第9章双变量回归与相关(精)
双变量回归与相关
两变量间的关系
1、确定性关系：函数
2、不确定性关系：回归关系或相关关系
现实生活中，许多现象之间有相互联系，然而并不像函数那样是确定性关系。例如：身高与体重、体温与脉搏、年龄与医疗费用等。在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也各不相同。有些变量间关系密切，有些不密切；有些是因果关系；但是，有的现象之间因果不清，只是伴随关系。
直线回归(Linear regression)
“regression”一词的来源
F Galton的研究
为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔.皮尔逊测量了1078
对父子的身高。把1078对数字表
示在坐标上，如图。用水平轴X上的数代表父亲身高，垂直轴Y上的数代表儿子的身高，1078个点所形成
的图形是一个散点图。它的形状象
一块橄榄状的云，中间的点密集，
边沿的点稀少，其主要部分是一个
椭圆。
＊为了描述两变量之间的关系，首先在直角坐标系上描述这些点，这一组点集称为scatter diagram 。
图 1078对父子身高间的关系
直线回归分析就是用来描述一个变量如何依赖于另一个变量的统计方法。
dependent variable(应变量) independent variable(自变量)
回归方程
直线回归的任务就是要找出因变量随自变量变化的直线方程，我们把这个直线方程叫做直线回归方程。
式中的 是由自变量X 推算应变量Y 的估计值。 a 是回归直线在Y 轴上的截距，称为常数项(constant),即X=0时的Y 值；
b 为样本的回归系数(reg. Coeff.)，即回归直线的斜率，表示当X 变动一个单位时，Y 平均变动b 个单位。
?Y a bX
=+?Y
求偏导数得正规方程组
22
?()i Q e Y y ==-∑∑
2
[()]
Y a bX =-+∑
min
→00Q
a Q
b
?=??=?最小二乘法(least square method, LS)：使各散点到直线的纵向距离的平方和最小。
a y bx
=-()()()()2
2
2
XY XX
X Y XY X x Y y l n
b l X x X X
n
-
--==
=
--
∑∑∑∑∑
∑∑可见：直线一定经过“均数”点 (),x
y 解上述方程组，得：
回归直线的描绘
根据求得的回归方程，可以在自变量X 的实测范围内任取两个值，代入方程中，求得相应的Y 估计值，以这两对
数据找出对应的两个坐标点，将两点连接为一条直线，就是该方程的回归直线。
回归直线一定经过 。这两点可以用来核对图线绘制是否正确。
()()0,,,a x y
实例(P184)
例9-1 某地方病研究所调查了 8名正常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X）的回归方程。
表9-1 8名正常儿童的年龄X(岁)与尿肌酐含量Y(mmol/24h)
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年龄X 13 11 9 6 8 10 12 7 尿肌酐含量Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65
图9-1 8名儿童的年龄与尿肌酐含量散点图
2.4
2.62.8
3.03.23.43.64
6
81012
14
年龄（岁）X
尿肌酐含量（m m o l /24h ）Y
(,)
x y
编号 年龄X
肌酐Y
X 2 Y 2
XY
1 13 3.54 169 12.53 46.0
2 2 11 3.01 121 9.06 33.11
3 9 3.09 81 9.55 27.81
4 6 2.48 36 6.1
5 14.88 5 8 2.56
64
6.55 20.48 6 10 3.36 100 11.29 33.60 7 12 3.18 144 10.11 38.16
8
7
2.65
49
7.02
18.55 合计 76 23.87 764 72.27 232.61
S X
S Y
S X 2
S Y 2
S XY
()()()22
2//232.617623.87/876476/85.84500.1392
42
XY XX XY X Y n l b l X X n S -S S ==S -S -?=
-==/23.87/8 2.9838
y Y n =S ==回归方程 中参数估计值 a 、b 的计算步骤
2.98380.13929.51.6617
a y bx
=-=-?=/76/89.5
x X n =S ==?1 1.66710.1392Y
X -=+例9资料的回归方程：
a、b的解释
?
