2010年顺义区中考二模数学试题

2010年顺义区中考二模数学试题

一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．5的倒数是（ ）

A ．5-

B ．

1

5

C

D ．5

2．如果一个角等于54°，那么它的补角等于（ ）

A ．146?

B ．36?

C ．126?

D ．54?

3．据2010年上海世界博览会官方网站报道，在5月1日当天的入园人数为204 959人，将204 959用科学记数法表示并保留三个有效数字应为（ ） A ．5

2.05010?

B ．5

2.0510?

C ．6

0.20510?

D ．3

20510?

4．如图所示的四个立体图形中，左视图是圆的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

5．为参加2010年“北京市初中毕业生升学体育考试”，小静同学进行了刻苦的练习，在测仰卧起坐时，记录下5次的成绩（单位：个）分别为：40，45，45，46，48．这组数据的众数、中位数依次是（ ） A ．45，45

B ．45，45.5

C ．46，46

D ．48，45.5

6．二次函数2

24y x x =--的顶点坐标是（ ）

A ．(1,3)--

B ．(1,5)--

C ．(1,3)-

D ．(1,5)-

7．甲、乙各抛一次质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数，若甲、乙的点数相同时，算两人平手；若甲的点数大于乙时，算甲获胜；若乙的点数大于甲时，算乙获胜．则甲获胜的概率是（ ） A ．

12

7

B ．

12

5

C ．

2

1

D ．

3

1

圆柱

圆锥

圆台

球

8．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是

65 ．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器（ ） A ．5台 B ．4台

C ．3台

D ．2台

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式

25

32

x x -+的值为0，则x 的值为 ． 10．已知一个扇形的半径为6cm ，圆心角为150°，则这个扇形的面积为 2

cm ． 11．若关于x 的方程2

30x x k +-=有实数根，则k 的取值范围是 ． 12．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，60A ∠=?．将

ABC △绕直角顶点C 按顺时针方向旋转，得''A B C △，

斜边''A B 分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，直角边'A C 与AB 交于点F ．若2CD AC ==，则ABC △至少旋转 度才能得到''A B C △，此时ABC △与''A B C △的重叠部分（即四边形CDEF ）的面积为 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13

．计算：2

2010

32cos30(1)--?-．

14．解不等式组 5432,4.3x x x x -<+??

+?>-??

并求它的整数解．

15．解分式方程：32221

x x x +=++．

C

F

E

D

C

B

A

16．已知：如图，ABC △中，D 、E 为AC 边的三等分点，EF ∥AB ，交BD 的延长线于F ．

求证：点D 是BF 的中点．

17．已知2

22x x -=，求代数式2

(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．

18．列方程或方程组解应用题：

某服装厂为学校艺术团制作100套演出服，售价每套40元．服装厂向25名家庭贫困学生免费提供．经核算，这25套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问每套演出服的成本是多少元？

四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题6分，第21题5分，第22题4分） 19．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 45B ∠=?，

AD=6，

AB=E 在BC 的延长线上，

30E ∠=?，求BE 的长．

E

D

C

B

A

20．甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如

图1、图2的统计图．

（1）在图2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；

（2）已知甲队五场比赛成绩的平均分甲x =90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分乙x ； （3）就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；

（4）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均

分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？

21．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点C ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，

D CAB ∠=∠

．

（1）求证：AD 为⊙O 的切线； （2）若4

sin 5

D =

，6AD =，求CE 的长．

得分/分 甲、乙两球队比赛成绩条形统计图

甲队

图1

/场

甲、乙两球队比赛成绩折线统计图 图2

得分/场次/场

22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 点的坐标为（1，2），B

点的坐标为（2，1）． （1）求OAB △的面积； （2）若OAB △沿直线1

2

y x =-

向下平移，使点A 落在x 轴上，画出平移后的三角形，求平移的距离及平移过程中OAB △所扫过的面积．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为反比例函数4

y x =

(0)x >的图象上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将4

y x

=(0)x >的图

象绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为'A ，B 点的对应点为'B ．

（1）求旋转后的图象解析式； （2）求'A 、'B 点的坐标；

（3）连结'AB ．动点M 从A 点出发沿线段'AB 以每秒1个单位长

度的速度向终点'B 运动；动点N 同时从'B 点出发沿线段''B A 以每秒1个单位长度的速度向终点'A 运动，当其中一个点停止

运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使'MNB △为等腰直角三角形的t 值，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

24．我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题： （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；

（2）如图1，在ABC △中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中

点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；

（3）如图2，若点D 在ABC △的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ．图中

是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．

图2

图1

H G

F D

E C

B

A G

F

E D

C

B

A

25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过A （2，0）、B （4，0）两点，直

线1

22

y x =

+交y 轴于点C ，且过点(8,)D m ． （1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴上找一点P ，使CP DP +的值最小，求出点P 的坐标；

（3）将抛物线2y x bx c =++左右平移，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为

'B ，当四边形''A B DC 的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形

''A B DC 周长的最小值．

2010年顺义区中考二模数学试题

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式12192

=

-?+ …………………………………………… 4分 8

9

= ………………………………………………………… 5分

14．解：5432,4.3

x x x x -<+??

