分式方程增根求字母取值范围

分式方程增根

1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值 解答此类问题必须明确增根的意义：

（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 （2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。

利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。

例1. （2000年潜江市）

使关于x 的方程a x x a x

2

2

24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2

C. ±2

D. 与a 无关

解：去分母并整理，得：

()

a

x 2

240

1--=<>

因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4 所以a =±2 故应选C 。

例2. （1997年山东省）

若解分式方程2111

2x x m x x x x

+-++=

+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 解：去分母并整理，得：

x x m 2220

1---=<>

又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得： m =2或m =1 故应选C 。

例3. （2001年重庆市）

若关于x 的方程ax x +--=1

110有增根，则a 的值为__________。

解：原方程可化为：()a x -+=<>120

1

又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得： a =-1

故应填“-1”。

例4. （2001年鄂州市）

关于x 的方程

x x k

x -=+

-323

会产生增根，求k 的值。 解：原方程可化为：()x x k

=-+<>231

又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：

k=3

例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()115

111

2x x k x x k x x -+-+=--只有增根

x =1。

解：原方程可化为：

()()()()x k x k x ++--=-<>151112

把x =1代入<1>，得k=3

所以当k=3时，解已知方程只有增根x =1。

评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程；

（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围 例6. （2002年荆门市）

当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程x x k x

x x

-=--122

只有一个实数根。

解：原方程可化为：x x k 220

1+-=<>

要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：

（1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由

?=+=440k 得k=－1。当k=－1时，方程<1>的根为x x 121==-，符合题意。 （2）方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由?=+>440k ，得k>－1。又原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入<1>得k=0，或k=3，均符合题意。

综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。 例7. （2002年孝感市）

当m 为何值时，关于x 的方程211

1

2x x m x x x ---=+

-无实根？ 解：原方程可化为：

x x m 220

1-+-=<>

要原方程无实根，有下面两种情况：

（1）方程<1>无实数根，由()()?=---<14202

m ，得m <

74

； （2）方程<1>的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入<1>得m =2。

综上所述：当m <7

4

或当m=2时，所给方程无实数解。

例8. （2003年南昌市）

已知关于x 的方程11

x m

x m --=有实数根，求m 的取值范围。

解：原方程化为：mx x 2101-+=<>

要原方程有实数根，只要方程<1>有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。

（1）当m =0时，有x =1，显然x =1是原方程的增根，所以m =0应舍去。

（2）当m ≠0时，由?=-≥140m ，得m ≤1

4

。

又原方程的增根为x =0或x =1，当x =0时，方程<1>不成立；当x m ==10，。

综上所述：当m ≤

1

4

且m ≠0时，所给方程有实数根。 评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程； （2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围

例9. 当a 取何值时，解关于x 的方程：()()

x x x x x ax

x x ---++=+-+12212212无增根？ 解：原方程可化为：

230

12x ax +-=<>

又原方程的增根为x =2或x =-1，把x =2或x =-1分别代入<1>得：

a =-5

2或a =-1

又由?=+>a 2240知，a 可以取任何实数。

所以，当a ≠-5

2

且a ≠-1时，解所给方程无增根。

评注：解答此类问题的基本思路是： （1）将已知方程化为整式方程； （2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母

系数的取值范围；

（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。 4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围

