3.
故a 的取值范围是(0,23).
例14 已知函数
321
()(2)13
f x ax bx b x =-+-+
在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,且12012x x <<<<.
(1)证明0a >;
(2)若z =a +2b ,求z 的取值范围。 [解答过程]求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-.
(Ⅰ)由函数()f x 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,知12x x ,是()0
f x '=的两个根. 所以
12()()()f x a x x x x '=--
当1x x <时,()f x 为增函数,()0f x '>,由10x x -<,20x x -<得0a >.
(Ⅱ)在题设下,12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>??'?'>? 即202204420b a b b a b b ->??
-+-?-+->?.
化简得20
3204520b a b a b ->??
-+?-+>?
.
此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线:203204520b a b a b -=-+=-+=,,.
所围成的ABC △的内部,其三个顶点分别为:46(22)(42)77A B C ??
???
,,,,,. z 在这三点的值依次为
16
687
,,. 所以z 的取值范围为1687?? ???
,.
小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合. 考点4 导数的实际应用 建立函数模型,利用 典型例题
例15.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为
??? ?
?
-=-=
230(m)35.44
1218<<x x x
h .
故长方体的体积为
).2
30()
(m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-=
b
a 2 1 2
4
O
4677A ??
???,
(42)C ,
(22)
B ,
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x <
3
2
时,V ′(x )<0, 故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。
从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为1.5 m 时,体积最大,最大体积为3 m 3。 例16.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为: 313
8(0120).12800080
y x x x =
-+<≤已知甲、乙两地相距100千米. (I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II )当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程](I )当40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时,
要耗没313(40408) 2.517.512800080
?-?+?=(升).
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
(II )当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时,设耗油量为()h x 升,依
题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤
33
22
80080'()(0120).640640x x h x x x x
-=-=<≤ 令'()0,h x =得80.x =
当(0,80)x ∈时,'()0,()h x h x <是减函数;当(80,120)x ∈时,'()0,()h x h x >是增函数. 当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h =
因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升. 【专题训练】 一、选择题
1. y =e sin x cos(sin x ),则y ′(0)等于( )
A.0
B.1
C.-1
D.2
2.经过原点且与曲线y =5
9++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25
x +y =0
B.x -y =0或25
x +y =0
C.x +y =0或25
x -y =0
D.x -y =0或25
x -y =0
3.设f (x )可导,且f ′(0)=0,又x
x f x )(lim 0
'→=-1,则f (0)( )
A.可能不是f (x )的极值
B.一定是f (x )的极值
C.一定是f (x )的极小值
D.等于0
4.设函数f n (x )=n 2x 2(1-x )n (n 为正整数),则f n (x )在[0,1]上的最大值为( ) A.0
B.1
C.n n
)221(+-
D.1)2
(4++n n n
5、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( )
A 、 有极大值
B 、无极值
C 、有极小值
D 、无法确定极值情况
6.f(x)=ax 3+3x 2+2,f ’(-1)=4,则a=( )
A 、3
10 B 、3
13 C 、3
16 D 、3
19
7.过抛物线y=x 2上的点M (4
1,21)的切线的倾斜角是( )
A 、300
B 、450
C 、600
D 、900
8.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( )
A 、(0,1)
B 、(-∞,1)
C 、(0,+∞)
D 、(0,2
1)
9.函数y=x 3-3x+3在[2
5,23-]上的最小值是( )
A 、 8
89 B 、1
C 、8
33 D 、5
10、若f(x)=x 3+ax 2+bx+c ,且f(0)=0为函数的极值,则( ) A 、c ≠0 B 、当a>0时,f(0)为极大值 C 、b=0 D 、当a<0时,f(0)为极小值
11、已知函数y=2x 3+ax 2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( ) A 、(2,3)
B 、(3,+∞)
C 、(2,+∞)
D 、(-∞,3)
12、方程6x 5-15x 4+10x 3+1=0的实数解的集合中( )
A 、至少有2个元素
B 、至少有3个元素
C 、至多有1个元素
D 、恰好有5个元素 二、填空题
13.若f ′(x 0)=2,k
x f k x f k 2)()(lim 000
--→ =_________.
14.设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.
15.函数f (x )=log a (3x 2+5x -2)(a >0且a ≠1)的单调区间_________.
