函数综合应用
函数的综合应用
◆ 课前热身
1．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当0y <时，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．0x <
B ．11x -<<或2x >
C ．1x >-
D ．1x <-或12x <<
2．在平面直角坐标系中，函数1y x =-+的图象经过（ ） A ．一、二、三象限 B ．二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D ．一、二、四象限
3.点(13)P ，在反比例函数k
y x
=
（0k ≠）的图象上，则k 的值是（ ）． A ．13 B ．3 C ．1
3
- D ．3-
4、如图为二次函数2
y a x b x c
=++的图象，给出下列说法： ①0a b <；②方程2
0a x b x c ++=的根为1213x x =-=
，；③0abc ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13
x -<<． 其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
【参考答案】
1. B
2. D
3. B
4.①②④
◆考点聚焦
知识点
一次函数与反比例函数的综合应用；一次函数与二次函数的综合应用；二次函数与图象信息
类有关的实际应用问题
大纲要求
灵活运用函数解决实际问题
考查重点及常考题型
利用函数解决实际问题，常出现在解答题中
◆备考兵法
1.四种常见函数的图象和性质总结
轴交点
或
，
,
,
注意事项总结：
(1)关于点的坐标的求法：
方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。
(2)对解析式中常数的认识：
一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y= (k ≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。
(3)对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+ k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。
(4)二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位
置不同。y=a(x-h)2+k 图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。
2.中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键．
◆考点链接
1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2
的图像上.则有 .
2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值
3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像的交
点，解方程组 .
4．二次函数c bx ax y ++=2
通过配方可得224()24b ac b y a x a a
-=++
， ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
x = 时，y 有最 （
“大”或“小”）值是 ． 5. 每件商品的利润P = － ；商品的总利润Q = × .
◆典例精析
例1（重庆市江津区）如图，反比例函数x
y 2
=
的图像与一次函数b kx y +=的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y 轴的交点为C 。
（1）求一次函数解析式； （2）求C 点的坐标； （3）求△AOC 的面积。
解析：（1）确定一次函数的的关系式的关键是求出点A 、点B 的坐标，分别把A （m ，2），B （-2，n ）代入反比例函数的关系式易求出m=1、n=-1，由待定系数法确定出一次函数关系式为1y x =+的值；
（2）令关系式1y x =+中的x 为0求出y=1，所以C （0，1）； （3）△AOC 的面积等于
12×OC ×1=1
2
. 解：由题意：把A （m ，2），B （-2，n ）代入
2
y x
=
中得 1
1
m n =??
=-? ∴A （1，2） B （-2，-1） 将A.B 代入y kx b =+中得
2
21k b k b +=??
-+=-?
1
1
k b =??=? ∴一次函数解析式为：1y x =+ （2）C （0，1）
（3）111122
AOC S ?=
??= 例2（内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围． 解析：（1）利用待定系数法确定出一次函数y kx b =+的表达式；
（2）利润W =每件的利润×销售件数，得W 2
(90)900x =--+，根据二次函数的最值问题确定单价为90元，最大利润为900元；
（3）令W=500，即2
5001807200x x =-+-，解得1270110x x ==，，因为6087x ≤≤，故单价定为70元. 解：（1）根据题意得65557545.k b k b +=??
+=?
，
解得1120k b =-=，．
所求一次函数的表达式为120y x =-+． （2）(60)(120)W x x =--+ 2
1807200x x =-+- 2
(90)900x =--+，
抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大，
而6087x ≤≤，
∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由500W =，得2
5001807200x x =-+-，
整理得，2
18077000x x -+=，解得，1270110x x ==，．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而
6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤．
例3（山东烟台） 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【解析】（1）利润=单价×销售件数，单价为（2400-2000-x ），销售件数为(84)50
x
+?
； （2）令y=4800，即2
2
243200480025
x x -++=，解方程得12
100200x x ==，，老百姓要想得到实惠，所以取2
00x =； （3）利用二次函数的最值解决.
解：（1）根据题意，得(24002000)8450x y x ?
?=--+
? ???
，
即2
2
243200
25
y x x =-++． （2）由题意，得2
2
2432004800
25
x x -++=． 整理，得2
300200000
x x -+=． 解这个方程，得12
100200x x ==，． 要使百姓得到实惠，取2
00x =．所以，每台冰箱应降价200元． （3）对于22
243200
25
y x x =-++， 当24
150222
5x =-
=???- ?
