(完整版)必修二立体几何11道经典证明题
1.如图，三棱柱 ABC — A i B i C i 中，侧棱垂直底面， 1
/ ACB=90 , AC=BC= gAA i , D 是棱 AA i 的中点 (I )证明：平面 BDC i 丄平面BDC
(n)平面BDC i 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的 比?
2?如图5所示，在四棱锥 P ABCD 中，
AB 平面 PAD , AB//CD , PD AD , E 是
1
PB 的中点，F 是CD 上的点且 DF —AB ,
2
PH PAD 中AD 边上的高?
(1) 证明：PH 平面ABCD ;
(2) 若 PH i , AD 2, FC i ，求三 (3)证明：EF 平面PAB .
3.如图，在直三棱柱ABC ABG 中，AB i AC i , D ,E 分 别是棱
BC , CC i 上的点(点D 不同于点C )，且AD DE , F 为B,G 的
中点.
求证：(i )平面ADE 平面BCGB,；
(2)直线AF 〃平面ADE .
棱锥E BCF 的体积
;
妥5小
4. 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角
形，/ APD=90
面PAD丄面ABCD，且AB=1 , AD=2 , E、F分别为
PC和BD的中点.
(1) 证明：EF//面PAD ;
(2) 证明：面PDC丄面PAD ;
(3) 求四棱锥P—ABCD的体积.
5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，
MA 平面ABCD , PD//MA , E、G、F 分别为MB、PB、
PC 的中点，且AD PD 2MA.
(I)求证：平面EFG 平面PDC ;
(II )求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比. B
6. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC , AB=「2 ,CE=EF=1
(I)求证：AF//平面BDE
(H)求证：CF丄平面BDF;
7. 女口图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2
EF// AB,EF 丄FB, / BFC=90° , BF=FC,H 为BC 的中点, (I )求证：FH //平面EDB;
(H)求证：AC丄平面EDB;
(川)求四面体B—DEF的体积；
8.如图，在直二棱柱ABC Ai B1C1中，E、F分别是A i B、A1C的中点，点D在B J G上，
A D BQ
o
求证：(1) EF//平面ABC ;
(2)平面AFD 平面BB i C i C .B
E F
B
9?如图4,在边长为1的等边三角形ABC中，D, E分别是AB, AC边上的点,AD AE , F
G ,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥
BCF ,其中BC
10.如图，在四棱锥P ABCD
中，AB//CD , AB AD , CD 2AB ,平面PAD 底面
ABCD , PA AD , E和F分别是CD和PC的中点，求
证：
⑴ PA 底面ABCD ;(2) BE//平面PAD ;(3)平面
BEF 平面PCD
证明：DE //平面BCF ;
证明：
CF
平面ABF ;
2
当AD 时,求三棱锥F
3
DEG的体积V
图4
是BC的中点,AF与DE交于点
C
11. （2013年山东卷）如图，四棱锥P ABCD中, AB AC,AB PA , AB// CD,AB 2CD
E,F,G,M ,N分别为
PB, AB,BC,PD,PC 的中点
(I)求证:CE /平面PAD .
(n )求证：平面EFG 平面EMN
12
立体几何经典试题参考答案
1.【解析】(I)由题设知BC 丄CC 1 ,BC 丄AC CC 1 AC
???面 BDC 丄面 BDC 1 ;
(n)设棱锥 B DACC i 的体积为 V , AC =1，由题意得, 由三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V =1，
?- (V V : V | =1:1,
?平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为
1:1.
2.
【解析】(1)证明：因为 AB 平面PAD , 所以PH
AB 。
因为PH PAD 中AD 边上的高， 所以PH AD 。
因为 AB I AD A , 所以PH 平面ABCD 。 (2) 连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。 因为E 是
PB 的中点，
所以 EG // PH 。
因为PH 平面ABCD , 所以EG 平面ABCD 。
1 1
则 EG —PH -,
2 2
1
1 1 V E BCF
S BCF EG FC AD EG
3
3 2
(3) 证明：取PA 中点M ，连结MD , ME 。 因为E 是PB 的中点，
1
所以 ME// — AB 。
2
??? DC 1 面 ACC* ,? DC 1 BC , 由题设知 A 1DC 1 ADC 45°, ? CDC 1 = 900
, 即 DC 1 DC , 又??? DC BC C , ? DC 1 丄面 BDC , DC 1 面 BDC 1 ,
C , ? BC 面 ACC 1A 1,
又
V
1
= 3
因为 DF // 1AB ,
2
所以 ME// DF ,
所以四边形MEDF 是平行四边形, 所以 EF // MD 。 因为PD AD , 所以MD PA 。 因为AB 平面PAD , 所以MD AB 。
因为 PAI AB A , 所以MD 平面PAB , 所以EF 平面PAB 。
(2)??? AB i AC i , F 为 B i C i 的中点，??? A i F BG 。
又??? CC i
平面
，且 AF 平面 ABC ,? CC i
AF 。
又? CC i
? Bj C i
平面 BCC i
B i
, CC i
I B i
C i
C i
, ?- A (F 平面 ARG 。
由(i )知，AD 平面 BCC i
B i
AF // AD 。
又??? AD 平面ADE, A i F 平面ADE ，?直线 AF //平面ADE
4.如图，连接AC ,
??? ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ? AC 必经过F i 分
又E 是PC 的中点， 所以，EF // AP
2分 ?/ EF 在面PAD 夕卜，PA 在面内，? EF //面PAD
(2)：面 PAD 丄面 ABCD , CD 丄 AD ，面 PAD I 面 ABCD=AD , ? CD 丄面 PAD ,
3.【答案】
证明 :(i )- ABC A BC i 是直二棱柱，
?
CC i
平面 ABC 。
又?? -AD
平面 ABC ,? CC i AD
又?? AD DE , CC i ，DE 平面
BCC i B i , CC i I
DE E
,? AD 平面 BCC i
B i
o
又?? -AD
平面 ADE ，?平面
ADE
平面 BCC B 。