证明数列不等式之放缩技能及缩放在数列中的应用全套整合
证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用
大全
证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性
例1．证明：当Z n n ∈≥,6时，
(2)
12n
n n +<. 证法一：令)6(2
)
2(≥+=n n n c n
n ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683
1.644
n c c ?≤==< 于是当6n ≥时，2
(2)
1.2
n n +< 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，6
6(62)483
12644
?+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即
(2)
1.2k
k k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)
1.222(2)(2)2k k
k k k k k k k k k k k k
++++++++=?<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，
2
(1)
12n n +<. 二、借助数列递推关系 例 2.已知12-=n n a .证明：
()23
11112
3
n n N a a a *++++
<∈. 证明：n
n n n n a a 121121************?=-?=-<-=+++
， ∴3
2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++=
-+n n n a a a a a a S . 例3. 已知函数f(x)=
52168x
x +-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．
(1) 试比较n a 与5
4
的大小，并说明理由；
(2) 设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1
n
i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜1
4(2n －1)．
分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：(1) 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<
155
48()52553444168432(2)22n n n n n n n
a a a a a a a +--+-=-=
=?---,因为20,n a ->所以154n a +-与54n a -同号，因为151044a -
=-<，250,4a -<350,4a -<…，5
0,4
n a -<即5.4n a <
（2）当2n ≥时，1111531531
()422422n n n n n n b a a b a a ----=-=??-=??--113125
224
n n b b --
所以2131212222n n n n n b b b b ----
<=，
所以3121
(12)
1111
4(21)422124
n n
n n n S b b b --??=+++<
++???+==- ?-??
.
例4. 已知不等式
],[log 2
1
131212n n >+++ 其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。设数列{}
n a 的各项为正且满足
1
11),0(--+≤
>=n n n a n na a b b a )2≥n （.证明：][log 222n b b
a n +<， 5,4,3=n .
证明：由1
1--+≤
n n n a n na a 得：
n a a n n 1
111+≥-, n a a n n 1111≥-∴
- )2(≥n , 111121-≥---n a a n n ,… ,2
1
1112≥-a a , 以上各式两边分别相加得：
2
1
111111++-+≥- n n a a n ， 2111111++-++≥∴
n n b a n ][log 21
12n b +>=b
n b 2][log 22+， ∴ ]
[log 222n b b
a n +<
)3(≥n .
三、裂项放缩 例5.求证:
3
5
191411)12)(1(62<++++≤++n n n n
解析:因为
??? ??+--=-=-<121121
2144
4
111222
n n n n n ,所以
353211211215
1
31211
1
2
=
+
n
k 又1
111)1(14313
21119
14
112
+=
+-=++
+?+?+>++++n n n n n n
当3≥n 时,)
12)(1(61++>
+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,
当2=n 时,
2191411)12)(1(6n
n n n ++++<++ ,所以综上有35
191411)12)(1(62<++++≤++n n n n .
例6.已知21n n a =+，()12x f x -=，
求证：()()()121126
n n T b f b f b f n =++
+<
． 证明：由于()()()
()()()()11
111212111111222212121212121n n n n n n n n n n b f n +-++++-+??=?=?=- ?
++++++??
()()()122231111111
1122121212122121n n n n T b f b f b f n +??????
??=++
+=-+-+
+- ? ? ???++++++????
????
1111111212212126
n +??=-
)(，数列{}n a 的首项)(,2
1
11n n a f a a ==
+. (1) 求证：n
n a a >+1；(2) 求证：6n ≥时211
2111111<++++++<
n
a a a .
证明：⑴ n n n a a a +=+2
1，∵2
11=
a ，∴n a a a ,,32都大于0，∴02
>n a ，∴n n a a >+1. （2）
n
n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=
+11
1)1(1112
1
，∴11111+-=+n n n a a a .故 1
1113221211
211111*********+++-=-=-++-+-=++++++n n n n n a a a a a a a a a a a a ∵4321)21(22=+=a ,14
3
)43(23>+=a ,又∵n n a a n >≥+12，∴131>≥+a a n .
∴21211
<-
<+n a , ∴211
1111121<++++++<
n
a a a . 四、分类放缩
例8.当,3Z n n ∈≥，时，求证:2
1214131211n
n >-+???++++
证明:当21==n n ，时不等式显然成立.