+?>-??

解不等式①，得 3x <， (1)

分

解不等式②，得 1x >-． ……………………………………………… 2分 ∴不等式组的解集为 13x -<<． ……………………………………… 4分 不等式组的整数解为 0，1，2． ………………………………………… 5分

15．解：去分母，得 3(1)2(2)2(2)(1)x x x x x +++=++ …………………… 1分

去括号，得 2

2

3324264x x x x x +++=++ ……………………… 2分 移项，并整理得 1x = ………………………………………………… 3分

经检验：1x =是原方程的根． ………………………………………… 4分 ∴原方程的根为1x =． ………………………………………………… 5分

16．证明：∵D 、E 为AC 边的三等分点，

∴1

3

AD ED AC ==． ………… 1分

∵EF ∥AB ，

∴12∠=∠，34∠=∠． ……… 3分 在△ABD 和△EFD 中，

12,34,,AD ED ∠=∠??

∠=∠??=?

∴ △ABD ≌△EFD ．……………………………………………………… 4分 ∴ BD=FD ．

∴ 点D 是BF 的中点． ………………………………………………… 5分

17．解：2

(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--

22221943x x x x x =-++-+-+ ……………………………………… 3分 2365x x =-- ……………………………………………… 4分

∵2

22x x -=，

∴原式2

3(2)5651x x =--=-=． …………………………………… 5分

18．解：设每套演出服的成本是x 元，根据题意，得 ………………………… 1分

25100(40)x x =- ……………………………………………………… 3分

解这个方程，得 32x =． …………………………………………… 4分 答：每套演出服的成本是32元． …………………………………………… 5分 四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题6分，第21题5分，第22题4分） 19．解：分别过点A 、D 作AM BC ⊥，

DN BC ⊥，垂足分别为M 、N ．

可得四边形AMND 是矩形． ∴MN=AD=6． ……………… 1分

4

3

2

1

F

E D C

B

A

N E

D

C

B

A

∵

AB=45B ∠=?，

∴3AM BM ==， ………… 2分

∴DN=AM=3． …………………………………………………………… 3分 ∵30E ∠=?，

∴NE = ………………………………………………… 4分 ∴

BE=BM+MN+NE=369++=+ ………………………… 5分 20．解：（1）如图；………………………… 1分

（2）乙x =90（分）；………………… 2分 （3）甲队成绩的极差是18分，

乙队成绩的极差是30分；…………… 4分 （4）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当； 从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势， 而乙队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看， 甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；

从极差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定． 综上，选派甲队参赛更能取得好成绩．……………………………… 6分

21．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，

∴90ACB ∠=?． ………………………………………… 1分 ∴90CAB B ∠+∠=?． ∵D CAB ∠=∠， ∴90D B ∠+∠=?．

∴90DAB ∠=?． ………………………………………… 2分 ∴AD 为⊙O 的切线． ……………………………………… 3分

（2）解：∵4

sin 5

D =

，6AD =， 在Rt ACD △中，24sin 5AC AD D =?=，185

CD =． 在Rt DAB △中，sin D =

45

AB DB =． ∴8AB =，10DB =． ……………………………………… 4分 ∵AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，90ACB ∠=?，

甲、乙两球队比赛成绩折线统计图

场次/场

∴CE EF =．

设CE EF x ==，则18

105

BE x =-

-， ∵90EFB DAB ∠=∠=?，B B ∠=∠， ∴BEF △∽BDA △．

∴

EF BE DA BD =

，即18

105610

x x

-

-=． ∴125

x =．

即CE 的长为12

5

． ……………………………………………… 5分

22．解：（1）OAB △的面积113

42(12)11222

=-???-??=． …………… 1分

（2）如图，平移后的三角形为'''O A B △．

（画图正确给1分，累计2分）

平移的距离'OO =

=．

…………………………………… 3分 平移过程中OAB △所扫过的面积为 四边形''OAA O 与'''O A B △的面积和， 即13232(52)222

???+

=． ……………………… 4分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）旋转后的图象解析式为4

y x

=-

(0)x >． ……………………… 1分 （2）由旋转可得'A （4，-1）、'B （1，-4）． ………………………… 3分 （3）依题意，可知'45B ∠=?．若'MNB △为直角三角形，则'MNB △同时也是

