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高等代数（北大第三版）答案
目录
第一章多项式
第二章行列式
第三章线性方程组
第四章矩阵
第五章二次型
第六章线性空间
第七章线性变换
第八章—矩阵
第九章欧氏空间
第十章双线性函数与辛空间
注：
答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！
12．设
A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A
0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使
X AX 0 。
证
因为 A
0，于是 A
0 ，所以 rank A
n ，且 A 不是正定矩阵。故必存在非
退化线性替换 X
C 1Y 使
XAX YC 1
ACY
Y BY
y 12 y 22
y p 2
y p 2
1
y p 2 2
y n 2 ，
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在
Z C 1Y 中，令 y y
2 y
p
1
0, y p 1 y p
2
y n 1, 则可得一线性方程组
c 11
x 1
c 12
x
2
c 1n x
n
c p 1
x
1
c p 2 x
2
c pn
x n
，
c p 1,1
x
1
c p 1, 2 x
2
c p
1,n
x
n
1
c n1
x 1
c n 2 x
2
c nn x
n
1
由于 C 0 ，故可得唯一组非零解
X s x 1s , x 2s , , x ns 使
X s AX s 0 0
0 1 1
1
n p 0 ，
即证存在 X 0，使 X AX
0 。
13 ．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明：
A B 也是正定矩阵。
证 因为 A, B 为正定矩阵，所以 X AX , X BX 为正定二次型，且
X AX 0 ，
X BX 0 ，
因此
X A B X X AX X BX 0 ，
于是 X
A B X 必为正定二次型，从而
A B 为正定矩阵。
14 ．证明：二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证 必要性。采用反证法。若正惯性指数
p 秩 r ，则 p
r 。即
f x 1 , x 2 , , x n
y 2 y 2
y 2
y 2
y 2 ，
1
2
p
p 1
r
若令
y1 y2 y p 0 ， y p 1 y r 1 ，
则可得非零解x1 , x2 , , x n 使 f x1, x2 , , x n 0 。这与所给条件 f x1 , x2 , , x n
0 矛盾，故 p r 。
充分性。由p r ，知
f x1 , x2 , , x n y12 y22 y p2，
故有
f x1 , x2 , , x
n 0 ，即证二次型半正定。
n n 2
x i2
15 ．证明： n x i 是半正定的。
i 1 i 1
n n 2
证 n x i2 x i
i 1 i 1
n x12 x22 x n2
x12 x22 x n2 2x1 x2 2 x1 x n 2x2 x3 2x2 x n 2x n 1x n n 1 x12 x22 x n2 （ 2x1 x2 2x1 x n 2x2 x3
2 x2 x n 2x n 1 x n）
x12 2x1x2 x22 x12 2x1x3 x32 x n21 2x n 1 x n x n2
x i x j 2 。
1 i j n
可见：
1）当x1, x2, , x n不全相等时
f x1 , x2 , , x n x i x j 2
0 。
1 i j n 2）当
x1 x2 x n
时
f x1 , x2 , , x n x i x j 2
0 。
1 i j n 故原二次型 f x1 , x
2 ,, x n是半正定的。
16 ．设f x1, x2, , x n X AX
是一实二次型，若有实n 维向量 X 1 , X 2使
X1 AX 0 ，X2AX2 0。
证明：必存在实n 维向量 X 0 0使 X0AX0 0。
设 A 的秩为r，作非退化线性替换X CY 将原二次型化为标准型
X AX d1 y12 d 2 y22 d r y r2，
其中 d r为1或-1。由已知，必存在两个向量X1, X2使
X1AX1 0 和X2AX2 0，
故标准型中的系数d1 , , d r不可能全为1，也不可能全为 -1 。不妨设有p 个1， q 个-1，且 p q r ，即
X AX y12 y 2p y2p 1 y p2 q ，
这时 p 与 q 存在三种可能：
p q ，p q ，p q
下面仅讨论 p q 的情形，其他类似可证。
令 y1 y q 1，y
q 1 y p 0 ，
y
p 1 y p q 1 ，
则由 Z CY 可求得非零向量X 0使
X0AX0 y12 y p2 y p2 1 y 2p q 0，
即证。
17．A是一个实矩阵，证明：
rank A A rank A 。
证由于 rank A rank A A 的充分条件是AX 0与 AAX 0 为同解方程组，故只要
证明 AX 0与AAX 0 同解即可。事实上
AX 0 A AX 0 X AAX 0
AX AX 0 AX 0 ，
即证 AX 0与AAX 0 同解，故