16.在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题
17.已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),求直线l 的方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p 2x 2(1-x)p (p ∈N +),在[0,1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a 2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 (1)y =(x 2-2x +3)e 2x ; (2)y =31x
x -.
21.有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m 时,梯子上端下滑的速度. 22.求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n
-1
,(x ≠0,n ∈N *).
23.设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范围,并求其单调区间. 24.设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值;
(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值,并说明理由.
25.已知a 、b 为实数,且b >a >e ,其中e 为自然对数的底,求证:a b >b a . 26.设关于x 的方程2x 2-ax -2=0的两根为α、β(α<β),函数f (x )=1
42+-x a x .
(1)求f (α)·f (β)的值;
(2)证明f (x )是[α,β]上的增函数;
(3)当a 为何值时,f (x )在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?
【参考答案】
一、1.解析:y ′=e sin x [cos x cos(sin x )-cos x sin(sin x )],y ′(0)=e 0(1-0)=1. 答案:B
2.解析:设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =0
0x y ,另一方面,y ′=(5
9++x x )′=2
)5(4+-x ,故
y ′(x 0)=k ,即
)
5(9)5(40000020++=
=+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=-3,y 0(2)=-15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=5
35
15915=+-+-,因此得两个切点A (-3,3)或B (-15,5
3),从而得y ′(A )=
)53(4+-- =-1及y ′(B )= 251)515(42
-
=+-- ,由于切线过原点,故得切线:l A :y =-x 或l B :y =-25x .
答案:A 3.解析:由x
f x )0(lim
'→=-1,故存在含有
0的区间(a ,b )使当x ∈(a ,b ),x ≠0时
x
f )0('<0,于是当x ∈
(a ,0)时f ′(0)>0,当x ∈(0,b )时,f ′(0)<0,这样f (x )在(a ,0)上单增,在(0,b )上单减. 答案:B
4.解析:∵f ′n (x )=2xn 2(1-x )n -n 3x 2(1-x )n -1 =n 2x (1-x )n -1[2(1-x )-nx ],令f ′n (x )=0,得x 1=0,x 2=1,x 3=n
+22,易知f n (x )在x =n
+22时取得最大值,最大值f n (n
+22)=n 2(n
+22)2(1-
n +22)n =4·(n
+22)n +1 . 答案:D
5、B
6、A
7、B
8、D
9、B 10、C 11、B 12、C 二、13.解析:根据导数的定义:f ′(x 0)=k
x f k x f k ---+→)()]([(lim 000
(这时k x -=?)
.1)(2
1)()(lim 21]
)
()(21[lim 2)()(lim
0000000000-='-=----=---?-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案:-1
14.解析:设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ), f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ! 答案:n !
15.解析:函数的定义域是x >3
1或x <-2,f ′(x )=
2
53log -+x x e a .(3x 2+5x -2)′=)2)(13(log )56(+-?+x x e x a ,
①若a >1,则当x >3
1时,log a e >0,6x +5>0,(3x -1)(x +2)>0,∴f ′(x )>0,∴函数f (x )在(3
1,+
∞)上是增函数,x <-2时,f ′(x )<0.∴函数f (x )在(-∞,-2)上是减函数.
②若0<a <1,则当x >3
1时,f ′(x )<0,∴f (x )在(3
1,+∞)上是减函数,当x <-2时,
f ′(x )>0,∴f (x )在(-∞,-2)上是增函数.
答案:(-∞,-2)
16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x ,高为h ,那么h =AO +BO =R +22x R -,解得
x 2=h (2R -h ),于是内接三角形的面积为 S =x ·h =,)2()2(432h Rh h h Rh -=?- 从而)2()2(2
1431
43'--='-h Rh h Rh S
32321
43)2()23()46()2(21h h R h R h h Rh h Rh --=--=-.
令S ′=0,解得h =2
3R ,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R )上列表如下:
由此表可知,当x =2
3R 时,等腰三角形面积最大. 答案:2
3R
三、17. 解:由l 过原点,知k =0
0x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上,y 0=x 03-3x 02+2x 0,
∴0
0x y =x 02-3x 0+2,y ′=3x 2-6x +2,k =3x 02-6x 0+2
又k =0
0x y ,∴3x 02-6x 0+2=x 02-3x 0+2,2x 02-3x 0=0,∴x 0=0或x 0=2
3.
由x ≠0,知x 0=2
3,
∴y 0=(2
3)3-3(2
3)2+2·2
3=-8
3.∴k =0
0x y =-4
1.