等腰三角形，因此，只需求使'MNB △为直角三角形的t 值． 分两种情况讨论：

①当'B NM ∠是直角，'B N MN =时，如图1，

∵AB ′=8，B ′A ′

==AM=B ′N=MN=t ，

A ∴

B ′M=8-t ，

∵222

''B N MN B M +

=，

∴2

2

2

(8)t t t +=-．

………… 4分 解得 8t =-±， ∴8t =-+ ……………… 5分 ②当'B MN

∠是直角，'B M MN =时， 如图2，

∵AB ′=8，B ′A ′==AM=B ′N=t ， ∴B ′M=MN=8-t ，

∵222

''B M MN B N +=， ∴2

2

2

(8)(8)t t

t -+-=， 解得 1682t =±

∵168+>，168

232-> ∴此时t 值不存在． …………… 6分 （此类情况不计算，通过画图说明t 值不存在也可以）

综上所述，当8t =-+时，'MNB △为等腰直角三角形． ……………… 7分

24．（1）解：等腰梯形（或矩形，或正方形）． ……………………………… 1分

（2）证法一：取AC 的中点H ，连接HE 、HF ．

∵点E 为BC 的中点， ∴EH 为ABC △的中位线．

∴EH ∥AB ，且1

2

EH AB =． (2)

分

同理 FH ∥DC ，且1

2

FH DC =． …………………… 3分

∵AB=AC ，DC=AC ，

A

B C

D E F

G

12

∴AB=DC ． ∴EH=FH ．

∴12∠=∠． ………………… 4分 ∵EH ∥AB ，FH ∥DC ， ∴24∠=∠，13∠=∠． ∴43∠=∠．

∵4180AGE ∠+∠=?，3180GEC ∠+∠=?，

∴AGE GEC ∠=∠． ………………………………………… 5分 ∴四边形AGEC 是等邻角四边形． …………………………… 6分 证法二：连接AE ．

设B ∠的度数为x ， ∵AB=AC ，CD=CA ， ∴C B x ∠=∠=，18019022x x

?-∠==?-．………………… 2分 ∵F 是AD 的中点，

∴1

2EF DF AD ==．…… 3分

∴21902

x ∠=∠=?-．

∴2909022x x

AGE B x ∠=∠+∠=+?-=?+．

180(90)9022

x x

GEC ∠=?-?-=?+． …………………… 4分

∴AGE GEC ∠=∠． ………………………………………… 5分 ∴四边形AGEC 是等邻角四边形． …………………………… 6分 （3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC ． ……………………… 7分

25．解：（1）依题意，得

420,

1640.b c b c ++=??

++=?

解得 6,8.b c =-??=?

∴抛物线的解析式是2

68y x x =-+．

……………… 2分

（2）依题意，得 (0,2)C ，(8,6)D ． ………………… 3分

作点(0,2)C 关于x 轴的对称点'(0,2)C -，求直线'C D 的解析式为2y x =-，直线'C D 与x 轴的交点即为P 点．因此，P 点坐标为(2,0)．

…………………………………… 4分

（3）左右平移抛物线2

68y x x =-+，因为线段A ′B ′=2和

=均

是定值，所以要使四边形A ′B ′DC 的周长最小，只要使A ′C+B ′D 的值最小； ……………………………………………… 5分 因为A ′B ′=2，因此将点C 向右平移2个单位得C 1(2，2)， 作点C 1关于x 轴的对称点C 2，C 2点的坐标为 (2，-2)， 设直线C 2D 的解析式为y kx b =+， 将点C 2 (2，-2)、D （8，6）代入解析式，得

22,

8 6.

k b k b +=-??

+=? 解得 4,314.3k b ?=????=-??

∴直线C 2D 的解析式为414

33

y x =

-． ∴直线C 2D 与x 轴的交点即为B ′点，可求B ′（72，0），因此A ′（3

2

，0）． 所以当四边形''A B DC 的周长最小时，

抛物线的解析式为37()()22

y x x =--，即2

21

54

y x x =-+

． …… 6分 ∵A ′C+B ′D=C 2

10=． ………………………………… 7分 ∴四边形''A B DC

的周长最小值为21012+=+． …… 8分