm >
1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b 1ln )1()(2
+++=ax x a x f )(x f 1- 类型2：齐次变量，消元法求解 1. 已知函数()ln ,f x x mx m m R =-+∈ （1）已知函数()f x 在点()() 1,1f 处与x 轴相切，求实数m 的取值，（m=1） （2）求函数()f x 的单调区间 （3）在（1）的结论下，对于任意的0<,a b <，证明：()()1 1f b f a b a a -< -- 2. 已知函数()=ln ,f x x 当0a b <<时，求证：22 2() ()()a b a f b f a a b --> + 3. 已知函数()()()2 =ln ,,f x x g x f x ax bx =++其中()g x 的图象在点()() 1,1M g 处的切线平行与x 轴 （1）确定a 与b 的关系 （2）若，讨论函数()g x 的单调性 （3）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点()()()112212,,,,A x y B x y x x <， 证明： 21 11k x x << 专题五：证明含有“ln(())f n ”的不等式 类型1：对数式未出现在“+…+”中 1. 已知函数()ln ()1a f x x a x =+ ∈+R ．求证：1 21 715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）． 2. 已知，求证：对大于1的任意正整数 类型2：对数式出现在“+…+”中 1. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证： 1()ln x f x x ax -= +1111 ,ln 234n n n >++++ (x) x x g kx x f ln )(,)(==x x x g ln )(= )()(x g x f ≥),0(+∞e n n 21 ln 33ln 22ln 444<+???++ 2. 已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）若 恒成立，试确定实数的取值范围； （3）证明：（且） 3. 已知函数f (x )= 2 1x 2 －ax + (a －1)ln x ，1a >． (Ⅰ) 若2a >，讨论函数()f x 的单调性； （II ）已知a =1，3 ()2()g x f x x =+，若数列{a n }的前n 项和为()n S g n =，证明： 231111 (2,)3 n n n N a a a ++++<≥∈ ． 4. 设函数()()2 ln 10f x x b x b =++≠，其中. （1）当1b =时，求曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）当2n N n * ∈≥，且时证明不等式：3311111 ln 1112323 n ????????++???++++??? ??? ??????????? 311121 n n + >-+. 型式3：不等号两边均无“+…+” 1. 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （I ）当1 2 b > 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （II ）求函数()f x 的极值点； （III ）证明对任意的正整数n ，不等式23 111 ln(1)n n n +>-都成立． ()ln(1)(1)1f x x k x =---+()f x ()0f x ≤k ln 2ln 3ln 4ln (1)34514 n n n n -+++<+ * n N ∈1n > 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0， 证明：2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。 证明：1ln )(+='x x g ，设)2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ， 即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ， 即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2 (2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时，0)(' 导数中的不等式证明 导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 命题角度1 构造函数 【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x =-=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值； （2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x +≥ ． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =-++，()2ln 1()10x x e f x g x x x x e x +≥?---+≥， 令()()()2()1h x f x g x x x =+- ≥，则 ()ln 11x x e h x x x e x =- --+， ()2221ln 1ln 11x x x e x e h x x e x x e -'=-+++=++， 因为1x ≥，所以()2ln 10x x e h x x e '=++>， 所以()h x 在[)1.+∞单调递增，()()10h x h ≥=，即ln 110x x e x x e x - --+≥， 所以当1x ≥时，()2()f x g x x +≥． 【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明. 命题角度2 放缩法 【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在 第121课 导数中不等式放缩 基础知识： （1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式. 如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式. （2）与隐零点相关的放缩问题 常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-. 比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明. 2.已知函数()2e x f x x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时， ()e 2e 1ln 1x x x x +--?. 二、课堂练习 1. 已知()e ln x f x x =-. （1）求()y f x =的导函数()y f x ￠=的零点个数； （2）求证：()2f x >. 2. 已知函数()() 23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+. （1）当1m 3时，求函数()g x 的极值； （2）若72a ? ，证明：当()0,1x ?时，()1f x x >+. 三、课后作业 1. 已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x . 2. 设函数()e sin x f x a x b =++. 