）（）（）（n n n n 2
121212121212121212111214131211333322+???+++???++++++++>-+???++++
2
n >
. 例9. 已知2
2[2(1)]3
n n n a -=
--.证明：对任意整数4>m ，有8711154<+++
m a a a . 分析：不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。 而左边=
23245
11
13111
[]22121
2(1)
m m
m a a a -+++
=+++
-+--，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：
3
2322
1
21121121+>++-，4
3432
1
21121121+<-++，因此，可将1212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时，
m a a a 11154+++ )11()11(11654m m a a a a a +++++=- )2
1
2121(2321243-++++ 11(4123214--?+= m 8321+<87 = （2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数， 8 711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a . 所以对任意整数4>m ，有 m a a a 11154+++ 8 7 <。 五、利用函数单调性（导数）放缩 例10. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<, ()1n n a f a +=; 数列 {}n b 满足1111 ,(1)22 n n b b n b += ≥+, *n N ∈.求证: （Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2 n n a a +< （Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n n b a n >?. 分析：第（1）问用数学归纳法证明；第（2）问利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。 证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈. （1）当n=1时,由已知得结论成立； （2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时, 因为0 x f x x x '=- =>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0) 又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<. 综上可知10 1.n n a a +<<< (Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)= 2 ln(1)2 x x x ++-, 0 ()01x g x x '= >+,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而2 1.2 n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b += ≥+,所以0n b >,1n n b b +12n +≥ , 所以1 2112 11 !2 n n n n n n b b b b b n b b b ---= ??≥? ————① 由(Ⅱ)21,2n n a a +< 知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31 212 12 122 2 n n n a a a a a a a a a --?< , 因为12 a = , n ≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 112 122 2 n a a a a - 2n ————② 由①② 两式可知: !n n b a n >?. 例11.求证：)(6 6 5333 ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln *N n n n n n ∈+- <++++ . 证明:先构造函数有 x x x x x 1 1ln 1ln -≤? -≤,从而 )3 1 3121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ 因为??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212 1 918171615141312131 3 12 1 6533323279189936365111n n n n n =??? ? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以6 65365133 3 ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln +- =- -<++++n n n n n n 高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。 一、放缩后转化为等比数列。 例1. {}n b 满足：2 111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+ （1） 用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：1 2 n T < 解：(1)略 (2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥ 132(3)n n b b +∴+≥+ ， * n N ∈ 迭乘得：11 132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111 ,32 n n n N b +∴ ≤∈+ 234111111111 (2222222) n n n T ++∴≤ ++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“2 1(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去 掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！ 二、放缩后裂项迭加 例2．数列{}n a ，1 1 (1)n n a n +=-，其前n 项和为n s 求证：22 n s < 解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令1 2(21) n b n n = -，{}n b 的前n 项和为n T 当2n ≥时，1111 ()2(22)41n b n n n n ≤ =--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤ +++-+-++-- 71104n = -< 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。 例3.已知函数()(0)b f x ax c a x =+ +>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =- （1）用a 表示出,b c （2）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围 （3）证明：1111...ln(1)232(1) n n n n + +++>+++ 解：（1）（2）略 （3）由（II ）知：当)1(ln )(,2 1 ≥≥≥ x x x f a 有时 令).1(ln )1 (21)(,21≥≥-==x x x x x f a 有 且当.ln )1 (21,1x x x x >->时 令)],1 11()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),1 1 1(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得 ,) 1(21)13121(21)1ln(++++++< +n n n 整理得 .) 1(2)1ln(131211+++>++++ n n n n 点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。 三、放缩后迭乘 例4．*111 1,(14)16 n n a a a n N +== ++∈. （1） 求23,a a （2） 令n b ={}n b 的通项公式 （3） 已知1()63n n f n a a +=-，求证：1 (1)(2)(3)...()2 f f f f n > 解：（1）（2）略 由（2）得2111()()3423n n n a = ++ 13231 ()21142424 n n n n n f n ∴=++---=- 121111111211(1)(1)11144444411114111444n n n n n n n n n n ------+++-+-==> +++ 1 114()114n n f n -+∴> + 21 1111111114444(1)(2)...() (111122) 1144 n n n f f f n -++++∴> ?=>+++ 点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n 项和时用迭加，求n 项乘时用迭乘。