积分变换的认识与应用

积分变换的一些应用

积分变换

积分变换是数学中对于函数的作用子，理论上用以处理微分方程等问题。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。最常见的积分变换有两种：傅里叶变换和拉普拉斯变换，其他的还包括梅林变换和汉克尔变换等。积分变换法凭借着它灵活方便的特点在理工科方面有很大的应用，本文将会讲述关于傅里叶变换和拉普拉斯变换的一些应用。

傅里叶变换

定义

傅里叶其实是一种分析信号的方法，既可以分析信号的成分，也可以利用这些成分合成信号。设f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在下一个周期内具有有限个间断点，并且在这些间断点上函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则函数满足傅里叶变换：

它存在逆变换，则傅里叶逆变换：

有一种特殊的变换叫离散傅里叶变换，它是对一个序列进行的变换，为：

傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

个别应用

傅里叶变换最常见于图像处理跟数学信号处理中，而现在现在我介绍其中一种比较不错的应用：加密、解密图像。

根据Candan等人提出的离散分数傅里叶变换的定义为，X（n）是带有N个矢量元素的输入信号，是变换核矩阵，是分数阶。Soo-Chang Pei 等人将离散分数傅里叶变换核矩阵定义为，当N为奇数时，矩阵

，当N为偶数时，，是一个对角矩阵，其对角线上的元素是V中年每列特征向量的特征根。我们将NXN DFT矩阵定义为：

，进而可以将阶DFRFT矩阵定义为：

。

基于离散分数傅里叶变换的特征向量和特征值方法产生的定义不是唯一的，对特征值和特征向量的不同选择，导致了离散傅里叶变换的不同定义形式。如果

用不同的分数次幂代替DFT矩阵的特征值=，则将FRFT推广到了MPDFRFT。N点NXN MPDFRFT矩阵定义为：

在MPDFRFT域中采用双自由度编码进行数字图像加密解密，两个过程分别如下图：

图像加密过程

图像解密过程

在以上加密过程中，参数矢量和自由相位码构成了MPDFRFT域中双自由相位编码加密的密钥。

拉普拉斯变换

定义

拉普拉斯变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t>=0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。拉普拉斯变换是对在t<0时函数值为零的连续时间函数x（t）通过变换式：

进行变换为复变量s的函数X（s）。它也是时间函数x（t）的“复频域”表示方式。

个别应用

在物理学中有很多物理系统，如电路系统、自动控制系统、振动系统等的研究，可以归结为求常数系数线性微分方程的初值问题。而拉普拉斯变换提供了求

解初值问题的一种简便方法。下面我们介绍拉普拉斯变换在分析高阶动态电路的应用。

拉普拉斯变换将用时域分析法描述电路动态过程的常数线性微分方程转换为复频域的线性多项式方程，在复频域内求解代数方程，得出复频域函数，再利用拉普拉斯变换，变为时域原函数，最后求得时域响应。

在S域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函数表示。通常时域激励函数通过查拉普拉斯变换表可得出它们的象函数。电阻元件R:VAR 的S域形式为U(s)=RI(s)，或I(s)=GU(s)；电感元件R:VAR的S域形式为

或；电容元件C:VAR 的S域形式为：

或；

S域方法分析电路过程的基本步骤为：1.作出时域电路时电路的S域模型。

2.根据S域模型，以KVL,KCL和元件的VAR的S域形式为依据，应用等效化简、节点分析法、网孔分析法、叠加定律和戴维南定律应用等基本分析方法进行分析计算，得出待求响应的象函数。

3.将待求响应的象函数展开为部分分式。

4.对待求响应的象函数逐项进行拉普拉斯反变换，即得时域响应。

结论

总言之，积分变换换这一种为数理简化计算提供巨大方便的方法，在各方面都能得到有效利用，其应用领域自然也就会很广阔。傅里叶变换跟拉普拉斯变换作为最常见应用最广的两种积分变换，其研究价值自然就很大，于是仍有不少人对其不停进行研究，以求开发其更多应用。