若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值. 并证明当(0,)x ??时，()ln f x x >. 导数证明不等式的常用方法（3） 考法3放缩法 考向1已知条件放缩 1.（2018·全国卷Ⅲ·文科）已知函数21 ()x ax x f x e +-=. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （Ⅱ）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥. 解析：（Ⅰ）2(21)2 ()x ax a x f x e -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1) -处的切线方程是210x y --=． （Ⅱ）当1a ≥时，2221 111()x x x x ax x x x x x e f x e e e e e e ++-+-+-++=+≥+=（放缩法）．令21()1x g x x x e +=+-+，则1()21x g x x e +'=++．令(1)220g '-=-+=，()g x '单调递增，当x 变化时，()g x '、()g x 变化情况如下表： 所以，()(1)0g x g ≥-=，因此()0f x e +≥． 考向2已有结论放缩的应用 结论1：ln 1x x ≤- 1.（2017·全国卷Ⅲ·理科）已知函数()1ln f x x a x =--. （Ⅰ）若()0f x ≥，求a 的值； （Ⅱ）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111 (1+)(1+)(+)222n m ?? 所以不满足题意. 或者()1ln 1()ln f x x a x x a x =--=-+-在(0,)+∞上单调递增，(1)0f =，当 01x <<时，()0f x <，不满足要求. ②当0a >时，()1a x a f x x x -'=-= ，令0x a -=，x a =.当x 变化时，()f x '、()f x ()f x 在x a =处取得极小值，也是最小值，又(1)0f =，当且仅当1a =时，()0f x ≥， 所以，1a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当1x >时，()1ln 0f x x x =-->，即ln 1x x <-.令1 12n x =+ 得11ln(1)22n n +<，从而2211111 ln(1)ln(1)ln(1)22222 n ++++++<++L L 1ln(1)2n ++ 2111222n <+++L 112n =-1<.故2111 (1)(1)(1)222n e +?+??+ 导数与不等式题型 1．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； (2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex >-成立． 本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题，主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力． 对于第（1）问，只要运用导数的方法法研究出函数()f x 的单调性即可，最值就容易确定了；对于第（2）问，是一个不等式恒成立的问题，可通过分离常数，将其转化为求函数的最值问题来处理；对于第（3）问，可以通过构造函数，利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明． 解析： (1) '()ln 1f x x =+， 当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减， 当1(,)x e ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． ① 102t t e <<+< ，t 无解； ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-； ③ 12t t e ≤<+，即1t e ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 所以min 110()1ln t e e f x t t t e ?-<，则2 (3)(1)'()x x h x x +-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==． 因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=． （3） 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e > -∈+∞， 由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到． 恰当采用放缩法 巧证导数不等式 郑州市第四十四中学 苏明亮 放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到．由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考． 一、利用基本不等式放缩，化曲为直 例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设()ln(1)1f x x =++ .证明：当 02x <<时，9()6 x f x x < +. 证明：由基本不等式，当0x >时，2x <+12 x < +. ()ln(1)1ln(1)2 x f x x x ∴=+<++ 记9()ln(1)26 x x h x x x =++ - +， 则222 1154(1536)'()12(6)2(1)(6)x x x h x x x x x +-=+-=++++. 当02x <<时，'()0h x <，所以()h x 在(0,2)内是减函数.故又由()(0)0h x h <=， 所以9ln(1)26x x x x ++ < +，即9ln(1)16 x x x +<+， 故当02x <<时，9()6 x f x x <+. 评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数9()()6 x h x f x x =-+，对()h x 进行求导，由于 '()h x 中既有根式又有分式，因此'()h x 的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对 进行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明 12 x < +，亦即是将抛物线弧y =12x y =+，而该线段正是 抛物线弧y = (0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处 理函数问题的常用方法. 二、利用单调性放缩，化动为静 例2（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数()ln()x f x e x m =-+.当2m ≤时，证明()0f x >. 专题09 导数与不等式的解题技巧 一．知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④? ???? 1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式 ①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． （一）构造函数证明不等式 例1．【山东省烟台市2019届高三数学试卷】已知定义在（﹣∞，0）上的函数f （x ），其导函数记为f'（x ），若 成立，则下列正确的是（ ） A ．