北师大版2019年高中数学选修2-2习题：阶段质量评估1_含解析

阶段质量评估(一) 推理与证明

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列推理正确的是( )

A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有：log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y

B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有：sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y

C ．把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则有：(x ＋y )n ＝x n ＋y n

D ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有：(xy )z ＝x (yz )

解析：A ，B ，C 所得结论均为错误结论，只有D 所得结论正确． 答案：D

2．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面三角形( )

A ．内任一点

B ．某高线上的点

C ．中心

D ．外的某点

解析：将三角形类比为正四面体，三角形三边的中点可类比为四个侧面三角形的中心． 答案：C

3．在△ABC 中，sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．不确定

解析：由sin A sin C ＞cos A cos C ，可得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0，所以B 为锐角，但并不能判断角A ，C ，故选D ．

答案：D

4．用反证法证明：“方程ax 2＋bx ＋c ＝0，且a ，b ，c 都是奇数，则方程没有整数根”时，正确的假设是方程存在实数根x 0为( )

A ．整数

B ．奇数或偶数

C ．正整数或负整数

D ．自然数或负整数

解析：方程没有整数根的否定是方程有整数根，在方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ，b ，c 都是奇数，故0不是方程的根，因此正确的假设是方程存在实数根x 0为正整数或负整数．

答案：C

5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2

＋…＋a n ＋1

＝1－a n ＋

2

1－a

(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立

时，左边计算所得结果为( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2＋a 3

解析：n ＝1时，代入n ＋1得2，故验证n ＝1成立时，左边应为1＋a ＋a 2. 答案：C

6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －

1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那

么a ，b ，c 的值为( )

A ．a ＝12，b ＝c ＝14

B ．a ＝b ＝c ＝1

4

C ．a ＝0，b ＝c ＝1

4

D ．不存在这样的a ，b ，c

解析：令n ＝1,2,3，得????

?

3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，

27(3a －b )＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝1

4

.经验证此时等式对一

切n ∈N ＋均成立．

答案：A

7．用数学归纳法证明1＋12＋…＋1

n

＞n (n ∈N ＋)的步骤(1)中，验证n 的初始值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：n ＝1时不等式不成立，n ＝2时不等式成立，因此步骤(1)中验证n 的初始值为2. 答案：B

8．已知数列{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3·…·b 9＝29.若数列{a n }为等差数列，a 5＝2，则数列{a n }的类似结论为( )

A ．a 1a 2a 3·…·a 9＝29

B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29

C ．a 1a 2a 3·…·a 9＝2×9

D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9

解析：由等差数列的性质知a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5. 答案：D

9．下列结论正确的是( ) A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1

lg x

≥2 B ．当x ＞0时，x ＋

1

x

≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1

x

的最小值为2

D ．当0＜x ≤2时，x －1

x

无最大值

解析：选项A 错在lg x 的符号不确定；选项C 错在等号成立的条件不存在；根据函数f (x )＝x －1x 的单调性，当x ＝2时，f (x )取最大值3

2

，故选项D 不正确．

答案：B

10．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“○”：★○★○○★○○○★○○○○★○○○○○★……依此规律继续打下去，那么在前 2 014个图形中的“★”的个数是( )

A ．60

B ．61

C ．62

D ．63

解析：第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第(1＋2)个位置，第三次出现“★”在第(1＋2＋3)个位置，…，第n 次出现“★”在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．

∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2

，

当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)

2＝1 953，

2 014－1 953＝61＜63，

∴在前2 014个图形中的“★”的个数是62. 答案：C

11．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )

A ．2k ＋1

B ．2(2k ＋1)

C ．2k ＋1

k ＋1

D ．2k ＋3k ＋1

解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， 所以，增乘的式子为(2k ＋1)(2k ＋2)

k ＋1＝2(2k ＋1)．

答案：B

12．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：

①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －3；②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2；③f (x )＝e －

x ，g (x )＝－1x ；④f (x )＝ln x ，

g (x )＝x －1

2

.

其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( ) A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

解析：对于①，|f (x )－g (x )|＝|x 2－(2x －3)|＝|(x －1)2＋2|≥2，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”．故①错，应排除A ，D ．对于②，|f (x )－g (x )|＝|x －(x ＋2)|＝?????

???x －122＋74≥74， 所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”．故②错，排除B ．同理，可知③④均正确．

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝_____________.

解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1

2n ＋1.