rank A A rank A 。
注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第 2 题的证明，此处略。
一、补充题参考解答
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：
1）x1x2n x
2
x
2 n 1
x
2
x
2n 1 x n x n 1；
2）x1x2 x2 x3 x n 1 x n；
n
3）x i2 x i x j；
i 1 1 i j n
n 2
x1 x2 x n。4）x i x ，其中 x
i 1 n
解 1 ）作非退化线性替换
x
1y
1
y
2 n
x
2y
2
y
2n 1
x n y n y
n 1 ，
x n y n y
n 1
1
x
2 n 1y
2
y
2n 1
x
2 n y
1
y
2n
即 X TY ，则原二次型的标准形为
f y12y22y n2y n21y22n 1y22n，且替换矩阵
1 0 0 1
0 1 1 0
T
1 1
，
1 1
0 1 1 0
1 0 0 1
使
1
1
TAT，
1
1
其中
1 2 1
2
A
。
1 1 2
2
2）若
y 1
x 1 x 2 x
3 ，
y 2
x 1 x 2
x
3 ，
2
2
则
y 12 y 22
y 1
y 2 y 1 y 2
x 1x 2 x 2 x 3 ，
于是当 n 为奇数时，作变换
y i
x i
x i 1
x i
2
2
y i 1
x i
x i 1x
i 2
i
1,3,5, , n 2 ，
2
y n
x n
则
x x
2
x x
3
x n 1 x
n
y 2 y
2 y 2
y 2
y 2
y 2 ，
1
2
1
2
3
4
n 2
n 1
且当 n 4k
1时，得非退化替换矩阵为
1 1
1 1 1
1 1 1
1
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
T
1
1
0 ，
1
1 0
1
当 n 4k 3 时，得非退化替换矩阵为
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
T 1 1 0 0 0 ，
1 1 0
1
故当 n 为奇数时，都有
1
1
1
1
TAT。
1
1
当 n 为偶数时，作非退化线性替换
y i x i x i 1 x i 2
2
y i 1 x i x i 1 x i 2
2
i 1,3,5, , n 3 ，x n x n
y n 1
1
2
y n x n 1 x n
2
则
x x
2 x x
3
x
n 1
x
n
y2 y 2 y2 y2 y 2 y 2 ，
1 2 1 2 3 4 n 1 n 于是当 n 4k 时，得非退化替换矩阵为
1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 1
T 1 1 0 0 ，
1 1
1 1
于是当 n 4k 2 时，得非退化替换矩阵为
1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 1
T 1 1 0 0 ，
1 1
1 1
故当 n 为偶数时，都有
1
1
1
TAT1。
1
1 3）由配方法可得
1 n 2
1 n
2
f x1 x j 3
x2 x j
2 j 2 4
3 j 3
n
1
x n
2 n 1 x
n
2，1
x
n 1
2 n n 2n 于是可令
y1
1 n
x j x1
2 j 2
y2 x2 1 n
x j 3 j 3
，
y n 1 x n 1 1
x n n
y n x n 则非退化的线性替换为
x1 y1 1
y2
1
y3 1
y
n 1
1
y n 2 3 n 1 n
x2 y2 1
y3 1
y
n 1
1
y n
3 n 1 n
，
x n 1 y
n 1
1
y n
n
x n y n 且原二次型的标准形为
f y12 3
y22 n y n21 n 1 y n2，4 2 n 1 2n
相应的替换矩阵为
1 1 1 1 1
2 3 n 1 n
0 1 1 1 1 3 n 1 n
T 0 0 1 1
1 1 ，
n n
0 0 0 1 1 n
0 0 0 0 1 又因为
1 1 1 1
2 2 2
1
1 1 1
2 2 2
A ，
1 1 1
1
2 2 2
1
1 1
1
2 2 2
所以
1 0 0 0 0
0 3
0 0 0 4
4
0 0 0 0
6
T AT 。
0 0 0 n 0
2 n 1
0 0 0 0 n 1 n
4）令
y1 x1 x
y2 x2 x
，
y n 1 x n 1 x
y n x n
则
n
x1 2y1
i 2
y i
n
x2 y1 2y2 y i
i 3
。
n 2
x
n 1 y i 2 y n 1 y n
i 1
x n y n
由于
n n
y i x i n 1 x x ，
i 1 i 1
则
n 1 n 2 n 1 n 1 2 原式y i2 y n y i y i2 y i
i 1 i 1 i 1 i 1
n 1
y i2
2 y i y j
i 1 1 i j n 1
2 z12 3
z22 n z n2
1 4
2 n 1
2z12 3
z22 n z n2 1
，2 n 1
其中所作非退化的线性替换为
y1 z1 1
z2
1
z3 1
z
n 1 2 3 n 1
y2 z2 1
z3
1
z4
1
z n 1 3 4 n 1
，