参考文献

周美丽，白宗文，刘生春。多参数离散分数傅里叶变换的应用，电子科技，2008/3/15，第21卷第3期（60~61）

张守平，吴波英。浅谈拉普拉斯变换的应用，动力与电气工程，2010 NO.26（133）

积分变换论文

河南城建学院 期末考试（论文） 题目：Laplace变换在定积分中的应用 系别：电气与电子工程系 专业：电气工程及其自动化 班级：0912102（班） 学号：091210247 学生姓名：张晓东 指导教师：秦志新 完成日期：2011.05.23

河南城建学院 期末考试（论文）任务书

摘要 Laplace变换应用广泛，本文只给出一些最基本的性质和应用举例，以求举一反三，从而激活思绪，开阔思路，扩大视野，增强学习兴趣。 为了更好的掌握高等数学中关于定积分的内容，使一些利用高等数学的思想解决起来很难，或者无法解决的定积分问题利用laplace 变换的思想考虑会很快、很容易的得出结果。这就使高等数学中定积分的问题转换成S域中的问题，这样就可以利用laplace变换这个方便的解题工具去解决。 本文中只是把laplace变换作为解题工具，最终要解决的是定积分问题。所以，laplace只是手段，解决高等数学中的定积分问题才是最终目的！ 关键字：laplace 工具解决定积分

一、 问题的提出 在高等数学学习中，定积分的计算是我们不容易掌握的，因为这一部分学习中问题的形式灵活多变，多种多样。例如：∫ ∞ 0! n t n d t ，∫∞0t e at ωsin - d t 计算时需要分步积分，且要连续的运用分步积分法。甚至，有时一个定积分的求解的问题能花费我们很长的时间，且做到最后还有可能得到无法求解的结果。例如形如0 () f t dt t +∞ ?的定积分。而对于这种问题在高等数学中还没有一个系统的，方便快捷的解题思路。只有听过解决一般定积分所用的经典方法去进行计算，而这样则会造成事倍功半的结果。 二、 解决的思路 如果我们利用积分变换中laplace 变换的思想去考虑和解决这些问题就会得到很快、很简单的解决。Laplace 变换是在S 域中进行积分，它可以把一些复杂的时域函数的定积分的求解转化到S 域中再进行分析求解。例如：利用laplace 的微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质，这样就可以绕过很多复杂的数学计算，而使求解变得简单、快捷。下面利用利用具体定积分来分别说明laplace 变换的性质在解决定积分中的应用。 三、 方法分析 1、 利用laplace 变换的微分性质

傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义频域的相位与时域的相位有关系吗信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。

《积分变换与数理方程》教学大纲

《积分变换与数理方程》教学大纲 课程编号：112004 开课学期：4 适用专业：电子信息科学与技术编写教师：赵玉泉 学时：36 学分：2 审核：彭光含 第一部分说明 一、课程的性质、作用 《积分变换与数理方程》是继《高等数学》之后的一门数学课程，是电子信息科学与技术专业学生的必选课。其中积分变换是《信号与线性系统分析》课程的一部分，为使学生更集中地学习《信号与线性系统分析》的理论知识而将这部分数学知识从中分离出来，单独组成本课程。因此学生只有具备了本课程的基础知识和基本技能，才可能学习《信号与线性系统分析》等专业课程。即该课程内容是以后学习多门专业课程的必备工具。 二、课程的任务与基本要求 本课程内容主要有：信号与信号的基本运算、卷积与卷积和、傅立叶变换、拉普拉斯变换及Z变换。这些内容要求学生都必须掌握。 信号部分，要求学生掌握信号的种类、信号的基本运算、阶跃函数及冲激函数定义与运算。 卷积及卷积和部分，要求学生掌握卷积的定义、性质及计算方法。 傅立叶变换部分，要求掌握傅立叶级数、傅立叶变换的定义及性质。 拉普拉斯变换部分，要求学生掌握拉普拉斯变换的定义、性质及逆变换。 离散信号的Z变换，要求掌握Z变换的定义、性质。 三、教学方法建议 积分变换与数理方程课程，其理论性很强。从教学的实际情况看，学生普遍感到难度大。因此，在教学方法上一般宜采用教师讲授。 对于积分变换，学生感觉困难的主要原因是公式多，记不住。有的学生虽记住了公式，但不能灵活运用。建议： 1、冲击函数的教学，最好不涉及广义函数的概念和理论，以免学生感到复杂难懂。