∴l 方程y =-4
1x 切点(2
3,-8
3).
18.]x )p 2(2[)x 1(x p )x ('f 1p 2+--=- , 令f ’(x)=0得,x=0,x=1,x=p
22+ ,
在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0,2p )p
2p (4)p
22(f ++=+ .
∴ p 2max )p
2p (4)]x (f [++= .
19.设双曲线上任一点P (x 0,y 0),
2
2
x x x a |y k 0-=== ,
∴ 切线方程)x x (x a y y 02
2
0--=- ,
令y=0,则x=2x 0 令x=0,则0
2
x a 2y = .
∴ 2a 2|y ||x |2
1S == .
20.解:(1)注意到y >0,两端取对数,得 ln y =ln(x 2-2x +3)+ln e 2x =ln(x 2-2x +3)+2x,
.
)2(2.)32(32)2(232)2(2.
32)
2(223222232)32(12222
22222
2222x x e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y ?+-=?+-?+-+-=?+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='?∴
(2)两端取对数,得 ln|y |=3
1(ln|x |-ln|1-x |),
两边解x 求导,得 .
1)1(31)1(131,)1(131)111(3113x
x x x y x x y x x x x y y --=?-?='∴-=---='?
21.解:设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5-2925t -,当下端移开1.4 m 时,t 0=15
73
41=?,
又s ′=-2
1
(25-9t 2)21
-·(-9·2t )=9t
2
9251t
-,
所以s ′(t 0)=9×2
)15
7
(925115
7
?-?
=0.875(m/s).
22.解:(1)当x =1时,S n =12+22+32+…+n 2=6
1n (n +1)(2n +1),当x ≠1时,1+2x +3x 2+…
+nx n -1 =2
1
)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同乘以x ,得
x +2x 2+3x 2+…+nx n =21
)1()1(x nx x
n x n n -++-++两边对x 求导,得
S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1
=2
2122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++.
23.解:f ′(x )=3ax 2+1.
若a >0,f ′(x )>0对x ∈(-∞,+∞)恒成立,此时f (x )只有一个单调区间,矛盾. 若a =0,f ′(x )=1>0,∴x ∈(-∞,+∞),f (x )也只有一个单调区间,矛盾. 若a <0,∵f ′(x )=3a (x +
||31a )·(x -|
|31a ),此时f (x )恰有三个单调区间. ∴a <0且单调减区间为(-∞,-||31a )和(|
|31a ,+∞),
单调增区间为(-
|
|31a ,
|
|31a ). 24.解:f ′(x )=x
a +2bx +1,
(1) 由极值点的必要条件可知:f ′(1)=f ′(2)=0,即a +2b +1=0,且2
a +4
b +1=0,
解方程组可得a =-3
2,b =-6
1,∴f (x )=-3
2ln x -6
1x 2+x,
(2)f ′(x )=-3
2x -1-3
1x +1,当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,当x ∈(1,2)时,f ′(x )>0,当x ∈(2,+
∞)时,f ′(x )<0,故在x =1处函数f (x )取得极小值6
5,在x =2处函数取得极大值3
4-3
2ln2.
25.证法一:∵b >a >e ,∴要证a b >b a ,只要证b ln a >a ln b ,设f (b )=b ln a -a ln b (b >e ),则 f ′(b )=ln a -b
a .∵
b >a >e ,∴ln a >1,且b
a <1,∴f ′(
b )>0.∴函数f (b )=b ln a -a ln b 在(e ,+∞)
上是增函数,∴f (b )>f (a )=a ln a -a ln a =0,即b ln a -a ln b >0,∴b ln a >a ln b ,∴a b >b a .
证法二:要证a b >b a ,只要证b ln a >a ln b (e <a <b ),即证,设f (x )=x
x ln (x >e ),则f ′
(x )=2
ln 1x x -<0,∴函数f (x )在(e ,+∞)上是减函数,又∵e <a <b ,
∴f (a )>f (b ),即b
b a
a ln ln >,∴a
b >b a .
26.解:(1)f (α)=
a
a -+-1682
,f (β)=
a
a ++-1682
,f (α)=f (β)=4,
(2)设φ(x )=2x 2-ax -2,则当α<x <β时,φ(x )<0,
2222222)1()4(2)1(4)1()1)(4()1()4()(+--+=
+'+--+'-='x a x x x x x a x x a x x f 0)1()
(2)1()22(22
2222>+-=++--=x x x ax x ?.
