九年级上册数学 二次函数(培优篇)(Word版 含解析)

九年级上册数学

二次函数（培优篇）（Word版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．已知，抛物线y＝-

1

2

x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．

（1）直接填写抛物线的解析式________；

（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.

求证：MN∥y轴；

（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值.

【答案】（1）2

1

2

2

y x x

=-++；（2）见详解；（3）见详解．

【解析】

【分析】

（1）把点C、D代入y＝-

1

2

x2 +bx+c求解即可；

（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；

（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】

详解：（1）∵y＝-

1

2

x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），

∴

2

1

222

2

2

b c

c

?

-?++

?

?

?=

?

＝

,

解得：1

2b c =??=?

. ∴y=-

12

x 2

+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2

由2

2122y kx y x x =+??

?=-++??

得

12

x 2

+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =-

由2

1=22y mx y x x =???-++??

得

12

x 2

+(m-1)x-2=0， ∴124b

x x a

?=-

=- 即x p?x m =-4，

∴x m =4p x -=21

k -.

由24y kx y x =+??=+?

得x N =

2

1

k -=x M , ∴MN ∥y 轴.

（3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+

22

m

k -∴=

∴直线QG 的解析式为22

m

y x m -=

+ 同理可求直线QH 的解析式为22

n

y x n -=

+； 由222122m y x m y x x -?=+????=-++??

得

221

=222

m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-

2D x m ∴=-

同理，2E x n =-

设直线AE 的解析式为：y=kx+4，

由2

4122y kx y x x =+???=-++??

， 得

12

x 2

-(k-1)x+2=0 124b

x x a

∴?=-

= 即x D x E =4，

即（m-2）?（n-2）=4 ∴CG?CH=（2-m ）?（2-n ）=4.

2．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 交x 轴于点A （1，0）和点B （3，0），交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式；

（2）如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，PE//x 轴，PF//y 轴，求线段EF 的最大值；

（3）如图2，点M 是线段CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，当△CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为92

4

；（3）M点坐标为可以为（2，

3），（55

+

，3），（

55

-

，3）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．

（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE＝2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．

（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．

【详解】

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），

∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），

∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．

又∵点D（4，3）在二次函数上，

∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，

∴解得：a＝1．

∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．

（2）如图1所示．

因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．

∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C，

∴点C 的坐标为（0，3）． 又∵点B 的坐标为B （3，0）， ∴OB ＝OC

∴△COB 为等腰直角三角形． 又∵PF//y 轴，PE//x 轴， ∴△PEF 为等腰直角三角形． ∴EF ＝2PF ．

设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ， 又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，

30

3k b b +=??

=?

， 解得：13k b =-??=?

，

∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3． ∴y F ＝﹣p+3．

FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ． ∴EF ＝﹣2p 2+32p ．

∴线段EF 的最大值为，EF max ＝42-＝92

4

．

（3）①如图2所示：

若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ， BF ⊥l 交l 于点F ．

设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3）， ∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3）， ∴CD ∥x 轴．

又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°， ∴△CNE ∽△NBF ．

∴

CE NE ＝NF

BF

， 又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，

∴24m m

m

-+＝2

343m m m --+-， 化简得：m 2﹣5m+5＝0． 解得：m 1＝

552

+，m 2＝552-．

∴M 点坐标为（

55+，3）或（55-，3）

②如图3所示：

当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ， ∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°， ∴△BFN ∽△CGB ． ∵△BFN 为等腰直角三角形， ∴BF ＝FN ，

∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ． ∴化简得，m 2﹣5m+6＝0． 解得，m ＝2或m ＝3（舍去） ∴M 点坐标为，（2，3）．

综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（552

+，3），（55

2-，3）．

【点睛】

本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．

3．如图1，抛物线2

:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正

半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为

正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线

()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于

点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；

②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231

26

y x x =-；（3）①()2

2

12123

n n y x x n -=

-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】

（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；

（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．

②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】

解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），

由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（

12b ，12b ），D 1（12b ，12

b

-）， ∵B 1在抛物线c 上，则

12b =(12

b )2

， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），

把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1， 故答案为1，2；

（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，

222,22b b B ??∴ ???，22

2,22b

b D ??- ???

. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴

=- ???

. 解得24b =或20b =（不合舍去），

()22,2D ∴-

2D 在抛物线2C 上，

()22224a ∴-=-.

解得21

2

a =

. 2C ∴的解析式是()2142y x x =

-，即221

22

y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.

()33,0A b ∴.

由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，

333,22b b B ??∴ ???，333,2

2b

b D ??- ???.

3B 在抛物线2C 上，

2

333122222

b b b

??∴=-? ???.

解得312b =或30b =（不合舍去），

()36,6D ∴-

3D 在抛物线3C 上，

()366612a ∴-=-.解得316

a =

. 3C ∴的解析式是()31126y x x =

-，即231

26

y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()22

1

2123

n n y x x n -=-≥?. ②由①可得2

201820161223y x x =

-?，220192017

1223

y x x =-?. 当0x ≠时，2

2018201920162017

111

0233y y x ＞??-=

-

???

， 20182019y y ∴＞.

【点睛】

本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．

4．在平面直角坐标系中，二次函数2

2y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，

(1,0)B ，与y 轴交于点C ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 是抛物线2

2y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD

交直线AC 于点D ．

①是否存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的4

5

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213

222

y x x =

+- (2)①存在，点P

的坐标为(2-+-

，(2--+，(2,3)--

②1816,55Q ?

?-- ???，2

(2,1)Q -

，355Q ?- ??

，455Q ?- ??

【解析】 【分析】

(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为1

22

y x =--．设点P 的横坐标为(t ,

213222t t +-)，利用21

442

???=-=?=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】

解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：

1642020a b a b --=??

+-=?，解得：12

32a b ?=????=??

． ∴此抛物线的解析式为213

222

y x x =+-， 故答案为213

222

y x x =

+-． (2)①存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的4

5

．理由如下： 作出如下所示示意图：

∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴11

52522

ABC S AB OC ?=?=??=， ∴4455

4

5PAC ABC S S ??=

=?=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，

则有402m n n -+=??=-?，解得：122

m n ?

=-???=-?，

∴直线AC 的解析式为1

22

y x =-

-． 设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213

222

t t +-， 即2

1

3,22

2P t t t ??+

- ???

． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ??

-- ??

?

． ∴22131

12222222

PD t t t t t ??=

+----=+ ???． ∵22111

424222

PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ???=-=

?=??+=+． ∴2

44t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=，

解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．

∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：

情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，

情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，

DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22??-

- ???

x x ，则EO=-x ，DE=1

22x +，

在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO2+ED2=DO2， 故2

2

1

(2)42

++=x x ，解得80(),5舍==-

x x ，此时Q 点坐标为816,5

5??-- ???，

情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：

设D 点坐标1,22??

-

- ???

m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE2+EO2=QO2， 故22

1

()()42

+=m m ，解得124545,=

=-m m ，此时Q 点坐标为4525,??- ? ???或4525,55??

- ? ???

， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ?

?-- ???，2(2,1)Q -，34525,55Q ??-? ??，

44525,Q ?

?-? ??

．

故答案为1816,55Q ?

?-- ???，2(2,1)Q -，34525,Q ??-? ??，44525,Q ??-? ??

．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．

5．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．

（1）该抛物线的函数解析式；

（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；

②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．

【答案】（1）2

y x 2x 3=-++；（2）2

1525228

S m ??=--+ ??? ，258；（3）

①57,24M ??

'

???