2、信号与积分变换中，图像多，宜制作一批教学挂图或幻灯片辅助教学。 3、要引导学生适当复习，寻找公式的记忆方法，务必熟记公式。 4、要多列举范例，帮助学生理解公式，学会如何综合运用公式。 四、本课程与其他课程的关系 为学习本课程，学生必须具备较扎实的复数、级数、三角函数、待定系数等初等数学知识与复变函数、导数、积分等高等数学知识，具备一定的普通物理特别是电磁学方面的知识。因此，该课程以初等数学、高等数学、电磁学等课程为基础，同时它又是学习《信号与线性系统分析》、《电路》等课程的基础。 第二部分本文 一、基本内容与学时分配 （一）信号 １、复数的知识………………………………………………………………(１学时) 教学内容要点：（１）、复数的三种表示式（２）、正、余弦函数的指数形式２、信号………………………………………………………………………（1学时）教学内容要点：（１）、连续信号和离散信号（２）周期信号和非周期信号 （３）、实信号和复信号 ３、阶跃函数和冲激函数……………………………………………………（３学时）教学内容要点：（１）、阶跃函数和单位阶跃函数序列（２）、冲激函数和单位序列 （３）、冲激函数的导函数和积分（４）、冲激函数的性质 4、信号的基本运算…………………………………………………………（2学时） 教学内容要点：（1）、加法和乘法（2）、平移和反转（3）、尺度变换 （二）卷积 1、卷积积分…………………………………………………………………(2学时) 教学内容要点：（1）、卷积积分定义（2）、卷积的图示（3）、卷积的计算 2、卷积积分的性质………………………………………………………（2学时） 教学内容要点：（1）、卷积的代数运算（2）、函数与冲激函数的卷积 （3）、卷积的微分与积分 3、卷积和……………………………………………………………………(2学时) 教学内容要点：（1）、卷积和定义（2）、卷积和的图示（3）、卷积和的性质

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-?

(3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：

积分变换的认识与应用

积分变换的一些应用 积分变换 积分变换是数学中对于函数的作用子，理论上用以处理微分方程等问题。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。最常见的积分变换有两种：傅里叶变换和拉普拉斯变换，其他的还包括梅林变换和汉克尔变换等。积分变换法凭借着它灵活方便的特点在理工科方面有很大的应用，本文将会讲述关于傅里叶变换和拉普拉斯变换的一些应用。 傅里叶变换 定义 傅里叶其实是一种分析信号的方法，既可以分析信号的成分，也可以利用这些成分合成信号。设f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在下一个周期内具有有限个间断点，并且在这些间断点上函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则函数满足傅里叶变换： 它存在逆变换，则傅里叶逆变换： 有一种特殊的变换叫离散傅里叶变换，它是对一个序列进行的变换，为： 傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 个别应用 傅里叶变换最常见于图像处理跟数学信号处理中，而现在现在我介绍其中一种比较不错的应用：加密、解密图像。 根据Candan等人提出的离散分数傅里叶变换的定义为，X（n）是带有N个矢量元素的输入信号，是变换核矩阵，是分数阶。Soo-Chang Pei 等人将离散分数傅里叶变换核矩阵定义为，当N为奇数时，矩阵 ，当N为偶数时，，是一个对角矩阵，其对角线上的元素是V中年每列特征向量的特征根。我们将NXN DFT矩阵定义为： ，进而可以将阶DFRFT矩阵定义为：