∴函数f (x )在(α,β)上是增函数.
(3)函数f (x )在[α,β]上最大值f (β)>0,最小值f (α)<0,
∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,此时a=0,f(β)=2.
高考数学专题导数题的解题技巧
第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势: 综观2007年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. (2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题. 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1.(2007年北京卷)()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷)设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
高考压轴题:导数题型及解题方法总结很全.
高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法: )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法:设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x )()()(000 求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f (x )=x 3 ﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169y x ) (2)若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线,求实数 m 的取值范围、 (提示:设曲线 )(x f y 上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。(答案: m 的范围是2,3) 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法:设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为( )(,11x f x )。()(,22x f x ); 建立 21,x x 的等式关系,12112)()(y y x f x x ,12 212 )()(y y x f x x ;求出21,x x ,进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。(答案02e y x e ) 二.单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有:(1)在求极值点的过程中,未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类;(2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与 0的 关系不定);(3) 在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类;(4) 在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 (1)求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点的大小关系分类)(2)若 e x ,2,求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类) 题型2 已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。 方法1:研究导函数讨论。 方法2:转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题, 方法3:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意:“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数,求实数 a 的取值范围. (答案 , 0) 题型 3 已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。 方法1:正难则反,研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题,再检验。方法3:直接研究不单调,分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ,R a 在区间 1,2 1内不单调,求实数 a 的取值范围。 (答案: 3, 2a ) )三.极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路:定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ,求在2,1x 的极小值。 (利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类) 题型 2 已知函数极值,求系数值或范围。 方法:1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。(答案:1)
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧
函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结: 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想: 例题1: 讨论下列函数单调性: 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 (2)?? ???<-=-=-040)2(202a a 解(1)得???<<-<2 22a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 三、分离法参数: 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即: (1) 对任意x 都成立()min x f m ≤ (2)对任意x 都成立。 例3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)
高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法) 高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考容,而且是这几年 考试的热点跟增长点,无论是期中·期末还是会考·高考,都是高中数 学的必考容之一。因此,针对这两各部分的容和题型总结归纳了具体 的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快 的方法解决高中数学问题。好了,下面就来讲解常用逻辑用语的经典 解题技巧。 第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景。 (2)理解导数的几何意义。 2.导数的运算
(1)能根据导数定义求函数 的导数。 (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 (3)能求简单的复合函数(仅限于形如的复合函数)的导数。 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。 (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间了函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)。 4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念。 (2)了解微积分基本定理的含义。 总结:先搞清楚导数概念以及几何意义,才能更好地运用其解题技巧! 231(),,,,,y C C y x y x y x y y x ======为常数()f ax b +
第二·导数运用和解题方法 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦:1.利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用,为近几年各省市高考命题的热点。 2.常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题,多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现,属容易题。 解题技巧:1.导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是:曲线在点 处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数对时间 的导()y f x =()y f x =0x ()f x '()y f x =00(,())P x f x ()s t t
导数常见题型与解题方法总结
导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)('=x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 第三种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)。 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x <
高中数学导数题型分析及解题方法