；②45° 【解析】 【分析】

（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．

（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化． （3）①由（2）可知m ＝

5

2

，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值． 【详解】

（1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3， ∴y ＝3， ∴B （0，3），

把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3， ∴二次函数解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3． （2）令y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x+3，

∴0＝﹣x 2+2x+3， ∴x ＝﹣1或3，

∴抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3， ∵M 在抛物线上，且在第一象限内， ∴0＜m ＜3，

令y ＝0代入y ＝﹣3x+3， ∴x ＝1，

∴A 的坐标为（1，0），

由题意知：M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m+3）， ∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △OBM +S △OAM ﹣S △AOB

＝1

2

×m×3+

1

2

×1×（-m2+2m+3）-

1

2

×1×3

＝﹣1

2

（m﹣

5

2

）2+

25

8

，

∴当m＝5

2

时，S取得最大值

25

8

．

（3）①由（2）可知：M′的坐标为（5

2

，

7

4

）．

②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，

根据题意知：d1+d2＝BF，

此时只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′＝90 ，

∴点F在以BM′为直径的圆上，

设直线AM′与该圆相交于点H，

∵点C在线段BM′上，

∴F在优弧'

BM H上，

∴当F与M′重合时，

BF可取得最大值，

此时BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（5

2

，

7

4

），

∴由勾股定理可求得：AB10，M′B55M′A 85

，

过点M′作M′G⊥AB于点G，

设BG＝x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，

∴85

16

10﹣x）2＝

125

16

﹣x2，

∴x ＝

510

8

， cos ∠M′BG ＝

'BG BM ＝2

，∠M′BG= 45? 此时图像如下所示，

∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1 ∴∠B M′P=∠BCA ＝90?， 又∵∠M′BG=∠CBA= 45? ∴∠BAC ＝45?． 【点睛】

本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．

6．如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点，已知点A （-3，0），B （0，3），C （1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；

（3）在直线x = -2上是否存在点M ，使得∠MAC = 2∠MCA ，若存在，求出M 点坐标．若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=-x 2-2x+3；（

2）点（-

32，15

4

），△PDE 的周长最大；（3）点M （-2，3）或（-2，-3）．

【解析】 【分析】

（1）将A 、B 、C 三点代入，利用待定系数法求解析式；

（2）根据坐标发现，△AOB 是等腰直角三角形，故只需使得PD 越大，则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标；

（3）作点A 关于直线x=-2的对称点D ，利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ，进而求得ME 的长度，从而得出M 坐标 【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），

∴93030

a b c c a b c -+=??=??++=?

，解得：1

23a b c =-??

=-??=?，

所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）∵A （-3，0），B （0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF ⊥x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°， 又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，

∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3， 设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，

联立2

23

y x m

y x x =+??=--+?，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0， 当△=9-4（m-3）=0，即m=21

4

时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时x=-32，y=15

4，∴点（-32

，154），△PDE 的周长最大；

（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．

∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2 ， ∴

∴点M （-2）或（-2， 【点睛】

本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析

7．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.

例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)

(0)x x y x x ≥?=?

-

. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2

1

42

y x x =-+-

. ①当点3,2B m ?? ???

在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2

1

42

y x x =-+-

的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12??-

???、9,12??

???

，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数2

4y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.

【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =

，min 1

2

y =-；（3）31n -<≤-，5

14

n <≤

【解析】 【分析】

（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；

（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+

1

2

，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-1

2

，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】

解：（1）根据题意，

一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)

5,(0)ax x y ax x -≥?=?

-+

， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则

(5)510a -?-+=，

∴1a =；

（2）根据题意，二次函数2

142y x x =-+-的相关函数为2

214,(0)214,(0)

2x x x y x x x ?-+-≥??=??-+

，

①当m ＜0时，将B （m ，

32）代入y=x 2-4x+1

2得m 2-4m+1322

=，

解得：

m=2 当m≥0时，将B （m ，

32

）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=3

2，

解得：

或

m=2．

综上所述：

m=2-或

m=2+或

m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+

1

2

，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2

143(3)4(3)22

y =--?-+=， ∴此时y 的最大值为

432

． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 1

2

-

，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-

， 当x=2时，有最大值，最大值y=

72

． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-

的相关函数的最大值为43

2，最小值为12

-；

（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．