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直线与椭圆——直线过定点

直线与椭圆——直线过定点
直线与椭圆——直线过定点

[典例] (2018·成都一诊)已知椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的右焦点F (3,0),长半轴长与短半轴长的比值为2.

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,若点B 在以线段MN 为直径的圆上,证明直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

[解] (1)由题意得,c =3,a b =2,a 2=b 2+c 2,

∴a =2,b =1,

∴椭圆C 的标准方程为x 24

+y 2=1. (2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +m (m ≠1),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).

联立?????

y =kx +m ,x 2+4y 2=4,消去y ,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0. ∴Δ=16(4k 2+1-m 2)>0,x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1

. ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上,

∴BM ―→·BN ―→=0.

∵BM ―→·BN ―→=(x 1,kx 1+m -1)·(x 2,kx 2+m -1)=(k 2+1)x 1x 2+k (m -1)(x 1+x 2)+(m -1)2=0,

∴(k 2+1)4m 2-44k 2+1+k (m -1)-8km 4k 2+1

+(m -1)2=0, 整理,得5m 2-2m -3=0,

解得m =-35

或m =1(舍去). ∴直线l 的方程为y =kx -35

. 易知当直线l 的斜率不存在时,不符合题意.

故直线l 过定点,且该定点的坐标为?

???0,-35. [解题技法] 直线过定点问题的解题模型

椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,其左焦点到点P (2,

1)的距离为10. (1)求椭圆C 的标准方程.

(2)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

解:(1)因为左焦点(-c,0)到点P (2,1)的距离为10, 所以2+c 2+1=10,解得c =1.

又e =c a =12,解得a =2,

所以b 2=a 2-c 2=3.

所以所求椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.

(2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

由??? y =kx +m ,

x 24+y 2

3=1,

消去y ,得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2-3)=0,

Δ=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)>0,

化简,得3+4k 2-m 2>0.

所以x 1+x 2=-8mk 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-33+4k 2

y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2=3m 2-4k 2

3+4k 2. 因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点D (2,0),

则k AD ·k BD =-1,

所以y 1x 1-2·y 2x 2-2

=-1, 所以y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=0,

所以3m 2-4k 2

3+4k 2+4m 2-33+4k 2+16mk 3+4k

2+4=0. 化为7m 2+16mk +4k 2=0,

解得m 1=-2k ,m 2=-2k 7,满足3+4k 2-m 2>0.

当m =-2k 时,

l :y =k (x -2),直线过定点(2,0)与已知矛盾;

当m =-2k 7时,l :y =k ? ????x -27,直线过定点? ??

??27,0. 综上可知,直线l 过定点? ??

??27,0. [对点训练]

(2019·株洲两校联考)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P (2,1),且离心率为32

. (1)求椭圆的标准方程;

(2)设O 为坐标原点,在椭圆的短轴上有两点M ,N 满足OM ―→=NO ―→,直线PM ,PN 分

别交椭圆于A ,B 两点,试证明直线AB 过定点.

解:(1)由椭圆的离心率e =c a =1-b 2a 2=32,得a 2=4b 2,将P (2,1)代入椭圆方程x 24b 2+y 2b 2=1,得1b 2+1b 2=1,解得b 2=2,则a 2=8,所以椭圆的标准方程为x 28+y 22

=1. (2)证明:当M ,N 分别是短轴的端点时,显然直线AB 为y 轴,所以若直线AB 过定点,则这个定点一定在y 轴上,

当M ,N 不是短轴的端点时,设直线AB 的方程为y =kx +t ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1≠2,x 2≠2,

联立?

???? x 28+y 22=1,y =kx +t 消去y ,得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2-8=0,则Δ=16(8k 2-t 2+2)>0, x 1+x 2=-8kt 4k 2+1,x 1x 2=4t 2-84k 2+1

. 又直线PA 的方程为y -1=

y 1-1x 1-2(x -2), 即y -1=kx 1+t -1x 1-2

(x -2), 所以点M 的坐标为? ??

??0,(1-2k )x 1-2t x 1-2, 同理可知N ? ??

??0,(1-2k )x 2-2t x 2-2, 由OM ―→=NO ―→,得(1-2k )x 1-2t x 1-2+(1-2k )x 2-2t x 2-2

=0, 化简整理得,(2-4k )x 1x 2-(2-4k +2t )(x 1+x 2)+8t =0,

则(2-4k )×4t 2-84k 2+1

-(2-4k +2t )????-8kt 4k 2+1+8t =0, 整理得(2t +4)k +(t 2+t -2)=0,

当且仅当t =-2时,上式对任意的k 都成立,

所以直线AB 过定点(0,-2).