例9. 已知关于x 的方程x a

x +-=-2

1的根大于0，求a 的取值范围。

解：原方程可化为：22x a =-

所以x a

=-12

由题意，得：

120->a 且122-≠a

所以a <2且a ≠-2

例10. 已知关于x 的方程x k

x +-=2

2的根小于0，求k 的取值范围。

解：原方程可化为：x k x +=-24 所以x k =+4

由题意，得：k +<40 所以k <-4

评注：解答此类题的基本思路是： （1）求出已知方程的根；

（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

说明：注意例9与例10的区别，例9有12

2-≠a

，而例10无k +≠42这一不

等式？请读者思考。

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案 优博辅导中心 当堂检测 1. 解方程 1x?2?1?x2?x?3 答案：x?2是增根原方程无解。 2. 关于x的方程a1?2x?4?1?x4?x有增根，则a=-------答案：7 3. 解关于x 的方程 mx?5?1下列说法正确的是（C ） A.方程的解为x?m?5 B.当m??5时，方程的解 为正数 C.当m??5时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程 x?ax?1?a无解，则a的值为-----------答案：1或-1 5. 若 分式方程 m?xx?1=1有增根，则m的值为-------------答案：-1 6.分 式方程1x?2?mx?1有增根，则增根为------------答案：2或-1 7. 关于x的方程1x?2?1?kx?2有增根，则k的值为-----------答 案：1 8. 若分式方程x?aa?a无解，则a的值是----------答 案：0 9.若分式方程2m?m?x1x?1?0无解,则m的取值是------答案：-1或-2 10. 若关于x的方程 m(x?1)?52x?1?m?3无解，则m的值为-------答案：6，10 11. 若关于x的方程

x?mx?1?3x?1无解，求m的值为-------答案： 12.解方程1162-x?x?2??x3x?12答案x??627 13．解方程 2x-1?4x2?1?0 14. 解方程 2x2x?5?22x?5?1 15. 解方程x?22x2x?3?3??13x2?9 x?1m216. 关于x的方程x?3?2x?6有增根，则m的值-----答案：m=2或-2 17.当a为何值时，关于x的分式方程 x?ax?1?3x?1无解。答案:-2或1 1

关于分式方程增根问题

关于分式方程增根问题 一、选择题 1．分式方程=有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 2．已知关于x 的方程2+11a x x x =--有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C ．0 D ．2 3．若分式方程a x a x =-+1无解，则a 的值是 （ ） A.－１ B. 1 C. ±1 4．若分式方程2321--=+-x x a x 有增根，则a 的值是（ ） .0 C 5．分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、3 6．若分式方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程11x x --=()()12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 8．分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和－2 D. 3 9．若分式方程51 56-=+--x k x x （其中k 为常数）产生增根，则增根是 （ ） =6 =5 C.x=k D.无法确定 10．解关于x 的方程113 -=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于 （ ） B.-1 C.1 二、填空题 11．关于x 的分式方程244 21 2+=---x k x x 有增根x =-2，那么k= . 12．已知关于x 的分式方程a 1 =1x 2-+有增根，则a= .

13．方程133m x x =+++1若有增根，则增根一定是_________． 14．若关于x 的方程 2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 15．若关于x 的方程22 21+-=--x m x x 产生增根，那么m 的值是 . 16．若分式方程 244 x a x x =+--有增根，则a 的值为______________． 17．若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根，则m ＝________． 18．若关于x 的分式方程 8128-++=-x m x x 有增根，则m = ． 19．若关于x 的分式方程 113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ． 20．若关于x 的分式方程131=---x x a x 有增根，则a = ． 21．若分式方程： 有增根，则k= ． 22．若解分式方程4 4+=+x x 产生增根，则=m ________； 23．用去分母的方法，解关于x 的分式方程 8x x -＝2＋8 m x -有增根，则m ＝ ． 24．若去分母解分式方程 x-3x －2=x-3 m 时有增根，则m 的值为 ______． 25．如果关于x 的分式方程0111=----x x x m 有增根，则m 的值为 ． 三、解答题 26．已知关于x 的分式方程2 233 x m x x -=--没有解，则m 可以取什么值 27．已知关于x 的方程x a x x x x x =---+2)2(42无解，求a 的值

分式方程增根问题八年级数学

关于分式方程增根 问题 一、选择题 1．分式方程=有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 2．已知关于x 的方程2+11a x x x =--有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C ．0 D ．2 3．若分式方程a x a x =-+1无解，则a 的值是 （ ） A.－１ B. 1 C. ±1 4．若分式方程2321--=+-x x a x 有增根，则a 的值是（ ） .0 C 5．分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、3 6．若分式方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程11x x --=()()12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 8．分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和－2 D. 3 9．若分式方程51 56-=+--x k x x （其中k 为常数）产生增根，则增根是 （ ） =6 =5 C.x=k D.无法确定 10．解关于x 的方程113-=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于 （ ） B.-1 C.1 二、填空题 11．关于x 的分式方程24421 2+=---x k x x 有增根x =-2，那么k= .

