向量的平行四边形法则运用

向量的平行四边形法则运用

1. 已知点P 是△ABC 所在平面上一点，且 13

AP AB t AC =+ ，t 为实数，若点P 在△ABC 内部（不包括边界），则t 的取值范围为20,3?? ??

? 2. 已知平面向量a ，b 满足||1a = ，||2b = ，且()a b a +⊥ ，则a 与的

夹角是

A ．

56π B ．23π C ．3π D ． π6

3. 在ABC ?中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足

2AP PM = ，则()PA PB PC ?+ 的值为 A. 4- B.2- C.2 D. 4

4.

5. 已知()0,3-A ，()3,0B ，O 为坐标原点，点C 在AOB ∠内，且

60AOC ∠= ，设+=λ，则实数λ等于 3

1

6. 非零向量a 、的夹角为0

60，且1a = ，则a b -

7. 若非零向量a 、b =-，则下列各式正确的是 ③

①向量a 、的夹角恒为锐角 ， ② 2||2→b ＞a ? b ③｜2b ｜＞｜a 一2b ｜； ④｜2a ｜＜｜2a 一b ｜

b a 2=

θcos =，所以： 0cos >θ，但是，有可能1cos =θ，即向量a 、b 、b a -同向

8. 在ABC ?中，点M 为边AB 的中点，若OP uu u r ∥OM uuu r ，且

(0)OP xOA yOB x =+≠u u u r u u r u u u r ，则y x = 1 ．

9. 向量 a ，b ，为单位向量，且2

1-=?b a ，b y a x c +=，求y x + B

A

高中物理验证力的平行四边形定则知识点梳理(高分秘籍)

第二章实验三验证力的平行四边形定则 1．用弹簧测力计测量力的大小时，下列使用方法中正确的是( ) A．拿起弹簧测力计就进行测量读数 B．先用标准砝码检查示数正确后，再进行测量读数 C．测量前检查弹簧指针正指零刻线，用标准砝码检查示数正确后，再进行测量读数 D．测量前观察到弹簧测力计示数准确指在0.5 N，测量读取的数值应是示数减去0.5 N 解析：在使用弹簧测力计之前，首先检查和矫正零点，然后利用标准砝码检查证明其准确后，才能去测量一个力的大小，所以A、B错，C项正确；D项中用减去测量前的示数的方法也是可行的，所以应选C、D. 答案：CD 2．(2020·昆明一中月考)在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，橡皮条的一端固定在木板上，用两只弹簧测力计把橡皮条的另一端拉到某一确定的O点，则下列说法中错误的是 ( ) A．同一次实验中，O点位置允许变动 B．实验中，只需记录弹簧测力计的读数和O点的位置 C．实验中，把橡皮条的另一端拉到O点时，两个弹簧测力计之间的夹角必须取90° D．实验中，要始终将其中一个弹簧测力计沿某一方向拉到最大量程，然后调节另一弹簧测力计拉力的大小和方向，把橡皮

条另一端拉到O点 解析：由合力的定义知，只有两次都把橡皮条拉到同一个位置(O 点)，实验中测得的才是合力与分力的等效关系，故A说法是错误的．实验中，除了要记录弹簧测力计的读数、O点的位置以外，还要记录两个分力的方向(即绳子拉的方向)，故B说法是错误的．两个弹簧测力计之间的夹角实际上就是两个分力的夹角，这个夹角应当是任意的，故C说法也是错误的．实验中如果始终将其中一个弹簧测力计沿某一方向拉到最大量程，则在调节另一个弹簧测力计时很容易使得这个弹簧测力计超过其量程，是不允许的，故D说法也是错误的． 答案：ABCD 3．(2020·济宁模拟)如图实－3－4所示，用A、B两弹簧测力计 拉橡皮条，使其伸长到O点(α＋β＜π 2 )，现保持A的读数不变， 而使夹角减小，适当调整弹簧测力计B的拉力大小和方向，可使O点保持不变，这时： 图实－3－4 (1)B的示数应是 ( ) A．一定变大B．一定不变 C．一定变小D．变大、不变、变小均有