(2018·贵阳摸底考试)过抛物线C :y 2=4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,且|AB |=8.

(1)求直线l 的方程;

(2)若A 关于x 轴的对称点为D ,求证:直线BD 过定点,并求出该点的坐标.

解:(1)易知点F 的坐标为(1,0),则直线l 的方程为y =k (x -1),代入抛物线方程y 2=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,

由题意知k ≠0,且Δ=[-(2k 2+4)]2-4k 2·k 2=16(k 2+1)>0,

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1, 由抛物线的定义知|AB |=x 1+x 2+2=8,

∴2k 2+4k 2=6,∴k 2=1,即k =±1, ∴直线l 的方程为x +y -1=0或x -y -1=0.

(2)证明:∵D 点的坐标为(x 1,-y 1),直线BD 的斜率k BD =

y 2+y 1x 2-x 1=y 2+y 1y 224-y 214=4y 2-y 1, ∴直线BD 的方程为y +y 1=

4y 2-y 1(x -x 1), 即(y 2-y 1)y +y 2y 1-y 21=4x -4x 1,

∵y 21=4x 1,y 22=4x 2,x 1x 2=1,

∴(y 1y 2)2=16x 1x 2=16,

即y 1y 2=-4(y 1,y 2异号),

∴直线BD 的方程为4(x +1)+(y 1-y 2)y =0,恒过点(-1,0).

1.(2019·贵阳适应性考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M 为短轴的上端点,MF 1―→·MF 2―→=0,过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ,B 两点,

且|AB |= 2.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设经过点(2,-1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ,H 两点.若k 1,k 2分别为直线MH ,MG 的斜率,求k 1+k 2的值.

解:(1)由MF 1―→·MF 2―→=0,得b =c . ①

因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ,B 两点,且|AB |=2,

所以b 2a =22

, ② 又a 2=b 2+c 2, ③

联立①②③,解得a 2=2,b 2=1,

故椭圆C 的方程为x 22

+y 2=1. (2)易知直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为y +1=k (x -2),即y =kx -2k -1,

将y =kx -2k -1代入x 22

+y 2=1得(1+2k 2)x 2-4k (2k +1)x +8k 2+8k =0, 由题设可知Δ=-16k (k +2)>0,

设G (x 1,y 1),H (x 2,y 2),

则x1+x2=4k(2k+1)

1+2k2,x1

x2=

8k2+8k

1+2k2,

k1+k2=y1-1

x1+

y2-1

x2=

kx1-2k-2

x1+

kx2-2k-2

x2=2k-

(2k+2)×

4k(2k+1)

1+2k2

8k2+8k

1+2k2

=2k-(2k

+1)=-1,

所以k1+k2=-1.

椭圆中的最值问题与定点、定值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题 解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 (1)利用定义转化为几何问题处理; (2)利用数形结合,挖掘数学表达式的几何特征进而求解; (3)利用函数最值得探求方法,将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理,此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围; (4)利用三角替代(换元法)转化为 三角函数的最值问题处理。 一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径,椭圆上一动点与长轴的两端点重合时,动点与焦点取得最大值a+c (远日点)、最小值a-c (近日点)。 推导:设点),(00y x P 为椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上的任意一点,左焦点为)0,(1c F -, 2 2 01)(||y c x PF ++=,由 1220220=+b y a x 得)1(2202 0a x b y -=,将其代入 2 0201)(||y c x PF ++=并化简得a x a c PF += 01||。所以,当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时,a c a a a c PF +=+?= max 1||;当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。c a a a a c PF -=+-?= )(||min 1。当焦点为右焦点)0,(2c F 时,可类似推出。 1. (2015浙江卷)如图,已知椭圆 12 22 =+y x 不同的点A 、B 关于直线2 1 + =mx y 对称。 (1)求实数m 的取值范围; (2)求AOB ?面积的最大值(O 为坐标原点)。 解:(1)由题意知0≠m ,可设直线AB 的方程为y =联立?? ???+-==+b x m y y x 1122 2,消y 去,得012)121(222=-+- +b x m b x m 。 因为直线b x m y +-=1与椭圆 12 22 =+y x 有两个不同的交点, 所以04 222 2 >+ +-=?m b 。-------① 设),(),,(2211y x B y x A ,线段AB 的中点 ),(M M y x M ,则2 4221+= +m mb x x ,