-=+
例资料的回归方程：
Y X
91 1.66710.1392
斜率 (b)-回归系数
?当X每增加1个单位时，Y平均改变 b个单位
?本例b = 0.1392，表明在所研究的年龄范围内，年龄
每增加1岁，尿肌酐含量平均增加0.1392 mmol/24h
截距 (a)-常数项
?X = 0时Y的平均值
?本例a＝1.6617，表示年龄为0时，尿肌酐含量的期望
值为1.6617mmol/24h（注意有时这种解释无实际意义，
如本例）
回归方程的检验
直线回归方程是从样本资料计算而得的，a、b同样存在着抽样误差问题。所以，需要对样本的回归系数b进行假设检验，以判断b 是否从回归系数为零的总体中抽得。为了判断抽样误差的影响，需对回归系数进行假设检验。
总体的回归系数用β表示。
回归系数的假设检验
H0：β=0
H1：β≠0
α=0.05
选择合适的假设检验方法(方法有二），计算检验统计量（1）方差分析
（2）t检验
判断P值
做出推论：统计学结论和专业结论
()
()()
??Y Y Y Y Y Y -=-+-?()y
y -回归部分()
Y y -总情况Y
(,)
P X Y y
X
?()Y y
-剩余部分（1）回归系数的方差分析
x
第九章 相关与简单线性回归分析
第九章相关与简单线性回归分析 第一节相关与回归的基本概念 一、变量间的相互关系 现象之间存在的依存关系包括两种：确定性的函数关系和不确定性的统计关系，即相关关系。 二、相关关系的类型 1、从相关关系涉及的变量数量来看：简单相关关系；多重相关或复相关。 2、从变量相关关系变化的方向看：正相关；负相关。 3、从变量相关的程度看：完全相关；不相关；不完全相关。 二、相关分析与回归分析概述 相关分析就是用一个指标（相关系数）来表明现象间相互依存关系的性质和密切程度；回归分析是在相关关系的基础上进一步说明变量间相关关系的具体形式，可以从一个变量的变化去推测另一个变量的变化。 相关分析与回归分析的区别： 目的不同：相关分析是用一定的数量指标度量变量间相互联系的方向和程度；回归分析是要寻求变量间联系的具体数学形式，要根据自变量的固定值去估计和预测因变量的值。 对变量的处理不同：相关分析不区分自变量和因变量，变量均视为随机变量；回归区分自变量和因变量，只有因变量是随机变量。 注意：相关和回归分析都是就现象的宏观规律/平均水平而言的。 第二节简单线性回归 一、基本概念 如果要研究两个数值型／定距变量之间的关系，以收入x与存款额y为例，对n个人进行独立观测得到散点图，如果可以拟合一条穿过这一散点图的直线来描述收入如何影响存款，即简单线形回归。 二、回归方程 在散点图中，对于每一个确定的x值，y的值不是唯一的，而是符合一定概率分布的随机变量。如何判断两个变量之间存在相关关系？要看对应不同的x，y的概率分布是否相同/y的总体均值是否相等。 在x=xi的条件下，yi的均值记作E(yi)，如果它是x的函数，E(yi) =f(xi)，即回归方程，就表示y和x之间存在相关关系，回归方程就是研究自变量不同取值时，因变量y的平均值的变化。当y的平均值和x呈现线性关系时，称作线性回归方程，只有一个自变量就是一元线性回归方程。 一元线性回归方程表达式：E(y i )= α+βx i ，其中α称为常数，β称为回
第九章相关与回归分析答案如下
第九章相关与回归分析答案如下 *9-1 在相关分析中，对两个变量的要求是（Ａ）。（单选题） A. 都是随机变量 B. 都不是随机变量 C. 其中一个是随机变量，一个是常数。 D. 都是常数。 *9-2 在建立与评价了一个回归模型以后，我们可以（D ）。（单选题） A. 估计未来所需要样本的容量。 B. 计算相关系数与判定系数。 C. 以给定因变量的值估计自变量的值。 D. 以给定自变量的值估计因变量的值。 9-3 对两变量的散点图拟合最好的回归线必须满足一个基本条件是（D ）。（单选题） 最小 y2 最小 yii y i 最大B. y i 最大D. y2 yi?i A. C. y yi?i *9-4 如果某地区工人的日工资收入（元）随劳动生产率（千元/人时）的变动符合简单线性方程Y=60+90X，请说明下列的判断中正确的有（ＡＣ）（多选） A．当劳动生产率为1千元/人时，估计日工资为150元；B．劳动生产率每提高1千元/人时，则日工资一定提高90元；C．劳动生产率每降低0.5千元/人时，则日工资平均减少45元；D．当日工资为240元时，劳动生产率可能达到2千元/人。 *9-5 变量之间的关系按相关程度可分为（B ＣD ）（多选） A．正相关B．不相关C．完全相关D．不完全相关 *9-6 简单线性回归分析的特点是：（ＡB ）。（多选题） A. 两个变量之间不是对等关系 B. 回归系数有正负号 C. 两个变量都是随机的 D. 利用一个方程两个变量可以互相推算E．有可能求出两个回归方程 *9-7 一元线性回归方程中的回归系数b可以表示为（ＢＣ）。（多选题） A. 两个变量之间相关关系的密切程度 B. 两个变量之间相关关系的方向 C. 当自变量增减一个单位时，因变量平均增减的量 D. 当因变量增减一个单位时，自变量平均增减的量E．回归方程的拟合优度 *9-8 回归分析和相关分析的关系是（AＢE ）。（多选题） A. 回归分析可用于估计和预测 B. 相关分析是研究变量之间的相关关系的密切程度 C. 回归分析中自变量和因变量可以互相推导并进行预测 D. 相关分析需要区分自变量和因变量E．相关分析是回归分析的基础
第9章方差分析与回归分析习题答案
第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9) 8.02F =） 34 2 11 1310ij i j x ===∑∑ 解：r=3, 12444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 3 4 2 211 131********(1)1110110T ij T i j SS x C S n s ===-=-==-=?=∑∑或S 322.1112721200724(31)429724A i A A i SS T C S s ==-=-==-=??=∑或S 3872110=-=-=A T e SS SS SS 计算统计值722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响. 2. ..180x = 43 2 11 2804ij i j x ===∑∑ 解：22..4,3,12,180122700l m n lm C x n =======
