当前位置：文档库 › 高二数学上学期期末试题

高二数学上学期期末试题

高二数学上学期期末试

题

Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

重庆市重点中学高二数学上学期期末试题

（满分150分，120分钟完成）

一、选择题（50分）

1．设集合{}

419A x x =-≥，03

x B x

x ??≥??+??

，则A B =（） A ．(]3,2-- B ．(]53,20,2??--????

C ．(]5,3,2

??-∞-+∞?

D ．(]5,3,2

??-∞-+∞??

2.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

3.设a,b,c 分别是△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x+ay+c ＝0与bx-sinB ·y+sinC ＝0的位置关系是( )

A.平行

B.重合

C.垂直

D.相交但不垂直

4.已知双曲线22a x －22

y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线

交于点A ，△OAF 的面积为2

a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为

（） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o

5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

（A ）

2 （B ）12

- （C ）2（D 1 6.函数y ＝ax 2

＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )

(A) 18 (B)41 (C) 2

(D)1

7．设函数f(x)＝ax 2

+bx+c(a>0)，满足f(1-x)＝f(1+x)，则f(2x

)与f(3x

)的大小关系是( )

(3x

)>f(2x

) (3x

)

(3x )≥f(2x ) (3x )≤f(2x

)

8.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正

三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

（）

A ．324+

B ．13-

C ．

3+ D ．13+

9．在R 上定义运算:(1)x y x y ??=-

．若方程1(2)kx ?-=有

解，则k 的取值范围是（）

A ．40,3??????

B ﹒[]0,1

C ﹒10,3??????

D ﹒14,33??????

10.设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（）

A ．22-

B ．3

C ．－3

D ．2

二、填空题（24分）

11.抛物线y 2=4x 的准线方程是；焦点坐标是．

A ．2±

B ．34±

C ．21±

D ．43

12．若函数2

(),(1)2(2)3x

f x x x a x a

=≥+++能用均值定理求最大值，则需要补充a 的取值范围是

13.已知302010x y x y x y ++≥??

-≤??-+≥?

则222415x y x y +-++的最大值为

14..从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程122

22=+n

y m x 中的m 和n,

则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为

15.已知点A 在圆C ：3

)2(22=

-+y x 上运动，点B 在以)0,3(F 为右焦点的椭圆k ky x =+22上运动，求|AB|的最大值。

16.（2005江西卷理第16题，文第16题）

以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；

②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若

(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；

③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线

135

192522

22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）

三、计算题(76分)

17. (13分)如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；

（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心轨迹方程。

18．(12分)解不等式：解关于x 的不等式:

x ax x a <+-+1

)1(2 (其中)0>a

19. (12分)P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2

y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴

上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ?=．求四边形PMQN

的面积的最小值和最大值．

20.（13分）某人上午7：00时，乘摩托车以匀速V 千米／时(4≤V ≤20)从A 港出

发到相距50千米的B 港去，然后乘汽车以匀速W 千米／时(30≤W ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，要求在当天16：00时至21：00时这段时间到达C 市．设汽车所需要的时间为X 小时，摩托车所需要的时间为Y 小时． (1)作图表示满足上述条件的X ，Y 的范围；

(2)如果已知所要的经费：1003(5)2(8)p x y =+-+-（元），那么V ，W 分别是多少时所要的经费最少此时需花费多少元

21.（12分）已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，当]1,1[-∈x 时，

1|)(|≤x f .

（1）求证：1||≤b ；

（2）若1)1(,1)0(=-=f f ，求)(x f 的表达式.

22.（14分）22．（14分）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设1OF FG ?=，点F 的坐标为[)(,0),3,t t ∈+∞．点G 的坐标为00(,)x y ． (1)求0x 关于t 的函数0()x f t =的表达式，并判断函数()f x 的单调性．

(2)设△OFG 的面积S =

，若O 以为中心，F ，为焦点的椭圆经过点G ，求当OG 取最小值时椭圆的方程．

(3)在(2)的条件下，若点P 的坐标为9

(0,)2，C ，D 是椭圆上的两点，

(1)PC PD λλ=≠，求实数λ的取值范围．

参考答案

一、选择题：1—5 DDCDD 6—10 BACBC

二、填空题：11﹒x=－1；(1, 0) 12﹒13a ≥

13. 26 15.332123

1328||+=+=最大AB 16. ③④

三、17. 解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???

???