f （﹣e ）﹣e 2f （﹣1）＞0 B ． C ．e 2f （﹣e ）﹣f （﹣1）＞0 D ． 【答案】A 【分析】由题干知： ，x ＜﹣1时，2f （x ）﹣xf′（x ）＜0．﹣1＜x ＜0时，2f （x ）﹣xf′（x ） ＞0．构造函数g （x ）=，对函数求导可得到x ＜﹣1时，g′（x ）＜0；﹣1＜x ＜0，g′（x ）＞0，利用函 数的单调性得到结果. 练习1．设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式 恒成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D． 【答案】D 【分析】 构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小. 【解析】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.所以 ，，，根据单 调性有.故，即，故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 第121课 导数中不等式放缩 基础知识：（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式.如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式. （2）与隐零点相关的放缩问题 常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-.比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.答案：()() f x g x >解析：设()()() h x f x g x =-23e 91x x x =+-+， ∵()3e 29x h x x ￠=+-为增函数，∴可设()00h x ￠=， ∵()060h ￠=-<，()13e 70h ￠=->，∴()00,1x ?. 当0x x >时，()0h x ￠>；当0x x <时，()0h x ￠<. ∴()()0min h x h x =02003e 91x x x =+-+， 又003e 290x x +-=，∴003e 29x x =-+， ∴()2000min 2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+()()00110x x =--. ∵()00,1x ?，∴()()001100x x -->，∴()min 0h x >，()()f x g x >. 2.已知函数()2e x f x x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()e 2e 1 ln 1x x x x +--3+. 答案：（1）()e 21y x =-+；（2）见解析 解析：（1）()e 2x f x x ￠=-，由题设得()1e 2f ￠=-，()1e 1f =-， ()f x 在1x =处的切线方程为()e 2 1. y x =-+（2）()e 2x f x x ￠=-，()e 2x f x =-，∴()f x ￠在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+￥上单调递增， 利用导数证明不等式的常见题型 1. (2017·课标全国III 卷理）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．1 -２ B ．13 C ． 12 D ．1 2.（2016?天津卷文） 已知函数2(43)3,0 ()(01)log (1)1,0 a x a x a x f x a a x x ?+-+≠?++≥??且在R 上单调递 减，且关于x 的方程|()|23 x f x =- 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 3.（2015·北京理）(本题满分13分) 已知函数x x x f -+=11ln )(． (I)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (II)求证：当)1,0(∈x 时，3 23 （）（）x f x x >+； (III)设实数k 使得)3 ()(3 x x k x f +>对)1,0(∈x 恒成立，求k 的最大值． 4. (2017·课标全国II 卷文)(本题满分12分）设函数f(x)=(1－x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性； （2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围. 5. （2015·课标全国II 卷理）(本题满分12分) 设函数mx x e x f mx -+=2 )(. (I)证明：)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(+∞单调递增； (II)若对于任意1x ，]1,1[2-∈x ，都有1|)()(|21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围. 6.（2015?山东卷文）(本题满分13分)设函数x a x x f ln )()(+=，x e x x g 2 )(=，已知曲线 )(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行. (I)求a 的值； (II)是否存在自然数k ，使方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根？如果存在，求出 k ；如果不存在，请说明理由； (III)设函数),)}(min((),(min{)(q p x g x f x m =表示p ，q 中的较小值)，求)(x m 的最大值. 7.（2015·课标全国Ⅰ卷理）(本题满分12分) 已知函数4 1 )(3++=ax x x f ，x x g ln )(-=. (I)当a 为何值时，x 轴为曲线)(x f y =的切线； (II)用},min{n m 表示m ，n 中的最小值，设函数)0)}((),(min{)(>=x x g x f x h ，讨论) (x h 零点的个数. 8.（2016·天津理）（本题满分14分） 设函数b ax x x f ---=3 )1()(，∈x R ，其中a ，∈b R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； （Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．4 1 . 9.（2017·课标全国III 卷理）（本题满分12分） 导数应用于不等式证明之放缩法一例 的单调区间； 求轴垂直，处的切线与，在点（曲线是自然对数的底数），为常数，已知函数)()1())1(1)(...718.2(),2(ln )(.21x f y f x f y e k k x e x f x ==-=- 2)()1(,0)1(ln 1)(2-+<+>+-=x x x e e x g x x e x x x g 证明：，对任意）设（ ()()()】式成立。证毕。恒成立，【所以所以）递增 ，）递减，在（，在（划分单调区间如下：解得令】 【只需证再用放缩法 ， ）即证明（）（】，只需证 ，要证【）（） （），所以（放缩，由于以下对】 【证明：结论20)(011132 ln 2)(0)(,,0ln 3)(,ln 31ln 2)(2),0(,0ln 2x )(,0ln 2x ln 1x 1 )]1(ln 1[)1(1)], 1(ln 1[1)1(11)1(1)1()(111),1()()]1(ln 1[1)0(,)1(ln 11323232332 3333min 33322222222222222222>>-=+-=+-=+-=++==∞+>>+='+=? ++='>>++=>+++?