y n 1 z n 1
y n z n 故非退化的替换矩阵为
1 1 1 1
2 1 1 1 1 2
3 n 1
1 2 1 1 1 0 1 1 1 0
3 n
1 1
2 1 1 1
1
T 0 0 1 0
1 1 1
2 1
n 1
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
2 0 0 0 1
1 3
0 0 1 2
4
1 1
0 1
2 3 。
0 1 1 n
1 2 3 n 1
0 1
0 0 0
又
2 x1 x
n x2 x
x i x x1 x, x2 x, , x n x
i 1
x n x
n 1 1 1 n 1 1 1
x1
n n n n n n
x1 , x2 , , x x 1 n 1 1 1 n 1 1 x2 n n n n n n
1 1 n 1 1 1 n 1 x n n n n n n n
n 1 1 1 x 1
n n n x 1 , x 2 , , x x
1 n 1 1 x 2
n n n
1 1
n 1 x n
n
n
n
ZAZ ，
所以
2 0 0 0 0
0 3 0 0
2
4
T AT
0 0
3 。
0 0 0 n 0
n
0 0
1
0 0
2． 设实二次型
s
2
f x 1 , x 2 , , x n
i 1 a i1 x 1 a i 2 x 2
a in x n
，
证明： f x 1 , x 2 , , x n 的秩等于矩阵
a
11
a
12
a
1n
A
a 21
a 22
a 2n
a s1
a s2
a sn
的秩。
证
设 rank A
r ，因
f x 1 , x 2 , , x n X AAX ，
下面只需证明 rank A
r 即可。由于 rank A rank A ，故存在非退化矩阵 P,Q 使
PA Q
E r 0
或
PA
E r 0 1 ，
0 Q
从而
PA AP E r
Q 1Q 1
E r 0 ，
0 0
0 0
令
Q1Q1 B r C ，
D M 则
PA AP
E r 0 B r C E r 0 B r 0
0 0 D M 0 0 0 。
由于Q1Q1 是正定的，因此它的r 级顺序主子式B r 0 ，从而 A A 的秩为r。
即证 rank A rank A A 。
3．设
f x1 , x2 , , x n l12 l 22 l p2 l p2 1 l p2 q 。
其中
l i i 1,2, , p q 是 x1, x2 , , x n的一次齐次式，证明： f x1, x2 , , x n的正惯性指数 p ，负惯性指数 q 。
证设 l i b i1 x1 b
i 2
x
2
b
in
x
n i 1,2, , p q ，
1 2
, , x n 的正惯性指数为s ，秩为 r ，则存在非退化线性替换
f x , x
y i c
i1
x
1
c
i 2
x
2
c
in
x
n i 1,2, , n ，
使得
f x1 , x2 , , x n l12 l 22 l p2 l p2 1 l p2 q
y12 y s2 y s21 y r2。
下面证明 s p 。采用反证法。设s p ，考虑线性方程组
b11 x1b1 n x n0
b p1 x1 b
pn
x n 0
，
c s 1,1 x1 c s 1,n x n 0
c n1x1c nn x n0
该方程组含p n s 个方程，小于未知量的个数n ，故它必有非零解a1 , a2 ,, a n，于是
f a1 ,a2 , , a n l 2p 1l 2p q y12y 2s，
上式要成立，必有
l p 1l p q0 ，y1y s0 ，
这就是说，对于x1 a1, x2 a2 , , x n a n这组非零数，有
y1 0 ， y2 0, , y n 0 ，这与线性替换 Y CX 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
s p 。
同理可证负惯性指数r s p ，即证。
4．设
A A
11
A
12 A
21
A
22
是一对称矩阵，且 A11 0 ，证明：存在 T E X A11 0
表示一0 E
使TAT ，其中
个级数与 A22相同的矩阵。
证只要令 T
E 0
，则T
E A111 A12
，A21 A111 E 0 E
注意到
A12 A21，A111 A111，则有
T AT
E 0
A
11
A
12 E A111 A12 A21A111 E
A
21
A
22 0 E
A
11 A
12 E A111 A12
0 A 21A111 A12 A22 0 E
A11 0
。
即证。
5．设A是反对称矩阵，证明： A 合同于矩阵
0 1
1 0
0 1
。
1 0
证采用归纳法。当n 1
0 合同于0 ，结论成立。下面设
A
为非零反对称时， A
矩阵。
当 n 2 时
A 0
a
12
第2行乘
a121 0 1
a
12 0 第2列乘 a121
，
1 0
故 A 与
0 1
1 合同，结论成立。
假设 n k 时结论成立，今考察 n k 1的情形。这时
0 a1k a1,k 1
A a
1k 0
，a
k, k 1
a
1,k
1 a
k, k 1 0
如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，
不妨设 a k,k 1 0 ，并将最后一行和最后一列都乘以
1
，则 A 可化成a
k ,k 1
0 a
1k b1
，
a
1k 0 1
b1 1 0