12．已知关于x 的分式方程a 1=1x 2-+有增根，则a= . 13．方程133m x x =+++1若有增根，则增根一定是_________． 14．若关于x 的方程 2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 15．若关于x 的方程22 21+-=--x m x x 产生增根，那么m 的值是 . 16．若分式方程 244 x a x x =+--有增根，则a 的值为______________． 17．若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根，则m ＝________． 18．若关于x 的分式方程 8128-++=-x m x x 有增根，则m = ． 19．若关于x 的分式方程 113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ． 20．若关于x 的分式方程 131=---x x a x 有增根，则a = ． 21．若分式方程： 有增根，则k= ． 22．若解分式方程4 4+=+x x 产生增根，则=m ________； 23．用去分母的方法，解关于x 的分式方程 8x x -＝2＋8 m x -有增根，则m ＝ ． 24．若去分母解分式方程x-3x －2=x-3 m 时有增根，则m 的值为 ______． 25．如果关于x 的分式方程01 11=----x x x m 有增根，则m 的值为 ． 三、解答题 26．已知关于x 的分式方程2 233 x m x x -=--没有解，则m 可以取什么值？ 27．已知关于x 的方程x a x x x x x =---+2)2(42无解，求a 的值？

分式方程及其增根问题

分式方程及其增根问题 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 【例1】解方程 . 解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0. 化简，得x-4=0. 解得x=4. 检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴x=4是原方程的解. 【例2】解方程 解：原方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. 化简，得2x-3=-1.解得x=1. 检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例3】解方程 . 解：原方程可变形为 .

解得x=. 检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 所以x=是原方程的解. 【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”. 【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值. 解：原方程可化为 . 方程两边同乘x（x+1）（x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）. 化简，得3x=6-k. 当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9. 【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.

中考数学专项练习分式方程的增根(含解析)

中考数学专项练习分式方程的增根（含解析）【一】单项选择题 1.以下关于分式方程增根的说法正确的选项是〔〕 A.使所有的分母的值都为零的解是增 根 B.分式方程的解为零就是增根 C.使分子的值为零的解就是增 根 D.使最简公分母的值为零的解是增根 2.解关于x的方程产生增根，那么常数的值等于〔〕 A.－ 1 B.－ 2 C.1 D.2 3.关于x的方程﹣=0有增根，那么m的值是〔〕 A.2 B.- 2 C.1 D.-1 4.假设关于x的分式方程有增根，那么k的值是〔〕

A.- 1 B.- 2 C.2 D.1 5.假设关于x的分式方程?m＝无解，那么m的值为〔〕 A.m= 3 B.m= C.m= 1 D.m=1或 6.解关于x的方程＝产生增根，那么常数m的值等于〔〕 A.-1 B.-2 C.1 D.2 7.如果关于x的方程无解，那么m等于〔〕 A.3

B.4 C.- 3 D.5 8.分式方程+1＝有增根，那么m的值为〔) A.0和 2 B.1 C.2 D.0 9.解关于x的分式方程时不会产生增根，那么m的取值是〔〕 A.m≠ 1 B.m≠﹣ 1 C.m≠ D.m≠±1 10.假设解分式方程产生增根，那么m的值是〔〕 A.或 B.或 2 C.1或 2 D.1或

