武汉科技大学信号与系统期末试题答卷.doc

武汉科技大学考试卷（

A 卷）

课程：信号与系统 （闭卷）（ 2014/05）

专业班级姓名学号

题号

一（ 20 分） 二（12 分） 三（18 分） 四（15 分） 五（10 分） 六（10 分） 七（15 分）

总分

得分

一、

填空题（每空 2 分，共 20 分）

得分

１．已知某系统的输出 r (t ) 与输入 e(t ) 之间的关系为 r (t )

n

e(t ) (t nT ) ，其中 T

为常数，则该系统是（线性 / 非线性）线性系统。

２．

sin(x) ( x

)dx

-1。

2

３．连续时间系统的传输算子为 H ( p)

p 3

，则描述该系统的方程为

( p 1)( p

2)

r (t ) 3r (t) 2r (t )

e (t) 3e(t ) ，该系统的自然频率为 -1 、-2 。

４．信号 f(t)=5cos(3 t)+10cos(5 t ) 的周期是 _2_，其平均功率等于 62.5 瓦。

５．信号 f (t) 的最高频率为 f m

10 kHz ，其奈奎斯特抽样频率

s 4 10

4

弧度 / 秒，信号 f (0.1t) 的

f m

1 kHz ， f (0.1t) 的奈奎斯特抽样间隔 T s 500 s 。

６．已知离散时间 LTI 系统的单位函数响应为 h(k)

k cos( k / 3)u(k) ，则该系统为（稳定 /不稳定）

不稳定系统。

二、（ 12 分）已知 f (t) 的波形如图一所示。 f (t)

得分

（1）写出 f (t) 的表达式； 1

（ 2）画出 ( ) 2 f ( t 1) 的波形； 01 t

g t 2

（ 3）求 h(t ) dg(t )

的傅里叶变换。图

一 dt 解：（ 1） f (t ) t[ (t )

(t 1)] （ 2 分）

（2） f(t/2)f(-t/2)g(t)

2

11 （4 分）

02t-20t02t

（ 3） h(t)

（2）2t h(t ) 2 (t ) [ (t)

(t 2)] （ 2 分） -1 H ( j ) 2 [

( )

1 ](1 e j 2

)

2

1

(1 e j 2 ) （4 分）

j

j

三、（ 18 分）已知 f (t ) 的频谱函数为 F ( j ) ，其频谱图如图二所示。

得分

（1） 求 f 1 (t)

f ( 2t)e j 2t 的频谱函数 F 1 ( j ) 的表达式；

F ( j )

（ 2） 画出 F 1 ( j 2 ) 的波形；

（ 3）求 f (t ) 的表达式。图二

1 0 1

（4）若让 f (t) 经过图三所示系统，试绘出 A ，B ，C ，D 各点的信号频谱图。系统中理想高通滤波

器 H H ( j ) 和理想低通滤波器 H L ( j ) 在通带内的传输值均为 1，相移均为 0，其系统函数如图

四所

示。

f (t) ABCD r (t)

理想高

理想低

图三

11

－ 101 －101

图四

解：（ 1） f ( 2t)

1

F ( j ) F 11( j ) ， f 1(t)

F 1 ( j ) F 11[ j (

2)]

2 2

F 1 ( j ) 1 1

2)] ( )

(

4) G 4 (

2) （ 4 分）

F [ j (

F 1 ( j ) 2 2

（ 2）

（2 分）

（3） F ( j ) 2G 2 ( )

由于 G (t)

Sa(

), Sa( t ) 2 G ( ) （对称性质）

2 2

所以 f (t)

2 Sa( t ) 2

2

Sa( t

) （ 4 分）

2

2 2 （4） f A (t) f (t)cos t

F A ( j ) 1

j1) F ( j j1)] G 4 ( ) [ F ( j

2

11

1/21/2

-202-2-1012-4-3-10134-101

（ 2 分）（ 2 分）（ 2 分）（ 2 分）

四、（ 15 分）某 LTI 系统保持初始状态不变。已知当激励为 e 1 (t )