复变函数与积分变换公式

复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示

2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z

学习复变函数与积分变换的心得

学习复变函数与积分变换的心得 这个学期我们学习了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同概率统计一样也是考查课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。 每周二都很空闲，除了体育课就没课了，又因为这门课程是公共考查课，是四个班级在一起上课，所以有时候经常想逃课，但自从上了梁老师的一堂课，就感觉到了他是一个很负责的老师，他每次来教室都来得很早，他很喜欢点名，上课上的也很生动，他经常会叫同学上黑板做题目，来检查学生学得怎么样，他不希望同学带早餐进教室。以后的星期二基本上都没逃过课，我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。 复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学

复变函数与积分变换 复旦大学出版社 习题六答案

习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 00, 00. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则 2 2 2 2 ,u v y x u v u v = = ++ 因为0 + 故i w z = 将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 12 12 w > (以（12 ,0）为圆心、12 为半径的圆) 3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转角，问w =z 2将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面上哪一个方向？并作图.

复变函数与积分变换公式

复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数与积分变换结课感想

工程数学的科学魅力 ------《复变函数与积分变换》结课论文《复变函数与积分变换》是继《高等数学》之后的一门工科电类专业的公共基础课程。通过对它的学习使自己进一步认识了数学世界，认识了工程数学的无穷魅力，感叹于前人灵光一闪的发现，惊讶于人类智慧的浩瀚无尽，同时也学会了学习，学会了如何运用学到的数学工具解决一些简单问题。数学之于其他自然科学的高度抽象性和基础性使之当之无愧地成为众学科之父，《复变函数与积分变换》作为数学的一个小的分支自然而然地对我们的学习产生了近乎革命性的影响。 为何学习以及学习心态。如果抛弃“学以致用”、高投资回报率与实用主义的世俗信条而单纯以科学探索的长远眼光看待数学，那么数学史便是一部大师发现创造的历史，人类社会百年以至更长时间的文明积淀凝结成书，今天这份同样饱含了前人智慧思想的《复变函数与积分变换》便是往圣先贤无数次苦思冥想无数次灵光闪现后经历时代检验的文明成果。学习它，就是回溯人类文明的足迹，与大师对话，重走发现之旅；与大师交流，以获得创造并改变世界的数学工具。千百年，大师归去，然而优秀的数学思想却薪尽火传，我们得以承接人类文明的接力棒，不亦乐乎？尽管我们可能只是庞大社会机器上的一枚螺丝钉，但仍然有必要去了解整个机器的构造，以虔诚、敬重、学习的心态对待前人的发现创造，以便更好地掌握“一角冰山”，学好《复变函数与积分变换》这门课程。 如何学习以及学习方法。将前人百年来的思想成果用有限的几十个学时全部接受甚至融会贯通似乎是不现实的。学会查阅，以较短的时间找到所需的知识的能力是大学说要传授我们的“渔”。正如老师所说，有些知识可能要等到工作实践

时才能恍然大悟，而有些知识甚至可能我们永远都理解不了。查找知识的能力适用于其他任何学科。一个人不可能掌握所有的知识，但他必须学会如何学习，正所谓学习能力比学习本身更重要。查阅之后反复使用才能转化为自己的东西，而工程数学给我们实践所学更多的机会，使之更接近一门技术。 学习数学史有助于我们理解定理定律出现的前因后果，对数学世界充满兴趣的同时有可能获得启迪，“站在巨人的肩膀上”也给后人一副“肩膀”。本课程中出现过的欧拉、柯西、Fourier、Dirichlet等数学泰斗多生于英法等欧洲国家，由此可见，大的学术环境往往成为科学家诞生的摇篮，而数学世家、数学家辈出的大学又说明了好的后天教育的重要性。当今世界的数学中心移居美国，是否说明其学术环境的某种优势，这一点姑且不论。 工程数学有着更紧密的理论与实践的联系，因此近似、条件弱化等经验能让我们洞见理论实践转化升华的契机。本课程的学习让我领会了为什么学、怎么学和学习方法心态上的诸多新思路，获益匪浅。数学史使我对“枯燥的数学”有了不枯燥的兴趣。工程数学魅力无穷，若没能接触她，岂能发现这又是一片"豁然开朗的崭新的世界"？ 2011年11月

