A事件的概率
一、随机事件和概率
数学一、数学三和数学四的考试大纲、内容和要求完全一致．
Ⅰ 考试大纲要求
㈠ 考试内容
随机事件和样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验
㈡ 考试要求 事件及其概率的基本概念、基本公式和求事件概率的方法． 1、了解基本事件空间（样本空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算及其基本性质；
2、理解事件概率、条件概率的概念和独立性的概念；掌握概率的基本性质和基本运算公式；掌握与条件概率有关的三个基本公式（乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式）．
3、掌握计算事件概率的基本计算方法：
(1) 概率的直接计算：古典型概率和几何型概率；
(2) 概率的推算：利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性，由较简单事件的概率推算较复杂事件的概率．
(3) 利用概率分布：利用随机变量的概率分布计算有关事件的概率．
4、理解两个或多个（随机）试验的独立性的概念，理解独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点，以及重复伯努利试验中有关事件概率的计算．
Ⅱ 考试内容提要
㈠ 随机试验、随机事件与基本事件空间（样本空间）
随机试验——对随机现象观测；样本点（基本事件）ω——试验最基本的结局，基本事件空间（样本空间）{}ωΩ=——一切基本事件（样本点）ω的集合．随机事件——随机现象的每一种状态或表现，随机试验结果；必然事件Ω——每次试验都一定出现的事件，不可能事件φ——任何一次试验都不出现的事件． 事件常用前面几个大写拉丁字母 ,,B A 表示；有时用{} 表示事件，这时括号中用文字或式子描述事件的内容．
数学上，事件是基本事件（样本点）的集合；全集Ω表示必然事件，空集φ表示不可能事件．任何事件A 都可视为基本事件空间Ω的子集：Ω∈A ．
㈡ 事件的关系和运算
1、定义 关系：包含，相等，相容，对立；运算：和（并）、差、交（积）． (1) 包含 B A ?，读做“事件B 包含A ”或“A 导致B ”，表示每当A 出现B 也一定出现．
(2) 相等 B A =，读做“事件A 等于B ”或“A 与B 等价”，表示A 与B 或同时出现，或同时不出现．
(3) 和 B A 或B A +，表示事件“A 与B 至少出现一个”，称做事件“A 与B 的和或并”；特别，
i
i A 或 ∑i
i A
表示事件“ ,,,,21n A A A 至少出现一个”．
(4) 差B A \或B A -，表示事件“A 出现但是B 不出现”，称做A 与B 的差，或A 减B ．
(5) 交 B A 或AB ，表示事件“A 与B 同时出现”，称做A 与B 的交或积；特别，
i
i A 或
n A A A 21
表示事件“,,21A A …, ,n A 同时出现”．
(6) 相容 若φ≠AB ，则称事件“A 和B 相容”；若φ=AB ，则称“事件A 与
B 不相容”；
(7) 对立事件 称事件A 和A 互为对立事件，若φΩ==+A A A A ，，即
=A {A 不出现}．
(8) 完备事件组 ,,,,21n H H H 构成完备事件组，若
)( 21j i H H H H H j i n ≠==++++φΩ， ．
换句话说，如果有限个或可数个事件 ,,,,21n H H H 两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组．
(9) 文氏图 事件的关系和运算可以用所谓文氏图形象地表示出来（见图1.1，题中的矩形表示必然事件Ω）．
A+B A －B AB
A ?
B A φ=AB
图1.1 文氏图
2、事件运算的基本性质 对于任意事件A, B, C , ,,,,21n A A A ，有 (1) 交换律 BA AB A B B A =+=+，．
(2) 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()(；
C AB BC A ABC )()(==．
(3) 分配律 AC AB C B A +=+)(；
() +++=+++n n AA AA A A A 11．
(4) 对偶律
+++==++++==+n n n n A A A A A A B A AB B A B A 1111；，
；；
㈢ 概率的概念和基本性质
1、概率的概念 事件的概率——事件在随机试验中出现的可能性的数值度量．用)(A P 表示事件A 的概率，用{} P 表示事件{} 的概率． 事件B 关于A 的条件概率定义为
())
()
(A AB A B P P P =
． (1.1) 2、概率的运算法则和基本公式 (1) 规范性 1)(0 0)(1)(≤≤==A P P P ，，φΩ．
(2) 可加性 对于任意有限或可数个两两不相容事件 ,,,,21n A A A ，有
()()()() ++++=++++n n A A A A A A P P P P 2121．
(3) 对立事件的概率 )(1)(A A P P -=． (4) 减法公式 )()()(AB A B A P P P -=-．
(5) 加法公式 )()()()(AB B A B A P P P P -+=+；
[]．)()()()()()()()(ABC BC AC AB C B A C B A P P P P P P P P +++-++=++ (6) 乘法公式
()()()()．
，
)()()(12112121-==n n n A A A A A A A A A A A B A AB P P P P P P P
(7) 全概率公式 设n H H H ,,,21 构成完备事件组，则对于任意事件A ，有
∑==n
k k k H A H A 1
)()()(P P P ．
(8) 贝叶斯公式 设n H H H ,,,21 构成完备事件组，则
()()n k H A H H A H A H n
i i i k k k ≤≤=
∑=1 )
()()
()(1
P P P P P ．
㈣ 事件的独立性和独立试验
1、事件的独立性 若())()(B A AB P P P =，则称事件A 和B 独立；若事件n A A A ,,,21 之中任意m ()n m ≤≤2个事件的交的概率都等于各事件概率的乘积，则称事件n A A A ,,,21 相互独立．
2、事件的独立性的性质 若事件n A A A ,,,21 相互独立，则其中 (1) 任意m )2(n m ≤≤个事件也相互独立；
(2) 任意一个事件，与其余任意m )2(n m ≤≤个事件运算仍独立；
(2) 将任意m )2(n m ≤≤个事件换成其对立事件后，所得n 个事件仍独立． 3、独立试验 称试验n E ,E ,E 21 为相互独立的，如果分别与各个试验相联系的任意n 个事件之间相互独立． (1) 独立重复试验 独立表示“与各试验相联系的事件之间相互独立”，其中“重复”表示“每个事件在各次试验中出现的的概率不变”．
(2) 伯努利试验 只计“成功”和“失败”两种对立结局的试验，称做伯努利试验．将一伯努利试验独立地重复作n 次，称做n 次(n 重)伯努利试验，亦简称伯努利试验．伯努利试验的特点是，1）只有两种对立的结局；2）各次试验相互独立；3）各次试验成功的概率相同．设n ν是n 次伯努利试验成功的次数，则
{}k
n k k n
n q p k -==C νP ),,2,1,0(n k =． (1.2)
㈤ 事件的概率的计算
1、直接计算 古典型和几何型；
2、用频率估计概率 当n 充分大时，用n 次独立重复试验中事件出现的频率，估计在每次试验中事件的概率；
3、概率的推算 利用概率的性质、基本公式和事件的独立性，由简单事件
的概率推算较复杂事件的概率；
4、利用概率分布 利用随机变量的概率分布，计算与随机变量相联系的事件的概率（见“二、随机变量及其分布”）．
㈥ 随机抽样和随机分配 在概率计算中常要用到以下模型．
1、简单随机抽样 计算古典型概率时，需要计算基本事件的总数和事件包含的基本事件的个数．自有限总体的随机抽样模型有助于完成运算．设{}N ωωωΩ,,, 21 =含N 个元素，称Ω为总体．自总体Ω的抽样称做简单随机抽样，如果各元素被抽到的可能性相同．有4种不同的简单随机抽样方式：
(1) 还原抽样 每次从Ω中随意抽取一个元素，并在抽取下一元素前将其原样放回Ω．
(2) 非还原抽样 凡是抽出的元素均不再放回Ω．
(3) 有序抽样 既考虑抽到何元素又考虑各元素出现的顺序． (4) 无序抽样 只考虑抽到哪些元素不考虑各元素出现的顺序．
还原与非还原及有序与无序，这四种情形的组合产生四种不同的简单随机抽样方式．表1-1列出了在每种抽样方式下各种不同抽法(基本事件)的总数．
表1-1 四种抽样方式下不同抽法的总数
2、随机分配 即将n 个质点随机地分配到N 个盒中，区分每盒最多可以容
纳一个和可以容纳任意多个质点，以及质点可辨别和不可辨别等四种情形，对应四种分配方式．各种分配方式下不同分法的总数列入表1-2．