答案：12n ＋1

2n ＋1

14．已知点A (x 1,3x 1)，B (x 2,3x 2)是函数y ＝3x 的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22＞3x 1＋x 2

2成立．运用类

比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ????－π

2＜x ＜0的图像上任意不同两点，则类似地有_____________成立．

解析：因为y ＝tan x ????－π

2＜x ＜0的图像是上凸的，所以线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ????－π2＜x ＜0图像上的点????

x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 2

2

成立．

答案：tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 22

15．(2017·湖北高考卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋1

2n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，

以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：

三角形数 N (n,3)＝12n 2＋1

2n ，

正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－1

2n ，

六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，

……

可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝______________.

解析：先根据给出的几个结论，推测出当k 为偶数时，N (n ，k )的表达式，然后再将n ＝10，k ＝24代入，计算N (10,24)的值．

由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝????k 2－1n 2－????k 2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.

答案：1 000

16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第n 个图有a n 个树枝，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是______________． 答案：a n ＋1＝2a n ＋1

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知a 是整数，a 2是偶数，求证：a 也是偶数． 证明：(反证法)假设a 不是偶数，即a 是奇数． 设a ＝2n ＋1(n ∈Z )，则a 2＝4n 2＋4n ＋1. ∵4(n 2＋n )是偶数，

∴4n 2＋4n ＋1是奇数，这与已知a 2是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数．

18．(12分)已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，则数列b n ＝n

a 1a 2…a n (n ∈N ＋)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n

n

也是等差数列．

证明如下：

设等差数列{a n }的公差为d ，

则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋

n (n －1)d 2n ＝a 1＋d 2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d

2为

公差的等差数列．

19．(12分)设a ＋b ＝1，且a ＞0，b ＞0.

求证：????a ＋1a 2＋????b ＋1b 2≥252

. 证明：考虑待证的结论????a ＋1a 2＋????b ＋1b 2≥252，只需证明(a 2＋b 2)＋????1a 2＋1b 2＋4≥25

2， 只需证明(a 2＋b 2)＋????1a 2＋1b 2≥17

2. ∵ab ≤??

??a ＋b 22＝14

，∴1

ab ≥4.

∴1a 2＋1b 2≥2

ab ≥8. 又∵a 2

＋b 2

≥(a ＋b )22＝1

2

，

∴(a 2＋b 2)＋????1a 2＋1b 2≥17

2. ∴????a ＋1a 2＋????b ＋1b 2≥25

2

成立． 20．(12分)已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．

证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负实数， ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴a ，b ，c ，d ∈[0,1]．

∴ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d 2.

∴ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d

2

＝1.

这与已知ac ＋bd ＞1相矛盾，∴假设不成立，即证得a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 21．(12分)是否存在常数a ，b ，c ，使得等式1(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4

＋bn 2＋c 对一切正整数n 都成立？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由．

解：假设存在a ，b ，c ，使得所给等式成立． 令n ＝1,2,3代入等式得 ????

?

a ＋

b ＋

c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18，

解得????

?

a ＝14

，b ＝－14

，c ＝0.

以下用数学归纳法证明等式1(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝14n 4－1

4n 2对一切正整

数n 都成立．

①当n ＝1时，由以上可知等式成立；

②假设当n ＝k 时，等式成立，即1(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k 4－1

4k 2，

则当n ＝k ＋1时，

1[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)·[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4－1

4k 2＋(2k ＋

1)·k (k ＋1)2＝14(k ＋1)4－1

4

(k ＋1)2.

由①②，可知等式对一切正整数n 都成立．

22．(12分)(2015·浙江卷)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N ＋)． (1)证明：1≤a n a n ＋1

≤2(n ∈N ＋)；

(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12(n ＋2)≤S n n ≤1

2(n ＋1)

(n ∈N ＋)． 证明：(1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，

即a n ＋1≤a n ， 故a n ≤12

.

由a n ＝(1－a n －1)a n －1得

a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1＞0. 由0＜a n ≤1

2

得

a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ∈[1,2]，即1≤a n

a n ＋1≤2. (2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1， ∴S n ＝a 1－a n ＋1.① 由

1

a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1≤a n

a n ＋1≤2得 1≤1a n ＋1－1a n ≤2， ∴n ≤1a n ＋1－1

a 1≤2n .

∴

12(n ＋1)≤a n ＋1≤1

n ＋2

(n ∈N ＋)．②

由①②得12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N ＋)．