椭圆定点定值专题

一.解答题(共30小题) 1.已知椭圆C得中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.(Ⅰ) 求椭圆C得标准方程; (Ⅱ)P(2,n),Q(2,﹣n)就是椭圆C上两个定点,A、B就是椭圆C上位于直线PQ 两侧得动点. ①若直线AB得斜率为,求四边形APBQ面积得最大值; ②当A、B两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB得斜率就是否为定值,说明理由. 2.已知椭圆得离心率为,且经过点.(1)求椭圆C得方程; (2)已知A为椭圆C得左顶点,直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN得斜率k1,k2满足k1+k2=m(定值m≠0),求直线l得斜率. 3.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆得焦距为2,且过点.(1)求椭圆E 得方程; (2)若点A,B分别就是椭圆E得左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P就是椭圆 上异于A,B得任意一点,直线AP交l于点M. (ⅰ)设直线OM得斜率为k1,直线BP得斜率为k2,求证:k1k2为定值; (ⅱ)设过点M垂直于PB得直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点得坐标. 4.已知F1,F2分别就是椭圆(a>b>0)得左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与 x轴得交点为N,满足,设A、B就是上半椭圆上满足得两点,其中. (1)求椭圆得方程及直线AB得斜率k得取值范围; (2)过A、B两点分别作椭圆得切线,两切线相交于一点P,试问:点P就是否恒在某定直线上运动,请说明理由. 5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a>b>0)得离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上. (1)求椭圆得方程; (2)设A,B,M就是椭圆上得三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使. (i)求证:直线OA与OB得斜率之积为定值;(ii)求OA2+OB2. 6.已知椭圆得左焦点为F(﹣,0),离心率e=,M、N就是椭圆上得动点. (Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)设动点P满足:,直线OM与ON得斜率之积为﹣,问:就是否存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?, 若存在,求出F1,F2得坐标,若不存在,说明理由. (Ⅲ)若M在第一象限,且点M,N关于原点对称,点M在x轴上得射影为A,连接NA 并延长交椭圆于点B,证 明:MN⊥MB. 7.一束光线从点F1(﹣1,0)出发,经直线l:2x﹣y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0). (1)求P点得坐标;(2)求以F1、F2为焦点且过点P得椭圆C得方程; (3)设点Q就是椭圆C上除长轴两端点外得任意一点,试问在x轴上就是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB得斜率之积为定值?若存在,请求出定值,并求出所有满足条件得定点A、B得坐标;若不存在,请说明理由.

高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

专题08解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标. 【答案】(1)(2) 【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. (Ⅱ)证明: 由题意设直线的方程为, 由消去y整理得, 设,,

要使其为定值,需满足, 解得 . 故定点的坐标为 . 点睛:解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意. 2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =(0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时,弦MN 的长为15(1)求抛物线C 的标准方程; (2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由. 【答案】(1)24y x =;(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1)可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+, 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理: ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1); 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将(1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=,即可得出直线NQ 过定点.

高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为: “联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布范围,曲线定义不能忘,引参、用参巧解题,分清关系思路畅、数形结合关系明,选好,选准突破口,一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 已知直线l : y=x+,圆O :x 2+y 2=5,椭圆E :过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值. 2.过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点,A 为椭圆的左顶点,试判断∠MAN 的大小是否为定值,并说明理由. 3.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2 )是椭圆,(a >b >0)上的两点,已知向量=(,),=(,),且,若椭圆的离心率,短轴长为2,O 为坐标原点: (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k 的值; (Ⅲ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 4.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,且椭圆 C经过点M. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过圆O:上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点.求证:为定值. 5.已知平面上的动点P(x,y)及两定点A(﹣2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是k1,k2且. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)设直线l:y=kx+m与曲线C交于不同的两点M,N. ①若OM⊥ON(O为坐标原点),证明点O到直线l的距离为定值,并求出这个定值 ②若直线BM,BN的斜率都存在并满足,证明直线l过定点,并求出这个定点.

椭圆中定点定值问题(与顶点有关)

椭圆中的“定” 四、与椭圆的顶点有关 22. 已知A 是椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 的左顶点,过定点() 0,m M 的动直线与椭圆相交与不同的两点 C B ,(都不与点A 重合) ,记直线AC AB ,的斜率为21,k k ,则 ()() a m a a m b k k +-=2221. 23. 已知A 是椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 的左顶点,过定点()(),0N a n n ≠的动直线与椭圆相交与不同的两点C B ,(都不与点A 重合),记直线AC AB ,的斜率为21,k k ,则n a k k 21121=+. 24. 若椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点P (非短轴端点)与短轴两端 点21B B 、的连线,交x 轴于点M 和 N ,O 为原点,则2a ON OM =?.