43 2211 28042700104(1)119.45 104T ij T i j S x C S n s ===-=-==-=?≈∑∑&&或 422 .1 12790270090(1)331090 3A i A A i S x C S m l s ==-=-==-≈??=∑或322 .1 12710.5270010.5(1)8 1.312510.5 4B j B B j S x C S l m s ==-=-==-≈?=∑或1049010.5 3.5e T A B S S S S =--=--= 计算统计值90310.52 51.43,93.56 3.56 A A B B A B e e e e S f S f F F S f S f = =≈==≈ 结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着影响. 31,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====（1）求需求量Y 与价格x 之间 的线性回归方程； （2）计算样本相关系数； （3）用F 检验法作线性回归关系显着性检验. ??? ? ??====56.10)9,1(,26.11)8,1(12.5)9,1(,32.5)8,1(01.001.005.005.0F F F F 解：引入记号 10, 3.1, 5.8n x y === ()()14710 3.1 5.832.8xy i i i i l x x y y x y nx y =--=-=-??=-∑∑ 2 222()11210 3.115.9xx i i l x x x nx =-=-=-?=∑∑ 22 ()(1)9 1.766715.9xx i x l x x n s =-=-≈?≈∑或 2 222()410.510 5.874.1yy i i l y y y ny =-=-=-?=∑∑ 22()(1)98.233374.1yy i y l y y n s =-=-≈?≈∑或 ?(1) b Q 32.8??2.06, 5.8 2.06 3.112.1915.9xy xx l a y bx l -==≈-=-≈+?≈ ∴需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程为 ?y ??12.19 2.06a bx x =+≈-
统计学原理第九章(相关与回归)习题答案
第九章相关与回归 一．判断题部分 题目1：负相关指的是因素标志与结果标志的数量变动方向是下降的。（） 答案：× 题目2：相关系数为+1时，说明两变量完全相关；相关系数为-1时，说明两个变量不相关。（） 答案：√ 题目3：只有当相关系数接近+1时，才能说明两变量之间存在高度相关关系。（） 答案：× 题目4：若变量x的值增加时，变量y的值也增加，说明x与y之间存在正相关关系；若变量x的值减少时，y变量的值也减少，说明x与y之间存在负相关关系。（） 答案：× 题目5：回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度。（） 答案：× 题目6：根据建立的直线回归方程，不能判断出两个变量之间相关的密切程度。（） 答案：√ 题目7：回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。（） 答案：×
题目8：在任何相关条件下，都可以用相关系数说明变量之间相关的密切程度。（） 答案：× 题目9：产品产量随生产用固定资产价值的减少而减少，说明两个变量之间存在正相关关系。（） 答案：√ 题目10：计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。（） 答案：× 题目11：完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。（） 答案：√ 题目12：估计标准误是说明回归方程代表性大小的统计分析指标，指标数值越大，说明回归方程的代表性越高。（） 答案× 二．单项选择题部分 题目1：当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）。 A.相关关系 B.函数关系 C.回归关系 D.随机关系 答案：B 题目2：现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。 A.相关关系和函数关系 B.相关关系和因果关系
第九章 相关与回归
第九章相关与回归 （一）判断题 1、正相关是指两个变量之间的变化方向都是止升的趋势，而负相关是指两个变量之间的变化方向都是下降的趋势。（） 2、负相关是指两个量之间的变化方向相反，即一个呈下降（上升）而另一个呈上升（下降）趋势。（） 3、函数关系是一种完全的相关关系。（） 4、已知两变量直线回归方程为:Y^=-45.25+1.61x，则可断定这两个变量之间一定存在正相关关系。（） 5、回归分析和相关分析一样，所分析的两个变量郡一定是随机变量。（） 6、在其他条件不变的情况下，相关系数越大，估计标准误差就越大;反之，估计标准误差就越小。可见估计标准误差的大小与相关系数的大小是一致的。（） 7、相关系数的数值越大，说明相关程度越高;同理，相关系数的数值越小，说明相关程度越低。（） 8、不具有因果关系的两个变量之间，一定不存在相关关系。（） （二）单项选择题 1、确定现象之间是否存在相关关系，首先要对现象进行（）。 定性分析 定量分析 数值分析 定性与定量分析 2、相关关系与函数关系之间的联系体现在（）。 相关关系普遍存在，函数关系是相关关系的特例 函数关系普遍存在，相关关系是函数关系的特例 相关关系与函数关系是两种完全独立的现象 相关关系与函数关系没有区别 3、相关系数的取值范围是（）。 -1
第九章 相关与回归分析