(t ) 时，其全响应为

r 1 (t )(t ) e

t

(t) ；当激励为 e 2 (t ) e

t

(t) 时，其全响应为 r 2 (t) 3e t (t ) 。 得分

（ 1）求系统的单位冲激响应

h(t) ，说明其因果性；

（2）写出描述系统输入输出关系的微分方程； （3）求当激励为 e 3 (t )

(t)

(t 1) 时的全响应。

解：（ 1）设该系统的零输入响应为 r zi (t ) ，则由题意，有

对两式分别取拉氏变换，得

H ( s) 1 1

h(t )

(t)

(t)

解之得，

s

即

（4 分）

1

1

r zi (t) (1 e t ) (t)

R zi (s)

s 1

s

由于系统单位冲激响应满足： h(t) 0, t 0 ，故该系统是因果系统。（ 2 分）

（ 2）由零输入响应知系统有两个特征根： 0、-1 ，故系统函数

则系统方程为： r (t )

r (t)

e (t ) e(t ) （3 分）

（3） E 3 ( s)

1

(1 e s )

s

故全响应 r 3 (t) (2

t e t ) (t) (t 2) (t

1) （6 分）

五、（ 10 分）某因果系统如图五所示。

得分

（1）写出该系统的系统函数；

（2）试问 K 为何值时，系统稳定； （3）在临界稳定条件下，求冲激响应。

E(s)

+

+

图五 Y(s)

s

K

s 2 4s

4 Ks

Ks

Ks

解：（ G ( s)

/(1

（3 分）

1） H (s)

4s 4

)

s 2 (4 K )s 4

1 G (s) s 2

s 2 4s 4

（2）当 4

K 0,即 K

4 时，系统稳定。（ 3 分）

（3）当 K=4 时，系统临界稳定，此时系统函数

则系统冲激响应 h(t)

4cos 2t (t) （4 分）

六、（ 10 分）设计一个离散系统，使其输出

y( k) 是 : k, k 1, , k M

1各点输入之平

均。

（1）确定描述该系统输出 y( k) 与输入 e(k) 之关系的差分方程；

得分

（ 2）求该系统的系统函数 H (z) ；

（ 3）当 M 3时，采用加法器，标量乘法器和单位延时器画出系统的结构框图，要求尽可能地少

用单位延时器。

解：（ 1）依题意，输出 y(k) 与输入 e(k ) 之关系的差分方程为

y(k )

1

{ e( k) e(k 1) e(k M 1)} （ 3 分）

M 1

[ E ( z)

（2）由于 Y (z) z 1 E(z) z M 1E( z)]

M 所以 H (z)

Y( z)

1

[1 z 1

z

M 1

]

1 M 1 z n （3 分）

E(z) M

M n 0

（3） M

3 时， H (z)

1

[1 z 1

z 2 ] （ 1 分）

3

M 3 时系统的结构框图：

E （ z ）1/3

Z -1

Z -1

Y （z ）

（ 3 分）

七、（ 15 分）已知某离散系统的差分方程为 y(k

2) 5y(k 1) 6 y(k)

e( k 1) ，试求解下列问题：

（1）若系统是因果的，求系统的单位函数响应

h(k) ；

得分

（2）若系统是稳定的，求系统的单位函数响应

h(k ) ；

（ 3）求系统在初始条件 y zi (0) 2, y zi (1) 1下的零输入响应 y zi ( k) ；

（4）若系统函数的收敛域为 2

z 3，求此时系统在单位阶跃序列

( k) 激励下的零状态响应

y zs ( k) 。

解：（ 1）对系统差分方程取 Z 变换，得 (z 2

5z 6)Y( z)

zE( z)

则系统函数表达式为

系统是因果的，则系统函数的收敛域为 z

3

系统的单位函数响应 h(k ) (3k 2k ) (k) （3 分）

（2） 若系统稳定，则系统函数的收敛域一定包含单位圆，即为

z 2

此时系统为反因果系统，系统的单位函数响应

h(k) (2 k

3k ) ( k 1) （3 分）

（ 3）系统有两个不相等的特征根： 2、 3，则零输入响应

代入初始条件 y zi (0) 2, y zi (1)