导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。 1. 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2.已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ; 3.函数3 31x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3 题型二:利用导数几何意义求切线方程 1.曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2.若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ,则P 点的坐标为 (1,0) 3.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为 430x y --= 4.求下列直线的方程: (1)曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线; (2)曲线2 x y =过点P(3,5)的切线; 解:(1) 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=-上,在曲线点-x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即, (2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为),(00y x A ,则2 00x y =①又函数的导数为x y 2/=, 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===,又切线过),(00y x A 、P(3,5)点,所以有 3 5 2000--= x y x ②,由①②联立方程组得,??????====25 5 110 000y x y x 或,即切点为(1,1)时,切线斜率为 ; 2201==x k ;当切点为(5,25)时,切线斜率为10202==x k ;所以所求的切线有两条,方程分 别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即, 或 题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 1.已知函数 ))1(,1()(,)(2 3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1
高中导数题的解题技巧
导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势: 导数应用:导数-函数单调性-函数极值-函数最值-导数的实际应用. 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1.(2006年辽宁卷)与方程 221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为 A.ln(1)y x =+ B.ln(1)y x =- C. ln(1)y x =-+ D. ln(1)y x =-- [考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥?-=,0,1x x e ≥∴≥, 即:1ln(1)x e y x y =+?=+,所以1()ln(1)f x x -=+. 故选A. 例2. ( 2006年湖南卷)设函数()1 x a f x x -=-,集合{|()0}x f x <'{|()0}x f x >,若,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1∞) D. [1∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1. 1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时 ()()() / /2211,0.11111. x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得时, 1.a ∴> 考点2 曲线的切线 (1)关于曲线在某一点的切线 求曲线(x)在某一点P ()的切线,即求出函数(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. (2)关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
导数大题问解题方法
导数大题一、二问专练 一、求单调性解题步骤: (1)求函数()f x 的定义域 (2)求函数的导函数()f x ',并化简; (3)令()0f x '=,求出所有的根,并检查根是否在定义域内。(注意此处是否引出讨论)............ (讨论:1)讨论的对象,即讨论哪个字母参数 2)讨论的引发,即为何讨论 3)讨论的范围,即讨论中要做到“不重不漏”) (4)列表:注意定义域的划分、()f x '正负号的确定 (5)根据列表情况作出答案 二、导数难点: 难点一:如何讨论: (1)判断()0f x '=是否有根(可通过判别式的正负来确定),如果无法确定,引发讨论; (2) 求完根后,比较()0f x '=两根的大小,如果无法确定,引发讨论。 (3在填表时确定()f x '的正负或解不等式()0f x '>过程中,引发讨论。 难点二、()f x '正负的确定 (1) 当()f x '或()f x '式中未确定部分是一次或二次函数时,画函数图象草图来确定正负号; (2)()f x '为其他函数时,由()0f x '>的解集来确定()f x '的正负。 (3)若()0f x '=无根或重根,不必列表,直接判断导函数的正负即可。
题型一:讨论()0f x '=是否有根型 (1)若导数是二次函数,需判断判别式?的正负 (2)若导数是一次函数y kx b =+,需判断k 的正负 1、设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切,求,a b 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点 2.(08文)已知函数32 ()3(0)f x x ax bx c b =+++≠,且()()2g x f x =-是奇函数. (Ⅰ)求a ,c 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间 (18) (本小题共13分)已知函数x a x x f ln )(2 -=(R a ∈).(练习) (Ⅰ)若2=a ,求证:)(x f 在(1,)+∞上是增函数; (2)求()f x 的单调区间; 18.设函数()0)(2>+=a b x ax x f 。 (1)若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-,求b a ,的值; (2)求函数()f x 的单调区间 (3)若函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增,求b 的取值范围
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
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利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0, 证明:2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析:主要考查利用导数证明不等式的能力。 证明:1ln )(+='x x g ,设)2 ( 2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2( 2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ,当a x >时 0)(>'x F , 即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数,在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ,又a b > ∴0)()(=>a F b F , 即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2(2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时,0)(' ∴0)()(=高考数学专题导数题的解题技巧
第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势: 综观2007年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型及特点: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. (2)求极值, 函数单调性,应用题,及三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题. 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性及其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1.(2007年北京卷)()f x '是31 ()213 f x x x =++的导函数,则(1)f '-的
