2014高考数学总复习全套讲义

2012高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑

第1课时 集合的概念及运算

【考点导读】

1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．

3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．

【基础练习】 1.

集

合

{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示

{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．

2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?．

3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______．

4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8

或2___．

【范例解析】

例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=，

{01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B .

分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.

解：（1）{12}A x x =≤≤Q ，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=，

R A C A R ?=，

可得A B ?.

{0,2}

而{01R B C A x x ?=<<或23}x <<，

∴{01x x <<或23}x <<.B ?

借助数轴可得B A =?{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.

【反馈演练】

1．设集合{

}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ?=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合

P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．

3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+. （1）若P Q P ?=，求实数a 的取值范围； （2）若P Q ?=?，求实数a 的取值范围； （3）若{03}P Q x x ?=≤<，求实数a 的值.

解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，Q P Q P ?=，Q P ∴?. ①当Q =?时，得23a a >+，解得3a >．

②当Q ≠?时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<． 综上，(1,0)(3,)a ∈-?+∞．

（2）①当Q =?时，得23a a >+，解得3a >；

②当Q ≠?时，得23,3223a a a a ≤+??+≤-≥?或，解得3

532a a ≤-≤≤或．

综上，3

(,5][,)2

a ∈-∞-?+∞．

（3）由{03}P Q x x ?=≤<，则0a =．

第2课 命题及逻辑联结词

【考点导读】

1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．

2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．

3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】

1.下列语句中：①230x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->． 其中，不是命题的有____①②④_____．

2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则p ，否命题可表示为 p q ??若则，逆否命题可表示为q p ??若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题． 【范例解析】

例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分；

（3） 设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+.

分析：先将原命题改为“若p 则q ”，在写出其它三种命题. 解： （1）

原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；

逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题； 逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2）

原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；

逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；

逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）

原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题； 逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题；

否命题：设,,,

∈，若a b

a b c d R

+≠+；假命题；

≠或c d

≠，则a c b d

逆否命题：设,,,

a b c d R

∈，若a c b d

≠；真命题.

≠或c d

+≠+，则a b

点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p

?时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.

例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.

（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；

（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；

（3）p：方程210

-+=的两实根

x x

-+=的两实根的符号相同，q：方程210

x x

的绝对值相等.

分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.

解：

（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；

p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；

非p：2不是4的约数，假命题.

（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；

p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；

非p：矩形的对角线不相等，假命题.

（3）p或q：方程210

-+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；

x x

p且q：方程210

x x

-+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；

非p：方程210

-+=的两实根的符号不同，真命题.

x x

点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.

例3.写出下列命题的否定，并判断真假.

（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

（2）p：每一个非负数的平方都是正数；

（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；

（4）p：有的四边形没有外接圆；

（5）p：某些梯形的对角线互相平分.

分析：全称命题“,()

?∈?”，特称命题

x M p x

x M p x

?∈”的否定是“,()

“,()x M p x ?∈”的否定是“,()x M p x ?∈?” . 解：

（1）p ?：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； （2）p ?：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；

（3）p ?：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； （4）p ?：所有四边形都有外接圆，假命题； （5）p ?：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.

点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：

【反馈演练】

1．命题“若a M ∈，则b M ?”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p ：1sin ,≤∈?x R x ，则:p ?,sin 1x R x ?∈>.

3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.

4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________

． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．

（1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =； （2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >． 解：

（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题； 否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题； （2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题； 否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．

若b M ∈，则a M ? 若a b ≤，则221a b

≤-

第3 课时 充分条件和必要条件

【考点导读】

1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．

2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合P Q ?，则P 是Q 的充分条件； 若集合P Q ?，则P 是Q 的必要条件； 若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．

3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】

1.若p q ?，则p 是q 的充分条件．若q p ?，则p 是q 的必要条件．若p q ?，则p 是q 的充要条件．

2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件． （2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件． （3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的___必要不充分__条件．

3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >．

【范例解析】

例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）2,2.x y >??>?是4,4.x y xy +>??>?的___________________条件；

（2）(4)(1)0x x -+≥是

4

01

x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件； （4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.

分析：从集合观点“小范围?大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.

解：（1）因为2,2.x y >??>?结合不等式性质易得4,4.x y xy +>??>?，反之不成立，若1

2x =，

10y =，有4,4.x y xy +>??

>?，但2,2.x y >??>?不成立，所以2,2.x y >??>?是4,

4.x y xy +>??>?的充分不必要条件.

