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高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5

-1 O i T

-2

图 10 - 1

数，故

/, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y

1 )3 dcr.

fh i)i

又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2

+ j2 ) 3dcr =

2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 .

Dy 1)：

从而得

/, =

4/ 2 .

( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：

如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ

jf/ ( x, y)da = 0；

如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于：

c 是奇函数，即

/ ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则

= 0.

利用二重积分定义证明：

( 1 ) jj

= ( 其

中

(

为的面积 ) ；

(2)

JJ/c/(

X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■

( 其

中

A ：为常数 ) ；

o n

(3 ) JJ/( x,y)clcr =

JJ/( x,y)drr

jJ/( x ,y)

dcr

,其中/) =

/)!

U /) 2，， A 为两个

I) b

尤公共内点的 WK

域 .

证 ( 丨 ) 由于被

枳函数. / U,

y) =

1 , 故山

二

t 积分定义得n "

9 6 一、《高等数学》 (第七版 )下册习题全解

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

= l i m cr = a.

A — 0

( 2

) / ( , )

( Ic7 = lim ^ Ji x j

1 n

= A lim y/ ( ^ ( , i7, ) A ( 7- , = kf{ x, y) Aa.

- ° 台

? { !

( 3) 因为函数 / U ， y) 在闭区域 / ) 上可积，故不论把￡? 怎样分割，积分和的极限总是不变的 . 因此在分割 D 时 , 可以使和 / ) 2 的公共边界永远是一条分割线 .这样 fix. y) 在 A U D 2 上的积分和就等于 & 上的积分和加 D 2 上的积分和，记为

^/(^, , 17,) A , = ^/( ^, , 17,) A C T , + ^/(^, , 17,) A ,.

CT CT

/) ( , ", l ： )

U0 令所有的直径的最大值 A - 0, 上式两端同时取极

限，即得 J

f( x, y) i\a = jj f( x,y)da + JJ/( xf y)

da.

p,un } V

, n ；

4. 试确定积分区域 / ) ，使二

重积分

][(1 - 2x 2 - y 2 ) d? l y 达到最大值 . Sa

解由二重积分的性质可知，当积分区域 / ＞包含了所有使被积函数 1 - 2. v 2

- V 2

大于等于零的点，而不包含使被积函数 1 - 2/ - y 2

小于零的点，即当￡? 是椭圆 2/ + y 2

= l 所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大 .

& 5. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

( 1) Ju+ y) 2

山 7 与 J[ U ，其中积分区域 D 是由 x 轴、 ^ 轴与直线 A + . 、 =

D I) 1 所围成；

( 2

) J(x + 7) 2

如与 ■ ，其中积分区域 0 是由圆周 (. r- 2)2

+ (. v-

l) 2

= t) n 2 所围成；

( 3 ) I' M

A ； + y)

( lor

与 ! " [ In(

X + y) ] 2 ( 1 ( 7 ，其中 Z ＞是三角形

闭 K 域，三

顶点分别为

l) "

(1 ， 0) ， (1 ，

1) ， (2,0);

( 4

) Jpn(:

r +

)dc

与I n(:

+ ) ] 2 fW ，其中 / ) = |

(.r ,. v) | 3 ， 0

彡、

彡

i ) i)

解 ( 1) 在积分 K 域 0 上，故有

(x + j) 3 ^ (x + y) 2 .

根据二重积分的性质 4 ，可得

J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)

0 D

( 2) 由于积分区域0 位于半平面 | ( A:， V ) | .V + ? 、彡 1 1 内，故在 / ) | : &

(.f + y) 2彡 ( A + y) 3? 从『("? J( v + ＞ ) ： drr ^ jj ( x + y) \l f r.

第十章重积分 9 7

( 3) 由于积分区

域 D 位于条形区域 1 U ， ) | 1 彡 1 + 7 彡 2 丨内，故知区域 / ) 上 y 的点满足 0 彡 InU + y) 彡

1，从而有 [ lnU + y ) ] 2

彡 lnU +. y ). 因此 j

j [ ln( A

: + y) ]

( Jo- ^ + y)d

( 4) 由于积分区域 / ) 位于半平面丨 ( x ， y) | . v+ y 彡 e|内，故在 Z) 上有 ln( x+ y) 彡 1， 2 In (:c + ) ' ).