积分变换

积分变换、数学物理方程与特殊函数 经过十二周的学习，我们学到了很多知识，这与以后的学习和工作打下了基础，老师讲解十分认真，讲课效果很好。由于现在还处于理论的学习阶段，无法将学到的这些内容应用到实际问题中，但我相信，在以后的实验和实际问题中肯定能发挥相当大的作用。这门课是数学的更深一个层次，与高等数学的关系密不可分。下面就我学习的状况谈一下我对这门课的认识。 首先学习的是《积分变换》的内容，我们主要学习了Fourier 变换、逆变换及其应用。Fourier 积分变换相对于后面学到的《数学物理方程》偏重于理论，其中与多种函数和理论密切相关，Fourier 变换中经常用到欧拉公式。 复数形式的欧拉公式： ?? ???-=+=-=+= ---x i x e x i e i e e n w t e e n w t ix ix inwt inwt inwt inwt sin cos ,sin cos 2sin ,2cos 其中有三个基本函数，在学习《积分变换》时经常用到； 1.单位阶跃函数： ?? ?<>=0 ,00,1)(t t t u 可以用阶跃函数吧分段函数表达出来。 2.矩形脉冲函数： ???????><=2,02 ,τττ t t E t P ）（ 3.δ函数： ? ??≠=∞+=0,00 ,)(x x x δ 表示密度分布的极限。 δ函数具有筛选性质： )0()()(-f dx x f x =? +∞ ∞ δ 其一般形式为：)()()(0-0x f dx x f x x =-?+∞∞ δ 同时还学习了卷积定理：假定)(1t f ，)(2t f 都是满足Fourier 积分定理中的条件，且[])()(11w F t f =?，[])()(22w F t f =?，则

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020

§13拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中c为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即： 它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数

浅谈复变函数与积分变换在电气工程及其自动化专业学习中的应用

复变函数论文 专业名称： 电子信息工程 班 级： 0934091-75 姓 名： 郑 亚 浅谈复变函数与积分变换在电子信息工程专业学习中的应用

摘要：“复变函数与积分变换”既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问 题的强有力的工具复变函数起源于分析、力学、数学物理等理论与实际问题，具有鲜明的物理背景。“复变函数与积分变换”课程是电气工程及其自动化专业必修的专业基础课，是学习“电路理论”、“电机学”、“信号与系统”等多门后继专业课的基础，学习这门课程对于培养学生的专业能力、创新精神以及未来的业务素质都是非常重要的。建立在复变函数理论之上的积分变换方法，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系，既能简化计算，又具有明确的物理意义，在电力工程、通信和控制领域、信号分析和图像处理、语音识别与合成等领域中有着广泛的应用。 关键词：复变函数;积分变换;电工程及其自动化;应用 《复变函数与积分变换》这门课程主要是两大部分的内容, 一是复变函数的相关知识, 二是傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个主要的积分变换。在电气工程及其自动化专业中, 对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时- 频域理论分析等内容要应用复变函数中的方法与拉普拉斯变换进行处理; 对线性系统的理论分析要应用拉普拉斯变换进行。因此《复变函数与积分变换》这门课程对该专业的学习起着重要作用,下面仅就几个简单问题进行分析。 一、拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用 互感在工程中应用极其广泛,因此对互感电路进行分析非常必要. 常见的基本分析方法有时域分析法、频域分析法、复频域分析法. 由于互感电路本身的复杂性,采用时域或频域进行分析都很繁琐. 本文从复频域角度,首先对互感元件进行s域变换,然后对互感电路进行复频域分析. （1）拉普拉斯变换 对于具有多个动态元件的复杂电路,用直接求解微分方程的方法比较困难. 例如对于一个n阶方程,直接求解时需要知道变量及其各阶导数在t = 0 +时刻的值,而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t = 0 +时刻的值,从这些值求初始条件的工作量很大. 拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换,但它比傅立叶变换有更广泛的适应性,是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一[1 - 4 ]. 在傅立叶变换中, 引入衰减因子e-σt (σ为实常数) ,根据不同信号的特征,适当选取σ的值, 使乘积信号f ( t) e-σt当t→〒∞时信号幅度趋近于0,从而使f ( t) e-σt的定义式积分收敛. ∞ - ∞∫f ( t) e-σt e- jωt d t = f ( t) e- (σ+jω) t d t (1) 其积分结果为s ( s =σ+ωj )的函数,则F ( s) = f ( t) e- st d t

