微分中值定理及其应用

微分中值定理的应用

4 微分中值定理的应用 4.1 证明有关等式

在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.

例 4.1.1[5]()f x 是定义在实数集R 上的函数,若对任意,x y R ∈,有2

()()()f x f y M x y -≤-,其中M 是常数,则()f x 是常值函数.

证明 对任意x R ∈,x 的改变量为x ?,由条件有2

()()()f x x f x M x +?-≤?,

即

()()

f x x f x M x x

+?-≤??,

两边关于0x ?→取极限得

()()

0lim

lim 0

x x f x x f x M x x

?→?→+?-≤≤?=?

所以()0f x '=.

由中值定理()(0)()0f x f f x ξ'-==,即()(0)f x f =, 故在R 上()f x 是常值函数.

思路总结 要想证明一个函数()f x 在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数()f x '在同一区间上恒为零即可.

例4.1.2[2] 设()f x =

1

12112321

3

43

x x x x x x ------,证明：存在(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=.

证明 由于

()

f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,

1

11(0)1

2201

3

3

f --=--=--,

1

1

(1)1

111

2

1

f =--0= .符合罗尔中值定理的条件,故存在ξ(0,1)∈,使()0f ξ'=

例4.1.3 若()f x 在[0,1]上有三阶导数,且(0)(1)f f =0=,设3

()()F x x f x =,试证在(0,1)内至少存在一个ξ,使()0F ξ'''=.

证明 由题设可知()F x ,()F x ',()F x '',()F x '''在[0,1]上存在,又(0)(1)F F =,由罗尔中值定理,?1

ξ(0,1)∈使

1

()0F ξ'=,

又2

3

(0)[3()()]|0x F x f x x f x =''=+=可知()F x '在上1

[0,]ξ满足罗尔中值定理,

于是2

1(0,)ξ

ξ?∈,使得

2()0

F ξ''=,

又2

3

(0)[6()6()()]|0x F xf x x f x x f x ='''''=++=对()F x ''存在2

1

(0,)(0,)(0,1)ξξ

ξ∈??,使 ()0F ξ'''=.

例4.1.4[4]（达布定理的推论） 若函数()f x 在[,]a b 内有有限导数,且()()0f a f b +

-

''< ,则至少存在(,)c a b ∈,使得()0f c '=.

证明 ()()0f a f b +

-

''<,不妨设()0f a +

'<,()0f b -

'>,

因为

()lim [()()]/()0

x a

f a f x f a x a +

+→'=--<由极限的局部保号性可知,?1δ0

>,

当1

(,)x a a δ∈+时,

()()0f x f a -<,即()()

f x f a <.

同样?2

0δ>,当2(,)x b b δ∈-时,

()()0

f x f b -<,即()()f x f b <

.

取12m in{,,

}2

b a δδδ-=,于是在(,)a a δ+,(,)b b δ-中,分别有

()()

f x f a <

和

()()f x f b <.

故()f a ,()f b 均不是()f x 在[,]a b 中的最小值,最小值一定是在内部的一点处

取得,设为c 由费马定理可知,

()0f c '=.

小结 证明导函数方程()

()0n f x =的根的存在性的证明方法有如下几种：

①验证函数()f x 在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明()0f ξ'=.

②在大多数情况下,要构造辅助函数()F x ,验证在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,证明()0F ξ'=,进而达到证明问题的目的.

③验证x ξ=为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的. 例 4.1.5 设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,0a b <<,试证：

,(,)a b ξη?∈使()()2a b f f ξηη

+''=

.

证明 由于0a b <<,2

(),()f x g x x =,()20g x x '=≠,(,)x a b ∈

由于(),()f x g x 在[,]a b 上满足柯西中值定理 ,所以(,)a b η?∈使

2

2

()()()2f f b f a b a

ηη

'-=

-

()()()()()2f f b f a b a f b a

ηξη

'-'?

+=

=-,(,)a b ξ∈

由上面二式可得,(,)a b ξη?∈使得：

()()2a b f f ξηη

+''=

.

例4.1.6 设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==.试证：对任意给定的正数,a b 在(0,1)内不同的ξ,η使

()

()

a b a b

f f ξη+

=+''.

证明 由于,0a b >所以01a a b

<<+.