因此

从而： In (-v + ) ' ) ] 彡 Jj^ 1 n(.r + y) ] 2

dcr ^

Jln( x + y) da.

) a 3 6. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：

(1) / = |^ 7( 文 + 7 )心，其中 /)= \ (x ,y) 1,0 1|； n

( 2 ) / = j ^ ^ sin^d o ■ ，其中 / ) = j ( : ) | 0 ^ ^ ^ ,0 ^ y ^ 1 ; sin A ,y TT TT i)

( 3) / = J*(A ： +y + l ) d( 7, 其中 />= { {x,y) | 0 ^ x^ l , 0 ^ j ^ 2 [ ；

( 4) / = J(x 2

+ 4y 2

+ 9 ) ? ，其中 D = 2 2 ^ 4

|. do x + y I)

解 ( 1 ) 在积分区域 D 上， 0 矣 ; < : 矣 1 , 0英 y 矣 1 , 从而 0 矣巧 ? ( * + y ) 矣 ? 又￡? 2 的面积等于

1, 因

此

( 2 ) 在积分区域 / ) 上， 0 矣 sin J: 矣 1 ,0 ^ sin 1，从而 0 彡

sin 2A ： sin 2

y 彡 1，又 0 的

面积等于 TT 2

, W 此

( 3 ) 在积分 K 域 " 上有 ^ x+y + ? 4 , / ) 的而积等于 2 , 因此

( 4 ) W 为在积分 K 域 / > ? 上

有 0

矣 ; t 2 + y 2

苳 4, 所以有 9 ^ + 4 r 2

+ 9 ^ 4( x + y ) + 9 矣 25.

2 2

3 4 I) 的酣枳等于

4TT ， W 此

3 6 2

+ 9 ) (Ur ^ lOO - ir .

TT ^ [ [ ( x + 4/

二重积分的计算法

. ^ 1. 计算下列二甩积分 :

于区

是域

9 8 (. 43 A COS)可用JC 2 2 2 2 r 2 -x JC+ 2 x 2 3 2 2 2 ) 围dx 成的j 闭20区域； 3 +

不等式表示为 | ( 4 m2| )(1:lD< 3 x( 十 +2)y)(;x+dcrda3x4，=-y+其VI+x 中y)y"d(T+是)3xyv"=cos(da 由-两f=.dxfvy 坐+i>标](vl~(文轴X)dx 及-h=+直V3线.r)dx-Xdv+-V+2 、xv-、=2x)2ch 听. b cos .v —rus TT rT

I 卜 ( [ ｛高等数学＞ TT

. fh

( 第七叛 )下册习题全第

- ) + ) ] Q( ) ^ = ^J V ( ^sin 2.v sin .v <1 3 0sin^ V(.t ^ Ay ： , 0 .t ；

( 3 J jj( x J 2 + v ) 7 T ，. 其中 D = ( X v) 0 ^ A :

^ 1 . 0 ^ v ^ 1 + 3 x da x ,

u 1 X

( -

( 4 ) jjxcas( 的三角形闭

& 2. _ 出枳分 ix: 域，斤

x x( ( cos .v — 丄 (.<， s 2. v)

X + Y j do ■ ，其中 Z > 是顶点分别为 ( 0 . 0 j < 77 , 0 ) 和 ( 77 , 77 )

i 卜 r): v 列 m 分 :

第十章重积分 9 9 ( 1 ) J^ ^ do ■ ，其中 / ) 是由两条抛

物线 7 = v^,y = * 2

所围成的闭区域； ( 2 ) D = 4 及 y 轴所围成的右半闭区域；

jfxy dcr, 其中 D 是由圆周 x 2 + J 2

2 I) (

3 ) JV + 'dcr ，其中 / ) = I ( % ， ) ? ) | | A ； | + | J | ^ 1 ! ； D

矣

(

图

- ).

x ^ y^ J^, 0 x 1 10 2

( 4 ) |" U 2 + / - x)

解 ( 1) 0 可用不等式表示为 D 是由直线 y :l 、 y 二

xh :

2* 所围成的闭区域 . 于是 ( 2 )

