理工大泛函分析复习题.docx
-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。证明
l + d(3)
也是X上的距离。
1、求证/(X,r)为3空间。(其中X为/空间，丫为B空间)
2、S是由一切序列兀=(召，兀2,?…,￡，???)组成的集合，在S中定义距离为
p(x，y ,求证S是一个完备的距离空间。
3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。
4、附加题
开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。是X的线性子空间，人是定义在X。上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足:
⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件);
(2)||/|| = UII0(保范条件),
其中表示人在X。上的范数。
闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是X T Y的闭线性算子，并且D(T)是闭的，则卩是连续的。
共鸣定理(毘9)设X是B空间，丫是￡空间，如果
Wu/(X,Y),使得sup||Ar|| AeW |A|| 五、(10 分)在C[0,1]上定义内积：厶[0,1],(x)g(x)必 (1)如果 /(兀)=疋一X + ；,求11/11； 6 9 1 (2)证明任?一函数g(x) = a + bx都正交于/(x) = x2 -X + — o 六、(10分)设M为Hilbert空间X的闭子空间，证明对每个xw X必存在唯一的x o eM, x-x0 = inf x-y yeM 七、（15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\且求||/||。 八、（15分）简答题 1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异; 2.泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明； 3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。 一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全 体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M十W二且丄。 设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0. 二、在R中赋予距离p（x,y） =| arctan x-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什么？设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从 Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门 四论述题： 1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。 3、证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。 ie[a,b] 设H是内积空间，￡，兀儿则当X" t X,儿Ty时，（￡,几）T（x,y）,即内积 关于两变元连续。 10?设叭叭皿赋范空何，?“ 八码），证明 ⑴+ 7V, （2） fit （】）任取f€E;及则 （T: + T t） V（r）r s）?> f（T^） + /（r?z > -r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） ? 山人工的任尴性.得： 《珀 + T护= + <2）由共馳算子性质1?■即得:工 7. i 殳T 足賦范空何E 到赋范空间上的线性右界算 子，如果存在正数乩 使符对任何乂€戌 |Tz|>6|x| 证明T 仔在逆算子T J 时仪幷H"1是仔界的? a 対f ?线竹奔十儿？？氏UEE )划由关系式 ”工14“阖为彩="?因此T 起材到&上的1-1映谢。所U 厂>“任。任取必疗住唯一的心:,使 Tx^y 令则易证足吊到￡的找性算子?由于 \Tx\>b\x\.所以 IT ?!/PkKj 因此T ' ;&閃到E 的线性仆界算子?沫 4?设M.是区间［a, &］上有界瓯数的全体，％中的 线性运祥与C ［a 』］中的相同，在M 。上定义范敷 l?l" sup ［?(0| ?<(<* 证明时。是巴拿般空间. 証 M 证耐。关于|?|成为賦范空间?现证M 。是完备的. 设仗■｝为M.中的基本列，那么对v^>O.^a ：N >0. g n>N 时，有 ?up I?4O-x w (t)| ???対”堆［a#h 右 JxXt)-x nl (O| (n, m >N) ??????(▲) P!此{况化”为一致墓本列?从而存在xW.使 一致 .. ' x,(O — x(O (n — oo) 显然x€ *V 0.在(▲》式中，固定"，令加一oo,便仔 1^(0 - x(i)|*5? (n^N) ?： |观?兀|= sup ?(t )l ? c ? ■ t … 7.证明：设｛e l9e 2,...,ej 是Hilbert 空间中的一个标准正交集，令 M =里初｛勺,勺,???，￡”｝，如果P 是H 到M 上的正交投影算子，则办w H,有 Px = ^{x,e k )e k o k=\ 3?设M 是Hilbert 空间H 的闭线性子空间，仁H ,且f.eM 是满足 ||/z-/o|| = M 。为巴拿赫空间.※ rf(7z,M) = inf||x-/z||的唯一元素,那么,h-f Q丄M。 4设X是内积空间,｛e n：nEN｝是X中的标准正交系，则对任意的xeX#成立Bessel 不等式： ￡|v心“ ＞『外『? n=l 7.证明：设｛勺心,…,—｝是Hilbert空间中的一个标准正交集，令 M =也劝｛勺,02，???,匕｝,如果P是H到M上的正交投影算子，则0兀w H,有 川 Px = ^(x9e k)e kO k=l 第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+- 4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则 P46: 第一章习题： 1.验证(),()d m 满足距离定义。 解：设{}i x ξ=，{}i y η=属于X ，α是数，()1 ,sup .j j j d x y ξη≥=- (1)对j ?，有0j j ξη-≥，所以1 sup j j j ξη≥-，(),0d x y ≥， 且1 sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=? -=?