-->+++?+->+++-?+>++++≥++≥+≥+<+-?+?>+<+-?+?------------------------x h e e e e e e e e e e e e e e h h e e x h e x x x h x x x x x h x e x x x h x e e x x x x x x e e x x e x x x x e x e x e e x e x e e e e x x x x e e e x x x x x x x x x x x 导数中的不等式证明 命题角度1 构造函数 【典例1】 已知函数()ln 1 1,()x x ae f x g x bx x e x =- =+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值； （2）证明：当1x ≥时，()2 ()f x g x x +≥． 命题角度2 放缩法 【典例2】 已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ； （2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. 【典例3】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈. （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：22231ln 2ln ln 2421 n n n n n n +<+++<++L 【典例4】 已知函数()2ln 2 x x f x e += . （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e +'+<+. 命题角度3 切线法 【典例5】 已知函数()2x f x e x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21 ln 1x e e x x x +--≥+. 命题角度4 二元或多元不等式的解证思路 【典例6】 若,,x a b 均为任意实数，且()()2 2 231a b ++-=，则()()2 2 ln x a x b -+-的最小值为 .A .18B .1C .19D - 【变式训练】 设2D a = +，其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为 .A .B .1C .1A 导数与不等式题型 2 1 .已知f (x) xln x,g(x) x ax 3 . ⑴求函数|f(x)在［t,t 2］(t 0)上的最小值； (2)对一切x (0, ), 2f(x)> g(x)恒成立，求实数a的取值范围； 1 2 (3)证明：对一切x (0,)，都有In x x成立. e ex 本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题，主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力. 对于第(1 )问，只要运用导数的方法法研究岀函数 f (x)的单调性即可，最值就容易确定了；对于第( 2) 问，是一个不等式恒成立的问题，可通过分离常数，将其转化为求函数的最值问题来处理；对于第( 以通过构造函数，利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明. 所以f(x)min tint， h(x) min h(1) 4 . 由⑴可知f (x) xln x(x (0,))的最小值是问，可 解析(1) f '(x) Inx 1， 1 (0,1), e f '(x) 0，f(x)单调递减,当x (丄, e )，f'(x) 0，f (x)单调递增. 2，即0 t 1时，f(X)min e 1 f(-) e f (x)在［t,t 2］上单调递增, f (x)min f (t) tint； ⑵ 2xl nx x2ax 3，贝U a 2In x 3 x , 设h(x) x 2ln 3 x (x 0)，则 x h'(x) j x (0,1)，h'(x) 0，h(x)单调递减, (1, )，h'(x) 0，h(x)单调递增,所以因为对一切x (0, )，2f (x) g(x)恒成立，所以a h(x)min (3)问题等价于证明xln x 三 e * (0, ))， 1 -，当且仅当 e 导数与函数放缩问题之切线法放缩 一、典型的不等式： sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 ，其几何意义为上的的 点与原点连线斜率小于1. （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数 ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，1 1y x =- ，ln y x x =. 二、典型例题 1 :()ln 1,()0 x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时， 21 ()ln ,(). x f x ex x x f x xe e =-<+例2：已知求证： 例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ； （2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12) 11m e x x e --≤+-. 例4：已知函数()ln f x x x =，()()22 a x x g x -= . （1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：()() ()2221 2111111n n n n ???? ?? + ++???? ?? +++??????? ????? sin ,(0,)y x x π=∈ 三、巩固练习 练习1：已知函数f (x )＝e x －a . (1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值． 练习:2：已知函数()2x f x e x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21 ln 1x e e x x x +--≥+. 练习3：函数的图像与直线相切． （1）求的值； （2）证明：对于任意正整数，()11 2 2! ! n n n n n n n e n e n ++?< 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点 也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 例1】已知函数f (x) =ln(x ? 1) -X ,求证：当x ? -1时，恒有 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 1 g(x) = ln(x ? 1)1,从其导数入手即可证明。 x十1 1 x 绿色通道】f(X) 1 = x+1 x+1 ???当T：：：x”：0时，f(x)?0,即f (x)在x?(T,0)上为增函数 当x 0时，f (x) ：：：0,即f (x)在x ? (0/::)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间(0, 于是函数f (x)在(-1「：)上的最大值为f (x),因此，当X ? -1时， f (x) _ f (0) =0 ,即ln(x 1) -x _0 ???In(x 1) _ x (右面得证)， 1 1 1 现证左面，令g(x)二ln(x 1) 1, 则g (xp x+1 x+1 (x + 1) x 2 (x 1) 当x (-1,0)时,g(x) ：：0;当x (0,：：)时,g (x) 0 ,即g(x)在(-1,0)上为减函数，在X- (0, V)上为增函数， 故函数g(x)在(-1, ?