11.假设关于x的分式方程+ =1有增根，那么m的值是〔〕 A.m=0或m= 3 B.m= 3 C.m= D.m=﹣1 12.以下说法中正确的说法有〔〕 〔1〕解分式方程一定会产生增根；〔2〕方程=0的根为x=2；〔3〕x+ =1+ 是分式方程． A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3个 13.假设关于x的方程有增根，求a的值〔〕 A.0 B.- 1 C.1 D.-2 【二】填空题

分式方程增根与无解专题

分式方程的增根和无解专题讲义 题型一：解分式方程，解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为 0,所以解分 式方程必须检验. x 1 4 x 1 x 2 1 专练一、解分式方程 （每题5分共50 分） 题型二：关于增根：将分式方程变形为整式方程 ，方程两边同时乘以一个含有未知数的整式 ，并越去分母，有 时可能产生不适合原分式方程的根，这种根通常称为增根? …、 1 x 4 例2、若方程」 7 有增根，则增根为 . x 3 3 x 有增根，则增根是多少？产生增根的m 值又是多少？ (1) X 2 3 4x x 2 3 (2) 1200 1200 x 2 x 30 (4) 空 5 =1 ⑸ 2x 5 5x 2 1 2 4 x 1 x 1 x 2 1 7 4 6 x 2 x x 2 x x 2 1 (7) (8) x 2x 5 5 5 2x (9) 1 1 x 2 5x 6 x 2 x 6 例1.解方程⑴ 例3 ?若关于x 的方程 m x 2 9

x 3 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是:

(1) (2) (3) 专练习二: 将所给方程化为整式方程； 由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出） 将增根代入变形后的整式方程，求出 字母系数的值。 3 —有增根，则增根为 3 1、已知关于x 的方程-―m m 无解，求m 的值. 1.若方程 2、 使关于x 的方程 a 2 2x 4 产生增根的a 的值是（ 2 x A. 2 B. C. 2 D.与a 无关 2x 3、若解分式方程二 x 1 A. — 1 或一2 B. m ~~2 x 产生增根，则m 的值是（ C. 1 或 2 D. 1 或一2 4.当m 为何值时，解方程 m -会产生增根？ 1 5、关于x 的方程 k 2 ——会产生增根，求k 的值。 x 3 6、当k 为何值时，解关于 x 的方程: k 1 x 2 只有增根X =1。 x 1 7、当a 取何值时，解关于 x 的方程: 2x 2 ax x 2 x 1 无增根? 题型三：分式方程无解 ①转化成整式方程来解 ,产生了增根；②转化的整式方程无解 例4、 无解，求m 的值. 2 x

分式方程——增根与无解

分式方程中的增根与无解 考点1解分式方程 (1)=＋1 （２）+= 考点２增根 1．若关于ｘ的方程有增根,试求k的值． 2．若关于x的方程+=2有增根，求增根和ｍ的值？ 3.解关于x的分式方程时不会产生增根，则m的取值是( ) A．ｍ≠１?B．ｍ≠﹣１C．m≠０? D.ｍ≠±１ 4.已知关于ｘ的方程﹣=0的增根是１，则字母a的取值为（) A．２B．﹣２?C．1 D.﹣1

1.当a＝时，关于ｘ的方程ax=1无解；当ｍ= 时,关于ｘ的方程（m-1)ｘ=5无解；当时，关于x的二元一次方程ax2+bx+c=0无解。 2．若关于x的方程=６+无解,求m的值? ３.当a为何值时,关于x的方程﹣=１无解? 考点4有解 1．当ａ= 时，关于x的方程ax＝1有解，解为;当ｍ=时，关于ｘ的方程(m－１)x=５有解，解为；当时,关于ｘ的二元一次方程ax２＋bx+c＝0有解,解为。 1.已知x=３是分式方程﹣＝2的解，那么实数ｋ的值为(） A．﹣1 Ｂ．0 C.１?Ｄ．2 2．已知关于ｘ的方程有正根，则实数a的取值范围是（） Ａ.a＜０且a≠﹣３? B.a＞０?C．a<﹣3 D．a＜3且a≠﹣3 3．若关于ｘ的分式方程+=１有非负数解,求m的取值范围.