又由于()

f x 在[0,1]上连续且(0)0,(1)1

f f ==.由介值性定理,(0,1)τ?∈使

得

()a f a b

τ=

+,

()f x 在[0,],[,1]ττ上分别用拉格朗日中值定理有

()(0)(),(0,)f f f ττξξτ'-=∈

即

()(),(0,)f f ττξξτ'=∈ (1)()(1)(),(,1)

f f f ττηητ'-=-∈

即

1()(1)(),(,1)f f ττηητ'-=-∈

于是由上面两式有

1()1()()()f b f a b f ττηη--=

=

''+

()()

()()

f a f a b f ττξξ=

=''+

将两式相加得

1()()

()()

a b a b f a b f ξη=

+

''++

即

()

()

a b a b

f f ξη+

=+''.

小结 大体上说,证明在某区间内存在,ξη满足某种等式的方法是：

①用两次拉格朗日中值定理.

②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理. ③两次柯西中值定理.

④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理. 4.2 证明不等式

在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例4.2.1[3] 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续；

⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b ==

⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c >

求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<.

证明 由题设知存在1

(,)x a b ∈,使()f x 在1

x x =处取得最大值,且由⑷知1

()0f x >,1

x x =也是极大值点,所以

1

()0f x '=.

由泰勒公式：2

11111()()()()()(),(,)

2!

f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-

=-+

-∈.

所以()0f ξ''<.

例4.2.2 设0b a <≤,证明

ln

a b a a b a

b

b

--≤≤

.

证明 显然等式当且仅当0a b =>时成立. 下证 当0b a <<时,有

ln

a b a a b a

b b

--<< ①

作辅助函数()ln f x x =,

则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ?∈使

ln ln 1

a b a b

ξ-=- ②

由于0b a

ξ

<<<,所以

11

1

a b

ξ

<

<

③

由②③有

1ln ln 1a b a

a b

b

-<

<

-,即

ln

a b a a b a

b b

--<<.

小结 一般证明方法有两种

①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：

第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；

第二步 验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-； 第三步 把()f ξ'适当放大或缩小.

4.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题

例4.3.1 设函数在0

x x =点的某一邻域内可导,且其导数()f x '在0

x 连续,

而0n

n x α

β<<当n →∞时00,n n x x αβ→→,求 ()()

lim

n n n n n

f f βαβα→∞

--.

解 设0

0{},{}()n

n u x α

β?,则由拉格朗日中值定理有

()()

(),()

n n n n n n n n

f f f βαξαξββα-'=<<-. 已知0()n

x n ξ

→→∞,又()f x '在0x 连续,即0

0()lim ()

x x f x f x →''=,所以

0()()

lim

lim ()lim ()()n n n n n x x n n

f f f f x f x βαξβα→∞

→∞

→--'''===.

例4.3.2 若()f x 在(,)a +∞内可导,且lim[()()]0x f x f x →∞

'+

=,求lim ()

x f x →∞

.

分析 由式[()()][()]x

x

f x f x e f x e ''+=,引进辅助函数()(),()x

x

F x f x e g x e

==,

显然()0g x '≠.

解 由lim[()()]0x f x f x →∞

'+=,知0ε?>,0X ?>当x X >时()()f x f x ε

'+

<,

令()()x

F x f x e

=

,()x

g x e =对x X

>

,在[,]X x 上利用柯西中值定理有

()()()()()

()

F x F X F g x g X g ξξ'-='-,(,)X x ξ∈

即

()()[()()]x

X

x

X

f x e f X e

f f e

e e

e

ξ

ξ

ξξ'-+=

-,

亦有

[()()]()()1X x

X x

f x f X e

f f e

ξξ---'=+-,

或

|()||()||()()|(1)

X x

X x

f x f X e

f f e ξξ--'≤+++

由于lim

0X x

x e

-→+∞

=,所以1,x X ?>当1x x >时有

X x

e

ε

-<和1X x

e

-<,

于是1

x x ?>,使

|()||()|2f x f X εε

≤+

即

lim ()x f x →∞

=.

小结

方法1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.

方法2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果.

4.4 证明零点存在性

在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理加以解决.从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.

例4.4.1 设i

a

R ∈且满足120 (02)

3

1

n a a a a n +

+

++

=+,证明方程

1

2

012...0n

n a a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根.