25. 若椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点P (非长轴端点)与长轴两端点21A A 、的连 线,交y 轴于点Q 和R ,O 为原点,则 2b OR OQ =?. 26.(1) 12,A A 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左右顶点,直线l 与椭圆交于,C D 两点,并 与x 轴交于点P ,直线1AC 与直线2A D 交于 点Q ,当点P 异于12,A A 两点时, 2OP OQ a =. 27.已知点A 是椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 的左顶点,点C B ,在椭圆上,直线AC AB ,的斜率为21,k k (1)若q k k =21(不等于零的常数),则直线BC 过定点()2222,0a b a q b a q ??+ ? ?-?? ,此定点的另一个表达式是22,02e a e ?? ?-?? (e 是离心率). (2)若q k k =+2 111(不等于零的常数),则直线BC 过定点??? ? ?? q a a 2,. (3)若12k k q +=(不等于零的常数),则直线 BC 过定点22,b a aq ??- ?? ? .

椭圆定点定值专题(精选.)

一.解答题(共 30 小题) 1.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 4 .( Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)P (2,n ),Q (2,﹣n )是椭圆 C 上两个定点, A 、 位于直线 PQ 两侧的动点. ① 若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; ② 当A 、B 两点在椭圆上运动,且满足 ∠APQ=∠BPQ 时,直线 AB 的斜率是否为定值,说明理由. 2.已知椭圆 的离心率为 ,且经过点 .(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 A 为椭圆 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F 与椭圆 C 交于 M ,N 两点,若 AM 、AN 的斜率 k 1,k 2满足 k 1+k 2=m (定值 m ≠0),求直线 l 的斜率. 3.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 的焦距为 2, 且过点 .(1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 A ,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是 椭圆上异于 A ,B 的任意一点,直线 AP 交l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1,直线 BP 的斜率为 k 2,求证: k 1k 2 为定值; ( ⅱ )设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m .求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标. 1)求椭圆的方程及直线 AB 的斜率 k 的取值范围; 2)过 A 、B 两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点 P ,试问:点 P 是否恒在某定直线上运动,请说明理由. 1)求椭圆的方程; 2)设 A ,B , M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点) ,且存在锐角 θ,使 . i )求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为 定值; (ii )求 OA 2+OB 2. (Ⅰ)求椭圆标准方程; 4.已知 F 1,F 2 分别是椭圆 (a >b > 0) 的左、右焦点,半焦距 为 c ,直线 x=﹣ 与 x 轴的交点为 N ,满 足 ,设 A 、 B 是上半椭圆上满 足 的两点,其中 5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 (a >b > 0)的离心率为 ,其焦点在圆 x 2+y 2=1 上. 6.已知椭圆 的左焦点为 0),离心率 M 、N 是椭圆上的动点.

椭圆定点定值专题习题

1.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)P(2,n),Q(2,﹣n)是椭圆C上两个定点,A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点. ①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值; ②当A、B两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率是否为定值,说明理由. 2.已知椭圆的离心率为,且经过点. (1)求椭圆C的方程; (2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN 的斜率k1,k2满足k1+k2=m(定值m≠0),求直线l的斜率.

3.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的焦距为2,且过点. (1)求椭圆E的方程; (2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M. (ⅰ)设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,求证:k1k2为定值; (ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点的坐标. 4.已知F1,F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与x轴的交点为N,满足,设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中. (1)求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围; (2)过A、B两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点P,试问:点P是否恒在某定直线上运动,请说明理由.

5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a>b>0)的离心率为,其焦点在 圆x2+y2=1上. (1)求椭圆的方程; (2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使 . (i)求证:直线OA与OB的斜率之积为定值; (ii)求OA2+OB2. 6.已知椭圆的左焦点为F(﹣,0),离心率e=,M、N是 椭圆上的动点. (Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)设动点P满足:,直线OM与ON的斜率之积为﹣,问:是否存在定 点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?,若存在,求出F1,F2的坐标,若不存在,说明理由.(Ⅲ)若M在第一象限,且点M,N关于原点对称,点M在x轴上的射影为A,连接NA 并延长交椭圆于点B,证明:MN⊥MB.

