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初三圆知识点复习总结

初三数学圆知识点

一.垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

简单记成：一条直线：①过圆心②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧弧

以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①

AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④⌒BC =⌒BD ⑤⌒AC =⌒AD

中

任意2个条件推出其他3个结论。

例1．如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ___．例2 ．已知⊙O 的直径10CD cm =，

AB 是⊙O 的弦，8AB cm =，且AB CD ⊥，垂足为M ，则AC 的长为（ C ）

．

或

例3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A 、B ，并使AB 与车轮内圆相切于点D ，做CD⊥AB 交外圆于点C ．测得CD=10cm ，AB=60cm ，则这个车轮的外圆半径为．

例4、如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A ．点P B ．点Q C ．点R D ．点M 二、圆周角定理

1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB ∠和

ACB ∠是⌒AB

所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠

2、圆周角定理的推论：

推论1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90︒圆周角所对的弦直径推论2：圆内接四边形的对角互补；

由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等； 2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等；简记：在同圆或等圆中，①弦②圆心角③弧中只要一个相等，其它两个也相等。

例1、如图，已知A 、B 、C 三点在⊙O 上，AC ⊥BO 于D ，∠B =55°，则∠BOC 的度数是 70° ．

例2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

例3、如图，□ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙0上，顶点C 在⊙0的直径BE 上，连接AE ，∠E=360

，

则∠ADC=( ) A,440 B．540 C．720 D．530

学生练习：

三、与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆内⇔______；点在圆上⇔_______；•点在圆外⇔_______．

2．直线与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d ，那么：

（1）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_____，公共点叫做_____，此时d_____r ；（2）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的______，公共点叫做______，此时d_______r ．（3）直线和圆有____个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d______r ． 3.切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠

例1.已知⊙O 的半径为3,A 为线段PO 的中点,则当OP=6时,点A 与⊙O 的位置关系为( )

A.点在圆内

B.点在圆上

C.点在圆外

D.不能确定

2.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长为

,以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

3.如图所示,⊙O 的外形梯形ABCD 中,如果AD ∥BC,那么∠DOC 的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°

4.如图所示,PA 与PB 分别切⊙O 于A 、B 两点,C 是AB 上任意一点,过C 作⊙O 的切线,交PA 及PB 于D 、E 两点,若PA=PB=5cm,则△PDE 的周长是_______cm.

5、如图2，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(3,0)-，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为 A ．1 B ．1或5 C ．3 D ．5

6、如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作半圆⊙O 交AC 与点D ，点E 为BC 的中点，连接DE ．

（1）求证：DE 是半圆⊙O 的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD 的长．

7．如图，在△ABO 中，OA=OB ，C 是边AB 的中点，以O 为圆心的圆过点C ．（1）求证：AB 与⊙O 相切；（2）若∠AOB=120°，

AB=4

，求⊙O 的面积．

(

第6题)

8.如图所示,点I 是△ABC 的内心,AI 的延长线交边BC 于点D,交△ABC 外接圆于点E. (1)求证:IE=BE;(2)若IE=4,AE=8,求DE 的长.

9、已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线2

y x =上的一个动点．

（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的相切；（2）设直线PM 与抛

物线2

y x =的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．

练习：

8、如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，则（x ﹣y ）的最大值是 2 ．

D B

9、已知△ABC 内接于⊙O ，过点A 作直线EF ．

（1）如图①所示，若AB 为⊙O 的直径，要使EF 成为⊙O 的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： ∠BAE=90° 或者 ∠EAC=∠ABC ．

（2）如图②所示，如果AB 是不过圆心O 的弦，且∠CAE=∠B ，那么EF 是⊙O 的切线吗？试证明你的判断．

四.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：180n R

l π=；（2）扇形面积公式： 213602n R S lR π=

= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积

2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图： 2S S S =+侧表底=222rh r ππ+