再将最后两行两列的其他非零元b i ,a ik i 1,2, , k 化成零，则有
0 b
1,k
1
0 0
b1,k 1 0 0 0 ，
0 0 0 1
0 0 1 0
由归纳假设知
0 b
1, k 1
0 1
1 0
与
b1, k 1 0 合同，从而 A 合同于矩阵
0 1
1 0
0 1 1 0
，
0 1
1
再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对
k 1级矩阵也成立，即证。
6． 设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明：存在一正实数
c ，使对任一个实 n 维向量 X 都有
X AX
cX X 。
证 因为
X AX
a ij
x i
x
j
a
ij
x i
x j ，
i , j
i, j
令 a max a ij ，则
i , j
X AX
a
i , j x i x j
。
利用 x i x i 2 x 2j
x j
可得
2
X AX
a
x i 2 x 2j
an
x i
2
cX X ，
2
i , j
i
其中 c an ，即证。
7 ．主对角线上全是 1 的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。
1）设 A 是一对称矩阵， T 为特殊上三角矩阵，而 B T AT ，证明： A 与 B 的对应顺序主子式有相同的值；
2）证明：如果对称矩阵
A 的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵 T 使
T AT 成对角形；
3）利用以上结果证明：如果矩阵 A 的顺序主子式全大于零，则 X AX 是正定二次型。
证 1 ）采用归纳法。当 n
2 时，设
a
11
a 12
1 b
A
a
22
， T
，
a
21
0 1
则
1 0 a 11
a 12
1 b a
11
B TAT
1
a
21 a
22
0 1
。
b
考虑B 的两个顺序主子式： B 的一阶顺序主子式为a11，而二阶顺序主子式为
B T A T 1? A?1 A ，
与 A 的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。
归纳假设结论对n 1阶矩阵成立，今考察n 阶矩阵，将A,T 写成分块矩阵
T
n 1
， A A
n 1
，
T
0 1 a
nn
其中 T n 1为特殊上三角矩阵。于是
T n 1 0 A n 1 T n 1
B 1 a
nn 0 1
T
n 1 A
n 1
T
n 1
B
n 1
。
由归纳假设， B 的一切n 1阶的顺序主子式，即 B n
1 T n 1 A n 1T n 1的顺序主子式与
A
n 1
的顺序主子式有相同的值，而 B 的n阶顺序主子式就是 B ，由
B T A T 1?A?1 A ，
知 B 的n阶顺序主子式也与 A 的n阶顺序主子式相等，即证。
2 ）设n阶对称矩阵A a
ij ，因 a11 0 ，同时对A的第一行和第一列进行相同的第三
种初等变换，可以化成对称矩阵
a11 0 0
A
0 b22 b2 n a11 0
0 ，
B n 1
0 b n 2 b nn
a
11 0 0
，从而b22 0
，再对 B n 1 进行类似的初等变换，使矩阵A1的
于是由 1）知
b
22
第二行和第二列中除b22外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将 A 化成对角形
1
2
B 。
n
由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵 T i ，左乘一个下三 角形阵 T i ，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在 T T 1,T 2,
, T s ，使 T AT B ，
命题得证。
3 ）由 2）知，存在 T 使
1
T AT
2
B 。
n
又由 1）知 B 的所有顺序主子式与
A 的所有顺序主子式有相同的值，故
1 a 11 0 1
a 11
a 12
0 ，
，
a
12
a
22
2
所以 2 0 。
1
a
11
a
1i
2
0 ，
a
i1
a
ii
i
所以
i
0i 1,2, , n ，
因 X
TY 是非退化线性替换，且
X AX
YT ATY y 2
2
y 2
n y 2 ，
1 1
2
n
由于 1 , 2 , , n 都大于零，故
X AX 是正定的。
8 。证明： 1）如果
n
n
a ij
x i
x
j
a
ij
a ji
i 1 j 1
是正定二次型，那么
a
11 a
12
a
1n y1
a21 a22 a2n y2
f y1 , y2 ,, y n
a n1 a n2 a nn y n
y1 y2 y n 0 是负定二次型；
2）如果 A 是正定矩阵，那么
A a nn P n 1，
这里 P n 1是A的n 1 阶顺序主子式；
3）如果 A 是正定矩阵，那么
A a
11
a
22 a nn。
4 ）如果T t ij是 n 阶实可逆矩阵，那么
n
2
t12i t 22i t ni2。
T
i 1
证 1 ）作变换Y AZ，即
y1 a11 a12 a1n z1
y2 a21 a22 a2 n z2
，
y n a n1 a n 2 a nn z n
则
a
11 a
1n 0
f y1 , y2 , , y n a