1 ，得

y zi

(0) c 1 c 2 2

c 1 5 y

zi

(1) 2c 1 3c 2 解之得

c 2

3

1

于是 y zi (k ) [5(2 k ) 3(3k )] ( k) （ 4 分）

（4） E( z)

z

, z 1; H (z)

z 2

z ,2 z 3

1 z

1

3 5z 6

y zs ( k)

( k) 2(2 k ) (k ) (3k ) ( k 1) (5 分)

2

2

武汉科技大学考试卷（

A 卷）

课程：信号与系统 （闭卷）（ 2015/05）

专业班级姓名学号

题号 一（ 20 分）

二（ 10 分）

三（ 10 分）四（ 10 分）五（ 15 分）六（ 15 分）七（ 10 分）

八（ 10 分）

总分

得分

二、

填空题（每空 2 分，共 20 分）

得分

1．信号 f (t )

5cos(3 t ), t

是（周期 / 非周期）非周期、（能量 / 功率）功率信

5sin(3 t ), t 0

号。

2．命题：“周期信号一定是功率信号，非周期信号一定是能量信号”是（正确

/错误）错误的。

3．

e t sin( t ) (t 1)dt

-e 。

2

4．描述连续时间系统的微分方程为 r (t)

3r (t) 2r (t) e (t ) e(t ) ，则该系统的自然频率为 -1 、-2 。

5．

e j t d

2

(t ) 。

6．已知信号 f (t) 的带宽为 100kHz ，则信号 f ( 2t ) 的带宽为 200kHz 。

7．线性时不变系统传输信号不失真的时域条件为单位冲激响应

h(t ) K (t t 0 ) 。

8. 连续时间信号 f (t) 的最高频率为 m 105 弧度 / 秒，若对其抽样，则奈奎斯特抽样间隔 T s 10 5

秒；若从抽样后的恢复原信号 f (t ) ，则所需低通滤波器的截止频率 f c 5 104 Hz 。

二、（ 10 分）已知 f (t ) sin t[ (t )

(t 得分

)] 。

（ 1）求 d 2 f (t )

f (t ) ；

f 1(t)

dt 2

t

（2）求 f 2 (t) f ( ) d 的波形；

（3）画出 f 1(t ) 、 f 2 (t) 的波形。

解：（ 1） f (t )

cost[ (t) (t)] f 1(t )(t )

(t) （ 4 分）

（ 2）

t

f 2 (t)

sin( )[ ( ) (

)] d

t sin( )d ] (t)

[ t

)d ] (t

)

[

sin( 0

（ 4 分）

(1 cost) (t) (1 cost) (t

)

1 cost ,0 t 2, t

（ 3） f 1 (t ) f 2 (t )

（1）2

t （ 1 分） 0 t （1 分）

三、（ 10 分）已知 f (t ) 的波形如图 1 所示。

得分

（3） 求 f (t ) 的傅里叶变换 F ( j ) ；

（ 4） 若 f 0 (t )

1

f (t) f (t)

) ；

f ( t ) ，求 F 0 ( j （5） 用 F 0 ( j ) 表示下列信号：

12

t

2 1 0

g(t) [ f 0 (t 1) f 0 (t 1)]cos 0t 图 1

的傅里叶变换 G ( j ) 。

解：（ 1） f (t )

(t 2) (t 1) [ (t 1) (t 2)]

F ( j ) 2cos

2cos 2

（5 分）

2

（ 2） f 0 (t )

F 0 ( j ) F ( j ) F ( j )

4(cos cos2 )

2

（2 分）

（3）设 g 0 (t ) f 0 (t 1)

f 0 (t 1)

则 G 0 ( j ) F 0 ( j )( e j

e j ) 2cos F 0 ( j )

1

1

G ( j )2 G

( j

j 0 )

2

G

( j

j 0 )

（3 分）

F 0 ( j j 0 )cos(

)

F 0 ( j

j 0 )cos(

)