（2）圆柱的体积：2

r h π=

3、圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2

Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：213

V r h π=

4、正多边形的其它性质

(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似。

5、正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n 边形的有关计算公式

n n n 00

03601801802)1(-=-=）（每个内角；n

0360=

每个外角（2）n R a n 0

180sin 2⋅=边形边长正，n

R r 0

180cos ⋅=内切圆半径，a n n ⋅=

边形周长正

(3)n

n nR a r n S n 002

180cos

180sin Pr 2121⋅⋅==⋅⋅⋅=边形面积正注意：①同一个圆的内接正n 边形和外切正n 边形是相似形，相似比是圆的内接正n 边形边心距与它的半径之比n

180cos =。

这样，同一个正n 边形的内切圆和外接圆的相似比n

180cos =

例1、一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm 、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（）

A ．

83cm B ．163cm C ．3cm D ．4

cm 例2、

已知圆的半径是）

C 1

D 1

（A

）（B

）（C

）（D

）

4、如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是（）

A ． R 2﹣r 2=a 2

B ．a=2Rsin36°

C ．a=2rtan36°

D ．r=Rcos36°

5、如图,⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D. （1）求弧BC 的长；（2）求弦BD 的长.

6.三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I ”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示．

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G 表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点．

例1、∆ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则∆ABC 的外接圆半径是 .外切圆半径为

7.辅助线总结圆中常见的辅助线

1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．

2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明． 3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算． 4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．

5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．

8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径． 9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．

10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点． 11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．

初三数学圆的知识点总结及例题详解

初三数学圆的知识点总结及例题详解 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形.

圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝, 那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个个个 D.不能确定 ? B ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D D C A O ? D B C A O ? D B C A O

初三数学圆的重要知识点总结

初三数学圆的重要知识点总结初三数学圆的重要知识点总结在平日的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。想要一份整理好的知识点吗？以下是小编收集整理的初三数学圆的重要知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。初三数学圆的重要知识点总结篇1 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4.圆是定点的距离等于定长的点的集合 5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7.同圆或等圆的半径相等 8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 12.①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d>r 13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角 19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r ③.两圆相交 R-rr) ④.两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr) 21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 27.正三角形面积√3a/4 a表示边长 28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 29.弧长计算公式：L=n兀R/180

初三数学圆知识点总结初三数学圆知识点

初三数学圆知识点总结初三数学圆知识点一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧：小于半圆周的弧。 (2)优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。

初三年级数学圆的知识点归纳

初三年级数学圆的知识点归纳【篇一】 1.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上d=r;②点在圆内dd>r. 二.圆的对称性： 1.与圆相关的概念： ④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ⑧弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距. 2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三.圆周角和圆心角的关系： 1.圆周角的定义：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. 2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等; 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 四.确定圆的条件： 1.理解确定一个圆必须的具备两个条件：经过一点能够作无数个圆,经过两点也能够作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念： (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.

初三数学圆知识点总结完整版

初三数学圆知识点总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

初三数学圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角． (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d． (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R． (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R． (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d

(完整版)初三圆知识点复习总结

初三数学圆知识点一.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧简单记成：一条直线：①过圆心②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧弧以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ① AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④⌒BC =⌒BD ⑤⌒AC =⌒AD 中任意2个条件推出其他3个结论。例1．如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ___．例2 ．已知⊙O 的直径10CD cm =， AB 是⊙O 的弦，8AB cm =，且AB CD ⊥，垂足为M ，则AC 的长为（ C ） A ．2 5cm B ．45cm C ．2 5cm 或45cm D ．23cm 或43cm 例3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A 、B ，并使AB 与车轮内圆相切于点D ，做CD⊥AB 交外圆于点C ．测得CD=10cm ，AB=60cm ，则这个车轮的外圆半径为．例4、如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A ．点P B ．点Q C ．点R D ．点M 二、圆周角定理 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB ∠和 ACB ∠是⌒AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：推论1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90?圆周角所对的弦直径推论2：圆内接四边形的对角互补；由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等； 2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等；简记：在同圆或等圆中，①弦②圆心角③弧中只要一个相等，其它两个也相等。例1、如图，已知A 、B 、C 三点在⊙O 上，AC ⊥BO 于D ，∠B =55°，则∠BOC 的度数是 70° ．例2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（） A ． B ． C ． D ． O E D C B A D C B A O