平面向量与解三角形

第八单元平面向量与解三角形 (120分钟150分) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2c sin B=b,则角C的大小为 A.B.C.D. 解析:由正弦定理得2sin B==,∴sin C=,∴C=. 答案:A 2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是 A.u⊥v B.v∥w C.w=u-3v D.对任一向量,存在实数a,b,使=a u+b v 解析:因为u·v=0,所以u⊥v,显然w∥v,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=a u+b v. 答案:C 3.在△ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是 A.B.C.D. 解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-3ac,化简得b=. 答案:D 4.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于 A.—4 B.0 C.4 D.8 解析:由·=·,得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°,所以 ·=4×2×=4. 答案:C 5.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为 A.B.C.D.-

解析:cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立. 答案:C 6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则 a与b满足的关系式为 A.5a-4b=3 B.4a-3b=5 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·?(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5. 答案:B 7.在△ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin B+a sin A=c sin C,c2+b2-a2=bc,则B等于 A.B.C.D. 解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A==,所以cos A=,A=, 因为b sin B+a sin A=c sin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=. 答案:A 8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若a∥b,则log2(x-1)+log2y等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵a∥b,则=,∴(x-1)y=8,∴log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3. 答案:C 9.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin A cos B,则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C==,所以C=,因为sin C=2sin A cos B,所 以c=2a·,得a=b,所以△ABC是等边三角形. 答案:B 10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是

平面向量的平行与垂直

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11：平面向量的平行与垂直 一、选择题 1 ．给定两个向量)4,3(=a ,)1,2(=b ,若)//()(b a b x a -+,则x 的值等于 （ ） A ．2 3 B ．1- C ．1 D ．2 3- 2 ．设向量=,1x （）a , (4,)x =b ,且，a b 方向相反,则x 的值是 （ ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．0 3 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知向量 ()()3,4,6,3OA OB =-=-,()2,1OC m m =+.若//AB OC ,则实数m 的值为 （ ） A ．3- B ．1 7 - C ．35 - D ．35 4 .已知向量a 、b 不共线,c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ,那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 5 ．已知A(2,-2)、B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且//p AB ,则k 的值为 （ ） A ．910 - B ． 910 C ．1910 - D ． 1910 6 ．已知向量()21=，a ,()2x =-，b ,若a ∥b ,则a+b 等于 （ ） A ．()2,1-- B ．()2,1 C ．()3,1- D ．()3,1- 7 ．已知非零向量a 、b ,“函数2 ()()f x a x b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8 ．已知向量a=(1,2),b=(-3,2)若ka+b//a-3b,则实数k= （ ）

立体几何中的向量方法：平行与垂直

立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系 【基础知识在线】 知识点一 空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角 利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系 知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系 知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系 【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1. 空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向，这个向量a 叫做直线的方向向量. 2. 直线α⊥l ，取直线l 的方向向量a r ，则向量a r 称为平面α的法向量. (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量. (2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法 （1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可. (2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法: 设法向量(),,,z y x =由?????=?=?,00得???=++=++,00 321 321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中 的任一个赋值，求出另两个，所得即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量. 4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 : 设直线m l ,的方向向量分别为,，平面βα,的法向量分别为,，则 线线平行：;,////R k k m l ∈=?? 即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线． 线线垂直：;0=??⊥?⊥b a b a m l

高中物理实验验证力的平行四边形定则

实验二验证力的平行四边形定则 教学目的； 1、让学生通过实验验证互成角度的两个力合成时遵循平行四边形定则。 2、培养学生动手操作能力和科学的实验态度。 实验器材： 1、木板， 2、铅笔， 3、量角器， 4、弹簧秤2只， 5、橡皮筋 2根，6、细绳， 7、三角板，8、刻度尺，9、图钉。 课堂师生互动 讲解一 实验目的、器材和和注意事项（4分钟） 实验目的：验证互成角度的两个力合成时遵循平行四边形定则。 注意事项： 1、弹簧秤在使用前应检查，校正零点，弄清量程和最小刻度。检 查时，应将两个弹簧秤勾在一起，水平的沿相反方向相互拉伸，两个弹簧秤的读数应相同。 2、使用弹簧秤测拉力时，拉力应沿弹簧秤的轴线方向，弹簧秤、 橡皮筋、细绳套都应该与木板平行，不要与木板摩擦。 实验原理： 互成角度的两个力F1与F2共同作用与一个力F作用产生的效果都是使橡皮筋伸长到某点O，F，为F1与F2的合力，作出F的图示，