值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()22()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+= 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷)设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P=' {|()0}x f x >, 若M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1. 1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时 ()()() / /22 11,0.11111. x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1. a ∴> 考点2 曲线的切线 (1)关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P (x,y )的切线,即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. (2)关于两曲线的公切线 若一直线同时及两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 例3.(2007年湖南文)已知函数321 1()32 f x x ax bx =++在区间[11)-,,(13],内各有一个极值点. (I )求24a b -的最大值; (II )当248a b -=时,设函数()y f x =在点(1(1))A f ,处的切线为l ,若l
函数导数中恒成立问题解题技巧
临沂市高三二轮会材料 函数导数中的恒成立问题解题技巧 函数导数中的恒成立问题解题技巧 新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用,恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用,同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法,考查综合解题能力,尤其是在函数、导数中体现的更为明显,也是历年高考的热点问题,根据本人的体会,恒成立问题主要有以下几种. 一、利用函数的性质解决恒成立问题 例1 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++(,)a b ∈R . (1)若函数()f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (2)若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...,求a 的取值范围. 解:(1)由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f 又???-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ,解得0=b ,3-=a 或1=a (2)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调,等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点,根据零点存在定理,有 0)1()1(<'-'f f ,即:0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得:0)1)(1)(5(2<-++a a a ,解得15-<<-a 所以a 的取值范围是{}15-<<-a a . 【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题,主要是函数单调性的应用,函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点,利用函数零点的存在性定理即可解决问题. 二、利用数形结合思想解决恒成立问题 例2 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. (1)求a ; (2)求函数()f x 的单调区间; (3)若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点,求b 的取值范围. 【方法指导】(1)在极值点处导数为零,可以求a 的值;(2)求函数的单调区间借助()0f x '>可以求出单调递增区间,()0f x '<可以求出单调递减区间;(3)根
高中导数题的解题技巧
高中导数题的解题技巧 高中导数题的解题技巧 导数解答题是高考数学必考题目,然而由于缺乏方法,同时认识上的错误,绝大多数同学会选择完全放弃,我们不可否认导数解答题的难度,但也不能过分的夸大。以下是高中导数题的解题技巧,欢迎阅读。导数高考考查范围: 1. 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2. 熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。考点一:导数的概念对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 考点二:曲线的切线 1. 关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点 P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. 2. 关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线. 本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 典型例题1:考点三:导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题: 1. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3. 解决单调性问题; 4. 求函数的极值(最值); 5. 构造函数证明不等式. 考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的`应用能力,求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调
导数应用的题型与解题方法
导数应用的题型与解题方法 一、专题概述 导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。 二、知识整合 1.导数概念的理解. 2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值. 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例,引出复合函数的求导法则,接下来对法则进行了证明。 3.要能正确求导,必须做到以下两点: (1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则。 (2)对于一个复合函数,一定要理清中间的复合关系,弄清各分解函数中应对哪个变量求导。 4.求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系;(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);(3)把中间变量代回原自变量(一般是x )的函数。 也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系y=f(μ),μ=f(x);然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ,中间变量对自变量求导)'(x μ;最后求x y ''μμ?,并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后,可以省略中间过程。若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。 三、例题分析 例1.?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,则=a =b 思路:?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b 例2.已知f(x)在x=a 处可导,且f ′(a)=b ,求下列极限:
高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)
高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容,而且是这几 年考试的热点跟增长点,无论是期中·期末还是会考·高考,都是高 中数学的必考内容之一。因此,针对这两各部分的内容和题型总结归 纳了具体的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了,下面就来讲解常用 逻辑用语的经典解题技巧。 第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景。 (2)理解导数的几何意义。 2.导数的运算 (1)能根据导数定义求函数
(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 (3)能求简单的复合函数(仅限于形如的复合函数)的导数。 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。 (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间了函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)。 4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念。 (2)了解微积分基本定理的含义。 总结:先搞清楚导数概念以及几何意义,才能更好地运用其解题技巧! 231(),,,,,y C C y x y x y x y y x ======为常数()f ax b +