（2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，

4

01

x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是

4

01

x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2

π

αβ==

时，tan ,tan αβ均不存在；

当tan tan αβ=时，取4

π

α=，54

π

β=

，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.

（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.

点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若?q 则?p ”的真假.

【反馈演练】

1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件．

2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件． 3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ?是p ?的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ?是p ?的充分不必要条件，则A B ?． 若A =?，则240a -<，即22a -<<；

若A ≠?

，则240,

,22

a a a x ?-≥?

?--≤≤?

?解得522a -≤≤-． 充分不必要

综上所述，5

22

a -≤<．

2012高中数学复习讲义第二章函数A

【方法点拨】

函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．

1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．

2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．

3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．

4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．

第1课 函数的概念

【考点导读】

1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．

2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】

1．设有函数组：①y x =

，y =

；②y x =

，y =

；③y =

，y =

；④1(0),1

(0),

x y x >?=?-

；⑤lg 1y x =-，lg 10

x y =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．

2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：

其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：

(1) ()13f x x =-的定义域为______________；

(2) 2

1()1

f x x =

-的定义域为______________；

(3)

1()f x x =的定义域为______________； (4)

()f x =的定义域为

_________________． 4．已知三个函数:(1)()

()

P x y Q x =

；

(2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：

(1)______________________；

(2)______________________； (3)______________________________． 5.写出下列函数值域：

(1) 2

()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}．

①

②

③

④

R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-?+∞ (,1)(1,0)-∞-?- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠

(2) 2

()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．

【范例解析】

例 1.设有函数组：①21

()1

x f x x -=-，()1g x x =+；

②()f x =

，

()g x =

③()f x =

()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个

函数的有③④．

分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．

解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，

()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-?+∞，故不是同一函数；③④是

同一函数．

点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①

12y x =

- ②

()f x = 解：（1）① 由题意得：220,

10,

x x ?-≠??

-≥??解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，

故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-?--??+∞．

② 由题意得：12

log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．

例3.求下列函数的值域：

（1）2

42y x x =-+-，[0,3)x ∈；

（2）221

x y x =+()x R ∈；

（3

）y x =-

分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．

（1） 解：2

2

42(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈Q ，∴函数的值域为[2,2]-；

（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，2

1011x <≤+Q ，则21

101

x -≤-<+Q ，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)． 解法二：由221x y x =+，则21y x y =-，2

0x ≥Q ，∴

01y y

≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．

（3

t =(0)t ≥，则2

1x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，

当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞． 点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．

【反馈演练】

1．函数f (x )＝x

21-的定义域是___________

． 2．函数)

34(log 1)(2

2-+-=

x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2

1

()1y x R x

=

∈+的值域为________________． 4.

函数23y x =-+的值域为_____________

． 5．函数)34(log 2

5.0x x y -=的定义域为_____________________．

6.记函数f (x )=1

3

2++-

x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；

(2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－

13++x x ≥0，得1

1

+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．

∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ?A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥2

1

或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ?A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[2

1

,1)．

(,0]-∞ (1,2)(2,3)? (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44

-?

第2课 函数的表示方法

【考点导读】

1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．

2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】

1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________．

2.设函数1()1f x x

=

+，2

()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______；[(2)]f g =17；

[()]f g x =

2

1

3

x +． 3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =__15___．

4.设f (x )＝2

|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤??

?>?+?，则f [f (21)]＝_____________． 5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【范例解析】

例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式． 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．

解法一：设2

()(0)f x ax bx c a =++>，则2

6,426,4 4.

4c a b c ac b a

?

?=??++=??-?=??解得2,4,6.a b c =??=-??=?

故所求的解析式为2

()246f x x x =-+．

解法二：(0)(2)f f =Q ，∴抛物线()y f x =有对称轴1x =．故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>．

第5题

67x - 64x + 413

|1|2

3

23--=x y (0≤x ≤2)

将点(0,6)代入解得2a =．故所求的解析式为2

()246f x x x =-+．

解法三：设()() 6.F x f x =-，由(0)(2)6f f ==，知()0F x =有两个根0，2， 可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >，()(0)(2)6f x a x x ∴=--+，

将点(1,4)代入解得2a =．故所求的解析式为2

()246f x x x =-+． 点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．

例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．

分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．

解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈

1

[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210

x x f x x x x ??∈?