第9章相关与回归分析 【教学内容】 相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。 【教学目标】 1、了解相关与回归分析的概念、特点和相关分析与回归分析的区别与联系； 2、掌握相关分析的定性和定量分析方法； 3、掌握回归模型的拟合方法、对回归方程拟合精度的测定和评价的方法。 【教学重、难点】 1、相关分析与回归分析的概念、特点、区别与联系； 2、相关与回归分析的有关计算公式和应用条件。 第一节相关分析的一般问题 一、相关关系的概念与特点 （一）相关关系的概念 在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。 相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。 （二）相关关系的特点 1、相关关系表现为数量相互依存关系。 2、相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。 二、相关关系的种类 1、相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关 2、相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关 3、相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关 4、按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关 三、相关分析的内容
相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。其目 的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。 相关分析的内容和程序是: (1)判别现象间有无相关关系 (2)判定相关关系的表现形态和密切程度 第二节相关关系的判断与分析 一、相关关系的一般判断 （一）定性分析 对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。例如,根据经济理论来判断居民的货币收入与社会商品购买力是否存在相关关系;根据会计学理论来判断生产成本与利润有无相关关系;根据生物遗传理论来判断父辈的身高与子辈的身高是否存在相关关系等。定性分析是进行相关分析的基础,在此基础上,根据需要通过编制相关表和绘制相关图来进行分析。 （二）相关表 相关表就是把被研究现象的观察值对应排列所形成的统计表格,如某地区工业固定资产 投资与工业增加值的历史资料对应排列所形成的表9-1。 表9-1 某地区工业固定资产投资与工业增加值相关表 单变量分组相关表是在具有相关关系的两个变量中,只对自变量进行分组的相关表(见表9-2)。 表9-2 商品销售额与流通费用率相关表
第九章 相关与回归分析习题
第九章相关与回归分析习题 一、填空题 1．现象之间的相关关系按相关的程度分为、和；按相关的形式分为和；按影响因素的多少分为和。 2．两个相关现象之间，当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为正相关；当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为负相关。 3．相关系数的取值范围是。 4．完全相关即是关系，其相关系数为。 5．相关系数，用于反映条件下，两变量相关关系的密切程度和方向的统计指标。 6．直线相关系数等于零，说明两变量之间；直线相关系数等1，说明两变量之间；直线相关系数等于—1，说明两变量之间。 7．对现象之间变量的研究，统计是从两个方面进行的，一方面是研究变量之间关系的，这种研究称为相关关系；另一方面是研究关于自变量和因变量之间的变动关系，用数学方程式表达，称为。 8．回归方程y=a+bx中的参数a是，b是。在统计中估计待定参数的常用方法是。 9. 分析要确定哪个是自变量哪个是因变量，在这点上它与不同。 10．求两个变量之间非线性关系的回归线比较复杂，在许多情况下，非线性回归问题可以通过化成来解决。 11．用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是。 12．判断一条回归直线与样本观测值拟合程度好坏的指标是。 二、单项选择题 1．下面的函数关系是( ) A销售人员测验成绩与销售额大小的关系B圆周的长度决定于它的半径 C家庭的收入和消费的关系D数学成绩与统计学成绩的关系 2．相关系数r的取值范围( ) A -∞ 第九章spss的回归分析 1、利用习题二第4题的数据，任意选择两门课程成绩作为解释变量和被解释变量，利用SPSS 提供的绘制散点图功能进行一元线性回归分析。请绘制全部样本以及不同性别下两门课程成绩的散点图，并在图上绘制三条回归直线，其中，第一条针对全体样本，第二和第三条分别针对男生样本和女生样本，并对各回归直线的拟和效果进行评价。 选择fore和phy两门成绩做散点图 步骤：图形→旧对话框→散点图→简单散点图→定义→将phy导入X轴、将fore导入Y 轴，将sex导入设置标记→确定 图标剪辑器内点击元素菜单→选择总计拟合线→选择线性→确定→再次选择元素菜单→点击子组拟合线→选择线性→确定 分析：如上图所示，通过散点图，被解释变量y与fore有一定的线性相关关系。 2、线性回归分析与相关性回归分析的关系是怎样的？ 线性回归分析是相关性回归分析的一种，研究的是一个变量的增加或减少会不会引起另一个变量的增加或者减少。 3、为什么需要对线性回归方程进行统计检验？一般需要对哪些方面进行检验？ 线性回归方程能够较好地反映被解释变量和解释变量之间的统计关系的前提是被解释变量和解释变量之间确实存在显著的线性关系。 回归方程的显著性检验正是要检验被解释变量和解释变量之间的线性关系是否显著，用线性模型来描述他们之间的关系是否恰当。一般包括回归系数的检验，残差分析等。 4、SPSS多元线性回归分析中提供了哪几种解释变量筛选策略？ 包括向前筛选策略、向后筛选策略和逐步筛选策略。 5、先收集到若干年粮食总产量以及播种面积、使用化肥量、农业劳动人数等数据，请利用建立多元线性回归方程，分析影响粮食总产量的主要因素。数据文件名为“粮食总产量.sav”。 