n1 a
nn 0
y1 y n y1 z1 y n z n
A y1z1 y n z n
A Y Z AZAZ
AZAZ。
因为 A 是正定矩阵，所以 f y1 , y2 , , y n 是负定二次型。
2 ）A为正定矩阵，故P n 1对应的n 1 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
a
11
a 1, n 1
y 1
f
n 1
y 1 , , y n 1
a n
a
n 1,n 1
y
n 1
1,1
y 1
y
n 1
是负定二次型。注意到
a
11
a
1, n 1
a 1n
A
a
n 1,n
a
n 1,n
a n
1,1
1
a
n1
a
n ,n
1 a
nn
a 11
a 1,n 1
a 1n a 11 a 1,n 1
0 a n
1,1
a
n 1,n 1
a
n 1,n
a
n 1,1
a
n 1,n
1
a
n1
a
n ,n
1
a
n1
a
n ,n
1
a
nn
f n 1 a 1n , a 2 n , , a n 1,n
a nn P n 1 ，
又因 f n 1 a 1n ,a 2n ,
,a
n 1,n
0 a in 中至少有一个不为 0时 ，所以
A
a nn
P
n 1
，
当
a
1n
a
2 n
a n 1,n
0 时，有
A
a nn
P
n 1
，
综上有 A
a nn P n 1，即证。
3 ）由 2）得
A a nn P n 1
a nn a n 1,n 1P n 2
a nn a n 1,n 1 a 11
。
4 ）作非退化的线性替换 X TY ，则 X X
Y T TY 为正定二次型，所以 TT 是正定
矩阵，且
t
11
t
n1
t
11
t
1 n
T T
t
1n
t
nn
t
n1
t
nn
t 112 t 212 t n 21
t 122 t 222
t n 2
2
，
t 12n t 22n t nn 2
再由 3）便得
高等代数第6章习题参考答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
高等代数试卷及答案1
高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
高数一试题(卷)与答案解析
《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0
8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +
高等代数第6章习题解
第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高等代数习题及答案(1)
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
高等代数试题附答案
高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）
高等代数试卷及答案--(二)
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的 矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ） 三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）
免费-高等代数试卷二及答案
高等代数试卷二 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 【 】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则 A.)(x f 至少有一个有理根 B. )(x f 至少有一个实根 C.)(x f 存在一对非实共轭复根 D. )(x f 有三个实根. 【 】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=- 【 】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为 A. ad bc ≠ B. ad bc = C. ab cd ≠ D. ab cd = 【 】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有 A. A B = B. 0Ax =与0Bx =同解 C. 秩()A =秩()B D. * * A B = 【 】5、设矩阵A 和B 分别是23?和33?的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩 ()AB 是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（每小题2分，共20分） 1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = . 3. 设1230231002A ??????=???????? ，则*1 ()A -= .