椭圆中定点定值问题(一般结论)

椭圆中的“定” 五、一般结论 30. 已知点()()0,0000≠y x y x A 是椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 上一定点,过点A 的两直线21,l l 与椭圆C 的另一个交点分别为Q P 、,直线21,l l 的斜率分别为21,k k . (1)若2221a b k k =?,直线PQ 的斜率为定值0 0x y -.反之亦然. (2)若021=+k k ,直线PQ 的斜率为定值0 202x a y b .反之亦然. 31.椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在,若斜率之积为定值()122≠m m a b ,则直线BC 必定过定点()()??? ??-+--+11,1100m m y m m x M . 32.椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在,若斜率之和为定值()02≠n n a b ,则直线BC 必定过定点?? ? ??---0000,y x an b y bn a x N . 33.(1)一条经过点()0,m M 的直线l 与椭 圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 交于B A ,两点,作A 关于长轴的对称点A ',则直线A B '过定点2,0a T m ?? ??? . (2)一条经过点()()0,M m b m b -<<的直线l 与椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 交于,P R 两点,

设点20,b Q m ?? ??? ,则PQM RQM ∠=∠. 34.(1)过椭圆C 的左(右)准线上任意一点N 作椭圆的 切线,切点为B A ,,则直线AB 必过椭圆的左(右)焦点,反之,当圆锥曲线的焦点弦AB 绕焦点F 运动时,过弦的端点,A B 的两切线交点的轨迹为F 对应的准线. (2)过椭圆C 的左(右)准线上任意一点N 作椭圆的切线,切点为A ,则以NA 为直径的圆过椭圆的左(右)焦点,即090NFA ∠=. 35.过点()00,P x y 作直线交12222=+b y a x C :()0>>b a 于,A B 两点,点,P Q 在椭圆的异侧且点Q 在直线AB 上,若A P Q B A Q P B =,则点Q 在定直线00221x x y y a b +=上. 36.已知()00,P x y 是椭圆 22 22:1x y E a b +=外一点,过点P 作椭圆的切线,切点为,A B ,再过P 作椭圆的割线交椭圆于,M N ,交AB 于点Q ,令111,,s t u PM PN PQ ===,则

圆锥曲线中的定点,定值问题

圆锥曲线中的定点,定值问题 《学习目标》: 1. 探究直线和椭圆,抛物线中的定点定值问题 2. 体会数形结合,转化与化归的思想 3. 培养学生分析问题,逻辑推理和运算的能力 活动一 根深蒂固: 题根:已知AB 是圆O 的直径,点P 是圆O 上异于A,B 的两点,k 1,k 2是直线PA,PB 的斜率,则k 1k 2= -1. 问题1 这是一个师生都很熟悉的结论,这个结论能否类比推广到其它一些圆锥曲线呢? 问题2 如图,点P 是椭圆x 2 4+y 2 =1上除长轴的两个顶点外的任一点,A,B 是该椭圆长轴的2个端点,则直线PA,PB 的斜率之积为______. 问题 3 椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为______ . 问题4 .证明: 设 A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点,点P 是该椭圆上不同于A,B 的任一点,直线PA,PB 的斜率为k 1,k 2,则k 1k 2 为2 2b a -

活动二 根深叶茂: 问题5(2012年南通二模卷)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,B 、C 分别为椭圆的上、下顶点,直线BF 2与椭圆的另一交 点为D.若cos∠F 1BF 2=725,则直线CD 的斜率为__________. 问题6:(2011年全国高考题江苏卷18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k 。 (1)略 (2)略 (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB

椭圆定值定点、范围问题总结

椭 圆 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别) 2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5.根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K 是否存在) ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题”?12120x x y y +>等; ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系(120K K +=或12K K =); ④“共线问题” (如:AQ QB λ= ?数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想: 1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明, 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数

椭圆大题定值定点取值范围最值问题总结

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5.根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒:需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>; ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =); ④“共线问题” (如:AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A O B ,,三点共线?直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想: 1.“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2.“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3.证明定值问题的方法: (1)常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关; (2)也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明. 4.处理定点问题的方法: (1)常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点; (2)也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明, 5.求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决; 6.转化思想:有些题思路易成,但难以实施.这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;