表1-2 四种分配方式下不同分法的总数
自有限总体{}N ωωωΩ,,, 21 =的n 次简单随机抽样，相当于将n 个质点随机地分配到N 盒中：每一个质点在N 个盒中“任意选择一个盒子”；“还原”相当于“每盒可以容纳任意多个质点”，“非还原”相当于“每盒最多可以容纳一个质点”；“有序”相当于“质点可辨别”，“无序”相当于“质点不可辨别”．
Ⅲ 典型例题
〖填空题〗
例1.5（古典型概） 在4张同样的卡片上分别写有字母D ，D ，E ，E ，现在将4张卡片随意排成一列，则恰好排成英文单词DEED 的概率p = 1/6 ．
分析 这是一道古典型概率的小计算题．4张卡片的全排列有4！=24种，其中恰好排成英文单词DEED 的总共4种：两个字母D 交换位置计2种，两个字母E 交换位置计2种．因此，所求概率为
6
1244==p ．
例1.8（古典型概率） 铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区1E ,2E 和
3E 的各2，
3和4节车皮，则发往同一地区的车皮恰好相邻的概率p= 1/210 ． 分析 1）(古典型) 设A =｛同一地区的车皮相邻｝；i B ={发往i E 的车厢相邻}(3,2,1=i )．
将发往1E ,2E 和3E 车皮各统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻的总共有3!=6种不同情形，其中每种情形对应1B ，2B 和3B 的一种排列．６种不同情形都是等可能的，如321B B B 是其中一种可能的情形，即“发往1E 的２节车皮编在最前面，发往2E 的３节车皮编在中间，发往3E 的４节车皮编在最后面”．由(1,3)式，有
()()()()()．
，210
1
126066 12601
56789! 3 ! 2 !
9! 4! 3 ! 2321321=====?????=??=
B B B A p B B B P P P 2）(乘法公式) 计算概率P ()321B B B 亦可利用乘法公式：
()()()()．
1260
1
1567!389!2213121321=?????=
=B B B B B B B B B P P P P 例1.12（条件概率） 设在10件产品中有4件一等品6件二等品．现在随意从中取出两件，已知其中至少有一件是一等品，则两件都是一等品的条件概率为 1/5 ．
分析 设A ＝｛两件中至少一件一等品｝，B ＝｛两件都是一等品｝．易见
AB=B , P (AB ) = P (B )． ()()()．，15
2
C C 32C C 11210242102
6===-=-=B A A P P P
于是，所求条件概率为 ()()()()()5
1===
A B A AB A B P P P P P ． 例1.14 (独立试验) 对同一目标接连进行3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为7/8，则每次射击命中目标的概率p = 0.5 ．
分析 引进事件A i ＝｛第i 次命中目标｝（i ＝1,2,3）．由条件知，事件321,,A A A 相互独立，且其概率均为p ．已知3次独立重复射击至少命中目标一次的概率为
()()()()()()．8
711 113
321321321=--=-=-=++p A A A A A A A A A P P P P P 由此得p=0.5．
例1.15（独立重复试验） 设事件A 在每次试验中出现的概率为p , 则在n 次独立重复试验中事件A 最多出现一次的概率P =()() 11 1
--+-n n
p np p ．
分析 引进事件i A =｛第i 次试验出现A ｝（i ＝1,2,…,n ）．事件n A A A ,,,21 相互独立且每个事件的概率均为p ．设B k ={在n 次独立重复试验中事件A 恰好出现k 次}(k =0,1)，则
()()()()()
()()．
；
；
．
， 11)()( 1)( 1)( 1
101
1121121011211210-----+-=+=-=++=-==++==n n
n n n n n
n n n n n p np p B B P p np A A A A A A B p A A A B A A A A A A B A A A B P P P P P P P
〖选择题〗
例1.20 设A , B 和C 是任意三事件，则下列选项中正确的选项是 (A) 若C B C A +=+,则B A =；(B) 若C B C A -=-,则B A =．
(C) 若BC AC =,则B A =； (D) 若φφ==B A AB 且,则B A =． [D] 分析 本题既可以用直选法，也可以用排除法．(1) 直选法．由事件运算的对偶律，有Ωφ==+=B A B A ．而由Ω=+B A 且φ=AB ，可见A 和B 互为对立事件，即B A =，因此（D ）正确．
(2) 排除法．前三个选项都不成立，只需分别举出反例．例如，由于C
B A ,,
是三任意事件，若取B A ≠而Ω=C 是必然事件，则C B C A +=+且C B C A -=-但B A ≠，从而命题（A ）和（B ）不成立．设φ=≠C B A ，，则
BC AC =但B A ≠，从而命题（C ）不成立．
注意，该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处．
〖解答题〗
例1.33 (随机抽样) 假设箱中共有n 个球，其中m （0≤m ≤n ）个是红球其余是白球．现在一个接一个地接连从箱中抽球，试求第k (1≤k ≤n )次抽球抽到红球的概率p ．
分析 引进事件k A ={第k 次抽球抽到红球}(1≤k ≤n )．对于还原抽样，显然
()n
m A p k =
=P ． 对于非还原抽样有同样结果．问题有多种解法．
解法1 设想将n 个球一一编号．这样，不但区分球的颜色，而且区分球的编号．假如将n 个球一个接一个（非还原）地接连从箱中抽出，则不同抽法（基本事件）的总数为n !．导致事件k A 的不同抽法有(n －1)!×m 种，即k A 共包含m n ?- )1(!个基本事件：在第k 次抽球抽到红球的情形共有m 种，其余n －1次
抽球不同抽法的总数等于从(n －1)!．从而
()()n
m n m n A p k =?-=
=! ! 1P ．
解法2 仍将n 个球一一编号．从n 个不同的球中接连抽出k 个球，相当于从n 个元素中选k 个元素的选排列．因此总共有
()()()12 1 P +---=k n n n n k n
种不同抽法，即基本事件的总数为k n P ．导致事件k A 的不同抽法有
()()()m k n n n m k n ?+---=?--12 1 P 11
种，即k A 共包含11P --?k n m 个基本事件：第k 次抽球抽到红球的情形共有m 种，前
1-k 次抽球的不同抽法的总数等于从1-n 个元素中选1-k 个的选排列数．于是
()n
m
m A p k
n k n k =?==--P P 11P ． 解法3 对于同颜色球不加区分．设想有n 个格子依次排成一列（见插图）
1 2
k
n
例 1.24插
将n 个球分别放进n 个格子(每格一球)且使m 个红球占据m 个固定的格子，总
共有m n C 种不同放法，即基本事件的总数为m
n C ：在第k 格中放一红球，然后从
其余1-n 个格子选1-m 个放其余红球，总共有11C --m n 种放法，即k A 共包含1
1C --m n 个基本事件．因此
()()()()()n
m n m n m m n m n A p m n m n k =----=
==--! ! ! ! ! 1! 1C C 11
P ． 例1.34（配对问题） 假设四个人的准考证混放在一起，现在将其随意地发
给四个人．试求事件A ＝{没有一个人领到自己准考证}的概率p ．
解 引进事件：A k ={第k 个人恰好领到自己的准考证}(k = 1,2,3,4)．那么，
()()()()()()
()()()()()()[]
()()()()[]()．
，
4321432431421321434232413121432143214321 1)(A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A p P P P P P P P P P P P P P P P P P P -+++++++++-+++=++++++-==
显然，每个人领到自己准考证的概率等于1/4，即
P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝4
1
．
四个人各领一个准考证总共有4!种不同情形．四个人中任何两个人．．．．．(例如第一个人和第二个人)都领到自己准考证总共有1×1×2×1＝2 种不同情形（第一个人和第二个人各有一种选择，对于第三个人剩下两种选择，对于第四个人最后只剩下一种选择）．因此
()12
1