4. 行列式1 23 00 00 a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ???? ? ? == ? ? ? ????? ，其中,i i αβ均为3维行向量。若16,2A B ==， 则A B -= . 6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= . 7.线性方程组 121232 343414 x x a x x a x x a x x a -=??-=??-=??-=?, 有解的充要条件是 . 8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则 r s. 9.设A 为3级矩阵, 且1 2 A = , 则 1*A A --= 10. 设00120 0373*******A ?? ? ? = ? ? ??? , 则1A -= . 三、判断题（每小题2分，共10分） 【 】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式. 【 】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。 【 】3、若有方阵,,A B C 满足AB AC =，则B C = 【 】4、初等矩阵的转置矩阵均为初等矩阵。 【 】5、设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则||0A = 当且仅当 ||0B =.四、计算题（每小题10分，共40分）
高等代数真题答案
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
大学高数试卷及答案
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 .
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
高等代数试卷及答案一
一、填空题（共 10题，每题2分，共20分）。 1．多项式可整除任意多项式。 2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。 3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于个是0D =。 4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A * =。 5．实数域上不可约多项式的类型有种。 6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1) ()k f x -的重因式。 7．写出行列式展开定理及推论公式。 8．当排列12n i i i L 是奇排列时，则12n i i i L 可经过数次对换变成12n L 。 9．方程组12312322232 121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=?? ++=??++=?，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。 10．若2 4 2 (1)1x ax bx -∣ ++，则a =，b =。 二、判断题（共10题，每题1分，共10分）。 1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（） 2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（） 3．设12n αααL 是n P 中n 个向量，若n P β?∈，有12,n αααβL 线性相关，则12n αααL 线性 相关。（） 4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。（）5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。（） 6秩()A B +＝秩 A ，当且仅当秩0 B =。（） 7．向量α线性相关?它是任一向量组的线性组合。（） 8．若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。（） 9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。（） 10．若,,,n n A B C D P ?∈，则 A B AD BC C D =-。（） 三、选择题（共5题，每题2分，共10分）。 1．A 为方阵，则 3A =（）
2019高数(下)试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等代数北大版习题参考答案
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
高等代数 矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果20,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--?? 但. 3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ? ?=s I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11 (*)|| A A A -=. 8．设 B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