D 可用不等式表示为 0 ? ^ ^ / 4 - y 2 , - 2 矣 7 矣 2 (

图

1 0 - 3 ) ,

( 3 ) 如阁 I ( ) - 4 ， W = / U " 2，其中

/>1 I ) 2

= =

-- ( x ,y ) - x -

( x ,y ) |*-1

;

因此

1 0 0 一、《高等数学》 (第七版 )下册习题全解

Ea3. 如果二重积分 |/ ( . r, y) 心办的被积函数 / ( x ， v) 是两个函数

/ ] ( O 及 ) 的乘

积，即 /(X ， y) = f\(x) ./ “y) ，积分区域 / ) = { (. V , ) I (1 ^ V ^ / > , r ^ , 证叫

y 这个二重积分等于两个单积分的乘

枳，即

|*/|U) -/ 2 (r) fl atly = [ J/, (. v)(l.v] - [ [/ ： ( > ) ^v]

- 证 Jj. /1 ( x ) ? .,2 ( / ) dvd V ~ J [ f J ( v )

■ . / ： t ^ ] l ^ x *

在上式右端的第一次单枳分

f / , ( .V ) ?

/2 ( .V ) d

中,.

/ ,

( A .

)

u t 变招 : 、无关， nn

见为常数提到积分5 外， W 此上式

“端笏

第十章重积分 1 0 1 而在这个积分中，由于 f/ 2 ( y) d y 为常数，故又可提到积分号外，从而得到

? f 2 < ,y) ^ xAy= [ | / 2( y) dj] - [ Jn / , (x)

dx ]

证毕 .

^4. 化二重积分

/= Jf(x ， y )da

为二次积分 ( 分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分 ) ，其中积分区域￡>

是:

( 1 ) 由直线及抛物线y2 = 4 x 所围成的闭区域；

( 2 ) 由 x 轴及半圆周 / + y2 = r2(y 英 0) 所围成的闭区域；

( 3 ) 由直线 y = x，； c = 2 及双曲线： K = ^ - ( * > 0 ) 所围成的

闭区域；

( 4 ) 环形闭区域IU ， y) | 1 + y2^ 4(.

解 ( 1 ) 直线y= x 及抛物线 y2 = 4; c

的交

点为 ( 0, 0 ) 和 ( 4 , 4 ) ( 图 1 0 - 6).

于是

fix

f( x, y) dy,

/ = j[ dy^ / ( * ， y) tk.

( 2 ) 将 / ) 用不等式表示

/ 化为如下

的先

对

y、' fyO^ y^ r - x2， - r ^ W

/ ?，于是可将

后对 * 的二次积分：

/ = J ( 1

文 J

f(x ,y)(\y ；

2 2 2 2 如将 0 叫不等式表示为 ~ Vr - y ^ x^ Vr - y

, 0 各 / ?

，则可将 / 化为如卜的

先对

* 、

后对 y 的二次枳分：

( 3) 如图 1

0- 7.

( 2, 21).0于2是:条边界曲线dr 两两相交，先x,y)求dx得. 3 个交点为 ( 1 , 1 ) ， 2, y 和

一、《高等数学》 (第七版 )下册习题全解

| dxj[f(x,y)dy.

注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区

域的边界曲线的情况，选取恰当的积分次序 . 本题中的积分区域 / )

的上、下边界曲线均分别由—个方程给

dy (i_/(^,y) + tlj /( x ,y)

dx.

出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况

下采取先对 y、后

对^ 的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用

相反的枳分次序则需计算两个二次积分 .

需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数 /U , y) 的特点 .

具体例子 n] ' 见教材

下册第 1 44 页上的例 2.

?\/4

dx J\x y y)dy + d.vl / (. r, v) d> -f

( 1

■y

/ ( A ： , y)clr +

d.vl A -x

/(.v Vv)

dv.

%/T

/ (. v, v) d.v -f

-v^ W"

. /

4 厂

/ ( , > ) d.v 、/4 -、?'

- 、

/ ( v , y)

( l . \.

-f ?I

( 4 ) 将D 按图 10 - 8( a) 和图 10 - 8( 1 > ) 的两种不同方式則分为 4 块，分別得

重积

1 0 3

d.t.