专题 椭圆中的定点、定值问题

椭圆中的定点、定值问题 椭圆中的三定(定点、定值、定线)问题近几年高考题中考察频率降低,但在模考题中依然是热点,这类问题中直线、圆、椭圆、向量共存,考察运算能力和数学思想运用常见题型. 例1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),P 1(1,1),P 2(0,1),P 3? ????-1,32,P 4? ????1,32四点中恰有三点在椭圆C 上. (1) 求C 的方程; (2) 设直线l 不经过点P 2且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点. 例2已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点? ????1,32,离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 直线y =k (x -1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ,B 两点,点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ,Q ,试问:以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 思维变式题组训练 1. 已知椭圆E :x 2 a 2+y 2=1(a >1)的上顶点为M (0,1),两条过M 的动弦MA ,MB 满足MA ⊥MB .对于给定的实数a (a >1),动直线AB 是否经过一定点?如果是,求出定点坐标(用a 表示);反之,请说明理由. 2. 如图所示,已知椭圆:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12 ,右准线方程是直线l :x =4,点P 为直线l 上的一个动点,过点P 作椭圆的两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B (点A 在x 轴上方,点B 在x 轴下方). (1) 求椭圆的标准方程; (2) ① 求证:分别以PA ,PB 为直径的两圆都恒过定点C ;

椭圆定点定值专题(精选.)

一.解答题(共30小题) 1.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为 4.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)P(2,n),Q(2,﹣n)是椭圆C上两个定点,A、B是椭圆C上 位于直线PQ两侧的动点. ①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值; ②当A、B两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率是否为定值,说明理由. 2.已知椭圆的离心率为,且经过点.(1)求椭圆C的方程; (2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN的斜率k1,k2满足k1+k2=m (定值m≠0),求直线l的斜率. 3.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的焦距为2, 且过点.(1)求椭圆E的方程; (2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是 椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M. (ⅰ)设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,求证:k1k2为定值; (ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点的坐标. 4.已知F1,F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与x轴的交点为N,满足,设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中. (1)求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围; (2)过A、B两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点P,试问:点P是否恒在某定直线上运动,请说明理由.5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a>b>0)的离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上. (1)求椭圆的方程; (2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使. (i)求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;(ii)求OA2+OB2. 6.已知椭圆的左焦点为F(﹣,0),离心率e=,M、N是椭圆上的动点. (Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)设动点P满足:,直线OM与ON的斜率之积为﹣,问:是否存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2| 为定值?,若存在,求出F1,F2的坐标,若不存在,说明理由. (Ⅲ)若M在第一象限,且点M,N关于原点对称,点M在x轴上的射影为A,连接NA 并延长交椭圆于点B,

椭圆中的定点与定值问题

椭圆中的定点与定值问题 江苏省苏州第十中学 朱嘉隽 【教学目标】 1. 在解决椭圆定值定点问题的过程中,体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式; 2. 综合、灵活地使用对称、共线以及变量之间的关系,掌握等价转化、数形结合等思想方法. 【基础训练】 1. 已知椭圆 22 1164 x y +=的左顶点为A ,过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点,直线MN 过x 轴上的一定点,该定点为___________. 【解析】通过特殊位置判断,不妨设直线AM 的斜率为1,直线AN 的斜率为-1,联立椭圆与直线 方程解之,即22 21125324804 1645=+4 x y x x x x y x ?+=??++=?=-=-??? 或(舍去),由此时点M 、N 的对称性可知,直线MN 过x 轴上的定点12 (,0)5 T - . 【反思】填空题中涉及定点定值问题的,往往采用特殊位置带入求解,猜测得到答案,在解答题中也经常采用先猜后证的方法,但要注重严格的计算证明. 2. 椭圆22 :182 x y C +=上一点(2,1)A ,若,M N 是椭圆上关于原点对称的两个点,当直线AM 、AN 的斜率都存在时,AM AN k k ?=_____________. 【解析】设点求解,抓住点在椭圆上,构建关系,设00(,)M x y 、00(,)N x y --,则001 2 AM y k x -= -,0012AN y k x --=--,20002000 111224AM AN y y y k k x x x ----∴?=?=----,又22 002(1)8x y =-,14AM AN k k ∴?=-. 【反思】有关重要结论可识记,若,M N 是椭圆22 221x y a b +=上关于原点对称的两个点,点A 是椭圆 上一定点,则2 2AM AN b k k a ?=-.

椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)

椭圆中的“定” 二、与椭圆的焦点弦有关 4. 椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 的离心率为e ,PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦,且PQ 的中垂线交x 轴于R ,则 22PQ F R e =. 5.PQ 为过椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 的一个焦点2F 的弦,2F K 为焦准距,e 为椭圆的离心率,则222112PF QF e F K +=. 6.(1)PQ 为过椭圆12222=+b y a x C :()0>>b a 焦点F 的弦,PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ,直线RF 交F 所对应的准线于K ,则P 、K 、Q 、R 四点共圆. (2)弦MN (异于长轴)过椭圆 122 22=+b y a x C :()0>>b a 的右焦点2F ,过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N 交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为 直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2 F 关于准线的对称点 .

(3)弦MN 过椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 的右焦点2F ,椭圆的准线l 交 椭圆的对称轴于点D ,则 22MDF NDF ∠=∠. (4)P 为椭圆122 22=+b y a x C :()0>>b a 上任一点,2F 为椭圆右焦点,过P 作椭圆的切 线交椭圆的右准线于点N ,则 222ON PF b k k a =-. 7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦 点2F 的弦,n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的 对称轴于n R ,则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的 圆必交于同一点2,0a c ?? ??? . 8. 弦AB (异于长轴)过椭圆122 22=+b y a x C : ()0>>b a 的焦点,过B A ,两点分别作椭圆的两条切 线交圆222x y a +=于,M M '两点,则 (1)MM '是圆222x y a +=的一条直径,且四边形 MM BA '为梯形; (2)角APB ∠为锐角; (3)若两切线的交点为P ,当点P 为2,0a c ?? ???时,APB ?的面积最小,其最小值为4 b ac .

专题 椭圆中的定点定值问题

椭圆中的定点定值问题 1.已知椭圆C: 22 22 1 x y a b +=(0 a b >>)的右焦点为F(1,0),且(1-, 2 2 )在椭圆C上。 (1)求椭圆的标准方程; (2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A、B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得 7 16 QA QB ?=-恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。 解:(1)由题意知c=1.由椭圆定义得22 22 2(11)() 22 a=--++,即2 a= --3分 ∴2211 b=-=,∴椭圆C 方程为 2 21 2 x y +=. (2)假设在x轴上存在点Q(m,0),使得 7 16 QA QB ?=-恒成立。 当直线l的斜率不存在时,A (1, 2 2 ),B(1, 2 2 -),由于( 52 1, 42 -)·( 52 1, 42 --)= 7 16 -, 所以 5 4 m=,下面证明 5 4 m=时, 7 16 QA QB ?=-恒成立。 当直线l的斜率为0时,A(2,0)B(2 -,0)则( 5 2 4 -,0)?( 5 2 4 --,0)= 7 16 -, 符合题意。当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1,A() 11 ,x y,B() 22 ,x y, 由x=ty+1及 2 21 2 x y +=得22 (2)210 t y ty ++-=有0 ?>∴ 1212 22 21 , 22 t y y y y t t +=-=- ++ ; 11 1 x ty =+, 22 1 x ty =+ ∴ 11221212 5511 (,)(,)()() 4444 x y x y ty ty y y -?-=--+=2(1) t+ 1212 11 () 416 y y t y y -++= 22 2 222 11212217 (1) 242162(2)1616 t t t t t t t t --+ -++?+=+=- +++ , 综上所述:在x轴上存在点Q( 5 4 ,0)使得 7 16 QA QB ?=-恒成立。 2.如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆 1 T, 2 T都过点(0,2) M-,且椭圆 1 T与 2 T的离心率均为2 2 . (Ⅰ)求椭圆 1 T与椭圆 2 T的标准方程; (Ⅱ)过点M引两条斜率分别为,k k'的直线分别交 1 T, 2 T于点P,Q, 当4 k k '=时,问直线PQ是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不 过定点,请说明理由. 解:(Ⅰ) 222 2 1,1 422 x y y x +=+=; (Ⅱ)直线MP的方程为2 y kx =-,联立椭圆方程得: 22 1 42 2 x y y kx ? += ? ? ?=- ? ,消去y得22 (21)420 k x kx +-=,则 42 P k x=,则点P的坐标为 2 42222 :(,) k k P - ,同理可得点Q的坐标为: 2 22222 :(,) k k Q ''- , 又4 k k '=,则点Q为: 2 22 42822 (,) 8181 k k k k - ++ , 22 22 22 822222 1 8121 2 4242 8121 PQ k k k k k k k k k k -- - ++ ==- - ++ , 则直线PQ的方程为: 2 222142 () 2 k k y x k - -=--,即 2 22 222142 () 21221 k k y x k k k - -=-- ++ ,化简得 1 2 2 y x k =-+, 即当0 x=时,2 y=,故直线PQ过定点(0,2). 3.已知,椭圆C过点A,两个焦点为(﹣1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程; (2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜 率为定值,并求出这个定值. 解:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为,解得b2=3,(舍去) 所以椭圆方程为. (2)设直线AE方程为:, 代入得, 设E(x E,y E),F(x F,y F),因为点在椭圆上, 所以由韦达定理得:,, 所以,.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数, y x O P Q