再根据平行四边形定则作出F1与F2的合力F的图示，比较F、F，是否在实验误差允许的范围内相等。就验证了力的平行四边形定则。 讲解二实验步骤（6分钟） 1、把图钉钉在木板上。 2、把木板平放在桌面上，用图钉把橡皮筋的一端固定在A点，橡 皮筋的另一端拴上两个绳套。 3、用两只弹簧称分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮筋，使橡皮 筋伸长到某一位置O，用铅笔描下O点的位置和两条细绳套的方向，并记录弹簧的读数，在使用弹簧秤的时候，要使弹簧秤与木板平行。 4、用铅笔和刻度尺从力的作用点沿着两绳套的方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧秤的拉力F1和F2的图示，以F1和F2为邻边利用刻度尺和三角板作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，即为合力F的图示。 5、只用一只弹簧秤把橡皮筋的结点拉到同样地位置O，记下弹簧秤的读数和细绳的方向， 用刻度尺从O点作出拉力F，的图示。 6、比较一下，力F，与用平行四边形定则求出的合力F在大小和方向上是否相同。 7、改变两个力F1、F2的大小和夹角，再重复实验两次。 8、分析实验数据。 巡回辅导学生做实验（30分钟）

平面向量与三角形三心

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=? AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ B C D B C D

第23课 平面向量的平行与垂直

第23课 平面向量的平行与垂直 一、学习目标 1、熟练掌握向量平行与垂直的坐标表示； 2、熟练掌握有关平行与垂直的计算问题。 二、激活思维 1、已知向量a =(3，1)，b =(2，λ).若a ∥b ，则实数λ= . 2、已知向量a =(5，12)，b =(sin α，cos α)，若a ∥b ，则t a n α= . 3、设x ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(3，-2)，若a ⊥b ，则x = . 4、已知向量a =(-3，4)，向量b ∥a ，且|b |=1，那么b = . 5、已知向量a =(-3，1)，b =(1，-2)，若(-2a +b )⊥(k a +b )，则实数k = . 三、典型例题 例1、设向量a =(1，2)，b =(1，1)，c =a +k b .若b ⊥c ，则实数k 的值为 . 例2、设向量=OA (k ，12)，OB =(4，5)，=OC (10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线? 例3、已知向量a =(m ，-1)，)2 3, 21(=b . （1）若a ∥b ，求实数m 的值； （2）若a ⊥b ，求实数m 的值； （3）若a ⊥b ，且存在非零实数k ，t ，使得[a +(t 2 -3)b ]⊥(-k a +t b )，求t t k 2 +的最小值.

四、课堂评价 1、已知向量a=(2x-1，-1)，b=(2，x+1)，若a⊥b，则实数x=. 2、已知向量a=(2，1)，b=(0，-1).若(a+λb)⊥a，则实数λ=. 3、已知向量a=(1，2)，b=(0，-1)，c=(k，-2)，若(a-2b)⊥c，则实数k=. 4、已知向量a=(1，1)，b=(-1，1)，设向量c满足(2a-c)·(3b-c)=0，则|c|的最大值为. 5.已知向量a=(4，3)，b=(-1，2)，m=a-λb，n=2a+b. (1)若m⊥n，求实数λ的值； (2)若m∥n，求实数λ的值.

讲义平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D

立体几何中的向量方法-平行与垂直

3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系 【基础知识在线】 知识点一空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角 利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系 知识点二线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系 知识点三线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系 【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1. 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向，这个向量a叫做直线的方向向量. ⊥l，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面α的法向量. 2. 直线α (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.