图 10 -8

, 5. 设 / U ， Y ）在 D

上连续，其中

/ ）是由直线

; =

所围成的闭区

域，证明

dx |

f(x,y)Ay

证等式两端的二次积分均等于二重积分 J/ U , y ） d o? ，因而它们相等 .

I ）

^ 6.改换下列二次积分的积分次序：

(2) J) dj |： f(x,y)dx ；

解（丨）所给二次积分等于二重积分 J[ / U ， ; K ）（ ^ ，其中 o = 丨 h ， y ） 1°^ ^ ^

广 2

f yix -x 2 ( 4 ) | 叫 2 f{

x, y)

dy- , fix /-sin x

(5) (lx\ f{x,y)Ay\ ( 6 ) I J(x, y) Ay.

JO J - siny

r- " 0 ^ j ^ I （ . /> n|■改写为 | Uj ） | * 矣 y 矣 1， 0 ^ ^ I | （罔 10 - 9 ） ,

于是

原式 = 丄

( 2 ) 所给一 . 次枳分等于二 ' Ti 积分 |/ U , y) 山， . K : 中 / ) = I

|. y 2

^ ^ < 2y,

0 ^21. M I) njm 为 {u ’y) I 音矣 j ^ 7^,0 ^ x 在 4)( 1 冬 1 1(> - I0) ， W 此

原式 = J, xjy/ ( x, y) y.

1 0 4 《高等数学＞（第七版）下册习题全解

( 3 ) 所给二次积分等于二重积分 .

其中 D = : (. . ) | - 1 v v V

U X ^ 1 - y 2

,0 彡 > ? 彡 1 ; ? 又 D 可表示为： ( JC ， )*) 丨 0 彡 y 彡 V 1 - . r 2 , - 1 = J ( 图 10 - 11) ，因

此 f 1 f V1 -X~ 原式 =J ^ dxj / ( x,

v) dy.

( 4 ) 所给二次积分等于二重积分

其中 D = : (. v. v) ' 2 -

彡 .r 彡 2 :. 又 D 可表示为： ( A: , V ) | 2 - 1 彡 .t?

彡 1 + Y 1 — v 2 , 0 :

( 图

s/lx - x % 故

原式 = 丄 d)j

f(x % y)

dx. ( 5 ) 所给二次积分等于二重积分］ |/ (. 10 ) ( 1^ , ) 1 : 中 / )

= 1(. v. v) | 0 ^ v ^

-y 2 ^ .V ^ 1

$ 、飞

V 彡 1

10 - 12) ，

x 彡 e | ? 又 / ) 可表示为 | ( A : ，＞ ? ) | e 、彡 A

? 彡 e ， 0 彡、彡 1 i ( |劄 10 - 1, 故

原式 = L ( I. 、 | ,./X . 、， .、 ) ( l. v.

( 6 ) m 1 ( ) - 1 4, 将积分 | > < : 域 / ) 丧示为 / ), U/ ) 2 ，其中A) , = j U，、 ) | arcsin > ^

广 1 r ir - arcsin >

1 一 , 一彡彡 | .

于 T T - arcsin y ， 0 彡 y 彡 1 | ,D 2 = | (.r,

2arcsi n 1 )'

0 y) 原式 = I dy

/( x, y) dx.

是 y

1 0 5 第f( 十xy 章重积

y) c\x

JO Jarcsin )

^ 7. 设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 ;t = 2， y = 和 ; r 轴所围成，它的面密度

/ x(. t, v) = x 2 + y 2

, 求该薄片的质量 .

解 D 如图 1 0 - 15 所示 . 所求薄片的质

M = jJ/ Lt( x 9 y) dcr = ^ 2 2

dyj ( x + y ) dx

rt dr Ay

-x + xy r[ +(

2 3 2

”)+ ,

1 2

| 冬 | 1 0

- 1 5 8. i | 灯 |l |四个平而 A

： = 0 ， y = 0 ， ;t =

I ， v = I 所闲成的柱休被平面 z = 0 及 2.r + 3 y + z 6 藏得的立休的体积 .

Y = s i n A 的反闲数足 A =

i i r r s

?M y- - 1 x ( 子 ? 中， c\) ''i x E | o?? TT

足 ih y - H in x = sin ( T T - x)

"n! J TT - x ^ ar cKin y,

从 ifii 得 T T - iin- Hin ~ 反闲数 ^