! 42==j i A A P (1≤i 若四个人中任何三个人（例如，第一、第二和第三人）都领到自己准考证，则第四人自然也领到自己的准考证．因此 ()()()． ；． ；83 )( 852412441264424 1 ! 41)41(241! 4143214321===-+-=+++==≤<<≤==A p A A A A A A A A k j i A A A k j i P P P P 例1.39（条件概率） 假设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的 报名表，其中女生的报名表分别为３份、7份和５份．现在随机抽取一个地区的报名表，并从中先后随意抽出两份． (1) 求先抽出的一份是女生表的概率p ； (2) 已知后抽出的一份是男生表，求先抽出的一份是女生表的概率q ． 解 引进事件：H j ={报名表是第j 地区考生的}(j = 1,2,3)；A i ={第i 次抽到的是男生表}(i =1,2)．由条件知： 1)()()(321===H H H P P P ； ()()()． 25 20 ;158 ;107312111=== H A H A H A P P P (1) 由全概率公式，得 ()()() ．＝9029 255157103311 11=??? ??++==∑=3 j j j H A H A p P P P (2) 由条件知 ()()()()()()． ；；；；；30 5 2425205 30 8 141587 307910732520 158 107321221121322212=??==??==??==== H A A H A A H A A H A H A H A P P P P P P 由全概率公式，得 ()()() ()()() ()()()． ；； ＝61 20 619292 305308307319061 252015810731221213 1 21213 1 22=====??? ??++===??? ??++==∑∑==A A A A A q H A A H A A H A H A j j j j j j P P P P P P P P P 例1.40（贝叶斯公式） 假设一个人在一年内患感冒的次数X 服从参数为5的泊松分布；正在销售的一种药品A 对于75%的人可以将患感冒的次数平均降低到3次，而对于25%的人无效．现在有某人试用此药一年，结果在试用期患感冒两次，试求此药有效的概率α． 解 以X 表示一个人在一年内患感冒的次数．引进事件：0H ={服药无效}，1H ={服药有效}．由条件知，X 服从参数为5的泊松分布；对于 ,2,1,0=k ，有 ()(){}{}{}{}{}{} ．． ，；，8886.0e 2725e 27e 2e 375.02e 525.02e 375.02)(2)(2)(2e ! 3e ! 575.025.0353 32523211001113 15010≈+=?+??==+===========--------H X H H X H H X H X H k H k X k H k X H H k k P P P P P P P P P P P α 例1.42 (试验次数) 设P (A )= p ．接连不断地独立地重复进行试验，问为使事件A 至少出现一次的概率不小于Q (0 解 设所需试验的次数为n ， B n =｛n 次试验中A 至少出现一次｝， A k =｛第k 次试验中出现A ｝， 则B n = A 1+A 2+…+A n ，P (A k )= p ，且A 1, A 2,…,A n 相互独立． ()()() ()()()()()()()()() ．， ； p Q n Q p n Q p p A A A A A A B B Q n n n n n n --≥ -≤--≤---=-=+++-=-=≤1lg 1lg 1lg 1lg , 11111 112121P P P P P P 例如，p = 0.15，Q =0.95，则 ()() .4331.1815.01lg 95.01lg =--≥n 即为使事件A 至少出现一次的概率不小于0.95，至少需要进行n = 19次试验． 例1.44（独立性） 将一枚完备对称和均匀的硬币接连掷n 次．引进事件： =A {正面最多出现一次}， =B {正面和反面各至少出现一次}． 试就n = 2，3和4的情形讨论事件A 和B 的独立性． 解 以n X 表示“将硬币掷n 次正面恰好出现的次数”．易见 {}{}{}{}；，，，n X X B X n X B X A n n n n n =+==≥-≥=≤=0111 显然n X 服从参数为()2/1，n 的二项分布．需要就n = 2，3和4的情形讨论)()()(B A AB P P P =的条件 {}{}{}{}． ； 12 1 101)(2 1 22110)(--==-=-=+=+==+==n n n n n n n n n X X B n n X X A P P P P P P 当n ≥2时，由{}1==n X AB ，可见 (){}n n n X AB 2 1===P P ． 事件A 和B 独立，当且仅当 由此可见，事件A 和B 独立的充分必要条件是 121-=+n n ． 由于上式当n =3时成立，故当n ＝3时事件A 和B 独立；但上式当n =2和4 时不成立，从而当n =2或4时事件A 和B 不独立． 〖证明题〗 例1.48（独立性） 对于任意二事件A 和B ，其中0＜P (A ), P (B )＜1，称 ()()()()()()()B B A A B A AB P P P P P P P -=ρ 为事件A 和B 的相关系数．试证明， (1) 1≤ρ； (2) 0=ρ是二事件A 和B 独立的充分和必要条件． 证明 记P (A ) = p ,P (B ) = q ，P (AB ) = r ．考虑两随机变量Y X 和： ?? ?=???=出现；，若出现， ，若出现； ，若出现，，若B B Y A A X 01 01 其概率分布为： 110~ , 110 ~??? ? ??-???? ? ?-q q Y p p X ． 此外，显然随机变量XY 只有0和1两个可能值，并且 {}{}r AB Y X XY ======)(1,11P P P ． 易见，随机变量Y X 和的数字特征为： ． ， ，，，pq r Y X XY Y X q q Y p p X q Y p X -=-=-=-===E E E D D E E ),cov()1()1( 因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量Y X 和的相关系数： ()()q q p p pq r Y X Y X ---==11 ),cov(D D ρ． （*） 1) 由随机变量的相关系数的基本性质知1≤ρ． 2) 必要性 假设事件A 和B 独立．因为根据条件)()()(B A AB P P P =，即r=pq ，故由(*)可见ρ＝0． 充分性 假设ρ＝0，则由(*)可见r=pq ，即)()()(B A AB P P P =． 例1.49（独立性） 对于任意二事件21,A A ，考虑二随机变量 ． 不出现， ，若事件出现， ，若事件 )2,1( 0 1 =???=i A A X i i i 试证明随机变量21X X 和独立的充分与必要条件，是事件21A A 和相互独立． 证明 记)()2,1()(2112A A p i A p i i P P ===，，而ρ是21X X 和的相关系数．易 见，随机变量21X X 和都服从0-1分布，并且 ． ，，)(}1,1{ )(}0{)(}1{2121A A X X A X A X i i i i P P P P P P ======= (1) 必要性．设随机变量21X X 和独立，则 {}{}{}． )()(111,1)(21212121A A X X X X A A P P P P P P ======= 从而，事件21A A 和相互独立． (2) 充分性．设事件21A A 和相互独立，则212121,,A A A A A A 和和和也都独立，故 {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}． ， ， ， 11) ()()(1,101) ()()(0,110) ()()(1,000) ()()(0,021212121212121212121212121212121============================X X A A A A X X X X A A A A X X X X A A A A X X X X A A A A X X P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 从而，随机变量21X X 和独立． 例1.51（独立性） 假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有a 1，a 2， a 3，而另一张上同时印有a 1，a 2，a 3．现在随意抽取一张卡片，以A k =｛卡片上印有a k ｝．证明事件321,,A A A 两两独立但三个事件不独立． 证明 ()()()．，；，4 1 )3,2,1,(41)3,2,1(41321=≠====A A A j k j k A A k A j k k P P P 由于对任意j k j k ≠= 3,2,1,且,有 ()()()j k j k A A A A P P P =?