(2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法 （1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可. (2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法: 设法向量(),,,z y x u =由???? ?=?=?,00n b n a 得???=++=++, 00 321321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中 的任一个赋值，求出另两个，所得u 即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量. 4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 : 设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则 线线平行：;,////R k b k a b a m l ∈=?? 即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线． 线线垂直：;0=??⊥?⊥b a b a m l 即：两直线垂直?两直线的方向向量垂直． 线面平行：;0//=??⊥?u a u a l α 即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外． 线面垂直：;,//R k u k a u a l ∈=??⊥α 即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内 两条不共线直线的方向向量都垂直． 面面平行：;,////R k v k u v u ∈=??βα 即：两平面平行?两平面的法向量共线． 面面垂直：.0=??⊥?⊥v u v u βα

力的三角形法则

力的三角形法则 一个物体在三个力的作用下，保持平衡，这三个力构成一个封闭的矢量三角形。力的三角形法则有三种常见题型 题型一：两个力方向不变，第三个力的方向改变，且在改变过程中，物体一直处于平 衡状态，寻求第三个力的方向在改变过程中，该力的最小值。 1．如图所示，一小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态，为了使F 有最小值，F 与竖直方向的夹角θ应该是(B ) A ．90° B ．15° C ．45° D ．0° 2．如图所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连并悬挂于O 点，用力F 拉小球a 使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角为θ＝60°，则力F 的大小可能为 A. 3mg B ．mg C. 32 mg D. 33mg ABC 3、如图所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上， 试分析挡板AO 与斜面间的倾角β多大时，AO 所受 压力最小？ 答案：当β＝900时，挡板AO 所受压力最小， 最小压力N 2min =mgsin α． 题型二：两个力方向不变，第三个力的方向逐渐变化，且在变化过程中，物体一直处于平衡 状态，分析在此过程中，各力的大小变化规律 4、如图所示，将一个重物用两根等长的细绳OA 、OB 悬挂在半圆形的 架子上，在保持重物位置不动的前提下，B 点固定不动，悬点A 由位置C 向位置D 移动，直至水平，在这个过程中，两绳的拉力如何 变化？ 答案：OB 绳子中的拉力不断增大，而OA 绳中的拉力先减小后增大， 当OA 与OB 垂直时，该力最小。

(完整版)平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心 已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 0D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是ABC 内的一点，且 x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0C

有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统 证明：如图0为三角形的垂心,

平面向量的平行与垂直(20200511215732)

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11:平面向量的平行与垂直 一、选择题 1 .给定两个向量a二(3,4), b= (2,1),若(a xb) //(a- b),则x的值等于 A. 3 B. -1 C. 1 D. -3 2 2 2 .设向量a = (x,1) , b= (4, x),且a, b方向相反,则x的值是 C . -2 (北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学) OA =[3, -4 ,OB h[6, -3 , OC h[2m m 1 .若AB//OC ,则实数m 的值为 A . -3 B . -- C . -3 D . 3 7 5 5 4 .已知向量a、b不共线，c = k a ? b(k ? R, d=a-b,如果c//d,那么 A . k=1且c与d同向 B . k =1且c与d反向 C . k = -1且c与d同向 D . k - -1且c与d反向 5 .已知A(2,-2) B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p//AB ,则 9 10 B . 10 19 10 19 10 6 .已知向量 a = (2,1), b =(x,-2),若 a // b,则a+ b 等于 A . -2,-1 B . 2,1 C . 3,-1 D . -3,1 7 .已知非零向量a、b , “函数f(x)=：ax為为偶函数”是 ( ) ( ) 已知向量( ) ( ) B. -2