??时，
150(24002000150)8425020500050y ??
=--+?=?= ???
最大值
．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
◆ 迎考精炼
一、选择题
1.（四川凉山州）若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b
y x
=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
2．（黑龙江佳木斯）若关于ｘ的一元一次方程2
210nx x --=无实数根，则一次函数
(1)y n x n =+-的图像不经过（ ）
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 二、填空题
1．（湖北十堰）已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点C.B ，与双曲线x
k
y =交于点A.D , 若AB+CD= BC ，则k 的值为 ．
2．（内蒙古包头）如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k
y x
=
的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）
．
3．（青海）如图，函数y x =与4
y x
=
的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则ABC △的面积为 ．
x
x
x
x
B ．
三、解答题
1.（河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、
D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.
(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点
E
①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?
②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值
.
2.(贵州安顺)已知一次函数(0)y kx b k =+≠和反比例函数2k
y x
=的图象交于点A(1，1) （1） 求两个函数的解析式；
（2） 若点B 是x 轴上一点，且△AOB 是直角三角形，求B 点的坐标。 3．（重庆綦江）如图，一次函数y kx b =+(0)k ≠的图象与反比例函数(0)m
y m x
=≠的图象相交于A.B 两点．
（1）根据图象，分别写出点A.B 的坐标； （2）求出这两个函数的解析式．
4.（辽宁锦州）某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%.其中销售量y(件)与所售单价x (元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数.
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；
(2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为w 元，求w 与x 之间的函数关系式.当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？
5．（安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
）
（1）
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
6.（山东威海）一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数
k
y x
=
的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数k
y x
=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．
（2）若点A B ，分别在反比例函数k y x
=
的图象的不同分支上，如图2，则AN 与
BM 还相等吗？试证明你的结论．
7.（山东泰安）如图，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直
线
）
)
。轴交于点与E x m x y +-
=3
3
（1） 求点E 的坐标；
（2） 求过 A.O 、E 三点的抛物线解析式；
（3） 若点P 是（2）中求出的抛物线AE 段上一动点（不与A.E 重合），设四边形OAPE 的面
积为S ，求S 的最大值。
8．（湖北黄石）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；
（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．
9.（内蒙古包头）已知二次函数2
y a x b x c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，
(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的解析式；
)
（2）在直线x m =（2m >）上有一点（点在第四象限），使得E D B
、、为顶点的三角形与 以A O C
、、为顶点的三角形相似，求点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形A B E F 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形A B E F 的面积；若不存在，请说明理由．
10.(四川成都)已知一次函数2y x =+与反比例函数k
y x
=，其中一次函数2y x =+的图象经过点P(k ，5)．
(1)试确定反比例函数的表达式；
(2)若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标．
【参考答案】 一、选择题 1.B 2.Ｃ 二、填空题
1.3
4
-
2.三、解答题
1.(1)点A 的坐标为（4，8）
将A(4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2
+bx
8=16a+4b
得
0=64a+8b
解 得a=-
1
2
,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=-
12
x 2
+4x （2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE=PE AP =BC AB ,即PE AP =4
8
∴PE=
12AP=1
2
t ．PB=8-t ． ∴点Ｅ的坐标为（4+1
2t ，8-t ）.
∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2
+4（4+12t ）=-18
t 2+8.
∴EG=-18t 2
+8-(8-t)
=-18t 2
+t.
∵-1
8
＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2.
②共有三个时刻.
t 1=
163， t 2=40
13，t 3． 2.（1）∵点A （1，1）在反比例函数x
2k
y =
的图象上, ∴k=2．∴反比例函数的解析式为：x
1
y =．
一次函数的解析式为：b x 2y +=．
∵点A （1，1）在一次函数b x 2y +=的图象上 ∴1b -=． ∴一次函数的解析式为1x 2y -= （2）∵点A （1，1） ∴∠AOB=45o
．
∵△AOB 是直角三角形 ∴点B 只能在x 轴正半轴上． ① 当∠OB 1A=90 o
时，即B 1A⊥OB 1.