== 2 1 2141， 可见事件321,,A A A 两两独立．但是，由于 ()()()()3213212 1 212141A A A A A A P P P P =??≠= ， 可见事件321,,A A A 不独立． <随机事件及其概率>教案 （一）教学目标： 1、知识目标： 使学生掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念及概率的统计定义，并了解实际生活中的随机现象，能用概率的知识初步解释这些现象 2、能力目标： 通过自主探究，动手实践的方法使学生理解相关概念，使学生学会主动探究问题，自主实践，分析问题，总结问题。 3、德育目标： 1.培养学生的辩证唯物主义观点. 2.增强学生的科学意识 （二）教学重点与难点： 重点：理解概率统计定义。 难点：认识频率与概率之间的联系与区别。 （三）教学过程： 一、引入新课： 试验1：扔钥匙，钥匙下落。 试验2：掷色子，数字几朝上。 讨论：下列事件能否发生？ (1)“导体通电时,发热”---------------必然发生(2)“抛一石块,下 落”---------------必然发生 (3)“在常温下,铁熔化” -------------不可能发生 (4)“某人射击一次，中靶” -----可能发生也可能不发生(5)“掷一枚硬币，国徽朝上” -----可能发生也可能不发生(6)“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化” ---不可能发生思考： 1、“结果”是否发生与“一定条件”有无直接关系? 2、按事件发生的结果，事件可以如何来分类？ 二、新授： （一）随机事件： 定义1、在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。 定义2、在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。 定义3、在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 例1、指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件： （1）扬中明年1月1日刮西北风； x （2）当x是实数时，20 （3）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过50%。 （5）从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号签。讨论：各举一个你生活或学习中的必然事件、不可能事件、随机事件的例子 做一做:(投币实验)抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上?（两人一组） 1.你的结果和其他同学一致吗？为什么会出现这样的情况？ 2.重复试验10次并记录结果(正面朝上的次数)。（一人试验，一人记录） 随机事件及其概率（无答案） 一、知识要点 1.基本事件空间： 不可能事件 必然事件 随机事件 基本事件空间 2.频率与概率 3.概率的加法公式 互斥事件与对立事件 概率的一般加法公式：如果事件A 、B 不互斥，那么事件 A 、B 有一个发生的概率为： ()()()()P A B P A P B P A B =+- A B A B = 中基本事件数+中基本事件数-中基本事件数试验的基本事件总数 二、典型例题 例1. 指出下列事件哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些 是随机事件？ （1）导体导电时发热； （2）抛一块石头，下落； （3）在标准大气压下且温度低于0℃时冰融化； （4）某人射击一次中靶； （5）掷一枚硬币，正面向上； （6）摸彩票中头奖 例2. 将骰子先后抛掷2次. （1）写出这个试验的基本事件和基本事件空间 （2）其中事件：向上的点数之和为5包括多少个基本事件？ （3）向上点数之和是5的概率是多少？ （4）向上点数之差的绝对值为2的概率是多少？ （5）向上的点数较大的为3的概率是多少？ （6）向上的点数之和为偶数的概率是多少？ 例3. 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么 “这三个数字的和大于6”这一事件是( ) A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.以上选项均不正确 例4. 随机事件A 的频率n m 满足( ) A.n m =0 B.n m =1 C.0 2．1简单事件的概率 教学目标： 1、在具体情境中进一步了解概率的意义. 2、进一步运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件的概率教学重点：运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件的概率. 教学难点：运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件的概率. 教学过程 一、回顾和思考： 在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率. 问：运用公式P（A）=m n 求简单事件发生的概率，在确定各种可能结果发生的可能性 相同的基础上，关键是求什么？ 关键是求事件所有可能的结果总数n和其中事件Ａ发生的可能的结果m(m≤n) 二、热身训练： 北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”.现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片(卡片的形状大小一样,质地相同)放入盒子. (1)小玲从盒子中任取一张,取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是多少? （2）小玲从盒子中取出一张卡片,记下名字后放回,再从盒子中取出第二张卡片,记下名字.用列表或画树状图列出小玲取到的卡片的所有情况,并求出小玲两次都取到印“欢欢”图案的卡片的概率. 三、新课教学： 1、例3．学校组织春游,安排给九年级3辆车,小明与小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘.问小明与小慧同车的概率有多大? 问：你能用树状图表示本题中事件发生的不同结果吗?用列表法也试试吧 解:记这三辆车分别为甲、乙、丙,小明与小慧乘车的所有可能的结果列表如下: (各种结果发生的可能性相同) ∴P=3 9 = 1 3 . 答:小明与小慧同车的概率是1 3 . 2、书本34页课内练习2 3、例4．如图,转盘的白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°.让转盘自由转动2次,求指针一次落在白色区域,另一次落在红色区域的概率. 问：1、转盘自由转动1次，指针落在白色区域、红色区域的可能性相同吗？ 2、如何才能使转盘自由转动1次，指针落在各个扇形区域内的可能性都相同？ 第一章随机事件与概率 一、选择题 1.下列不属于随机事件的特征的是（） A.试验在相同条件下进行 B.每次实验的结果都相同或者相近 C.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 D.每次试验必有预知结果的其中一个 答案：B 2.下列说法正确的是（） A.基本粒子构成碳原子 B.在不同高度抛出两枚硬币是正面朝上，这一实验属于随机试验 C.抛掷骰子所有可能结果为{1,2,3,4} D.在相同条件下抛掷硬币不属于随机事件 答案：A 3.下列属于必然事件的是（） A.抛掷硬币出现正面的情况 B.抛掷硬币出现反面的情况 C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况 D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球 答案：C 4.下列属于不可能事件的是（） A.抛掷硬币出现正面的情况 B.抛掷硬币出现反面的情况 C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况 D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球 答案：D 5.抛掷骰子的随机试验中，基本事件包括（） A.1,2,3 B.4,5,6 C.2,4,6 D.A∪B 答案：D 6.现有一批药品共5件，其中有2件是次品。则抽3次抽到的次品数的样本空间是（） A.{0,1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4,5} C.{0,1,2} D.{1,2} 答案：C 7.已知A={1，4，7}，则当B=( ),A B A.{1，4，6} B.{1，6，7} C.