初三关于圆的知识点归纳

初三关于圆的知识点归纳圆的知识点归纳：一、概念 1. 圆：一种特殊的平面图形，它的特点是：任意一点到图形中心的距离都相等。 2. 圆形：外部形状都是圆的三维空间图形，它的特点是：任意一点到图形中心的距离都相等。二、圆的属性 1. 抛物线：圆的轨迹是一条抛物线。 2. 半径：指从圆心到圆周上任一点的距离，其单位为米。 3. 圆心：指圆形中最重要的点，它是圆形的所有点到它的距离都相等。 4. 圆周：指圆形外围的部分。 5. 弦：指圆形中任意两点连接的线段部分。 6. 中线：直线与圆周的交点，指多边形的边上的两个点和圆的交点连线所形成的线段，会穿过圆心。 7. 圆的四边形：指四条边都是圆的多边形。三、圆的定义

1. 圆的内接四边形理论：圆的四边形构成一个凹形，它的四个内角和其他顶点都构成了圆的内接四边形。 2. 圆弧定义：圆周上任意两点到圆心平分线的距离都一样，它是以圆心形成的一组一部分。 3. 面积定义：圆的面积是指它包含的图形空间量，公式为：S=PIR2 4. 内切/外切定义：圆的内切定义为指它包含的图形空间量，而外切定义为指任意点在圆周上所形成的最大的多边形空间量。四、圆的运算 1. 直面射：把它作为圆形的圆形坐标系，可以用来定义圆形的圆形，以及求有关圆形的运算。 2. 圆面积公式：求圆形面积时可以用小圆面积公式，或半径平方乘以圆周率π来求得。 3. 圆周长公式：求圆形周长时可以用半径乘以圆周率的2倍来求得。 4. 内切外切半径：一个园的内切半径是指，在该圆内某一点到圆心的距离；外切半径是指，某一点到圆心的最大距离。 5. 极坐标：它由极轴、极角和极径构成，极角代表从极轴起点开始角度，极径是从圆心到任意一点的距离。

圆九年级知识点总结

圆九年级知识点总结一、圆的定义和性质 1. 圆的定义：圆是由平面上与一定点的距离都相等的点组成的图形。 2. 圆的要素：圆心、半径和直径。 3. 圆的性质： a. 圆心到圆上任意一点的距离相等。 b. 圆的直径是圆上任意两点的最长距离，直径是半径的2倍。 c. 圆的周长是圆周上任意一段弧长。二、圆的周长与面积计算 1. 周长公式：C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14。 2. 面积公式：A = πr²，其中A表示面积，r表示半径，π是一个常数，约等于 3.14。 3. 解题技巧： a. 已知半径求周长或面积：根据公式直接计算。

b. 已知直径求周长或面积：先将直径除以2得到半径，再根据公式计算。 c. 已知面积求半径或直径：根据面积公式求解，注意单位的转换。三、弧长和扇形面积 1. 弧长：圆上两点间的弧长是圆周的一部分。弧长公式：L = 2πr * (θ/360°)，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。 2. 扇形面积：以圆心为顶点的两条半径所围成的区域。扇形面积公式：A = 0.5 * r² * (θ/360°)，其中A表示扇形面积，r表示半径，θ表示扇形所对的圆心角的度数。 3. 解题技巧： a. 已知弧长求圆心角：根据弧长公式，将已知条件带入计算。 b. 已知扇形面积求圆心角：根据扇形面积公式，将已知条件带入计算。四、切线与弦

1. 切线：与圆相切于一点且在该点的切线垂直于半径。切线定理：切线与半径垂直。 2. 弦：圆上连接两点的线段。 3. 弦长定理：圆内弦的两边所夹的圆心角等于其所对的弦的圆心角的一半。五、相交弧和相交线段 1. 相交弧：当两个圆相交时，每个圆上都有两个弧与相交点相对应。相交弧的性质：相交弧的和为360°。 2. 相交弦：当两个圆相交时，连接相交点的线段称为相交弦。相交弦的性质：相交弦的和相等于且只等于它们夹的相交弧的和。六、正多边形的内角和与外角和 1. 正多边形：所有边和角都相等的多边形。 2. 正多边形的内角和：对于n边形，其内角和为(n - 2) * 180°。 3. 正多边形的外角和：对于n边形，其外角和为360°。

初三圆知识点总结

初三圆知识点总结圆知识点是数学中的重要考点，我们应该怎么才能更好地进行掌握呢?下面是小编推荐给大家的初三圆知识点总结，希望能带给大家帮助。初三圆知识点总结 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4.圆是定点的距离等于定长的点的集合 5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7.同圆或等圆的半径相等 8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 12.①直线L和⊙O相交 d ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d>r