k的值为( ) ( ) 4 4 a_b ” 的

A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 8 .已知向量 a=(1,2),b=(-3,2) 若 ka+b//a-3b,则实数 k= A.-- B.- C . -3 D . 3 3 3 9 .已知平面向量 a 二(1,2), b= (-2,m), 且 a // b , 则m 的值为 A . -1 B . C . -4 D . 4 10 . （2013大纲卷高考数学（文））已知向量■ 1,1 n 「 2,若 m ■ n j .i 〕m -n ,贝卩■= A . -4 B . -3 C . -2 D . -1 11.已知向量a =(2,3),b 二(-1,2),若m a n b 与a-2b 共线，则m 等于 ( ) n 1 1 A . - 2; B . 2 C . - - D .丄 2 2 12 .已知向量；=(1,2),b=(x ,4),若向量 a _t ,则 x = ( ) A . 2 B . -2 C . 8 D . -8 13 .已知点A 1,3 ,B 4,-1 ,则与向量忌方向的单位向量为 ( ) 14 .已知向量 a =(1,1),b =C.2,0),c=(-2,、2),则a ? b 与 b c 的位置关系是 ( ) 15 . （2012年高考（福建文））已知向量a=（x_1,2）,b=（2,1）,则a_b 的充要条件是 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 A .垂直 B .平行 C .相交不垂直 D .不确定 5 ， B .

实验探究力的平行四边形定则

实验:探究力的平行四边形定则 一、实验目的 1．会使用弹簧测力计． 2．验证互成角度的两个力合成时的平行四边形定则． 二、实验原理 1．等效法：一个力F′的作用效果和两个力F1、F2的作用效果都是让同一 条一端固定的橡皮条伸长到同一点，所以一个力F′就是这两个力F1和F2 的合力，作出力F′的图示，如图所示． 2．平行四边形法：根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F的图示． 3．验证：比较F和F′的大小和方向是否相同，若在误差允许的范围内相 同，则验证了力的平行四边形定则． 三、实验器材 方木板、白纸，弹簧测力计(两只)，橡皮条，细绳套(两个)，三角板，刻度尺，图钉(几个)．四、实验步骤 1．在水平桌面上平放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉 把白纸固定在方木板上． 2．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴 上两条细绳，细绳的另一端各系上细绳套． 3．用两个弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，将结 点拉到某一位置O，如图所示． 4．用铅笔描下O点的位置和两条细绳的方向，读出并记录两个弹簧测力计的示数． 5．用铅笔和刻度尺在白纸上从O点沿两条细绳的方向画直线，按一定的标度作出两个力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺和三角板作平行四边形，过O点的平行四边形的对角线即为合力F. 6．只用一个弹簧测力计，通过细绳把橡皮条的结点拉到同样的位置O，读出并记录弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度用刻度尺从O点作出这个力F′的图示．7．比较F′与用平行四边形定则求出的合力F的大小和方向，看它们在实验误差允许的范围内是否相等． 8．改变F1和F2的大小和方向，再做两次实验． 五、注意事项 1．同一实验中的两只弹簧测力计的选取方法是：将两只弹簧测力计调零后互钩对拉，若两只弹簧测力计在对拉过程中，读数相同，则可选；若读数不同，应调整或另换 2．在同一次实验中，使橡皮条拉长时，结点O位置一定要相同． 3．用两只弹簧测力计钩住绳套互成角度地拉橡皮条时，夹角不宜太大也不宜太小，在60°～100°之间为宜． 4．读数时应注意使弹簧测力计与木板平行，并使细绳套与弹簧测力计的轴线在同一条直线上，避免弹簧测力计的外壳与弹簧测力计的限位卡之间有摩擦．读数时眼睛要正视弹簧测力计的刻度，在合力不超过量程及橡皮条弹性限度的前提下，拉力的数值尽量大些．