1．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是(） A．ａ≤﹣1 B．a<﹣1?C．﹣2≤a＜﹣１ D.﹣2＜ａ≤﹣1 2.已知关于ｘ的不等式组有且只有１个整数解,则a的取值范围是() A.a>0 B.０≤ａ＜1 C．0＜a≤１ D.a≤1 ３.已知，关于x的分式方程有增根，且关于x的不等式组只有4个整数解,那么b的取值范围是(） A．﹣10恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）

分式方程中的增根问题

2.4-2 分式方程中的增根问题 【学习目标】 1.知道分式方程的增根及产生增根的原因. 2.已知增根会求待定系数的值. 【核心知识】分式方程产生增根的原因；知识核心：已知增根会求待定系数的值.学习过程 一、知识链接 1.什么是分式方程?解分式方程的关键是什么？应该注意哪些问题 2.解方程: （1） 105 2 2112 x x += --（2）2 2 1 2 2 2 + - = + + x x x 二、新课学习 探究一分式方程产生增根的原因 1.看书39页议一议，思考问题： (1)产生增根的原因是什么？ （2）什么是原方程的增根？（在书上画出、小组讨论） （3）如何检验？ 点拨:（1）产生增根的原因：我们在方程两边乘以一个不为零的整式，扩大了值域. （2）解分式方程去分母时，方程两边都乘以各分母的最简公分母，检验时可代入最简公分母看是否为零. 2.课本例2，（学生尝试在练习本上做，不会可参考课本上的过程） 3.练习：做课本40页的随堂练习（找学生板演，其他学生做课堂练习本上） 探究二已知增根求待定系数的值. 1．若方程 x x－3 －2＝ k x－3 有增根，试求k的值. （学生先独立做，讨论解题思路） 点拨:解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程（2）令最简公分母为0，求出求出x的值（3）把x的值代入整式方程，求出字母系数的值. 2.练习：若方程 2 2 2 2 = - + + -x m x x有增根，试求m的值。

三、课堂达标 1.若方程 的解是非正数，求a 的取值范围. 2.若方程x x －3 －2＝k x －3 有增根，试求k 的值. 四、课堂小结，回顾思考 1.解分式方程的解的两种情况： 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根 2.原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 3.产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了一个不为零的整式，扩大了值域. 4.验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根. 5.解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程. （2）令公分母为0，求出求出x 的值. （3）把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值. 课外训练 【基础达标】 1.当m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 2.如果分式方程11(2)a x x x -=-有增根x=0.求a 的值. 3.若方程有 918332-=--+x x x x x 增根，求增根x.

分式方程及其增根问题

分式方程及其增根问题 文章来源：现代教育报·思维训练作者：都卫华点击数：2101 更新时间：2007-3-14 8:32:53 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 【例1】解方程 . 解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0. 化简，得x-4=0. 解得x=4. 检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴x=4是原方程的解. 【例2】解方程 解：原方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. 化简，得2x-3=-1.解得x=1. 检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例3】解方程 . 解：原方程可变形为 .

解得x=. 检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 所以x=是原方程的解. 【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”. 【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值. 解：原方程可化为 . 方程两边同乘x（x+1）（x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）. 化简，得3x=6-k. 当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9. 【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.

分式方程解法和增根

分式方程（一） 1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 例题1 下列方程中，哪些是分式方程？ ①5（x+1）+x=10 例题2 解下列分式方程 （1 （2 （3 （4 （5 （6 （7 （8 （9） （10 （11 例题3：解分式方程： （1 （ 2 （3 （4 并求当x=1时,该代数式的值 （5）若关于x x=4, 则a的值是多少？ （6） 例4： 1． 2． 值。 例5． 1.若关于x x=-1,求a

2、关于x x=-2， 则k= . 家庭作业 1.解方程： （1 （2 1 （3 （4 （5 （6 2. . 3 m的 值是（） D. 4. m为何值时，关于x 增根？ 5. m? 6.若m等于它的倒数， 7.m 为何值时，关于x x=1, 求a的值 分式方程（二） 例1 . 1 解为非负数. 2.当k为何值时，关于x 解是正数？ 例2 .m为何值时，关于x 1.m为何值时，关于x 2.关于x m的值 例3:已知x2+4y2-4x+4y+5=0 2的值. 2: 值.

