专题一：立体几何大题中有关体积的求法

A

P

B

专题一：立体几何大题中有关体积的求法

角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。 一公式法

1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2.（2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A ． B ．4 C ． D ．2

练习

3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________.

4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [

二、转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体

中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 5例 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱

11111A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B =

，112A N ND =，113

4

A P A A =（如图1），

试求三棱锥1A MNP -的体积．

6练习（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD ,AD ⊥AB,AB=2,AD=

,AA1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3. 求点B1 到平面EA1C1 的距离

三、割补法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

7例已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,

60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

8练习 如图2

，在三棱柱1

1

1ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11

EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比

9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知12,8,5,3,4====

=CG BF AE BC AB ，

求几何体EFGH ABCD -的体积。

10四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。

巩固练习

11. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ?

∠=，PA 垂直于底面ABCD ，

C

C

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

P

1B 1D

图3

N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。

(1) 求四棱锥ABCD P -的体积V ；（2）求截面ADMN 的面积。

12. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，5=AB ，AA 1＝4，点D 是AB 的中点.

求多面体111C B A ADC -的体积.

13. 如图3，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，

060ABC ∠=，其侧面展开图是边长为8的正方形。E 、F 分别是侧棱1AA 、

1CC 上的动点，8=+CF AE ．

问多面体1BCFB AE -的体积V 是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V 的取值范围．

14. 如图，已知BCD ?中，?=∠90BCD ，1==CD BC ，AB ⊥平面BCD ，?=∠60ADB ，E 、F 分别是AC 、

AD 上的动点，且

)10(<<==λλAD

AF

AC AE ． (1)求证：不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ；

(2)若2

1

=λ，求三棱锥BEF A -的体积．

15. 如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=，14AD =，点P 是1AD 上的动点．

试求四棱锥1111P A B C D -体积的最大值；

16. 如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面

和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD .

设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．

D

C

B

A A 1

B 1

C 1

专题一：立体几何大题中有关体积的求法

1-4略 5解：

1113111

1111112313323223424

A MNP P A MN

A MN V V S h A M A N A P a a a a --===?=??=△·······． 6

7解：作BC 的中点D ，连接PD 、AD ，

过P 作AD PH ⊥，垂足H

易证PH 即为三棱锥ABC P -的高，

由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ?=?-3

1

即得 三棱锥ABC P -的体积P ABC V -=。

8设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V Sh =．

则三角形AEF 的面积为1

4

S ．

由于111

1734212

AEF A B C S S V h S Sh -??=++= ???··， 则剩余不规则几何体的体积为11175

1212

AEF A B C V V V Sh Sh Sh -'=-=-=， 所以两部分的体积之比为111:7:5AEF A B C V V -'=．

9首先通过梯形BFHD ACGE ,的中位线重合，我们可以求得9=DH ,

分别延长DH CG BF AE ,,,到','','D C B A ,使得17''''====DD CC BB AA , 则我们可得

故长方体''''D C B A ABCD -的体积是几何8',5',9',12'====HD GC FB EA 体EFGH ABCD -的二倍。

故10217432

1

21''''=???==--D C B A ABCD EFGH ABCD V V

10 把四面体ABC S -补形成一个长方体FSGC

ADBE -，

三度分别是4,3,2则 84322

1

3144324=?????-??=-=---FSC A FSGC ADBE ABC S V V V

11

12

B

F

D

13

14

15

16