∴=∈??∈?-?

点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域． 【反馈演练】

1．若()2x x e e f x --=，()2

x x

e e g x -+=，则(2)

f x =（ D ）

Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f x g x + Ｃ．2()g x

Ｄ． 2[()()]f x g x ? 2．已知1

(1)232

f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．

3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式． 解：设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，

则000

0,,2

.0,2

x x

x x y y y y +?=?=-????

+=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上

∴()2

2

2

22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故．

1

4

-

第3课 函数的单调性

【考点导读】

1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；

2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性． 【基础练习】 1.下列函数中： ①1

()f x x

=

； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-．

其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.

函数y =

的递减区间是__________

． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________． 5.已知下列命题：

①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；

③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；

④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函

(,1]-∞- (1,)+∞

数()f x 在R 上是增函数．

其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】

例 . 求证：（1）函数2

()231f x x x =-+-在区间3

(,]4

-∞上是单调递增函数； （2）函数21

()1

x f x x -=

+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4

-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，

因为22

121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-

1212()[32()]x x x x =--+，

又1234x x <≤

，则120x x -<，123

2

x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数2

()231f x x x =-+-在区间3

(,]4

-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=

-++12123()

(1)(1)

x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故

12123()

0(1)(1)

x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．

所以，函数21

()1

x f x x -=

+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21

()1

x f x x -=+是单调增函数；

所以，函数21

()1

x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．

点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，

2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．

例2.

确定函数()f x =

分析：作差后，符号的确定是关键．

解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2

-∞内的任意两个值1x ，2x ，且

12x x <，

则

12()()f x f x -=

=

=

又120x x -<

0>，

12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．

所以，()f x 在区间1(,)2

-∞上是增函数．

点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．

【反馈演练】

1．已知函数1

()21

x

f x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2

()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.

3.

函数y =

1

[2,]2

--.

4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2

-∞-． 5. 已知函数1

()2

ax f x x +=

+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=

-++2112(12)()

0(2)(2)

a x x x x --=<++， Q 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，

即1

2

a >．

(0,1)

第4课 函数的奇偶性

【考点导读】

1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；

2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 【基础练习】

1.给出4个函数：①5

()5f x x x =+；②42

1()x f x x -=；③()25f x x =-+；④

()x x f x e e -=-．

其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数()()()x

a x x x f ++=

1为奇函数，则实数=a －1 ．

3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）

A .R x x y ∈-=,3

B .R x x y ∈=,sin

C .R x x y ∈=,

D .R x x y ∈=,)2

1( 【范例解析】

例1.判断下列函数的奇偶性：

（1）2(12)()2

x x

f x +=； （2）()lg(f x x =；

（3）2

2

1

()lg lg

f x x x =+； （4）()(1f x x =-

（5）2

()11f x x x =+-+； （6）2

2

(0),()(0).x x x f x x x x

?-+≥?=?<+??

分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断． 解

：（

1

）

定

义

域

为

x R

∈，关于原点对称；

Q 2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+?+-===?2

(12)()2

x x

f x +=, 所以()f x 为偶函数． （

2

）

定

义

域

为

x R

∈，关于原点对称；

()()lg(lg(lg10f x f x x x -+=-+==Q ，

()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．

（3）定义域为(,0)(0,)x ∈-∞?+∞，关于原点对称；()0f x =Q ，()()f x f x ∴-=-且

()()f x f x -=，

所以()f x 既为奇函数又为偶函数．

（4）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （5）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -=Q ，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且

(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．

（6）定义域为x R ∈，关于原点对称；

22

()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ?--+-->?-=?-<-+-??Q ，22(0),

()(0).

x x x f x x x x ?-->?∴-=?<-??又(0)0f =，

22(0),

()(0).

x x x f x x x x ?--

点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即

()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．

例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2

()22f x x x =-+，求函数

()f x 的解析式，并指出它的单调区间．

分析：奇函数若在原点有定义，则(0)0f =． 解：设0x <，则0x ->，2

()22f x x x ∴-=++．

又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2

()()22f x f x x x ∴=--=---． 当0x =时，(0)0f =．

综上，()f x 的解析式为2222,0

()0,

0022,x x x f x x x x x ?-+>?

==??<---?

． 作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]．

点评：（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“?”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．

【反馈演练】

1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ D ）

A ．()()76f f >

B ．()()96f f >

C ．()()97f f >

D ．()()107f f >