证明 引进辅助函数2

3

1

1

2

() (2)

3

1

n n

x

x

x

F x a

x a a a n +=+++++,

显然(0)(1)0F F ==,()F x 又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,()F x 满足罗尔中值定理的条件,故存在(0,1)ξ∈使

()0F ξ'=

而

1

2

1

2

()...n

n

F x a a x a x a x '=++++

故方程

1

2

1

2

...0n

n

a a x a x a x ++++=

在(0,1)内至少有一个实根ξ.

注 本题构造()F x 的依据是使()F x 得导数恰好是所证方程的左边. 例4.4.2 证明：方程5

10x x +-=有唯一正根. 证明 （存在性）令5

()1f x x x =+-,

显然()f x 是连续函数,取区间[0,]N 则()f x 在[0,]N 上连续,在(0,)N 内可导,且

4

()510f x x '=+>,

由连续函数的零点定理,知存在0x (0,)N ∈使0

()0f x =即方程有正根(0)N >.

（唯一性）下面用反证法证明正根的唯一性,

设处0x 外还有一个10x >不妨设01x x <使1()0f x =则()f x 在01

[,]x x 上满足罗尔中值定理条件,于是存在01

(,)x x ξ∈使

()0f ξ'=

这与上面的4

()510f x x '=+>矛盾.

所以,方程有唯一的正根.

例 4.4.3 设(),(),()f x g x h x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,证明(,)

a b ξ?∈

使

()()()

()()()0()

()

()

f a

g a

h a f b g b h b f g h ξξξ='''并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.

证明 作辅助函数()

()()()()()()()

()

()

f a

g a

h a F x f b g b h b f x g x h x =由于()()0F a F b ==,由罗尔中

值定理知(,)a b ξ?∈使

()()()0()()

()()

()(

)(

)

f a

g a

h a F f b g b h b f g h ξξξξ'==''',

①

若令()1h x =,则由①式有

()

()10()()

()1()

()

f a

g a F f b g b f g ξξξ'=='',

②

由②式可得

()()()()()

()

f b f a f

g b g a g ξξ'-='-

此即柯西中值定理.

若令()1h x =,()g x x =由①式有

()

1

0()()1()

1

f a a

F f b b

f ξξ'==',

③

由③可得

()()()f b f a f b a

ξ-'=-

此即为拉格朗日中值定理.

此类型题的一般解题方法小结 证明根的存在性有以下两种方法

（1）构造恰当的函数()F x ,使()()F x f x '=；对()F x 使用洛尔定理即可证得结论存在ξ,使得()0f ξ=；

（2）对连续函数()f x 使用介值定理；

证明根的唯一性一般用反证法,结合题意得出矛盾,进而结论得证.

4.5 函数的单调性

例4.5.1[6] 证明：若函数()f x 在[0,)a 可导,()f x '单调增加,且(0)0f =,则函数

()f x x

在(0,)a 也单调增加.

证明 对任意1

2

,(0,)x x a ∈,且1

2

x x <,则()f x 在1

[0,]x 与1

2

[,]x x 均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在1

1

2

1

2

(0,),(,)c x c x x ∈∈,使

111()(0)

()0f x f f c x -'=-, 21221

()()

()f x f x f c x x -'=

-,

由于()f x '单调增加,且(0)0f =,所以

1211

21

()()()

f x f x f x x x x -≤

-,

从而

121

2

()()f x f x x x ≤,

即函数

()f x x

在(0,)a 也单调增加.

4.6 导数的中值估计

例4.6.1[7] 设()f x 在[,]a b 上二次可微, ()()0f a f b ''==,则至少存在一点

(,)a b ξ∈,使得

2

2()()()

()

f f b f a b a ξ''≥

--.

证明 因为函数()f x 在[,

]2

a b a +与[

,]2

a b b +上可导,所以由中值定理有

11()()

2(),(,),2

2

a b

f f a a b f c c a a b a +-+'=∈+- （1）

22()()

2(),(,),22

a b

f b f a b f c c b a b b +-+'=∈+-

（2）

(1)(2)+,并整理得

212()()[()()]f c f c f b f a b a

''+=

--,

（3）

又()()0f a f b ''==,且()f x 在[,]a b 上二次可微,则分别在1

(,)a c 与2

(,)

c b 内至少存

在1

ξ与2

ξ,使

1111

1()(),(,),f c f a c c a

ξξ'''=∈-

（4）

22222()(),(,),f c f c b c b

ξξ'''=∈-

（5） (4)(5)+,并整理得

2

1

112

2()()

()()()(),f c f c f c a f

c b ξξ''''''+=-+-

（6） 将（6）式代入（3）式得

11222()()()()()()

f b f a f c a f c b b a

ξξ''''-=-+--

令12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=,则

11222()()()()f b f a f c a f c b b a

ξξ''''-≤-+--()f b a

ξ''≤-

即

2

2()()()

()

f f b f a b a ξ''≥

--,(,)a b ξ∈.