∵∠AOB 1=45o
∴B 1A= OB 1 ． ∴B 1（1，0）． ② 当∠O A B 2=90 o
时，∠AOB 2=∠AB 2O=45o
, ∴B 1 是OB 2中点, ∴B 2（2，0）． 综上可知，B 点坐标为（1，0）或（2，0）．
3.（1）解：由图象知，点A 的坐标为(61)--，， 点B 的坐标为（3，2） （2）∵反比例函数m
y x
=的图象经过点B ， ∴23
m
=
，即6m =． ∴所求的反比例函数解析式为6y x
=
． ∵一次函数y kx b =+的图象经过A 、B 两点，
∴1623k b
k b -=-+??
=+?
解这个方程组，得131
k b ?
=?
??=?
∴所求的一次函数解析式为1
13
y x =
+． 4.解(1) 最高销售单价为50(1+40%)=70(元). 根据题意，设y 与x 的函数关系式为y=kx+b(k≠0). ∵函数图象经过点(60，400)和(70，300)，
∴
解得
∴y 与x 之间的函数关系式为y=-10x+1000， x 的取值范围是50≤x≤70.
(2)根据题意，w=(x-50)(-10x+1000)， W=-10x2+1500x-50000,w=-10(x-75)2+6250. ∵a=-10 ，∴抛物线开口向下.
又∵对称轴是x=75，自变量x 的取值范围是50≤x≤70 ， ∴y 随x 的增大而增大.
∴当x=70时，w 最大值=-10(70-75)2+6250=6000(元). ∴当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元. 5.（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，
可按5元/kg 批发；……3分
图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．
（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ?=??
≤≤（）
）＞（，函数图象如图所示．
由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．
（3）解法一：
设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为
2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+
当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80
即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ， 当日可获得最大利润160元． 解法二：
设日最高销售量为x kg （x ＞60）
则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040
x
p -= 销售利润23201
(
4)(80)1604040
x y x x -=-=--+
当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6
即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元． 6.（1）①AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，
∴四边形AEOC 为矩形． BF x ⊥轴，BD y ⊥轴， ∴四边形BDOF 为矩形． AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，
∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形． 1111OC x AC y x y k === ，，， ∴11AEOC S OC AC x y k === 矩形 2222OF x FB y x y k === ，，， ∴22BDOF S OF FB x y k === 矩形． ∴AEOC BDOF S S =矩形矩形．
AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，
CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形，
∴AEDK CFBK S S =矩形矩形．
②由（1）知AEDK CFBK S S =矩形矩形．
∴AK DK BK CK =
． ∴
AK BK CK DK
=
． 90AKB CKD ∠=∠=°， ∴AKB CKD △∽△． ∴CDK ABK ∠=∠． ∴AB CD ∥． AC y ∥轴，
∴四边形ACDN 是平行四边形．
∴AN CD =．
同理BM CD =．
AN BM ∴=．
（2）AN 与BM 仍然相等．
AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形，
BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，
又 AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，
∴AEDK BKCF S S =矩形矩形．
∴AK DK BK CK =
． ∴
CK DK AK BK
=
． K K ∠=∠， ∴CDK ABK △∽△． ∴CDK ABK ∠=∠． ∴AB CD ∥． AC y ∥轴，
∴四边形ANDC 是平行四边形． ∴AN CD =． 同理BM CD =． ∴AN BM =．
7.解：（1）作AF ⊥x 轴与F
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=3 ∴点A （1，3）
代入直线解析式，得3133=+?-
m ，∴m=3
3
4 ∴3
3
433+-
=x y
当y=0时，03
3433=+-
x 得x=4， ∴点E （4，0） （2）
设过A.O 、E 三点抛物线的解析式为c bx ax y ++=2
∵抛物线过原点 ∴c=0
∴
∴
∴抛物线的解析式为x x y 3
3
4332+-
= （3）作PG ⊥x 轴于G ，设)(00y x P ，
2
)4(2)1)(3(230
000y x x y S S S S PGE FGP AOG -+-++=
++=△△△ )353(21)33(2102
000x x y x +-=+=
8
3
25)25(2320+--=x 当38
25250==
最大时，S x 8.解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000?=（元） （2）依题意可设
1800y k x =+，2200Z k x =+
∴有14008001200k +=，2200200160k +=，
解得121
15
k k ==-，． 所以800y x =+，1
2005
Z x =-
+． （3）1(800)2005W yZ x x ??
==+-
+ ???