四、（ 10 分）某 LTI 系统的频率响应函数 H ( j ) 1 j 。

1 j

得分

（1）求系统的幅频特性 H ( j ) 和相频特性 ( ) ；

（2）求系统的单位冲激响应 h(t) ；

( )

cos( t ) cos t cos( 3 ) 时，求系统的响应 r (t ) 。

（ 3）当系统激励 e t

t

3

解：（ 1） H ( j )

1

1

2 1（ 2 分）

2

( )arctan

arctan

2arctan （2 分） （2） H ( j

1 j

2 )

j

1 1

1 j

h(t ) 2e t

(t) (t) （2 分）

（ 3）信号经过系统时各频率分量的幅度不变，只改变相位

1

1

时， ( 1 )

2arctan

3

2

1 时， (

2 )

2arctan

1 2

2arctan

1

3

3

2arctan1 2

3 时， (

3

)

2arctan

2arctan 2 3

3

3

3

故 r (t)

cos(

t

) cos(t ) cos( 3t 2 ) （4 分）

3 3 2

3

五、（ 15 分）已知某线性时不变因果系统的微分

得分

方程为 r (t ) 3r (t) 2r (t) 2e (t) 3e(t ) ，激励

e(t ) 的波形如图 2 所示。试求：

图 2

（1）该系统的单位冲激响应 h(t ) ；

（2）激励 e(t ) 的拉氏变换 E(s) ；

（3）给定初始状态 r (0) 0, r (0) 1 时的零输入响应 r zi (t ) 和零状态响应 r zs (t) 。

解：（ 1） H (s)

2s+3 1 1 3s

2

s 1 s

2

s 2

h(t) (e t e 2 t ) (t) （3 分）

（ 2） e(t)

e 0 (t 2n) e 0 (t)*

(t 2n)

n 0

n 0

E 0 ( s) 1 e E(s)

1 e

1 e sT

s

2 s

1

1

e s

（

4

分）

（3） r zi (t)

c 1e t c 2e 2t ,t 0

故 r zi (t ) (e t e 2t ) (t ) （ 3 分）

精心整理

r zs (t)h(t 2n)

h(t 1 2n)

则 n 0

n 0

（ 5 分）

{[ e (t 2n )

e 2( t 2n) ] (t

2n) [e ( t

1 2 n)

e 2(t 1

2n )

] (t 1

2n)}

n 0

Or R zs (s)

H (s)E( s) H (s) 1

H ( s)( e s ) n

( 1)n H ( s)(e s )n

1 e s n 0

n 0

六、（ 15 分）如图 3 所示电路， ku 2 (t) 为受控源。 （1） 求系统函数 H ( s)

U 3 (s) ；

得分

U 1 (s)

（2） 求使系统稳定的 K 值范围；

（3） 若系统处于临界稳定，且初始状态为零，输入 u 1(t) u(t ) ，求输出 u 3 (t) ，并指出其中的自由

响应分量和强迫响应分量。

1 1 1F

++++

u 1 (t ) u 2 (t) 1F ku 2 (t) u 3 (t)

----

图 3

解：（ 1）复频域模型

++

1U 4 ( s) 1++

----

节点方程：

解得 H ( s)

U 3 ( s)

k

（8 分）

U 1 (s)

s

2

(3 k )s 1

（2）当 3 k

0 ，即 k 3 时系统稳定。（ 2 分）

（3）当 k 3 时，系统处于临界稳定，此时 H (s)

3

1

(t) （5 分）

s 2 u 3 (t)

3 (t)

3cos t

强迫响应分量

自由响应分量

七、（ 10 分）已知离散系统的系统函数 H (z)

9.5z

，求在以下两种收敛情况下的系统单

( z 0.5)(10 z)

位函数响应 h(k) ，并说明系统的因果性和稳定性。

（1） 10 z

；（ 2） 0.5 z 10

解： H (z)

9.5z

z z

(z 0.5)(10 z)

z 0.5 z 10

（1） 10 z

时， h(k ) (0.5k 10 k ) ( k)

系统是因果的，但不稳定。（ 5 分）

（2） 0.5

z 10 时， h(k) 0.5k (k )

10k ( k

1)

系统不是因果的，但稳定。（ 5 分）

八、（ 10 分）已知零状态因果系统的阶跃响应为 g(k ) [

1 1

( 1)

k

4

( 2) k ] (k) ，

（1）写出系统的差分方程；

6 2

3

(2)画出一种形式的模拟图或流图 ;

(3)若激励 x( k) 2[ (k)

(k 5)] ,求零状态响应 y(k) .