解题方法小结

选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理,再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论. 4.7 证明函数在区间上的一致连续

例4.7.1 设函数()f x 在(0,1]内连续且可导,有0

lim ()0x x f x +

→'=,证明：()

f x 在(0,1]内一致连续.

证明 由函数极限的局部有界性知,存在0

M >和(0,1)c ∈,使

(),(0,]x f x M x c '≤∈

于是1

2

,(0,]x x

c ?∈,且12x x ≠不妨设1

2x

x <由柯西中值定理,12(,)x x ξ?∈,有

2121

()()

()2()

1/(2)

f x f x f f x x ξξξξ'-'=

=-

即

2

21

21221

2x x x x x x x -

=+-≤-

故0,ε

?>2

m in{(

),}2c M

ε

δ?=,当12,(0,]x x c ∈,且21x x δ

-<时,由上面两式得

到2

1

2

1

2

1

()()22f x f x M x x M x x ε-≤-≤-<

于是知()f x 在(0,]c 上一致连续,

由于()f x 在(0,1]上连续,所以()f x 在[,1]c 上一致连续, 由定理知()f x 在(0,1]内一致连续.

证明函数在区间上的一致连续解题小结：

利用一致连续的定义并结合有关一致连续的定理即可证得结论成立. 4.8 用来判定级数的敛散性

例 4.8.1 设函数()f x 在点0x =的某邻域内有二阶连续导数,且

()lim

x f x x

→=,证1

1

()n f n ∞

=∑

绝对收敛. 证明 由0

()lim

x f x x

→=且

()

f x 在0x =可导,知

(0)0,(0)0

f f '==故

()

f x 在点

x =处的一阶泰勒公式为：

2

2

11()(0)(0)()()2!

2!

f x f f x f x f x ξξ'''''=++

=

,(0,)x ξ∈

因

()f x M

''≤,故

2

2

1()()2!

2

M f x f x x

ξ''=

≤

.

取1x n

=有

211()()2M f n n

≤ 由于2

1

1

()

2n M

n

∞

=∑

收敛,由比较判别知1

1

()n f n

∞

=∑

绝对收敛. 定理[8] 已知()f x 为定义在[1,)+∞上的减函数,()F x 为定义在[1,)+∞上的连续函数,且()()0F x f x '=>,(1,)x ∈+∞. ⑴当极限

l i m (

)n F n →∞

存

在时,正项级数1

()

n f n ∞

=∑收敛,设其和为

a

,则

lim ()(1)lim ()(1)(1)n n F n F a F n F f →∞

→∞

-≤≤-+；

⑵当极限lim ()n F n →∞

=∞时,正项级数1

()n f n ∞

=∑

发散.

证明 下面只证定理的前半部分.

因为函数()F x 在区间[,1]k k +上满足中值定理的条件（其中1k ≥）,所以在(,1)k k +内至少存在ξ使得(1)()()F k F k f ξ+-=成立,

又()f x 为减函数,故有

(1)(1)()(),1,2,,f k F k F k f k k n +<+-<=???.

将上述n 个不等式相加得

(2)(3)...(1)(1)(1)(1)(2)...()f f f n F n F f f f n ++++<+-<+++. 令(1)(2)...()n

S f f f n =+++, 则

(1)(1)(1)(1)n

n

S f f n F n F S -++<+-<,（1）

因极限lim ()n F n →∞

存在,()f x 为减函数,从而数列{()}F n 有界,

(1)(1)

f n f +<,

所以数列{}n

S 单调递增且有上界,故极限lim n

n S →∞

存在,即级数1

()n f n ∞

=∑

收敛.从

而lim

()0n f n →∞

=,

由（1）可得

1

lim ()(1)()lim ()(1)(1)n n n F n F f n F n F f ∞

→∞

→∞

=-≤

≤-+∑

.