21
(100)1620005
x =--+
政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值． 其最大值为162000元．
9.解析：本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系，探究三角形相似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容易失分。
解：(1)根据题意，得04202a b c a b c c ++=??++=??=-? ，解得132a b c =-??=??=-? ∴2
32
y x x =-+-。 (2)当ΔEDB ∽ΔAOC 时，得
AO CO ED BD =或AO CO
BD ED =
。 ∵AO=1，CO=2，BD=m-2，当AO CO ED BD =时，得12
2
ED m =
-， ∴2
2
m E D -=。
∵点E 在第四象限， ∴12,2m E m
-?
? ?
??
，当AO CO BD ED =时，得122m E D =-，∴24E D m =-，∵点E 在第四象限， ∴()1
,42Em m -。 (3)假设抛物线上存在一点这P ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则EF=AB=1，点F 的横坐标为m-1,当点1E 的坐标为2,2m m -?
? ???时，点1F 的坐标为21,2m m -?
?- ???
，
∵点1F 在抛物线的图象上， ∴
()()2
213122
m m m -=--+--， ∴2
211140m m -+=， ∴()()
2720m m --= ∴7,22
m m ==(舍去)
高一数学必修1-函数模型及其应用
高一数学必修1 函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解解实际应用题的一般步骤； 2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法； 3．渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价 1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述． 2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键． 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 【精典范例】 例1．写出等腰三角形顶角y （单位：度）与底角x 的函数关系． 【解】1802y x =- ()090x << 点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义． 例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C (万元)、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式.
分析：销售利润()L x =销售收入()R x -成本()C x ,其中成本()C x = (固定成本+可变成本). 【解】总成本与总产量的关系为 2000.3,C x x N *=+∈. 单位成本与总产量的关系为 200 0.3,P x N x *= +∈. 销售收入与总产量的关系为 0.5,R x x N *=∈. 利润与总产量的关系为 0.2200,L R C x x N *=-=-∈ ． 例3．大气温度()y C 随着离开地面的高度()x km 增大而降低，到上空11km 为止，大约每上升1km ，气温降低6C ，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C ）． 求：（1）y 与x 的函数关系式； （2） 3.5x km =以及12x km =处的气温． 【解】（1）由题意， 当011x ≤≤时，226y x =-， ∴当11x =时，2261144y =-?=-， 从而当11x >时，44y =-． 综上，所求函数关系为 []226,0,1144,(11,) x x y x ?-∈? =? -∈+∞??； （2）由（1）知， 3.5x km =处的气温为 226 3.51y =-?=C ， 12x km =处的气温为44C -． 点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题． 追踪训练一 1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企
初中-数学-中考-专题02函数的实际应用
专题02函数的实际应用 1、某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算． 2、某游泳馆推出了两种收费方式． 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元． 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元． 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）． （1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式． （2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．3、如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m） 与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系 3 6 10 h x =-+，乙离一楼地面的高度y（单 位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示． （1）求y关于x的函数解析式； （2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面． 4、某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y元．
（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？ 5、甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x >． （1）根据题意填表： （2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式； （3）根据题意填空： ①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为______kg ； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg ，则他在甲、乙两个批发店中的______批发店购买花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的______批发店购买数量多． 6、某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题： （1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； （2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； （3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
高一数学函数的综合应用训练(含答案)
第七节函数的综合应用 【回顾与思考】 函数应用 【例题经典】 一次函数与反比例函数的综合应用 例1（2006年南充市）已知点A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，?可不写画法）． 【点评】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功． 一次函数与二次函数的综合应用 例2（2005年海门市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，?若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．（1）求y与x的函数关系式； （2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：?该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？ （3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，?你有何感想（不超过30字）？
【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象经过点（4，400）、（5，320）可确定y与x关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣． 二次函数与图象信息类有关的实际应用问题 例3一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1?日起的50天内，它的市场售价y 与上市时间x的关系可用图（a） 1 与上市时间x的关系可用图（b）的一条线段表示；?它的种植成本y 2 中的抛物线的一部分来表示． （1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？ （市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、读图．从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键．【考点精练】 基础训练 1．在函数y=，y=x+5，y=x2的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列四个函数中，y随x的增大而减少的是（）
华师大版中考数学总复习《函数的综合应用》导学案