{1，2，7} D.{1，4，7} 答案：D 8.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},A-B=（ ） A.{4，6} B.{1，4，5，6，7} C.{1，3，4，5，6，7} D.{3} 答案：A 9.已知A 的概率为0.3，B 的概率为0.4，A 和B 互斥，则AB 的概率为（ ） A.0 B.0.3 C.0.4 D.0.1 答案：A 10.关于事件的运算，下列说法错误的是（ ） A.BA AB = B.()()BC A C AB = C.()AC AB C B A +=+ D.B A AB +=_____ 答案：D 11.在随机试验中，一共做了20次试验，其中出现红色的次数为5次，则出现红色的概率为（ ） A.4 B.0.25 C.3 D.0.75 答案：B 12.关于古典概型，下列说法正确的是（ ） A.试验的结果可以是有限个，也可以是无限个。 B.每种结果的概率可以是相同的，也可以是不相同的。 C.每个结果之间是互不相容的。 D.古典概型的无法用计算公式进行计算。 答案：C 13.已知事件A 的概率为0.6，事件B 的概率为0.3，事件A 、B 为互斥事件，则事件A+B 的概率为（ ） A.0.6 B.0.9 C.0.8 D.0.3 答案：B 13.已知事件A 的概率为0.6，事件B 的概率为0.3，B ?A ，则事件A+B 的概率为（ ） 第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ； （2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___ AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375 .0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72 .0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为 48 344=??个，所以出现奇数的概率为 48 .0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48 454542=?+?+?，所以该数大于 330的概率为 48 .0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为 33 8412 1 3 1 42 5= C C C C ； 第一章 随机事件与概率 一、填空题 1．（1990年数学一）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4，0.3和0.6若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB 的概率P AB （） =_________． 【解题分析】要求P AB （）时,一般应想到AB A B A AB =-=-，这是事件的差与事件的积之间常见的转化关系，AB A ?而,所以有, () ()()P AB P A P AB =-,这时只需要求出 ()P AB 即可. 解: ()()()()P A B P A P B P AB =+- ， 又 () ()()P AB P AB P A +=， 所以 () ()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= . 本题用文氏图考虑求解思路更为直观,见图10-1. 图10-1 注:本题()0.4P A =是多余的. 2．（1991年数学四）设A ，B 为随机事件，()0.7,P A =()0.3P A B -=,则 () P AB =________． 【解题分析】 要求() P AB ,由于AB AB 与是对立事件,只要求出()P AB 即可.利用关系A B A AB -=-，()()()P A B P A P AB -=-，可得()P AB . 解:由题设()()() 0.7,0.3P A P A B P AB =-==， 利用公式 AB AB A +=，知 ()()()0.70.30.4P AB P A P AB =-=-=, 故 () ()110.40.6P AB P AB =-=-=． 本题也可利用图10-1考虑求解思路. 3．（2000年数学一）设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =________． 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 学习目标： 1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念。 2.理解概率的概念和意义。 学习重点与难点：对概率定义的初步理解。 学习过程：自学指导1:看课本125页到127页问题3上面的内容。 自学检测（1）： 1、在一定条件下，有些事件____________________, 这样的事件称为必然事件。 2、在一定条件下，有些事件____________________, 这样的事件称为不可能事件。___________和____________统称为确定事件。 3、在一定条件下，有些事件__________________________________的事件，称为随机事件。 4.必然事件发生的可能性是，不可能事件发生的可能性是________,随机事件发生的可能性. 学习过程：自学指导2:看课本127页到131页问题3上面的内容 自学检测（2）： 1、对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的_________,称为随机事 件A发生的概率。 2、一般地，如果在一次试验中，有______种可能的结果，并且它们发生的可能 性都相等，事件A包含其中的种结果，那么事件A发生的概率 P(A)= 。 达标测试 1.（梅州）下列事件中，必然事件是（） Ａ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．黑暗中从一串不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门 Ｃ．通常情况下，水往低处流 Ｄ．上学的路上一定能遇到同班同学 2．(台州市)下列事件是随机事件的是（） A ．台州今年国庆节当天的最高气温是35℃ B ．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球 C ．抛掷一石头，石头终将落地 D ．有一名运动员奔跑的速度是20米/秒 3.（甘肃省白银市）如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个 圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是（ ） A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 4.(湘潭) 将五张分别印有北京2008年奥运会吉祥物 “贝贝，晶晶，欢欢，迎 迎，妮妮”的卡片（卡片的形状、大小一样，质地相同）放入盒中，从中随机抽取一张卡片印有“妮妮”的概率为（ ） A. 1 2 B. 13 C. 14 D. 15 5、（宜宾市）一个口袋中装有4个红球,3个绿球,2个黄球,每个球除颜色外其它都相同,搅均后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是 ( ) A. 9 4 B. 92 C. 3 1 D. 3 2 6.（广东湛江市）从n 个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是 12 ，则n 的值是（ ） A ． 6 B ． 3 C ． 2 D ． 1 7．数学试卷的选择题都是四选一的单项选择题，小明对某道选择题完全不会做，只能靠猜测获得结果，则小明答对的概率是 8. ( 宁夏回族自治区)从-1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的 概率的简单应用 一、可能性 1、必然事件：有些事件我们能确定它一定会发生，这些事件称为必然事件． 2、不可能事件：有些事件我们能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件． 3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的。 4、不确定事件：有很多事件我们无法肯定它会不会发生，这些事件称为不确定事件。 5、一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。 常见考法：判断哪些事件是必然事件，哪些是不可能事件 例1：下列说法错误．． 的是（ ） A ．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 16 B ．