步骤：分析→回归→线性→粮食总产量导入因变量、其余变量导入自变量→确定 结果如图： Variables Entered/Removed b Model Variables Entered Variables Removed Method 1 农业劳动者人数(百万人), 总播种面积(万公顷), 风灾 面积比例(%), 粮食播种面 积(万公顷), 施用化肥量 (kg/公顷), 年份a . Enter a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: 粮食总产量(y万吨) ANOVA b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regression 2.025E9 6 3.375E8 414.944 .000a Residual 2.278E7 28 813478.405 Total 2.048E9 34 a. Predictors: (Constant), 农业劳动者人数(百万人), 总播种面积(万公顷), 风灾面积比例(%), 粮食播种面积(万公顷), 施用化肥量(kg/公顷), 年份 b. Dependent Variable: 粮食总产量(y万吨) Coefficients a Model Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients t Sig. B Std. Error Beta 第九章相关与回归分析 习题 一、单选题 1．下面的函数关系是（）。 A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系 B、圆周的长度决定于它的半径 C、家庭的收入和消费的关系 D、数学成绩与统计学成绩的关系 2．若要证明两变量之间线性相关程度是高的，则计算出的相关系数应接近于（）。 A、+1 B、0 C、0.5 D、+1或-1 3．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象（）。 A、线性相关还是非线性相关 B、正相关还是负相关 C、完全相关还是不完全相关 D、单相关还是复相关 4．在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0.8时，则其回归系数为( )。 A、8 B、0.32 C、2 D、12.5 5．下面现象间的关系属于相关关系的是（）。 A、圆的周长和它的半径之间的关系 B、价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系 C、家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势 D、正方形面积和它的边长之间的关系 6．下列关系中，属于正相关关系的是（）。 A、合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系 B、产品产量与单位产品成本之间的关系 C、商品的流通费用与销售利润之间的关系 D、流通费用率与商品销售量之间的关系 7．相关分析是研究（）。 A、变量之间的数量关系 B、变量之间的变动关系 C、变量之间的相互关系的密切程度 D、变量之间的因果关系 8．在回归直线y=a+bx中，b<0，则x与y之间的相关系数( )。 A、r=0 B、r=l C、0 相关与回归区别与联系 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 直线回归与相关的区别和联系 1．区别： ①资料要求不同：直线回归分析中，若X 为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X 的Y 值要求服从正态分布；若X 、Y 都是随机变量，则要求X 、Y 服从双变量正态分布。直线相关分析要求服从双变量正态分布； ②应用目的不同：说明两变量间相关关系用相关，此时两变量的关系是平等的；说明两变量间的数量变化关系用回归，用以说明Y 如何依赖于X 的变化而变化； ③指标意义不同：r 说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度；b 表示X 变化一个单位时Y 的平均变化量； ④计算不同：YY XX XY l l l r /=，XX XY l l b /=； ⑤取值范围不同：?1≤r ≤1，∞<<∞-b ； ⑥单位不同：r 没有单位，b 有单位。 2．联系： ① 二者理论基础一致，皆依据于最小二乘法原理获得参数估计值； ② 对同一双变量资料，回归系数b 与相关系数r 的正负号一致。b ＞0与r ＞0，均表示两变量X 、Y 呈同向变化；同理，b ＜0与r ＜0，表示变化的趋势相反； ③ 回归系数b 与相关系数r 的假设检验等价。即对同一双变量资料， r b t t =。由于相关系数较回归系数的假设检验简单，在实际应用中，常以相关系数的假设检验代替回归系数的假设检验； ④ 用回归解释相关。由于决定系数总回归SS SS R /2=，当总平方和固定时， 回归平方和的大小决定了相关的密切程度，回归平方和越接近总平方和，则2R 越接近1，说明引入相关的效果越好。例如，当r =，n =100 第9章相关与回归分析 一、单项选择题 1.当变量X按一定数量减少时，变量Y也随之发生大致等量的减少，那么这两个变量之间存在（）。 A、函数关系 B、直线正相关关系 C、直线负相关关系 D、曲线相关关系 答案：B 2.当居民的收入减少时，居民的储蓄存款也会相应减少，二者之间的关系是（）。 A、负相关关系 B、曲线相关关系 C、零相关关系 D、正相关关系 答案：D 3.线性相关系数反映了（）。 A、两个变量线性关系的密切程度 B、两个变量线性关系的拟合程度 C、两个变量变动的一致性程度 D、自变量变动对因变量变动的解释程度 答案：A 4.在一元线性回归方程Y＝A＋BX中，回归系数B表示（）。 A、当X＝0时，Y的期望值 B、当X变动1个单位时，Y的变动总额 C、当Y变动1个单位时，X的平均变动额 D、当X变动1个单位时，Y的平均变动额 答案：D 5.在一元线性回归方程Y＝A＋BX中，回归系数A表示（）。 A、当X＝0时，Y的期望值 B、当X变动1个单位时，Y的变动总额 C、当Y变动1个单位时，X的平均变动额 D、当X变动1个单位时，Y的平均变动额 答案：A 6.利用最小二乘法求解回归系数的基本要求是（ ）。 