+=+=332121y y y x x x …（1） ∵OA ⊥OB ∴1-=?OB OA

k k ,即12121-=+y y x x ， (2)

又点A ，B 在抛物线上，有

22211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x

∴

2332)3(31]2)[(31)(31322212212

22121+=+?=-+=+=+=

x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3

32+

=x y （II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB

+++=++==

由（I ）得

12)1(221222122166

2616261=?=+-=+?≥++=

?x x x x S AOB 当且仅当6

x x =即121-=-=x x 时，等号成立。

所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18.解:

x ax x a <+-+12

)1(2?012)1(2<-+-+x ax x a ?<+-+?01

)2)(1(ax x x 0)1)(2)(1(<+-+a x x x

① 当10<<

a 时, 原不等式的解集为 )2,1()1

,(-?--∞a

② 当1=a 时, 原不等式的解集为

)2,1()1,(-?--∞③ 当1>a 时原不等式的解集为 )2,1

()1,(a

-?--∞

解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ ⊥MN ，直线PQ 、NM 中至

少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为K ，又PQ 过点F(0,1)，故PQ 的方程为

y =kx +1

将此式代入椭圆方程得(2+2k )2

x +2kx －1=0

设P 、Q 两点的坐标分别为(1

x ，

1y )，(2x ，2y )，则

x x =

从而22

121222

8(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=

亦即22

)

||2k PQ k +=+

(1)当k ≠0时，MN 的斜率为－1k

，同上可推得2

1(1))||12()k MN k

+-=+-

故四边形2222222211

4(1)(1)4(2)

1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k

++++==

=++++ 令u =2

k +

得4(2)1

2(1)5252u S

u u

=-++

∵u =2

1k k

+≥2 当k =±1时u =2，S=169且S 是以u 为自变量的增函数∴16

S ≤<

②当k =0时，MN 为椭圆长轴，

，

。∴S=1

|PQ||MN|=2

综合①②知四边形PMQN 的最大值为2，最小值为16

。

22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k

++===++++ 令u =2

k +得4(2)1

2(1)5252u S u u

=-++

∵u =2

1k k

+≥2

当k =±1时u =2，S=16

且S 是以u 为自变量的增函数 ∴

S ≤< ②当k =0时，MN 为椭圆长轴，

，

。∴S=

|PQ||MN|=2 综合①②知四边形PMQN 的最大值为2，最小值为169

。

20．解：（1）依题意得：50300,v

w y x

=，又420,30100v w ≤≤≤≤，所以525

310,22

x y ≤≤≤≤，而914x y ≤+≤，所以满足条件的点的范围是图中阴影部分：

（2）

1003(5)2(8),32131p x y x y p =+?-+?-∴+=-作出

一组平行直线32x y t +=（t 为参数），由图可知，当直线32x y t +=经

过点(10,4)时，其在y 轴上截距最大，此时p 有最小值，即10,4

x y ==当时，

p 最小此时12.5,30v w ==，min 93p =元

21．（1）由已知得1|||)1(|≤+-=-c b a f ，1|||)1(|≤++=c b a f

∴2|)1(||)1(||)1()1(||2|≤-+≤--=f f f f b ∴1||≤b

（2）若12-<-

，则)(x f 在]1,1[-为增函数，∴1)0(),0()1(-=<-f f f ∴1|)1(|>-f 与1|)1(|≤-f 矛盾；若12>-a b

，则)(x f 在]1,1[-为减函数，∴)0()1(f f <与已知矛盾。所以

]1,1[2-∈-a b ，从而由???

????

≤-=-=1

|)2(|1

)1(1)0(a b

f f f 解得??

???-===102

c b . ∴

12)(2-=x x f

22．（1）由题意得：0000(,),(,),(,)OF

t o OG x y FG x t y ===-，则：

0()1OF FG t x t ?=-=，解得：01

()x f t t t

==+

所以()f t 在[)3,t ∈+∞上单调递增。（2

）由001122

OF y y t t =

?=?=

得03

y =±，点G 的坐标为221131

(,()9

t OG t t t +=+

+当3t =时，OG 取得最小值，此时点,F G 的坐标为(3,0)、

10(,33±由题意设椭圆的方程为221003119(9)9b b

+=+，又点G 在椭圆上，解得29b =或2

b =-（舍）故所求的椭圆方程为221189x y +

= （3）设,C D 的坐标分别为(,)x y 、(,)m n 则99

(,),(,)22

PC x y PD m n =-=-由PC PD

λ=得99(,)(,)22x y m n λ-

，99

,22

x m y n λλλ∴==-+又点,C D 在椭圆上

222118999()

22118

9m n n m λλλ?+=???-+?+=?

?消去m 得1354n λλ-= 135334n λλ-≤∴

≤解得155λ≤≤又1λ≠∴实数λ的范围是(]1,11,55

???