：：)上的最小值为g(x)min二g(0) =0 , . 1 ???当x -1 时,g(x) - g(0) =0 ,即ln(x 1) 放缩法证明导数不等式 在用导数证明的不等式中，有时采用适当的放缩，会使解题过程事半功倍。下面先介绍几个不等式。 ①1+≥x e x （当且仅当x=0时取等号） 对①式两边同时取以e 为底的对数得到②式 ②x x ≤+)1ln(，()+∞-∈,1x （当且仅当x=0时取等号） ②式中用x-1替换x ，得到③式 ③1ln -≤x x ，()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） ③式中用x 1替换x , 得到x x x -≤ 11ln 即 ④x x x 1ln -≥ ， ()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） 由③④式可得 ⑤1ln 1-≤≤-x x x x ，两边等号成立的条件均为x=1 ⑤式中用x+1替换x 得到 ⑥()x x x x ≤+≤+1ln 1 ，两边等号成立的条件均为x=0 ①式中用x-1替换x ，得到x e x ≥-1，所以x e e x ≥，即 ⑦ex e x ≥，（当且仅当x=1时取等号） 令()x x x f ln =，则令()0ln 1'=+=x x f ，得e x 1=。?? ? ??∈e x 1,0时，()0' ⑧ex x 1ln -≥，（当且仅当e x 1=时取等号） 以上的不等式应用在在证明过程中时需要先证明，下面用几个例题说明一下 例1， 求证02ln 2≤+--ex e ex x ex x 证明：先证ex e x ≥ 令()ex e x f x -=，则()()11'-=-=-x x e e e e x f ，则()1,0∈x 时，()0' 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0， 证明：2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。 证明：1ln )(+='x x g ，设)2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ， 即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ， 即0)2 (2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2 (2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时，0)(' 于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x) max f(0) 0，因此，当x 1 时，f (x) f (0) 0，即ln(x 1) x 0 ???ln(x 1)x (右面得证)， 现证左面，令g(x) In(x 1) 1 门1，则g(x) 1 (x 1)2 x (x 1)2 当x ( 1,0)时,g (x) 0;当x (0, )时,g (x) 0 , 即g(x)在x ( 1,0)上为减函数，在x (0, )上为增函数, 故函数g(x)在(1,)上的最小值为g (x)min g(0) 0 , 【警示启迪 1)十1 1 1 1) 1 ，综上可知，当x 1时，有 1 ln (x 1) x 1 x 1 】如果f (a)是函数f(x)在区间上的最大(小)值，则有f(x) x 1 时，g(x) g(0) 0 ,即ln(x f (a)(或f (x) f (a)), 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年 高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而 如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 【例1】已知函数f(x) ln(x 1) x，求证：当x 1时，恒有 1 1 In (x 1) x x 1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 g(x) 1 ln(x 1) 1,从其导数入手即可证明。 x 1 【绿色通道】 1 f (x) 1 x x 1 x 1 ???当1 x 0 时，f (x) 0 ,即f (x)在x (1,0)上为增函数 当x 0 时，f (x) , 即 f (x)在x (0, )上为减函数 故函数f (x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0, ) 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证. 2、直接作差构造函数证明 1 2 2 3 常见导数不等式构造新函数 ①含导数式)()()()(''x g x f x g x f +可构造函数：)()()(x g x f x F =； ②含导数式)()()()(''x g x f x g x f -可构造函数：)()()(x g x f x F =； ③含导数式)()('x af x f +可构造函数：ax e x f x F )()(= ； ④含导数式)()('x af x f -可构造函数：ax e x f x F )()(= ； ⑤含导数式)()('x f x f +可构造函数：x e x f x F )()(= ； ⑥含导数式)()('x f x f -可构造函数：x e x f x F )()(= 例题： 1.函数)(x f 的定义域为R ，,2)1(=-f 对42)(,2)(,'+??∈?x x f x f R x 则的解集为（ ） A （1,1-） B （+∞-,1） C （2,∞-） D （+∞,2） 2.定义域为R 的可导函数)(x f y = 的导数为)('x f ，满足)()('x f x f ?且1)0(=f ，则不等式1)(?x e x f 的解集为（ ） A(0,∞-) B （+∞,0） C （2,∞-） D （+∞,2） 3.定义在（+∞,0）的函数)(x f 非负数可导，且满足)()('x f x xf ?， 若m,n ),0(+∞∈且n m ?,则必有（ ） A )()(m mf n nf ? B )()(n mf m nf ? C )()(n nf m mf ? D )()(m nf n mf ? 4.设()()x g x f ,是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0 导数中的不等式证明 【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 命题角度3 切线法 【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数()2 x f x e x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x +--≥+. 【解析】（1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-， 由题设得()()12,11f e f e '=-=-， ………﹝导数的几何意义的应用﹞ 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+； （2）令()()g x f x '=，则()2x g x e '=-，利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
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