受力分析的矢量三角形法运用练习题

九、力的矢量三角形定则运用 1.如图所示，光滑水平地面上放有柱状物体A ，A 与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B ，对A 施加一水平向左的力F ，整个装置保持静止.若将A 的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则( ) A.水平外力F 增大 B.墙对B 的作用力减小 C.地面对A 的支持力不变 D.B 对A 的作用力增大 2. 如图所示，用一根长为L 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为m 的小球A ，为使 细绳与竖直方向夹300角且绷紧，小球处于静止，则需对小球施加的最小力等于（ ） A ．mg 3 B ．m g 23 C ．m g 3 3 D ．mg 21 3.如图4所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜坡及挡板间均无摩擦，当档板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中 （ ） A.斜面对球的支持力逐渐增大 B.斜面对球的支持力逐渐减小 C.档板对小球的弹力先减小后增大 D.档板对小球的弹力先增大后减小 4．将一个已知力F,分解成两个分力,其中一个分力F 1的方向与已知力的方向成θ=30o ,另一个分力大小为F 2= F 3 3 ,则F 1大小可能为 A 、 F 33 B 、 F 21 C 、 F 23 D 、F 3 32 5．已知两个共点力的合力为50N ，分力F 1的方向与合力F 的方向成30 角，分力F 2的大小为30N 。则（ ） A ．F 1的大小是唯一的 B.F 2的方向是唯一的 C. F 2有两个可能的方向 D.F 2可取任意方向 6．将力F 分解为两个分力，已知其中一个分力F 1的方向与F 的夹角为一锐角θ，则：（ ） A ．只要知道另一个力的方向，就可得到确定的两个分力 B ．只要知道F 1的大小，就可得到确定的两个分力 C ．如果知道另一个分力的大小，就可得到唯一确定的两个分力 D ．另一个分力的最小值是F 1sin θ 7．如图所示，AB 为可绕B 转动的挡板，G 为圆柱体．夹于斜面与挡板之间．若不计一切摩擦，使夹角β由开始时较小的某一角度逐渐增大到90°的过程中，挡板AB 受到的压力：（ ） A ．不断增大 B ．不断减小 C ．先增大后减小 D ．先减小后增大 图4

高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习

解三角形，平面向量与三角形的综合练习 一、填空题 1．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________． 2．已知向量a 与b 的夹角为120o ，且4==a b ，那么g a b 的值为________． 3．已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则b a +=_____________________. 4． )6cos()(π ω-=x x f 最小正周期为5π ，其中0>ω，则=ω 5．b a ρ?,的夹角为ο 120，1,3a b ==r r ，则5a b -=r r 6．若BC AC AB 2,2= =，则ABC S ?的最大值 7．设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 8．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 9．若向量a r ，b r 满足1 2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3 π，则a b +=r r ． 10．若3 sin()25 πθ+=，则cos2θ=_________。 11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos 。 12已知a r 是平面内的单位向量，若向量b r 满足()0b a b -=r r r g ，则||b r 的取值范围是 。 13．.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===? 则A ＝ . 14． 关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若g g a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60o ． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 三、解答题 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程

《向量的加法》教学设计方案

《向量的加法》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能 （1）理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义． （2）会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和． 2.过程与方法 通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些量，渗透研究新问题的思想和方法，培养学生自主探究知识形成过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。 3. 情感态度与价值观 通过创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲，并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，养成学生规范的作图习惯，激发学生学习数学的兴趣与积极性。通过引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力． 【教学重点】 利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，求任意两个向量的和向量． 【教学难点】 向量加法定义的理解． 【教学方法】 启发式教学、讲练结合 【课时】 一课时 【教学过程】 [复习引入] 1、向量的定义： 2、向量的表示： 3、零向量： 4、单位向量： 5、相等向量： 6、共线向量： 7、三角形的边角关系： 8、平行四边形的性质与判定： 我们都知道，数能够进行四则运算，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？有了刚才所复习的这些知识作基础，接下来就可以进一步的探讨向量的运算了。数的运算中，加法运算是最基本的运算，类似地在向量的运算中，我们也从加法开始进行探索课题：向量的加法。 [问题情境]

某人从A地经B地到C地两次位移 ,的 结果与从A地直接到C地的位移，有什么关 系？用式子表示出来。 结论：动点A直接位移到点C与从A地经B地到C地连续位移的效果相同。