椭圆中的定点、定值问题

解析几何中的椭圆是高考中的热点,常见的有求最值、过定点、定值等,这类题型中以直线与椭圆相交为基本模型,处理问题的方法可以是设直线,运用韦达定理求出坐标之间的关系,过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的,而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系,不适宜解,再运用题目中的条件整体化简。也可以是设点的坐标,运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简,到底设什么需要根据题目的条件,因题而异。 例1、(2017盐城高三三模18)已知A 、F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点、右焦点,点P 为椭圆 C 上一动点,当PF x ⊥轴时,2AF PF =. (1)求椭圆C 的离心率; (2)若椭圆C 存在点Q ,使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限),求直线AP 与OQ 的斜率之积; (3)记圆2 2 22 :ab O x y a b += +为椭圆C 的“关联圆”. 若b =P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线,切点为M 、N ,直线MN 的横、纵截距分别为m 、n ,求证:2234 m n +为定值.学科*网 解:(1)由PF x ⊥轴,知P x c =,代入椭圆C 的方程, 得2 2221P y c a b +=,解得2P b y a =±. 又2AF PF =,所以2 2b a c a +=,解得12e =. (2)因为四边形AOPQ 是平行四边形,所以PQ a =且//PF x 轴, 所以2P a x = ,代入椭圆C 的方程,解得P y =, 因为点P 在第一象限,所以2P y = ,同理可得2Q a x =- ,2 Q y b = 所以2 22 2()22 AP OQ b k k a a a a =?=----,由(1)知12c e a ==,得2234b a =,所以34AP OQ k k =-. (3)由(1)知12c e a == ,又b =2a =,所以椭圆C 方程为 22 143 x y +=, 圆O 的方程为2 2 x y += ①. 连接,OM ON ,由题意可知,OM PM ⊥, ON PN ⊥, 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆,

圆锥曲线定值定

圆锥曲线定值定

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圆锥曲线问题的解题规律可以概括为: “联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布范围,曲线定义不能忘,引参、用参巧解题,分清关系思路畅、数形结合关系明,选好, 选准突破口,一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 (2012?菏泽一模)已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值. 2.(2012?自贡三模);过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由. 3.(2013?眉山二模)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆,(a>b>0)上的两点,已知向量=(,),=(,),且,若椭圆的离心率,短轴长为2, O为坐标原点: (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;(Ⅲ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 4.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,且椭圆C经过点M. (1)求椭圆C的标准方程;

(2)过圆O:上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点.求证:为定值. 5.已知平面上的动点P(x,y)及两定点A(﹣2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是k1,k2且. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)设直线l:y=kx+m与曲线C交于不同的两点M,N. ①若OM⊥ON(O为坐标原点),证明点O到直线l的距离为定值,并求出这个定值 ②若直线BM,BN的斜率都存在并满足,证明直线l过定点,并求出这个定点. 6.(2011?新疆模拟)已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭 圆的短半轴为半径的圆与直线相切. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于定点Q; 7.已知椭圆Ω的离心率为,它的一个焦点和抛物线y2=﹣4x的焦点重合. (1)求椭圆Ω的方程; (2)若椭圆上过点(x0,y0)的切线方程为 . ①过直线l:x=4上点M引椭圆Ω的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点C; ②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ?|AC|?|BC|,若存在,求出入的值;若不存在,说明理由.

椭圆综合题中定值定点、范围问题总结1

椭 圆 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别) 2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5.根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K 是否存在) ?OA OB ⊥ ?121K K ?=- ?0OA OB ?= ? 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0; ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系(120K K +=或12K K =); ④“共线问题” (如:AQ QB λ= ?数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式 的 合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略;

①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想: 1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明, 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、 三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决; 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性, 关键是积累“转化”的经验; 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型: 在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的。 (1)直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012 x x y y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M (-1,0)关于直线0l 的对称点为N ,直线PN 恒过一定点G ,求点G 的坐标。 1、解:直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n

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