不可能事件发生机会为0 C ．买一张彩票会中奖是可能事件 D ．一件事发生机会为0.1%，这件事就有可能发生 二、简单事件的概率 1、概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。 2、必然事件发生的概率为1，记作P （必然事件）=1，不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件）=0，如果A 为不确定事件，那么0 随机事件及其概率 一、随机事件 1、必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件. 2、不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件. 3、随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件. 4、确定事件 必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件. 5、试验 为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验. 【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示 随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一. （2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象. （3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件. 二、基本事件空间 1、基本事件 在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件. 2、基本事件空间 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件. 【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏. 三、频率与概率 1、频数与频率 在相同条件S下进行了n次试验，观察某一事件A是否出现，则称在n次试验中 数学随机事件与概率知识点归纳 一、随机事件 主要掌握好（三四五） （１）事件的三种运算：并（和）、交（积）、差；注意差Ａ－Ｂ可以表示成Ａ与Ｂ的逆的积。 （２）四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。 （３）事件的五种关系：包含、相等、互斥（互不相容）、对立、相互独立。 二、概率定义 （１）统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率； （２）古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件Ａ所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率； （３）几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件Ａ看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算； （４）公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到［０，１］的映射。 三、概率性质与公式 （１）加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B); （２）差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果Ｂ包含于Ａ，则 P(A-B)=P(A)-P(B); （３）乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果Ａ与Ｂ相互独立，则P(AB)=P(A)P(B); （４）全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果， 贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因； 如果一个事件Ｂ可以在多种情形（原因）A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求Ｂ发生的概率；如果事件Ｂ已经发生，要求它是由Ａj引起的概率，则用贝叶斯公式． （５）二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n. 当一个问题可以看成n重贝努力试验（三个条件：n次重复，每次只有Ａ与Ａ的逆可能发生，各次试验结果相互独立）时，要考虑二项概率公式． VIP 学科优化教（学）案 教学部主管： 时间： 年 月 1．二次函数2 3y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。 2．已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______. 3．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。 4．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 5. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。 6．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 . ㈠承上启下 知识回顾 【课本相关知识点】 1、在一定条件下一定发生的事件叫作必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫作不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫作不确定事件或随机事件。 2、为了确定简单事件发生的各种可能的结果，通常用列表、画树状图法。当实验包含两步时，用列表法与画树状图法求发生的结果数均比较方便；但当实验存在三步或三步以上时，用画树状图的方法求事件发生的结果数较为方便。 题型一、识别事件类型 例1、下列事件是必然事件的是（ ） A. 水加热到100℃就要沸腾 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C.两个无理数相加，一定是无理数 D. 如果 ，那么a=0，b=0 练习．（2013?武汉）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（ ） A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球 题型二、用列表、画树状图法确定简单事件发生的各种可能的结果 例2、（2011?成都）某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用代码B 1、B 2、B 3表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码J 1、J 2、J 3表示）中抽取一个进行考试。小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地各抽取一个题签．用树状图或列表法表示出所有可能的结果 练习．（2013?江西）甲、乙、丙三人聚会，每人带了一个从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件。将“甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物”记为事件A ，请列出事件A 的所有可能的结果。 题型三、比较事件发生的可能性的大小 例3、在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4。随机地摸出一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌。甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。这是个公平的游戏吗？请说明理由。 练习1．（2011江苏淮安）有牌面上的数都是2，3，4的两组牌，从每组牌中各随机摸出一张，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两张牌的牌面上的数之和为多少的可能性最大。 ㈡紧扣考点 专题讲解 第一章 随机事件及其概率 一、选择题 1、以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为（ ） (A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销” (C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 2、设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是（ ） (A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 3、对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 （ ） （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 4、下面各组事件中，互为对立事件的有 （ ） （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 5、甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 （ ） （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 6、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为 （ ） （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 7、设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示（ ） （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 、选择题 1.下列事件是必然事件的是（ A. 随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上 B. 打开电视体育频道，正在播放 NBA 求赛 拿出一支笔芯，则拿出黑色笔芯的概率是（ A.- 3 3.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，朝上的 B. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球, C. 抛一枚硬币，出现正面的概率 D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率 6. 一个均匀的立方体六个面上分别标有数 1，2，3, 这个立方体表面的展开图.抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等 1 于朝下一面上的数的-的概率是（） 2 B.- 3 C.射击运动员射击一次，命中十环 D. 若a 是实数，则|a 0 2.盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯, 每支笔芯除颜色外均相同?从中任意 面的点数中，一个点数能被另一个点数整除的概率是 A. — B. 3 C. 口 18 4 18 4. 在一张边长为4cm 的正方形纸上做扎针随机试验， 形阴影区域，贝U 针头扎在阴影区域内的概率为 （） 1 1 A. B. - C. D. - 16 4 16 4 5. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中 23 36 纸上有一个半径为1cm 的圆 D. 统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示, 则符合这一结果的试验可能是（ A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 取到红球的概率 D.- 3 C.- 2 4，5，6?右图是 4 7. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加 4X 100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第 四接棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程的接棒顺序有（ ） A . 3 种 B . 4 种 C . 6 种 D . 12 种 8. 一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ 15 9. 在6件产品中，有2件次品，任取两件都是次品的概率是（） A 、1 B 丄 C 、丄 D 、丄 5 6 行 15 10. 在拼图游戏中，从图中的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子” （如 图所示）的概率等于（ ） A. 1 B . L C . 1 D . 2 2 3 3 二、填空题 11. 一个瓷罐中装有1枚白色围棋棋子，1枚黑色棋子，现从罐中有返回地摸棋 子两次，摸到两个白子的概率为 ____________ ，先摸到白子，再摸到黑子的概率 为 . 12. 如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若 指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止） ，两个指 针所指区域的数字和为偶数的概率是 —— 13. 小明与小亮在一起做游戏时需要确定作游戏的先后顺序， 他们约定用“锤子、 剪刀、布”的方式确定，请问在一个回合中两个人都出“布”的概率是 — 14. 晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概 率为 _______ . 15. 在一副去掉大、小王的扑克牌中任取一张，则 P （抽到黑桃K ）等于 _______ P （抽到9）等于 . 16. 单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不会做的题目时，如果你 随便选一个答案（假设每个题目有4个选项），那么你答对的概率为 ______________ A. B. C. D. 15 习题一 随机事件及其概率 一、填空题 1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。 2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则 （1）A 表示 甲未得100分的事件； （2）A B ?表示 甲乙至少有一人得100分的事件； （3）AB 表示 甲乙都得100的事件； （4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件； （5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件； （6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件； 3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ??= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A P B P C ++---+。 4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ?=0.625。 5．设111()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ??=167；()P ABC =169 ；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163 ；(|)P A A B C ??=74。 6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。 7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260 。 8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概 第二章简单事件的概率 A卷:基础知识部分 一、细心填一填 1．抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4，5，6的普通骰子，写出这个实验中的一个可能事件：。 2．随意地抛掷一只纸可乐杯，杯口朝上的概率约是0.22，杯底朝下的概率约是0.38，则横卧的概率是； 3．在中考体育达标跳绳项目测试中，1分钟跳160次为达标，小敏记录了他预测时1分钟跳的次数分别为145,155,140,162,164，则他在该次预测中达标的概率是__________ 4．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为_______________ 5．