1 z 1 z 4 z

解:(1) G( z) 6

2 3

z 1 z 1 z 2

故系统差分方程为 y( k 2) 3y( k 1) 2 y(k) x(k

2)

或 y(k) 3y( k 1)

2 y(k 2)

x( k) (5 分)

(2)画出任一种形式即得 2 分 .

Y （z ）

X （ z ）

Z

-

Z

-

1

1

-3

-2

(3)由线性和时不变性质可得 :

y(k) 2[

1 1

( 1)

k

4

( 2) k

] ( k) 2[

1

1 ( 1)k 5

4

( 2) k 5 ] ( k 5) (3 分 )

6 2 3 6 2 3

武汉科技大学考试卷（

A 卷）

课程：信号与系统 （闭卷）（ 2016/06）

专业班级姓名学号

题号

一（ 20 分）

二（ 8 分）

三（ 12 分）

四（ 15 分）

五（ 15 分）

六（ 12 分）

七（ 10 分）

八（ 8 分）

总分

得分

一． 选择题（每小题 2 分，共 20 分）

得分

1．连续信号 f (t) 与 (t

t 0 ) 的乘积，即 f (t) (t t 0 ) _______。

(a) f (t 0 ) (t ) (b) f (t t 0 ) (c)

(t) (d) f (t 0 ) (t t 0 ) 2．离散信号 f ( k) 与 (k

k 0 ) 的卷积，即 f ( k)

(k

k 0 ) _______。

(a) f (k) (b) f (k k 0 ) (c) (k) (d) (k k 0 )

3．系统无失真传输的条件是 _______。

(a)幅频特性等于常数 (b)相位特性是一通过原点的直线

(c)幅频特性等于常数，相位特性是一通过原点的直线

(d)幅频特性是一通过原点的直线，相位特性等于常数

4．已知 f (t) 的傅里叶变换 F ( j ) ，则信号 f (2t 5) 的傅里叶变换是 _______。

(a) 1 F ( j )e j 5

(b) F ( j

)e j 5

(c) F ( j

)e j

5

(d) 1 F ( j )e

j

5

2 2

2 2 2

2

2 2

5．若 Z 变换的收敛域是 | z|

R x1 则该序列是 _______。

(a)左边序列 (b)右边序列 (c)双边序列 (d)有限长序列

6．已知某系统的系统函数 H (s) ，唯一决定该系统单位冲激响应 h(t ) 函数形式的是 _______。

(a) H ( s) 的极点

(b) H (s) 的零点 (c)系统的输入信号 (d)系统的输入信号与 H (s) 的极点

7．已知某信号 f (t) 的傅里叶变换为 F ( j )

2 ( ) ，则该信号的导数 f (t ) 的拉普拉斯变换及

2

j

其收敛域为 _______。

(a) 2,

(b)

2

1,

0 (c) 2 ,0 (d)

2

2 ,

s

s

s

8．若离散时间系统是因果稳定的，则它的系统函数的极点 _______。

(a)全部落于单位圆外 (b)全部落于单位圆上

(c)全部落于单位圆内 (d)上述三种情况都不对

．已知F ( z) z , z a ，其对应的离散时间信号为 _______。9

z a

(a) a k ( k) (b) a k ( k 1) (c) a k ( k) (d) a k ( k 1)

10．对信号 f (t) sin( t)

进行抽样，则其奈奎斯特抽样间隔为______。

t

(a)1 毫秒 (b)1 秒 (c)0.5 秒(d)2 秒

二、（ 10 分）已知信号 f ( 1 t 1) 的波形如图1 所示，得分

2

画出信号 f (t ) 的波形。

图 1

解：

三、（ 12 分）已知f (t )

k

( 1)k (t k ) 得分

（1）画出f (t)的波形；

（2）求f (t )的傅里叶变换F ( j ) 并画出其频谱波形。

解：（ 1）f (t)为周期信号，周期 T 2

f(t)