例题4: . 1． . 2． . 3、 4. 于 ． 5. 求（1 （2值. 自我检测: 1. 2、 若实 最大值 是 ． 3的值是 4= 5 6 = . 7．已知，则x 2= ． 8 ） A 、-2 B 、-3 C 、-4 D 、-5 9、已知关于x m 的取值 范围为 . 10m 的值是 （ ） A. —2 B. 2 C. 3 D. —3 11.已知关于x a 的取值范围为 12. .

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案

（ 分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程 214111 x x x +-=-- ） 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 — 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 . 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠-

分式方程的增根

初二数学 《分式方程的增根》教学设计 黄旗堡初级中学 周金玉 钟大庆 一、教学目标（明确目标、把握方向） 1、能熟练地解分式方程。（重点） 2、知道增根的意义，了解产生增根的原因并会运用增根的有关知识解决问题。（难点） （师：让学生齐读本节课的教学目标，以了解本节课的学习任务） 二、教学过程 （一）前提测评（独立完成、相信自己） 师：上节课我们学习了解分式方程，请同学们思考： 1、解分式方程的基本思路是什么？一般步骤是什么？（学生思考） 生：基本思路是把分式方程去分母转化为整式方程，一般步骤是：①去分母转化为整式方程②解整式方程③检验 2、解方程 （1）x x x x 1211+=++ （2）2 12423=---x x x （师：让2名同学到黑板上板演，其余同学在下面做，然后结合黑板上同学做的情况，查漏补缺，找出易错点，给出准确地步骤和答案） （二）课中探究（海阔凭鱼跃，天高任鸟飞，相信自己，你能行） 解方程：87178=----x x x （师：让三名同学到黑板板演，让学生发现和上节课的解方程有什么不一样？ 生：检验的时候，出现了分母为0） 思考：由上题得到：①在将分式方程变形为整式方程时，产生不合适原方程的根叫做方程 的 ，把求出的根代入原方程检验，如果求出的根使原方程 的一个 是0，那么这个根就是方程的增根，应当 。 (师：生自学课本后，独立完成) （师：先个人思考，再合作交流完成）： ②增根产生的原因是？ ③分式方程如何检验？ （师：②③小题学生刚开始在叙述的时候，描述不到位，可让多个同学补充） 1、（小试牛刀）解方程：14 16222=--+-x x x （师：每个小组安排一名同学到黑板板演，师生共同纠正出现错误的地方，特别要强调不要忘记验根） 反思：解分式方程要注意什么问题？ （师：先让学生思考，再小组合作，让每个小组发言） 师：同学们现在对增根已经有了一定的理解，下面我们利用增根的有关的知识解决下列问题） 2、变式训练-----求字母的取值。（众人齐心，其力断金） （1）已知分式方程的解，求字母系数的值 若关于x 的方程8x 1mx =+的解为x=1，则m 的值是 。 （2）利用分式方程的增根求未知字母的值

分式方程增根问题八年级数学

分式方程增根问题八年 级数学 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

关于分式方程增根问题 一、选择题 1．分式方程 =有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 2．已知关于x 的方程2+ 11a x x x =--有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C ．0 D ．2 3．若分式方程a x a x =-+1 无解，则a 的值是 （ ） A.－１ B. 1 C. ±1 4．若分式方程2 321--=+-x x a x 有增根，则a 的值是（ ） .0 C 5．分式方程()()2111 +-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、3 6．若分式方程244 x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程 11x x --=()()12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 8．分式方程=--11 x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和－2 D. 3