函数的综合应用 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.解决函数应用性问题的思路 面→点→线。首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述， 抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。 2.解决函数应用性问题的步骤 （1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把 实际问题的本质抽象转化为数学问题。 （2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问 题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。 （注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。） 3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉 及最值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。 （二）：【课前练习】 1.油箱中存油20升，油从油箱中均匀流 出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余 油量 Q （升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ） A ．Q ＝0．2t ； B ．Q ＝20－2t ； C ．t=0．2Q ； D ．t=20—0．2Q 2.幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C （件）关于时间t （月）的函数图象如图所示，则该工厂对这种产品来说（ ） A ．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量逐月减小 B ．l 月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平 C ．l 月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产 D ．l 月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产 3.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ） A.8元或10元； B.12元； C.8元； D.10元 4.已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x = 上，点N 在直线3y x =+上，设点M （a ，b ），则抛物线2()y abx a b x =-++的顶点坐标为 。 5.为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后y 与x 成反比例如图所示．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含 药量为6毫克，请根据题中提供的信息填空： ⑴药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为_______，自变量x 的取值范围是 _________； （2）药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为___________． 二：【经典考题剖析】 1.如图（ l ）是某公共汽车线路收支差额y(票价总收人减去运营成本）与乘客量 x 的
初中数学—分段函数应用题
初中数学—分段函数应用题 1.（四川）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图1所示： （１）月通话为100分钟时，应交话费 元； （２）当x ≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 3. (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题： （1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？ 4. 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元． （1）完成此房屋装修共需多少天？ （2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ 5. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的14 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他 到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？
6. 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系． （1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式； （2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？ 7.为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取 的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示． （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖 励小强家务劳动的？ （2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？ 8.有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话 收费标准如表1所示． （1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元； （2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？ 9. 如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y 与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）
中考专题复习课时21.函数的综合应用(1)
课时21．函数的综合应用（1） 【课前热身】 1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________． 2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________ 3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则 菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关 系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围） 4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 5．函数2y kx =-与k y x = （k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） 【考点链接】 1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 . 2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值 3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 . 【典例精析】 例1如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动， 直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． ⑴ 写出y 与x 的关系式； ⑵ 当x=2，3.5时，y 分别是多少？ ⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求 抛物线顶点坐标、对称轴. 例2 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标. A B C D （第3题） 菜园 墙
初中数学二次函数综合应用
学 科 中考数学 课题名称 二次函数综合应用 教学目标 二次函数属于中考压轴题，知识点不仅多，考点灵活多变，而且难度较高，这就要求学生在复习二次函数时，须得把相关性质及相关解题技巧掌握扎实，理解透彻。本专题通过梳理二次函数的知识点(拓展知识点)，并结合近几年上海市中考数学最后2道题二次函数的考点，把握中考二次函数命题方向，提高学生利用二次函数和结合相似等综合知识点解决问题的能力。 教学重难点 重点：二次函数解析式的确定，二次函数与x 轴交点问题，二次函数最值问题，二次函数图像上点的 存在问题，二次函数与相似等其它知识点的结合。 难点：二次函数与相似等其它知识点的结合。 知识精解 二次函数性质及相关扩展 1、一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0), 函数图像是抛物线； 2、开口方向：（1）a>0, 开口向上， （2）a<0, 开口向下; 3、顶点坐标：（-b/2a, (4ac-b 2)/4a ）, 对称轴：x= -b/2a 4、 顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0) h= -b/2a, k=(4ac-b 2)/4a 5、平移问题： ①将一般式化为顶点式； ②遵循原则：“左+ 右-，上+ 下-”（左右是指沿x 轴平移，上下是指沿y 轴平移） 例：将y=x 2+4x+3先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式是多少？ 6、交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0) ①一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2= -b/a, x 1.x 2=c/a ②求根公式：x ＝2 42b b ac a -±-，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式。 当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点； 当△＝0时，抛物线与x 轴有一个交点； 当△＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 ③运用抛物线的对称性： 若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y ， 则对称轴方程可以表示为：12 2 x x x += 7、增减性： ①a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大。 ②a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；