A 、∑-t Y Y (）2＝任意值 B 、∑-t Y Y (）2＝最小值 C 、∑-t Y Y (）2＝最大值 D 、∑-t Y Y (）2＝0 答案：B 7.从回归方程Y ＝7.4910－0.5655X 可以得出（ ）。 A 、X 每增加1个单位，Y 增加0.5655个单位 B 、X 每增加1个单位，Y 减少0.5655个单位 C 、X 每增加1个单位，Y 平均增加0.5655个单位 D 、X 每增加1个单位，Y 平均减少0.5655个单位 答案：D 8.某产品产量为1000件时，其生产成本为30000元，其中不变成本为6000元，则总成本对产量的一元线性回归方程为（ ）。 A 、Y ＝6000＋24X B 、Y ＝6＋0.24X C 、Y ＝24000＋6X D 、Y ＝24＋6000X 答案：A 9.在一元线性回归方程Y ＝A ＋BX 中，如回归系数B ＝0，则表示（ ）。 A 、 Y 对X 的影响是显著的 B 、Y 对X 的影响是不显著的 C 、 对Y 的影响是显著的 D 、X 对Y 的影响是不显著的 答案：D 10.如果变量X 、Y 的相关系数为0，则表示（ ）。 A 、 二者没有相关关系 B 、二者存在高度相关 C 、二者没有线性相关关系 D 、二者不存在曲线相关 答案：C 11.相关系数的取值范围为（ ）。 A 、0≤R ≤1 B 、0 第九章相关与回归分析 Ⅰ. 学习目的和要求 本章所要学习的相关与回归分析是经济统计分析中最常重要的统计方法之一。具体要求：1.掌握有关相关与回归分析的基本概念；2.掌握单相关系数的计算与检验的方法，理解标准的一元线性回归模型，能够对模型进行估计和检验并利用模型进行预测；3.理解标准的多元线性回归模型，掌握估计、检验的基本方法和预测的基本公式，理解复相关系数和偏相关系数及其与单相关系数的区别；4.了解常用的非线性函数的特点，掌握常用的非线性函数线性变换与估计方法，理解相关指数的意义；5.能够应用Excel软件进行相关与回归分析。 Ⅱ. 课程内容要点 第一节相关与回归分析的基本概念 一、函数关系与相关关系 当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，这种关系称为确定性的函数关系。当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但仍按某种规律在一定的范围内变化。这种关系，称为具有不确定性的相关关系。变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件下是可以互相转化的。 116 117 二、相关关系的种类 按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。按相关的方向可分为正相关和负相关。按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。 三、相关分析与回归分析 相关分析是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。回归分析是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。 通过相关与回归分析虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其 密切程度，但是无法准确地判断现象内在联系的有无，也无法单独以此来确定何种现象为因，何种现象为果。只有以实质性科学理论为指导，并结合实际经验进行分析研究，才能正确判断事物的内在联系和因果关系。 四、相关图 相关图又称散点图。它是以直角坐标系的横轴代表变量X ，纵轴代表变 量Y,将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。 第二节 简单线性相关与回归分析 一、相关系数及其检验 （一）相关系数的定义 总体相关系数的定义式是：γ ＝)()() ,(Y Var X Var Y X Cov 样本相关系数的定义公式是： ∑∑--∑--=22) ()())((Y Y X X Y Y X X r t t t t 样本相关系数是总体相关系数的一致估计量。 （二）相关系数的特点 1.ｒ的取值介于－１与１之间。 第九章 相关与回归分析方法 第一部分 习题 一、单项选择题 1.单位产品成本与其产量的相关；单位产品成本与单位产品原材料消耗量的相关 ( B )。 A.前者是正相关，后者是负相关 B.前者是负相关，后者是正相关 C.两者都是正相关 D.两者都是负相关 2.样本相关系数r 的取值范围( B )。 A.-∞＜r ＜+∞ B.-1≤r ≤1 C. -l ＜r ＜1 D. 0≤r ≤1 3.当所有观测值都落在回归直线 01y x ββ=+上，则x 与y 之间的相关系数( D )。 A.r ＝0 B.r ＝1 C.r ＝-1 D.|r|＝1 4.相关分析与回归分析，在是否需要确定自变量和因变量的问题上( A )。 A.前者无需确定，后者需要确定 B.前者需要确定，后者无需确定 C.两者均需确定 D.两者都无需确定 5.直线相关系数的绝对值接近1时，说明两变量相关关系的密切程度是( D )。 A.完全相关 B.微弱相关 C.无线性相关 D.高度相关 6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间的回归方程为y=10+70x ，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均(A )。 A.增加70元 B.减少70元 C.增加80元 D.减少80元 7.下面的几个式子中，错误的是(A )。 A. y= -40-1.6x r=0.89 B. y= -5-3.8x r ＝-0.94 C. y=36-2.4x r ＝-0.96 D. y= -36+3.8x r ＝0.98 8.下列关系中，属于正相关关系的有( A )。 A.合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系 B.产品产量与单位产品成本之间的关系 C.商品的流通费用与销售利润之间的关系 D.流通费用率与商品销售量之间的关系 9.直线相关分析与直线回归分析的联系表现为( A )。 A.相关分析是回归分析的基础 B.回归分析是相关分析的基础 C.