13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角 19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离d>R+r ②两圆外切 d=R+r ③.两圆相交 R-rr) ④.两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr) 21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 27.正三角形面积√3a/4 a表示边长 28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 29.弧长计算公式：L=n兀R/180 30.扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2 31.内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 32.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

初三圆知识点总结

初三圆知识点总结篇一：初三圆知识点总结 1、圆的有关概念：（1）确定一个圆的要素是圆心和半径。（2）①连结圆上任意两点的线段叫做弦。②经过圆心的弦叫做直径。③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。 2、圆的有关性质（1）定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 。90 的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

初三圆知识点总结

初三圆知识点总结初三圆知识点总结在初中数学学习中，圆是一个重要的几何图形，我们需要了解圆的相关知识点。下面是初三圆的知识点总结。一、圆的定义与相关性质 1. 圆是由平面内与一个确定点的距离相等的所有点的集合构成的图形。 2. 圆心：确定圆的唯一一点，用字母O表示。 3. 半径：连接圆心与圆上任意一点的线段，用字母r表示。 4. 直径：通过圆心的两个相对点之间的线段，直径的长度等于半径的2倍，用字母d表示。 5. 圆周率π：π是一个无理数，它的十进制表示约等于3.14。π的值取近似值3.14或用分数表示时取22/7. 6. 圆与直径的关系：直径是圆的最长的一条线段，两个相对点之间的长度为直径的长。二、圆的重要公式 1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。 2. 圆的面积公式：S = πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径。 3. 弧长公式：L = 2πr(θ/360°)，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示对应的圆心角的度数。三、弧、弦、切线与它们之间的关系

1. 弧：是圆上的一段弯曲的线段。 2. 弦：是圆上两点之间的线段。 3. 弧度：用弧长等于半径的弧的角度，叫做1弧度。 4. 圆心角：以圆心为顶点的角。圆心角的度数等于它所对应的弧的弧度。 5. 弧长和圆心角的关系：弧长等于半径与对应圆心角的乘积。 6. 切线：与圆相切的直线，且只有一个交点。四、圆的相交关系 1. 相离：两个圆没有任何公共点。 2. 外切：两个圆相切于一个点，且两个圆的半径相加等于这个点到两个圆心的距离。 3. 相交：两个圆有两个交点，且两个圆的半径之差的绝对值小于两个圆心之间的距离。 4. 内切：两个圆相切于一个点，且这个点在其中一个圆的内部，两个圆的半径之差的绝对值等于这个点到两个圆心的距离。 5. 包含：一个圆包含另一个圆，且两个圆的半径之差的绝对值大于两个圆心之间的距离。五、圆锥曲线与圆柱曲线 1. 圆锥曲线：是指在平面上，一个移动的点P，以定距离A、 B两点为两焦点，始终与这两点的距离之比为常数e（离心率），所形成的图形。 2. 圆柱曲线：是指在空间中，一个移动的点P，以一条线段为准线，始终与准线的距离之比为常数e（离心率），所形成的图形。

初三有关圆的知识点

初三有关圆的知识点一 1、圆的有关概念： (1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。 (2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。②经过圆心的弦叫做直径。③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。 2、圆的有关性质 (1)定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 (2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 (3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 。90 的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 (4)切线的判定与性质：判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。 (5)定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．随意一个三角形肯定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点肯定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° • • C B A O • B O C A D • D B C A O

(完整版)九年级数学圆的知识点总结大全

第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长：C=2 n r或C= n d、圆的面积：S= n r2 圆环面积计算方法：S=冗R2-n r2或S= n(R2-r2) (R是大圆半径，r是小圆半径) 二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：至V定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点0为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：至V角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r点C在圆内; 2、点在圆上 d r点B在圆上; 3、点在圆外 d r点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离无交点;

五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1 :（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; 2、直线与圆相切 d r 有一个交点; 3、直线与圆相交四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点 d R r ；外切（图2）有一个交点 d R r ；相交（图3）有两个交点内切（图有一个交点无交点 d r 有两个交点; 内含（图 5 ）