例4.8.2 判定级数21

n

n n e

∞

=∑

是否收敛？若收敛,请估计其和.

解 令2

()x

f x x e -=,2

()(22)x

F x x x e -=-++,

则()()F x f x '=,()(2)x

f x x x e -'=-,故当2x ≥时,()0f x '≤,此时

()

f x 为减函数,又

lim ()n F n →∞

0=,由定理知级数21

n

n n e

∞

=∑

收敛,

且

22lim ()(2)lim ()(2)(2)n

n n n n F n F F n F f e

∞

→∞

→∞

=-≤

≤-+∑

,

所以

21

0(2)(1)0(2)(2)(1)

n

n n F f F f f e

∞

=-+≤

≤-++∑

即

22

1

2

1

1

1014n

n n e

e

e

e

e

∞

----=+≤

≤+∑

.

判定级数的敛散性的一般解题方法

方法一 一般先运用泰勒定理并结合题意,再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；

方法二 先验证级数满足相关定理的条件,即可得到相应结论；

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章 微分中值定理及其应用 上册P 178—180 习题解答 1． 设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ， 此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ， 此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在 点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都 不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

第六章 微分中值定理及其应用

第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理论文

引言 通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。 中值定理的内容及联系 基本内容[4][5] 对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 Lagrange 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()() =f b f a f b a ξ-'- Cauchy 定理 设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点 (),a b ξ∈，使得 ()()()()()() f b f a f g b g a g ξξ'-='-。 三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的()()f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日

微分中值定理

微分中值定理 班级： 姓名： 学号：

摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使

()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月

目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

数学分析之微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.wendangku.net/doc/1d11079426.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且

微分中值定理和应用(大学毕业论文)

毕业论文(设计) 题目名称：微分中值定理的推广及应用 题目类型：理论研究型 学生：邓奇峰 院 (系)：信息与数学学院 专业班级：数学10903班 指导教师：熊骏 辅导教师：熊骏 时间：2012年12月至2013年6月

目录 毕业设计任务书I 开题报告II 指导老师审查意见III 评阅老师评语IV 答辩会议记录V 中文摘要VI 外文摘要VII 1 引言1 2 题目来源1 3 研究目的和意义1 4 国外现状和发展趋势与研究的主攻方向1 5 微分中值定理的发展过程2 6 微分中值定理的基本容3 6.1 罗尔(Rolle)中值定理3 6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理4 6.3 柯西（Cauchy）中值定理4 6.4 泰勒（Taylor）定理4 7 微分中值定理之间的联系5 8 微分中值定理的应用5 8.1 根的存在性证明6 8.2 利用微分中值定理求极限8 8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性10 8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题10 8.5 利用微分中值定理求近似值10 8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题10 8.7 利用微分中值定理证明不等式11 9 微分中值定理的推广14 9.1 微分中值定理的推广定理15 9.2 微分中值定理的推广定理的应用17 参考文献18 致19

微分中值定理的推广及应用 学生：邓奇峰，信息与数学学院 指导老师：熊骏，信息与数学学院 【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的容和微分中值定理之间的在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“求极限”和“证明不等式”等方面的应用。 由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明微分中值定理的重要性。 拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用围。同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。 【关键词】微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理联系推广应用

微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

论文拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的 应用论文 论文题目拉格朗日中值定理 姓名 学号 所在学院 年级专业 完成时间年月日

拉格朗日中值定理的应用 摘要：以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的重要理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是几个中值定理中最重要的一个，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。 关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；收敛

Applications of Lagrange's mean value theorem Abstract：A group of mean value theorem which includes Rolle's mean value theorem , Lagrange's mean value theorem and Cauchy's mean value theorem is the theoretical basis of the differential calculus. And Lagrange's mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems' main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, inflection point，and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagrange's mean value theorem's way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its important applications. There is no special explanation about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary. Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Convergence

微分中值定理历史与发展

微分中值定理历史与发展 卢玉峰 (大连理工大学应用数学系, 大连, 116024) 微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值 定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ， 曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度， 存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度. 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在 几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的 底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部

微分中值定理及其应用大学毕业论文

微分中值定理及其应用 大学毕业论文 Last revised by LE LE in 2021

毕业论文(设计) 题目名称：微分中值定理的推广及应用 题目类型：理论研究型 学生姓名：邓奇峰 院 (系)：信息与数学学院 专业班级：数学10903班 指导教师：熊骏 辅导教师：熊骏 时间：2012年12月至2013年6月