相关分析是回归分析的深入 D.相关分析与回归分析互为条件 10.进行相关分析，要求相关的两个变量(A )。 A.都是随机的 B.都不是随机的 C.一个是随机的，一个不是随机的 D.随机或不随机都可以 11.相关关系的主要特征是( B )。 A.某一现象的标志与另外的标志之间存在着确定的依存关系 B.某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的关系，但它们不是确定的关系 C.某一现象的标志与另外的标志之间存在着严重的依存关系 D.某一现象的标志与另外的标志之间存在着函数关系 12.相关分析是研究( C )。 A.变量之间的数量关系 B.变量之间的变动关系 双变量回归模型 一个人为的例子 ●研究每周家庭消费支出Y对可支配收入X的关系。 ●将家庭划分为收入差不多的10组。 每周家庭收入（美元） ●表格给出了以X的定值为条件的Y的条件分布。 ●计算给定X的Y的概率，即P（Y/X）。 ●计算条件均值，即E（Y/X= X） i ●作图 ●平均的说，随着X 的增加，Y也在增加。 ● 条件均值落在一根有正斜率的直线上，总体回归线（population regression line ）, Y 对X 的回归。 ● 对每一个i X 都有Y 值的一个总体和相应的均值，回 归线是穿过了这些条件均值的线。 总体回归函数（PRF ）的概念 ● 图中看到，每一条件均值E （Y/i X ）都是i X 的一个 函数，并且是线性函数。 i i i X X f X Y E 21)()/(ββ+== ● 1β和2β是未知但固定的参数，被分别称为截距和斜率参数。 “线性”一词的含义 ● 对变量为线性 非线性的例子：2 21)/(i i X X Y E ββ+= ● 对参数为线性 非线性的例子：i i X X Y E 21)/(ββ+= ● 本课程中，只对参数是线性的。 PRF 的随机设定 ● 随着家庭收入的增加，家庭消费平均的说也增加。 ● 但某一个别家庭的消费支出却不一定。 ● 个别家庭的消费支出聚集在收入为Ｘｉ的所有家庭的平均消费支出的周围。 i i i u X Y E Y +=)/( ● E(Y/X i )代表相同收入水平的所有家庭的平均消费支出，称为系统性（systematic ）成分，ｕｉ称为随机或非系统性(non-systematic)成分。 ● 假定E(Y/X i )是对Ｘｉ为线性的，则 i i i i i u X u X Y E Y ++=+=21)/(ββ ● 0)/(=i i X u E 随机干扰项的意义 １．理论的含糊性 ２．数据的欠缺 ３．核心变量与周边变量 ４．人类行为的内在随机性 ５．糟糕的替代变量 ６．节省原则 相关分析与回归分析 一、填空题 1.单复 2.正正 3.相关方向相关程度 4.程度方向 5.函数关系 1 6.随机变量 -1至1 7.1或者-1 0 8.无线性相关低度相关 9. 中度相关高度相关10.随机确定 11.估计标准误差 e s= 12.2 2.83 13．60 252 14．普通最小二乘法误差平方和最小15．线性关系线性关系 16.方向形态 17.平均减少1.9元 78 二、单选题 1、C 2、A 3、C 4、C 5、C 6、D 7、C 8、C 9、B 10、B 11、B 12、B 13、C 14、B 15、A 16、B 17、D 18、B 19、B 20、AB 二、多选题 1、BD 2、ABD 3、BCDE 4、DE 5、AD 6、AC 7、AD 8、DE 9、ABCD 10、ABD 三、判断题 1、× 2、× 3、× 4、√ 5、√ 6、√ 7、× 8、√ 9、√ 10、× 简答题 1. 答：（1）区别:具有相关关系的变量之间的数量关系不确定，而具有函数关系的变量之间的数量关系是确定的。 （2）联系：函数关系往往通过相关关系表现出来，相关关系也常常借助函数关系的方式进行研究。由于认识局限和测量误差等原因，确定性的函数关系在实际中往往表现为相关关系；反之，当人们对事物的内部规律了解得更深刻的时候，相关关系又可能转化为确定的函数关系。 2.答：（1）联系。①相关分析是回归分析的基础和前提；②回归分析是相关分析的深入和继续。 （2）区别。①相关分析所研究的变量是对等的关系，回归分析所研究的变量不是对等关系。②对两个变量来说，相关分析只能计算出一个相关系数，而回归分析可分别建立两个不同的回归方程。③相关分析要求两个变量都必须是随机的，而回归分析则要求自变量是给定的，因变量是随机的。 3.回归估计标准误差是因变量的实际值与估计值的标准差，即以回归直线为中心反映各实际值与估计值之间的平均误差程度，其定义式为 ?Y S= 其中，n为样本点个数，k为自变量个数。 回归估计标准误差可以衡量回归方程的代表性大小。回归估计标准误差越小，表明回归方程的代表性越大；反之，则越小。 4.答：①在定性分析的基础上进行定量分析；②要注意现象质的界限及相前关系作用的范围；③要具体问题具体分析；④要考虑社会经济现象的复杂性；⑤对回归模型中计算出来 第9章 非线性回归 9.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？ 答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。如： (1) 乘性误差项，模型形式为 e y AK L αβε =， (2) 加性误差项，模型形式为 y AK L αβε= + 对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。 9.