9．若分式方程5156-=+--x k x x （其中k 为常数）产生增根，则增根是 （ ） =6 =5 C.x=k D.无法确定 10．解关于x 的方程1 13-=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于 （ ） B.-1 C.1 二、填空题 11．关于x 的分式方程2 44212+=---x k x x 有增根x =-2，那么k= . 12．已知关于x 的分式方程 a 1=1x 2-+有增根，则a= . 13．方程133 m x x =+++1若有增根，则增根一定是_________． 14．若关于x 的方程 2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 15．若关于x 的方程 2221+-=--x m x x 产生增根，那么m 的值是 . 16．若分式方程244 x a x x =+--有增根，则a 的值为______________． 17．若解分式方程4 x m 4x 1x +=+-产生增根，则m ＝________． 18．若关于x 的分式方程8 128-++=-x m x x 有增根，则m = ． 19．若关于x 的分式方程113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ． 20．若关于x 的分式方程 131=---x x a x 有增根，则a = ． 21．若分式方程： 有增根，则k= ． 22．若解分式方程4 4+=+x x 产生增根，则=m ________； 23．用去分母的方法，解关于x 的分式方程 8x x -＝2＋8 m x -有增根，则m ＝ ．

分式方程增根与无解专题讲义

分式方程的增根和无解专题讲义 班级： 姓名： 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 114112=---+x x x 专练一、解分式方程 （每题5分共50分） （1） 223433 x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ； （3）30120021200=--x x （4）255522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+-- （7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- (9) 6165122++=-+x x x x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、 若方程 x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 例3．若关于x 的方程 3 13292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少?

评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出） （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 专练习二： 1.若方程3 323-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2、 使关于x 的方程a x x a x 22 24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关 3、若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 4.当m 为何值时,解方程 115122-=-++x m x x 会产生增根? 5、关于x 的方程 x x k x -=+-323 会产生增根，求k 的值。 6、当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()115111 2x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。 7、当a 取何值时，解关于x 的方程：()() x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？ 题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解. 例4、 若方程 x m x x -=--223无解,求m 的值.

分式方程增根问题专题

专题——分式方程中增根问题 一、学习目标:(1分钟) 1.巩固解分式方程的方法； 2.掌握增根有关题型的解题方法； 3.利用分式方程根求参数问题。 二、自学指导1:(6分钟) 根据分式方程解的情况确定字母系数 问题：有增根的方程关于为何值时当23 422 ,2+=-+-x x mx x x m 变式1、无解的方程关于为何值时当23 422,2+=-+-x x mx x x m 自学检测1:(6分钟) 根据分式方程解的情况确定字母系数 1.解关于x 的方程 113-=--x m x x 产生增根,则常数m 的值等于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.使分式方程 3232 -=--x m x x 产生增根，m 的值为______ 3、当k=____时,分式方程 有增根. 0111=+--+-x x x k x x

三、自学指导2:(4分钟) 已知分式方程根的符号，求字母的取值范围 例题1.若分式方程 的解是正数，求a 的取值范围 方法总结： 1.化整式方程求根。但是不能是增根 2.根据题意列不等式组. 自学检测2:(8分钟) 1.若关于x 的分式方程 的解为正数，求a 的取值范围。 变式1：已知关于x 的分式方程 的解是非正数，求a 的取值范围 变式2：若关于x 的分式方程 的解为负数，求a 的取值范围。 1 -=x 有增根 那么k 的值为=______ 122-=-+x a x 11x a 2x =-+112-=++x a )3)(2(3 21+-+=+--+x x a x x x x x 4.若分式方程 x x k x x x k +-=----2225111

分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m ，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解．