第二·导数运用和解题方法 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦:1.利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用,为近几年各省市高考命题的热点。 2.常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题,多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现,属容易题。 解题技巧:1.导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是:曲线在点 处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数对时间的导数)。 ()y f x =()y f x =0x ()f x '()y f x =00(,())P x f x ()s t t
高考导数题型分析及解题方法
高考导数题型分析及解题方法 本知识单元考查题型与方法: ※※与切线相关问题(一设切点,二求导数=斜率=21 21 y y x x --,三代切点入切线、曲线联立方程求解); ※※其它问题(一求导数,二解)('x f =0的根—若含字母分类讨论,三列3行n 列的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。) 特别强调:恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造,一对多涉及到求和转化。 关注几点: 恒成立:(1)定义域任意x 有()f x >k,则min ()f x >常数k ; (2)定义域任意x 有()f x 恒成立,则min ()-()0,f x g x >【】 (2)若对定义域内任意x 有()()f x g x <:恒成立,则max ()-()0f x g x <【】 能成立:(1)分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和,对任意的1[,],x a b ∈存在 2[,],x c d ∈使得12()()f x g x <,则max max ()()f x g x < (2)分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和,对任意的1[,],x a b ∈存在2[,],x c d ∈使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x > 一、考纲解读 考查知识题型:导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值;证明不等式、求参数范围等 二、热点题型分析 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。 1. 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2.已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ; 3.函数3 31x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3
最新高考数学解题技巧大揭秘 专题5 函数、导数、不等式的综合问题
专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )=ln x +k e x (k 为常数,e = 28…是自然对数的底数),曲线y = f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行. (1)求k 的值; (2)求f (x )的单调区间; (3)设g (x )=xf ′(x ),其中f ′(x )为f (x )的导函数,证明:对任意x >0,g (x )<1+e - 2. 解 (1)由f (x )=ln x +k e x , 得f ′(x )=1-k x -xln x xe x ,x ∈(0,+∞), 由于曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行. 所以f ′(1)=0,因此k =1. @ (2)由(1)得f ′(x )=1 xe x (1-x -xln x ),x ∈(0,+∞), 令h(x )=1-x -xln x ,x ∈(0,+∞), 当x ∈(0,1)时,h(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h(x )<0. 又e x >0,所以x ∈(0,1)时,f ′(x )>0; x ∈(1,+∞)时,f ′(x )<0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)因为g(x )=xf ′(x ), 所以g(x )=1 e x (1-x -xln x ),x ∈(0,+∞), 由(2)得,h(x )=1-x -xln x , 求导得h′(x )=-ln x -2=-(ln x -ln e - 2). ] 所以当x ∈(0,e - 2)时,h′(x )>0,函数h(x )单调递增; 当x ∈(e - 2,+∞)时,h′(x )<0,函数h(x )单调递减. 所以当x ∈(0,+∞)时,h(x )≤h(e - 2)=1+e - 2. 又当x ∈(0,+∞)时,0<1 e x <1, 所以当x ∈(0,+∞)时,1e x h(x )<1+e -2,即g(x )<1+e - 2. 综上所述结论成立.
一道导数大题的三种解题思路
一道导数大题的三种解题思路 2021《全品高考复习方案》作业手册 专题突破训练(一)P203 4.已知函数f(x)=e x-ax2,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-2)y=0垂直. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求证:当x>0时,e x-e x-1≥x(ln x-1). 方法一:几何意义(也是参考答案解法) 分析:可以充分利用() f x图象在切线上方,从而得出不等式。 4.解:(1)由f(x)=e x-ax2,得f'(x)=e x-2ax. 因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-2)y=0垂直, 所以f'(1)=e-2a=e-2,所以a=1,即f(x)=e x-x2,f'(x)=e x-2x. 令g(x)=e x-2x,则g'(x)=e x-2.当x∈(-∞,ln 2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x∈(ln 2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以g(x)min=g(ln 2)=2-2ln 2>0, 所以f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无减区间. (2)证明:由(1)知f(x)=e x-x2,f(1)=e-1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1),即y=(e-2)x+1. 令h(x)=e x-x2-(e-2)x-1,则h'(x)=e x-2x-(e-2)=e x-e-2(x-1), 易知h'(1)=0,令m(x)=h'(x),则m'(x)=e x-2, 当x∈(-∞,ln 2)时,m'(x)<0,h'(x)单调递减; 当x∈(ln 2,+∞)时,m'(x)>0,h'(x)单调递增. 因为h'(1)=0,所以h'(x)min=h'(ln 2)=4-e-2ln 2<0,因为h'(0)=3-e>0,所以存在x0∈(0,1),当x ∈(0,x0)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(x0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增. 又h(0)=h(1)=0,所以当x>0时,h(x)≥0,即e x-x2-(e-2)x-1≥0, 所以e x-(e-2)x-1≥x2. 令φ(x)=ln x-x,则φ'(x)=1 x --1=1-x x ,所以当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,当x∈(1,+∞) 时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,所以φ(x)≤φ(1)=-1,即ln x+1≤x. 因为x>0,所以x(ln x+1)≤x2,所以当x>0时,e x-(e-2)x-1≥x(ln x+1),即当x>0时,e x-e x-1≥x(ln x-1).
导数题的解题技巧
导数题的解题技巧 模块一,导数 命题趋势: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. (2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题. 【考点透视】 1.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 题型一 导数的概念 例1.(2007年北京卷)()f x '是31()213f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 例2. ( 2006年湖南卷)设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 题型二 曲线的切线 关于曲线在某一点的切线: 求曲线y=f(x)在某一点P (x,y )的切线,即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. 例3(2006年安徽卷)若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 例4. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +2 5=0相切的直线的方程为 ( ) =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =3 1x [考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 例5。处的切线方程在点求曲线)2 1,6(sin πA x y = 提醒三 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应