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数与积分变换重 要知识点归纳 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

(整理)傅立叶积分变换.

第一章 傅里叶积分变换 所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为： ()()ττF dt t f t k b a ??→ ??记为 ),( 这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 . 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具. 1．傅里叶级数的指数形式 在《高等数学》中有下列定理： 定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ?? - ??? 上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有 ()()∑∞ =++=1 0sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1) 其中()dt t f T a T T T ?-=22 01 , ()() ,2,1cos 1 22==?-n tdt n t f T a T T T n ω, ()() .2,1sin 1 22 ==?-n tdt n t f T b T T T n ω, 在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于 ()()2 0000-++t f t f T T . 又2cos φφφi i e e -+=,i e e i i 2sin φ φφ--=,.于是

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变换。研究的都是什么?从几方面讨论下。 这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。 傅立叶变换，拉普拉斯变换， Z变换的意义 【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说，用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法)，以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。

很好的拉普拉斯变换讲解

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．拉氏变换的基本概念 在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 ， 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数． 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．7.1.1 拉氏变换的基本概念 定义设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即 （7-1）称（7-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作 ，即． 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： (1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用． （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的． 例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换． 解 ． 7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则

积分变换的应用

浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月

目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)

1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换

复变函数与积分变换 学习笔记

第二章解析函数 一、复变函数的导数及微分 1、导数的定义 2、可导与连续 3、求导法则 实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来 4、微分的概念 与一元实变函数的微分概念完全一致 二、解析函数的概念 1、解析函数的定义 如果函数f（z）在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f（z）在z0解析。 如果函数f（z）在区域D内每一点解析，则称f（z）在区域D内解析。或称f（z）是区域D 内的一个解析函数（全纯函数或正则函数） 2、奇点的定义 如果函数f（z）在z0不解析，那么称z0为f（z）的奇点。 根据定义可知，函数在区域内解析和区域内可导是等价的。但是，函数在一点处解析和一点处可导是不等价的，即在一点处可导，不一定在该点处解析。 函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。 定理 （1）在区域D内解析的两个函数f（z）和g（z）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。 （2）设函数h=g（z）在z平面上的区域D内解析，函数w=f（h）在h平面上的区域G内解析。如果对于D内的每个点z，函数g（z）的对应值h都属于G，那么复合函数w=f|g（z）|在D内解析。 根据定理可知： （1）所有多项式在复平面内是处处解析的。 （2）任何一个有理分式函数P（z）/Q（z）在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。 注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上是完全一样的，它们的求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多。 第二节、函数解析的充要条件 一、主要定理 定理一：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）定义在区域D内，则f（z）在D内一点z=x+yi 可导的充要条件是：u（x，y）与v（x，y）在点（x，y）可微，并在该点满足柯西-黎曼方 程：=，=。 根据定理一，可得函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z=x+yi处的导数公式：f＇（z）=+=+。 定理二：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在其定义域D内解析的充要条件是：u（x，y）与v（x，y）在D内可微，并满足柯西-黎曼方程。