八下分式方程的增根与无解

八下分式方程的增根与无 解 The pony was revised in January 2021

八年级数学下---分式方程的增根与无解专项练习 分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；（注意是分母为0的x 值不一定都是增根） 分式方程无解：是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 练习1：1、当k 为何值时，方程 x x k x --=-133会出现增根？ 2、已知分式方程 3312x ax x +++=有增根，求a 的值。 3、分式方程x x m x x x -+-=+111 有增根x =1，则m 的值为多少？ 4、a 为何值时，关于x 的方程4121x x x a x x -+=+-() 有解？ 5、求使分式方程x x m x --=-323 2 产生增根的m 的值。 6、已知关于x 的方程2 x x k 2x 21x 12-+=++-有增根，求k 的值。

7、当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x ---=+-无实根。 练习2：1、若方程4 412212--=--+x x x k x 会产生增根，则（ ） A 、2±=k B 、k=2C 、k=－2D 、k 为任何实数 2、若解分式方程 21112x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（） A.－1或－2B.－1或2C.1或2 D.1或－2 3、若方程)1)(1(6-+x x -1 -x m =1有增根，则它的增根是（） A 、0B 、1C 、-1D 、1或-1 4、若方程有增根，则a ＝（）. 5、已知 有增根，则k ＝（）． 6、若分式方程1x ?2+3=3?x a +x 有增根，则a 的值是（） 7、关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根，则a =（） 8、若分式方程=11 m x x +-有增根，则m 的值为（） 9、分式方程121 m x x =-+有增根，则增根为（） 10、关于x 的方程 1122k x x +=--有增根，则k 的值为（） 11、关于x 的方程2 1326 x m x x -=--有增根，则m 的值（）

解分式方程及增根,无解的典型问题含答案

分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程214111 x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。 （2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2．若此方程无解a 的值是多少？ 方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。 2.根据题意列不等式组。

初中数学分式方程增根

初三数学上册期末复习—分式方程的解专项训练 1.若分式方程 ＝1有增根，则m 的值为_______． 2．若方程有增根,则. 3．若关于x 的方程=3有增根，则m=_______． 4．若解分式方程产生增根，则_______ 5．已知分式方程产生增根，则m=_______． 6．已知分式方程有增根，则m 为______． 7．如果方程 有增根，那么 的值为_______． 8．若分式方程的增根，那么增根是______， 这时 _______． 9．若分式方程 有增根，则m 的值为______． 10．若分式方程有增根，则m=____， 它的增根是_______ 11．分式方程=有增根，则m 为_______ 12．若分式方程x x kx -=--+ 21 212有增根，则k=_________ 13．若分式方程13 2 3+-=-x x m 有增根，则m=_________． 14．若分式方程 x x x x m x x 1 1122+= ++-+有增根,则m=_______． 15．若方程 有增根，则=________． 16．若关于的分式方程 无解，则a=______． 17．若关于x 的方程无解，则为_________ 18．若方程无解，则． 19．若分式方程无解，则为_______ 20．如果分式方程无解，则m=_________ 21．若分式方程12 4 2+-=-x x ax 无解，则a 的值是______． 22．若方程 无解，则m=_________ 23．若方程 无解，则m=_________． 24．要使方程 无解，则a=_________． 25．若关于x 的方程x m x x 21051-=--无解,则m=_________． 26．若分式方程 211=---x m x x 无解， 则m 的值是_________． 27．若关于的分式方程无解，则_________． 28．已知分式方程－=0无解，则a =_______． 29．关于的分式方程的解为正数，则的 取值范围是___________． 30．关于x 的方程的解是正数，则a 的取值范围 是________ 31．若关于x 的分式方程 11 2=--x a x 的解为正数，那么字母a 的取值范围是__________． 32．已知关于的方程的解是正数，则m 的取 值范围为______________． 33．若关于x 的方程的解是正数，则x 的 取值范围是____________． 34．关于的方程的解为正数，那么的取值范 围是___________． 35．关于x 的方程的解是负数，则a 的取值范围 是_____________． 36．已知关于x 的分式方程 11 2 =++x a 的解是非正数，则a 的取值范围是_______________． 37．已知关于的方程的解是负数，则m 的取