届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第4讲函数y=Asinωx+φ的图像及应用练习理北师大版-含答案

第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及应用

一、选择题

1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则平移后图像

的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π

6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π

6(k ∈Z ) C.x ＝

k π

2－π

12

(k ∈Z ) D.x ＝

k π

2＋π

12

(k ∈Z ) 解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度后得到函数的解析式为y

＝2sin ? ????2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 答案 B

2.(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ |<π

2

)

在区间????

??－π2，π上的图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )

A.ω＝2，φ＝π

3

B.ω＝2，φ＝－2π

3

C.ω＝12，φ＝π

3

D.ω＝12，φ＝－2π

3

解析 由图可知，T ＝2????

??π6－? ????－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ? ????2×π6－φ＝0，所

以

π3－φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π

3

，故 选A. 答案 A

3.(2017·西安模拟)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图像沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位后的图像关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3

C.π2

D.2π3

解析 依题意得f (x )＝2sin ? ????x －π6，因为函数f (x －a )＝2sin ? ????x －a －π6的图像关于y

轴对称，所以sin ?

????－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，

因此正数a 的最小值是π

3，选B.

答案 B

4.(2016·长沙模拟)函数f (x )＝3sin π

2

x －log 12x 的零点的个数是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析 函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝1

8

.由log 12x ＝－3，可

得x ＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π

2

x 和y ＝log 12x 的图像(如图所示)，

易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点

.

答案 D

5.(2017·宜春调研)如图是函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图像，则g (x )的图像可能是由f (x )的图像( ) A.向右平移2π

3个单位得到的

B.向右平移π

3个单位得到的

C.向右平移7π

12个单位得到的

D.向右平移π

6

个单位得到的

解析 由函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图像，可得g (x )的图像位于y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为m ，则有17π24－m ＝π4－π8，解得m ＝7π12，故把函数f (x )＝sin 2x

的图像向右平移7π12－π4＝π

3个单位，即可得到函数g (x )的图像，故选B.

答案 B 二、填空题

6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝

a

＋A cos ????

??π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 解析 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；

当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ??

??

?

?π6（x －6），

所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ? ??

??π6×4

＝23－5×1

2＝20.5.

答案 20.5

7.(2016·全国Ⅲ卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到.

解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ? ????x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ?

????x ＋π3，因此至

少向右平移2π

3个单位长度得到.

答案

2π3

8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ????ω＞0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点? ????2，－12，则函数f (x )的解析式为________. 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得

? ??

??T 22

＋（1＋1）2＝22，解得

T ＝4，故ω＝

2π

T ＝π2

， 即f (x )＝sin ?

????πx 2＋φ.又函数图像过点? ??

??2，－12，

故f (2)＝sin ? ????π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，

又－π2≤φ≤π

2

，

解得φ＝π6，故f (x )＝sin ? ????πx 2＋π6.

答案 f (x )＝sin ?

??

??πx 2＋π6