从装有5个红球和3个白球的袋中任意取4个，那么取道的“至少有1个是红球”与“没有红球”的概率分别为和； 二、精心选一选 6．以下说法正确的是( ) A.在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同 B.一个游戏的中奖率是1％，买100张奖券，一定会中奖 C.一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是必然事件 D.一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 7．从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事件（） A．可能发生 B．不可能发生 C．很有可能发生 D．必然发生 8．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只。则从中任意取一只，是二等品的概率等于（） A． 1 12 B． 1 6 C． 1 4 D． 7 12 9．（2005年杭州市）有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有”20”,”08”和”北京”的字块,如果婴儿能够排成”2008北京”或者”北京2008”,则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排,那么这个婴儿能得到奖励的概率是 ( ) A．1 6 B． 1 4 C. 1 3 D. 1 2 10．下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字， 2.2 简单事件的概率(一) 1.必然事件的概率是( ) A. －1 B. 0 C. 0.5 D. 1 2.数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第三个小组被抽到的概率是( ) A. 17 B. 13 C. 12 D. 110 3.某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码数字及顺序完全相同时，才能将锁打开.如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是( ) A. 110 B. 19 C. 14 D. 12 4.在边长为1的正方形组成的网格中，有如图所示的A ，B 两点，在格点上任意放置 点C (能与A ，B 两点重合)，恰好能构成△ABC 且使得△ABC 的面积为1的概率为( ) A.316 B.38 C.14 D.516 5.如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成， 一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为____ . 6.在如图所示的电路图中，闭合其中任意一个开关， 灯泡发光的概率是 . 7.现有3个45°的角，2个90°的角，从中任取3个角，能构成等腰直角三角形的概率是 . 8.有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背 面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，求使关于x 的分式方程1－ax x －2＋2＝12－x 有正整数解的概率是 . 9.一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，这些球除颜色外其他都相同. (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率. (2)现在从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄 球的概率不小于13，问：至少取出多少个黑球？ 简单事件的概率测试题 A 卷(基础知识部分, 50分 一、细心填一填(每题 2分,共 10分 1.抛掷一枚各面分别标有 1, 2, 3, 4, 5, 6的普通骰子,写出这个实验中的一个可能事件:。 2. 随意地抛掷一只纸可乐杯, 杯口朝上的概率约是 0.22, 杯底朝下的概率约是0.38, 则横卧的概率是 ; 3.在中考体育达标跳绳项目测试中, 1分钟跳 160次为达标,小敏记录了他预测时 1分钟跳的次数分别为 145,155,140,162,164,则他在该次预测中达标的概率是 __________ 4.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30秒,绿灯亮 25秒,黄灯亮 5秒,当你抬头看信号灯时,是黄灯的概率为 _______________ 5. 从装有 5个红球和 3个白球的袋中任意取 4个, 那么取道的“至少有 1个是红球” 与“没有红球”的概率分别为和 ; 二、精心选一选(每题 3分,共 15分 6.以下说法正确的是 ( A. 在同一年出生的 400人中至少有两人的生日相同 B. 一个游戏的中奖率是 1%,买 100张奖券,一定会中奖 C. 一副扑克牌中,随意抽取一张是红桃 K ,这是必然事件 D. 一个袋中装有 3个红球、 5个白球,任意摸出一个球是红球的概率是 7. 从一副扑克牌中抽出 5张红桃、 4张梅花、 3张黑桃放在一起洗匀后, 从中一次随机抽出 10张,恰好红桃、梅花、黑桃 3种牌都抽到,这件事件 ( A .可能发生 B.不可能发生 C.很有可能发生 D.必然发生 8.设有 12只型号相同的杯子,其中一等品 7只,二等品 3只,三等品 2只。则从中任意取一只,是二等品的概率等于 ( A . 1 12 B. 1 6 C. 1 4 D. 7 12 9. (2005年杭州市有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12个月大的婴儿拼排 3块分别写有” 20” , ” 08” 和” 北京” 的字块 , 如果婴儿能够排成” 2008北京” 或者” 北京2008” , 则他们就给婴儿奖励 . 假设婴儿能将字块横着正排 , 那么这个婴儿能得到奖励的概率是 ( A . 1 6 B. 第一章随机事件及其概率 习题一 一、填空题 1．设样本空间{ x| 0 x 2} ，事件A { x | 1 x 1}, B { x | 1 x 3 }，则A B 2 4 2 { x |0 x 1 3 1 x 1 3 } U { x | x 2} , AB { x | } U { x |1 x } . 4 2 4 2 2 2. 连续射击一目标，A i表示第i次射中，直到射中为止的试验样本空间，则 = A1； A1 A2； L ； A1 A2 L A n 1 A n；L . 3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为 1、 2、 3、4 概率为 1 . 12 4．一批 ( N个 ) 产品中有M个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个 m 个次品的概率是 C M m C n n M m / C N n . 5．某地铁车站 , 每 5 分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过 3 分钟的概率为. 6．在区间（ 0, 1 ）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6 ”的概率为. 5 7．已知P( A)=, P(B)=, (1) 当 A, B互不相容时, P( A∪B)= ; P( AB)= 0 . (2) 当B A时, P(A+B)= ; P( AB)= ； 8. 若 P(A) , P(B) , P( AB) , P(A B) 1 ; P( AB) ; P(A B) = 1 . 9. 事件 A, B,C 两两独立 , 满足 ABC ，P( A) P( B) P (C) 1 , 且P( A+B+C)= 9 ， 2 16 则 P(A)=. 10．已知随机事件 A 的概率P( A) 0.5 ，随机事件B的概率 P( B) 0.6 ，及条件概率P(B | A) 0.8 ，则和事件A B的概率P(A B). 12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三随机事件及其概率教案(精)
随机事件及其概率
简单事件的概率
第一章 随机事件与概率
第1章 随机事件及其概率课后习题答案(高教出版社,浙江大学)
随机事件与概率 考研试题
概率论第一章随机事件及其概率答案2
初中数学教案随机事件与概率
初中《简单事件的概率》知识点
随机事件及其概率(知识点总结)
数学随机事件与概率知识点归纳
九年级上 简单事件的概率
随机事件及其概率
简单事件的概率练习题
习题1 随机事件及其概率
简单事件的概率--课后作业
2.2 简单事件的概率(一)
简单事件的概率测试题.
第一章_随机事件及其概率习题.doc