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表9.14所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表9.14 生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%） 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0 解：先画出散点图如下图： 5000.00 4000.003000.002000.001000.00x 12.00 10.00 8.006.00 y 从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此 采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 （1）二次曲线 SPSS 输出结果如下： Model Summ ary .981 .962 .942 .651 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the Estimate The independent variable is x. ANOVA 42.571221.28650.160.001 1.6974.424 44.269 6 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig.The independent variable is x. Coe fficients -.001.001-.449-.891.4234.47E -007.000 1.417 2.812.0485.843 1.324 4.414.012 x x ** 2 (Constant) B Std. E rror Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. 从上表可以得到回归方程为：72? 5.8430.087 4.4710y x x -=-+? 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05，得到x 2的系数通过了显著性检验。 （2）指数曲线 Model Summ ary .970 .941 .929 .085 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the Estimate The independent variable is x. 直线回归与相关的区别和联系 1．区别： ①资料要求不同：直线回归分析中，若X 为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X 的Y 值要求服从正态分布；若X 、Y 都是随机变量，则要求X 、Y 服从双变量正态分布。直线相关分析要求服从双变量正态分布； ②应用目的不同：说明两变量间相关关系用相关，此时两变量的关系是平等的；说明两变量间的数量变化关系用回归，用以说明Y 如何依赖于X 的变化而变化； ③指标意义不同：r 说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度；b 表示X 变化一个单位时Y 的平均变化量； ④计算不同：YY XX XY l l l r /=，XX XY l l b /=； ⑤取值范围不同：?1≤r ≤1，∞<<∞-b ； ⑥单位不同：r 没有单位，b 有单位。 2．联系： ① 二者理论基础一致，皆依据于最小二乘法原理获得参数估计值； ② 对同一双变量资料，回归系数b 与相关系数r 的正负号一致。 b ＞0与r ＞0，均表示两变量X 、Y 呈同向变化；同理，b ＜0与r ＜0，表示变化的趋势相反； ③ 回归系数b 与相关系数r 的假设检验等价。即对同一双变量资料，r b t t =。由于相关系数较回归系数的假设检验简单，在实际应用中，常以相关系数的假设检验代替回归系数的假设检验； ④ 用回归解释相关。由于决定系数总回归SS SS R /2=，当总平方和固定时， 回归平方和的大小决定了相关的密切程度，回归平方和越接近总平方和，则2R 越接近1，说明引入相关的效果越好。例如，当r =0.20，n =100时，按检验水准0.05拒绝0H ，接受1H ，认为两变量有相关关系。但2R =0.202=0.04，表示回归平方和在总平方和中仅占4％，说明两变量间的相关关系实际意义不大。 第十二章 相关与回归分析 第一节 变量之间的相关关系 相关程度与方向·因果关系与对称关系 第二节 定类变量的相关 双变量交互分类（列联表）·削减误差比例（PRE ）·λ系数与τ系数 第三节 定序变量的相关分析 同序对、异序对和同分对·Gamma 系数·肯德尔等级相关系数（τa 系数、τb 与τc 系数）·萨默斯系数（d 系数）·斯皮尔曼等级相关（ρ相关）·肯德尔和谐系数 第四节 定距变量的相关分析 相关表和相关图·积差系数的导出和计算·积差系数的性质 第五节 回归分析 线性回归·积差系数的PRE 性质·相关指数R 第六节 曲线相关与回归 可线性化的非线性函数·实例分析（二次曲线指数曲线） 一、填空 1．对于表现为因果关系的相关关系来说，自变量一般都是确定性变量，依变量则一般是（ 随机性 ）变量。 2．变量间的相关程度，可以用不知Y 与X 有关系时预测Y 的全部误差E 1，减去知道Y 与X 有关系时预测Y 的联系误差E 2，再将其化为比例来度量，这就是（ 削减误差比例 ）。 3．依据数理统计原理，在样本容量较大的情况下，可以作出以下两个假定：（1）实际观察值Y 围绕每个估计值c Y 是服从（ ）；（2）分布中围绕每个可能的c Y 值的（ ）是相同的。 4．在数量上表现为现象依存关系的两个变量，通常称为自变量和因变量。自变量是作为（ 变化根据 ）的变量，因变量是随（ 自变量 ）的变化而发生相应变化的变量。 5．根据资料，分析现象之间是否存在相关关系，其表现形式或类型如何，并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定，即建立一个相关的数学表达式，称为（ 回归方程 ），并据以进行估计和预测。这种分析方法，通常又称为（ 回归分析 ）。 6．积差系数r 是（ 协方差 ）与X 和Y 的标准差的乘积之比。 二、单项选择 1．当x 按一定数额增加时，y 也近似地按一定数额随之增加，那么可以说x 与y 之间 存在（ A ）关系。 A 直线正相关 B 直线负相关 C 曲线正相关 D 曲线负相关 2．评价直线相关关系的密切程度，当r 在0.5～0.8之间时，表示（ C ）。第九章---spss的回归分析
第9章 相关与回归分析
相关与回归区别与联系
第9章 相关与回归分析-含答案
统计学第九章相关与回归分析教学指导与习题解答
第九章 相关与回归分析方法
双变量回归模型
第九章 相关与回归分析答案张芳
应用回归分析 第九章 部分答案
相关与回归区别与联系
社会统计学习题相关与回归分析