。。。

- 1 。。。

- 0 2 t 2 1

（2） f (t) 的基波频率2

，其傅里叶级数系数T

则其傅里叶变换

F(jw)

。。。。。。

0 w

四、（ 15 分）如图 2 所示系统，已知

sin 2t

，s(t ) cos3t，f (t)

t

画出 f (t), s(t ), x(t), y(t ) 的频谱图，并求系统的输出y(t ) 。

得分

图 2

解： f (t) sin 2t

F ( j ) G4 ( )

2Sa( 2t )

t

精心整理

F(jw)

S(jw)

X(jw)

Y(jw)

-22

w

-3

3 w

-5-1

135 w

-3-1

13

w

五、（ 15 分）某线性时不变系统如图 3 所示，已

得分

知当 e(t )

(t ) 时，全响应

（1）求系统的输入输出方程；

（2）求单位冲激响应 h(t ) ；

（3）求零输入响应 r zi (t ) 和零状态响应 r zs (t) 。

e(t)

∑

∫

∑

∫

r(t)

-4

-4

图 3

解：（ 1）由框图可得： H ( s)

s 2 s+1 4s 4

则系统的输入输出方程为： r (t ) 4r (t ) 4r (t ) e (t ) e(t )

s+1 1

1

（2）因为 H (s)

2) 2 s 2 (s 2) 2

(s 所以 h(t )

(1 t )e 2 t (t )

（3）由于 E(s)

1

s

1 (1 e

2 t

故 r zs (t )

2te 2 t ) (t )

4

则 r zi (t ) r (t)

r zs (t )

(

1 4

t)e 2t (t)

4 3

六、（ 12 分）反馈系统如图 4 所示， （1）求系统函数 H (s)

R(s) ； 得分

E(s)

（ 2）求使系统稳定的 K 值范围；

精心整理

（3）求系统处于临界稳定时的阶跃响应r (t)，并指出其中的强迫响应分量和自然响应分

量。

E(s) + R(s)

∑- k ( s 2)

( s 1)( s 3)

图 4

k(s 2)

R( s) ( s 1)( s 3) k (s 2)

解：（ 1）H ( s)

k (s 2) s2 (k 2) s 2k 3

E (s) 1

(s 1)(s 3)

（2）当k 2

0 ，即 k 2 时系统稳定。

2k 3 0

2s 4

（ 3）当 k 2 时，系统处于临界稳定，此时H (s)

1

s2

七、（10 分）已知某因果离散系统的系统函数H (z) 的极零图如图 5 所示，且系统单位函数响应h(k)

的初值 h(0) 2 。

（1）确定该系统的系统函数H ( z) 及其收敛域；

（2）求单位函数响应h( k)，并说明系统的稳定性。

Im(z)

××

-3-101Re(z)

图 5

解：（ 1）H (z) H 0 (z 1)z

3)( z 1)

( z

（2）H ( z) z z

3 z 1

z

该系统不稳定。

八、（ 8 分）已知某稳定的离散系统的差分方程为y(k 1) 10

y(k ) y( k 1) x( k) ，3

（1）求系统的单位函数响应h(k) ；

精心整理

(2)说明系统的因果性 ;

(3)给定初始条件 y(0) 1, y(1) 2 ,求零输入响应 y zi (k ) .

解:(1) H ( z)

z

3

z

z

1

2

10

[

3

],

z 3

z

z 1 8 z 1 3

3

z

3

故 h(k)

3

[(3k ) ( k 1) 3 k ( k)]

8

(2)系统是非因果的。

(3)设 y zi ( k) c 1 3k (k) c 2 3 k (k )

c 1 c 2 1

5

c 1

则有

1

8

3c 1

c 2 2

3

3

c 2

8

于是 y zi ( k) 5

3k ( k) 3 3 k ( k)

8

8