高一数学函数模型及其应用练习题2
函数模型及其应用测试题 一、选择题 1．某工厂的产值月平均增长率为P，则年平均增长率是（） A．11 +-D．12 (1)1 P P +- (1)P +B．12 (1)P +C．11 (1)1 答案：Ｄ 2．某人2000年7月1日存入一年期款a元（年利率为r，且到期自动转存），则到2007年7月1日本利全部取出可得（） A．7 a r +元 (1) (1) a r +元B．6 C．7 (1)(1)(1) +++++++ …元 a a r a r a r (1) a a r ++元D．26 答案：Ａ 3．如图1所示，阴影部分的面积S是h的函数(0) ≤≤，则该函数的图象可 h H 能是（） 答案：Ｃ 4．甲、乙两个经营小商品的商店，为了促销某一商品（两店的零售价相同），分别采取了以下措施：甲店把价格中的零头去掉，乙店打八折，结果一天时间两店都卖出了100件，且两店的销售额相同，那么这种商品的价格不可能是（）A．4.1元B．2.5元C．3.75元D．1.25元 答案：Ａ 5．某厂工人收入由工资性收入和其他收入两部分构成．2003年该工厂工人收入3150元（其中工资性收入1800元，其他收入1350元）．预计该地区自2004年开始的5年内，工人的工资性收入将以每年6％的年增长率．其他收入每年增加160元．据此分析，2008年该厂工人人均收入将介于（） A．42004400 元 元B．44004600 C．46004800 元D．48005000 元 答案：Ｂ 二、填空题 6．兴修水利开渠，其横断面为等腰梯形，如图2，腰与水平线夹角为60 ，要求浸水周长（即断面与水接触的边界长）为定值l，同渠深h=，可使水渠量最大．
一次函数的综合应用1.doc
1判断三点A (3, 1), B (0, -2), C (4, 2)是否在同一条直线上. 2,当m为何值时，函数y二- (m-2) x m ~3 + (m-4)是一次函数？ 3已知y+a与x+b (a, b为是常数)成正比例. (1)y是x的一次函数吗？请说明理由； (2)在什么条件下，y是x的正比例函数？ 4根据下列条件，确定函数关系式： (1)y二kx+b的图象经过点(3, 2)和点(-2, 1). (2)已知y与x+1成正比例，当x二5时，y二12,求y关于x的 函数关系式 5已知y+2与x成正比例，且x二-2吋，y二0. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)画岀函数的图象； (3)观察图象，当x取何值时，y$0? (4)若点(叫6)在该函数的图象上，求m的值； (5)设点P在y轴轴上，(2)中的图象与x轴、y轴分别交于
A, B两点，且S AABP=4,求P点的坐标. 6已知一次函数y二（3-k） X-2/+18? （1） k为何值时，它的图象经过原点？ （2） k为何值时，它的图象经过点（0, -2） ? （3） k为何值时，它的图象平行于直线y二-x? （4） k为何值时，y随x的增人而减小？ 7, 2006年夏天，某省由于持续高温和连LI无雨，水库蓄水量普遍下降，图11-29是某水库的蓄水量V （万米釣与干旱持续时间t （天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题. （1）该水库原蓄水量为多少万米绞持续干旱10天后.水库蓄水量为多少万米3? （2）若水库存的蓄水量小于400万米油寸，将发岀严重干旱警报, 请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？ （3）按此规律，持续干旱多少天吋，水库将干涸？ 图11-29
2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质.9函数模型及函数的综合应用课时练理
2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9函数 模型及函数的综合应用课时练理 1.[xx·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( ) 答案 A 解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A. 2．[xx·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( ) A ．3人洗澡 B ．4人洗澡 C ．5人洗澡 D ．6人洗澡 答案 B 解析 设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝17 2时，y 有最小 值，此时共放水34×17 2 ＝289升，可以供4人洗澡． 3．[xx·枣强中学预测]若函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)有且只有一个零点，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－1
C ．0 D ．2 答案 B 解析 将函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2 ＋2)的零点问题转化为函数f 1(x )＝－a －|x |的图象与f 2(x )＝log 2(x 2＋2)的图象的交点问题．因为f 2(x )＝log 2(x 2＋2)在[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，因此其最低点为(0,1)，而函数f 1(x )＝－a －|x |也是偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，因此其最高点为(0，－a )，要满足题意，则－a ＝1，因此a ＝－1. 4．[xx·冀州中学模拟]某购物网站在xx 年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，选C. 5. [xx·武邑中学预测]已知函数f (x )＝(x －a )2 ＋(ln x 2 －2a )2 ，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4 5 成立，则实数a 的值为( ) A.15 B.25
数学函数的应用题
函数的应用题 【热点聚焦】 最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等． 【基础知识】 运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法： 1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题； 2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答； 3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题． 根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程： 【课前训练】 1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（ ） A ．7200×（31）3元 B ．7200×（32）3元 C ．7200×（31）2元 D ．7200×（3 2）2元 2．化学上常用pH 来表示溶液酸碱性的强弱，pH ＝－1g ｛c （H ＋）｝，其中f （H ＋ ）表示溶液中H ＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c （H ＋）＝1×10－5mo l/L ，则这杯胡萝卜汁的pH 是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4％，那么经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f （x ）的图象大致为图中的（ ） 4．邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____． 5．某工厂八年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法： （1）前三年中产量增长的速度越来越快；
函数的性质综合应用