目录 毕业设计任务书................................................ I 开题报告..................................................... II 指导老师审查意见 ............................................ III 评阅老师评语................................................. IV 答辩会议记录.................................................. V 中文摘要..................................................... VI 外文摘要.................................................... VII 1 引言 (1) 2 题目来源 (1) 3 研究目的和意义 (1) 4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1) 5 微分中值定理的发展过程 (2) 6 微分中值定理的基本内容 (3) 罗尔(Rolle)中值定理 (3) 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4) 柯西（Cauchy）中值定理 (4) 泰勒（Taylor）定理 (4) 7 微分中值定理之间的联系 (5) 8 微分中值定理的应用 (5) 根的存在性证明 (6) 利用微分中值定理求极限 (8) 利用微分中值定理证明函数的连续性 (9) 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10) 利用微分中值定理求近似值 (10) 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10) 利用微分中值定理证明不等式 (11) 9 微分中值定理的推广 (14) 微分中值定理的推广定理 (14) 微分中值定理的推广定理的应用 (16) 参考文献 (18) 致谢 (19)

微分中值定理及其在不等式的应用

安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系（院）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月

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微分中值定理及其应用 张庆娜 （安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002） 摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点

数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用

第五章 微分中值定理及其应用 第一节 微分中值定理 331231.(1)30()[0,1]; (2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3n x x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c -+=++=-+=<∈=-+证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。 证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数 值为零012023(,)[0,1],'()0. '()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220n x x x f x f x x x x c c n n k x px q x ∈?==---+=≤=>++=。那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。 当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021 01011 0202()0 (,),(,),'()'()0,'()0 (*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p --<<=++=∈∈==?=+=??=+=?? 使得函数 成立。那么由罗尔定理可知存在使得即 001022 0000102), (,),''(0)0,''()(1)0, 0,0,0. 2(*).212n n x x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q -∈==-==<>==+>++ 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即 显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。 当时,设方程12341112122313341112131 11110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(n n x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x -=<<<=++=∈∈∈====+=有三个实根,即存在实数使得函数成立。那么利用罗尔定理可知存在 使得即有 1 12121 131321111222121321222 21212 2222212)0, '()0 (,),(,)''()''()0,''()(1)0 .''()(1)0 212,n n n n nx p f x nx p x x x x x x f x f x f x n n x f x n n x n k x x ----??=+=??=+=?∈∈==?=-=??=-=??=+>= 于是就存在使得即 由于于是此时必有221111222121321220;(,),(,),,0(,,)n x x x x x x x x n x px q n p q =∈∈<++=但是由于可知必有 出现了矛盾。 因此当为奇数时,方程为正整数为实数至多有三个实根。

最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总

3[1]1微分中值定理 及其应用

3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?.

https://www.wendangku.net/doc/1d11079426.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.

微分中值定理及其应用大学毕业论文

微分中值定理及其应用大 学毕业论文 Newly compiled on November 23, 2020

毕业论文(设计) 题目名称：微分中值定理的推广及应用 题目类型：理论研究型 学生姓名：邓奇峰 院 (系)：信息与数学学院 专业班级：数学10903班 指导教师：熊骏 辅导教师：熊骏 时间：2012年12月至2013年6月

目录 毕业设计任务书................................................ I 开题报告..................................................... II 指导老师审查意见 ............................................ III 评阅老师评语................................................. IV 答辩会议记录.................................................. V 中文摘要..................................................... VI 外文摘要.................................................... VII 1 引言 (1) 2 题目来源 (1) 3 研究目的和意义 (1) 4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1) 5 微分中值定理的发展过程 (2) 6 微分中值定理的基本内容 (3) 罗尔(Rolle)中值定理 (3) 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4) 柯西（Cauchy）中值定理 (4) 泰勒（Taylor）定理 (4) 7 微分中值定理之间的联系 (5) 8 微分中值定理的应用 (5) 根的存在性证明 (6) 利用微分中值定理求极限 (8) 利用微分中值定理证明函数的连续性 (9) 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10) 利用微分中值定理求近似值 (10) 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10) 利用微分中值定理证明不等式 (11) 9 微分中值定理的推广 (14) 微分中值定理的推广定理 (14) 微分中值定理的推广定理的应用 (16) 参考文献 (18) 致谢 (19)