向量的平行与垂直

向量的平行与垂直 一、基础知识回顾： 1．平行向量定义：①方向 或 的非零向量叫平行向量，向量a 、b 平行，记作a ∥b ； ②规定：0 与任一向量 ； ③共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 2. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件：有且只有一个实数λ，使b =λa . （等价于：存在两个不同为零的实数λ1、λ2，使得).21=+λλ 3. 非零向量和的数量积的定义：2= （向量和的夹角为θ） 4. 非零向量和垂直的定义：如果两个非零向量和 ，则说和垂直，记作⊥ 5.非零向量垂直的充要条件：符号语言：?⊥ 坐标语言：设→ a =(x 1,y 1), → b =(x 2,y 2)，则?⊥b a 6. 向量共线的充要条件：符号语言：?//b =λa （a ≠，R ∈λ） 坐标语言：设→ a =(x 1,y 1), → b =(x 2,y 2)，则?// 二、基础训练 1．与向量)4,3(-=a 垂直的单位向量是_________ _____. 2．与向量)4,3(-=平行的单位向量是_______ _______. 3．若D B A e e CD e e CB e k e AB e e ,,,2,3,2,,21212121若已知是两个不共线的向量-=+=+=三点共线，则k =______________. 4．若的是则 b a y y x x y x b y x a //),,(),,(2 1212211=== （ ） A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 三、典型例题 例1．已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+ ，2v a b =- ，且//u v ，求实数x 的值。

(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx

平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z

有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

《平面向量的加法教案》

《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块—*下册》 年级：______________ 高一 ___________ 撰写教师：_____________ 徐艳__________ 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法、减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的 三角形法则和运算律?向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课，为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用?因此，本节学习起着承上启下的作用? (2)教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知?同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情? 教学目标： (1)知识目标 ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；

③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算? (2)能力目标 ①经历向量加法的概念、三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力?⑶情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. ⑵能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流? 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法、启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作、自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源1 名称：—两岸直航视频 _____________________ 媒体格式：—avr ___________________________ 媒体资源2 名称： _________ 《爱的直航》_____________ 媒体格式： ______ MP3—

例说矢量三角形的使用

例说矢量三角形的使用 息烽县乌江复旦学校王清安 矢量三角形法则是从平行四边形法则演变来的，是矢量运算的法则。用矢量三角形分析和计算矢量的最小值，即简便又形象，有事半功倍的效果，下面举例分析。 一、求电场强度最小值 例1质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，其电荷量为q，且处匀强电场中。当小球A静止时，细线与竖直方向成30°角，如图所示，求匀强电场强度E的最小值及其方向。 解析：由于小球受重力、电场力和绳的拉力处于静止状态，故小球所受的重力和电场力的合力一定沿绳的方向向下。根据三角形法则可做出重力、电场力及其合力的矢量三角形，如图。可见当电场力qE和合力F垂直时，电场力最小，即E最小。 由几何关系得：mgsin30°＝qE 解得：E小＝mg/2q 方向：垂直于绳向上 二、求速度最小值 例2有一小船在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域，假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，求小船从现在起，相对于静水的最小速度。

解析：小船同时参与两个运动，随水流的运动和相对于水的运动，两分速度分别为v1和v2，与合速度v可组成矢量三角形，如图，当小船恰好在危险区登陆，且v2垂直于v时，v2最小。v2＝v1sinα，由位移关系可得：sinα＝3/5 解得最小速度v2＝3m/s 船头指向：与上游河岸成53°。 三、求力的最小值 例3 将质量m＝5kg的木板置于水平桌面上，其右端三分之一长度推出桌子边缘，木板与桌面间动摩擦因数为，试求欲将木板推回桌面所施加的最小推力。 解析：木板受力为：重力mg、支持力F N、摩擦力Fμ、和推力F。因Fμ与压力成正比，所以Fμ和F N 也成正比，两者的合力方向F合是确定的，且tanα＝ Fμ/F N＝μ，可得α＝30°，如图。 刚好推动木板的条件是合力恰好为零，即重力、推力和F合三个力的合力为零。重力和推力的合力应该与F合共线。做重力、推力、及其合力的矢量三角形如图，可知当推力与合力的方向垂直时，其值最小，如图中的F2。可解得 F min＝mgsinα＝25N，方向：与水平方向的夹角为30°向上。 此题将支持力和摩擦力合成为一个方向恒定的力F，通过这种巧妙的转化，可做出矢量三角形，有此法求解。 四、求动量的最小值