一、选择题 1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 12 D ．y ＝x 3 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ????20152等于( ) A.3＋1 B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1 3．(2016·西安模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ????13 C ．{x |x <0或x >4} D ．{x |0 初中数学《二次函数的应用》教案 2.3二次函数的应用 教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。 能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。 2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。 情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。 2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。教学方法设计 由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方页1 第 法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解 决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。 教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在 学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。 页 2 第 （一）前情回顾： 1.复习二次函数y＝ax2+bx＋c（a0）的图象、顶点坐标、对 1、不等式)2(log log )1()32()1(->---x x x x 成立的一个充分不必要条件是 （ ） （A ）2>x （B ）4>x （C ）21< 适用学科 高中数学 态。 二次函数的应用 ◆目标指引 1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，?并在运用中体会二次函数的实际意义． 2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题． 3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，?学会运用这种“转化”的数学思想方法． ◆要点讲解 1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，?运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题． ◆学法指导 1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，?建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）?求最值时，宜用配方法． 2．有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，?再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答． ◆例题分析 【例1】如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始，?沿着AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，?设P ，Q 同时出发，问： （1）经过几秒后P ，Q 的距离最短？ （2）经过几秒后△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts ，显然AP 和BQ?的长度分别为AP=t ，BQ=2t （0≤t≤6）．PQ 的距离PQ=2 2 BP BQ +=251236t t -+．因此，只需求出被开方 式5t 2－12t+36的最小值，就可以求P ，Q 的最短距离． 【解】（1）设经过ts 后P ，Q 的距离最短，则： ∵PQ=22BP BQ +=22 (6)(2)t t -+=251236t t -+=2 6144 5()5 5 t -+ 第 1 页 共 4 页 1. 三角函数的综合应用 班级__________姓名____________ ___年____月____日 内 容 要 求 A B C 三角函数综合 两角和与差的正弦余弦和正切公式 √ 同角三角函数的基本关系式；二倍角公式；正弦定 理和余弦定理 √ 三角函数的图象和性质 √ 1.理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理； 2.能运用它们解决有关三角函数的综合问题． 【教学过程】 一、知识梳理： 1. 同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin α cos α . 2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式 sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsin αsin β，tan (α±β)＝ tan α±tan β 1tan αtan β . 3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α，tan2α＝2tan α1－tan 2α . 4. 三角函数的图象和性质 5. 正弦定理和余弦定理 (1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R(R 为三角形外接圆的半径)． (2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝ b 2＋ c 2－a 2 2bc . 二、回归教材 1.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC ，那么A ＝________． 2. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，则角B 等于________． 3. 若a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则可判断△ABC 的形状一定为________．(按边分类)初中数学二次函数的应用教案
函数性质综合应用1
函数模型及其应用教案
适用年级
高一
适用区域 通用
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 1.几类不同增长的函数模型的特点
2.用已知函数模型解决实际问题
3.建立函数模型解决实际问题
教学目标 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上
升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2．了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）
的实例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。
教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【教学建议】 本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程
中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华.本课内容是课本必修 1 中第三章 的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。 通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及 其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题， 函数 模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知 识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成. 【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状
第1页
导入的方法很多，仅举两种方法：
① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学
生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：
环节
教学内容设计
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群
喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859 年，有人从欧洲
创
带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧
草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断
设
增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳
大利亚，数量达到 75 亿只．可爱的兔子变
情
得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75
亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降
境
低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使
澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消
灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科
学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的
野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
师生双边互动 师：指出：一般而言，在理想条件 （食物或养料充足，空间条件充裕， 气候适宜，没有敌害等）下，种群 在一定时期内的增长大致符合“J” 型曲线；在有限环境（空间有限， 食物有限，有捕食者存在等）中， 种群增长到一定程度后不增长，曲 线呈“S”型．可用指数函数描述一 个种群的前期增长，用对数函数描 述后期增长的
第2页初中数学二次函数的应用
三角函数综合应用 (1)