=，即(),0d x y =当且仅当.x y = (2) ()()1 1 ,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=； (3)设{}i z ζ= ()()1 1 1 1 ,sup sup ()()sup sup ,(,) j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1)，(2)，(3)，(),d 满足距离定义。 3.试证明：在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。 证：设{}()(),1,2, n n j x s n ξ= ∈=，{}()(0)0j x s ξ= ∈， ()?若0n x x →，则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞ ==， 否则，j N + ?∈，00ε>，与正整数列的子序列{}1k k n ∞ =，使()(0) 0,1,2, k n j j k ξξε-≥=， 因为()1t f t t = +是单调递增， 所以() () (0) 0()(0) 11,,1,2,2211k k k n j j n j j n j j d x x k ξξεεξξ-≥?≥?=++-， 这与() 0,0k n d x x →矛盾， 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。 ()?若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞ ==，则对j ?，0ε?>，0N N + ?∈，0n N ?>， 06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞→)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且.)\(δδ 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 四川大学期末考试试题（A卷） （2013——2014 学年第一学期） 课程号：303066030课序号：课程名称：计算机基础及C程序设计语言 任课教师：刘亚梅刘洋任瑞玲曾晓东余勤罗伟王茂宁王忠邓丽华成绩： 适用专业年级：2012级学生人数：印题份数：学号：姓名： 考试须知 四川大学学生参加由学校组织或由学校承办的各级各类考试，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》和《四川大学考场规则》。有考试违纪作弊行为的，一律按照《四川大学学生考试违纪作弊处罚条例》进行处理。 四川大学各级各类考试的监考人员，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》、《四川大学考场规则》和《四川大学监考人员职责》。有违反学校有关规定的，严格按照《四川大学教学事故认定及处理办法》进行处理。 一、单项选择题（每题1.5分，共45分）（注：本题及以下各题均以VC++6.0为软件编程平台） 1.一个C程序总是从_______开始执行的。 A）main函数B）程序的第一行 C）程序的第一个函数D）不固定位置 2.以下对C语言的描述正确的是。 A）函数允许嵌套定义B）编译时不检查语法 C）用户所定义的标识符必须以字母开头D）转义字符以“\”开头 3.下列C语言中运算对象必须是整型的运算符是。 A) %= B) && C) = D) *= 4.若有以下程序段：int c1, c2=3, c3=2; c1=（float）c2/c3;则执行后，c1、c2的值分别是。 A)0，3.0 B) 1，3.0 C) 0，3 D) 1，3 5.下列变量定义中合法的是。 A）short_a=0xda; B）double b=1+5e2.5; C）int a=‘A’; D）float 2_and=1-e-3; 6.若变量已正确定义并赋值，符合C语言语法的表达式是。 A）++(a+1) B）a=7+b/c=a++ C）a=a+7=c+b D）a=’\0’ 7.设int a=1,b=2,c=3,m=4,n=5,p=3;，则执行表达式(a=m 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此 四川大学硕士研究生入学考试主要参考书目 221英语: 《全新版大学英语综合教程》(第1-4册),上海外语教育出版社，2002年 222俄语: 《大学俄语(东方)》(第1-3册)，北京外国语大学、普希金俄语学院合编，1998年。 223日语: 《标准日本语》(初级)，人民教育出版社，1988年 224德语: 《德语速成》(第二版,上、下册)，外语教学与研究出版社,1996年； 225法语: 《法语》 (第1-2册)，马晓宏，外语教学与研究出版社，1992年； 401经济学原理: 1.《政治经济学》(上册)朱方明主编，四川大学出版社； 2.《当代西方经济学》李扬主编，四川大学出版社； 3.《国际经济学》李天德主编，四川大学出版社。 402经济学基础及应用: 《财政学》冯宗容主编，四川大学出版社2002年； 《西方经济学》李扬主编，四川大学出版社； 《货币银行学》张红伟主编，四川大学出版社。 403经济学原理: 《政治经济学》朱方明主编，四川大学出版社； 《当代西方经济学》李扬主编，四川大学出版社； 《中国城市地价论》杨继瑞主编，四川大学出版社； 《城市地产经济学》冯宗容主编，四川大学出版社。 405法学综合B: 包括刑法、民商法、诉讼法(刑诉民诉) 411人口理论基础:《人口社会学》胡伟略著，中国社会科学出版社2002年版 414中国文学(含中国古代、现当代文学): 《中国文学》(四卷本)刘黎明等四川人民出版社； 《中国文学史》(三卷本)章培恒等复旦大学出版社； 《中国现代文学三十年》钱理群人民出版社； 《中国当代文学史教程》陈思和复旦大学出版社 415现代汉语及古代汉语: 《现代汉语》(修订本)胡裕树上海教育出版社； 《现代汉语》黄伯荣等高等教育出版社； 《新编现代汉语》张斌复旦大学出版社； 2011年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习4 1、证明 1()l l ∞'=。 （第八章：P229，例题1） 2、设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子，若T 的零空间是闭集， T 是否一定有界？ （第八章：P236，#6） 解：令[]0,1X Y ?==，其中[]0,1?是[]0,1上多项式函数全体，视为C []0,1的子空间 T 是X 到Y 的微分算子。若0Tf =，则f 是常值函数。显然常值函数全体是闭子集，但T 是非有界的。（见教材底一节例九） 3、证明：A 是实内积空间X 上的自伴算子时，0A =的充要条件是对所有x X ∈，成立(),0Ax x =。 （第九章：P266，#16） 证明：0A =时。显然结论成立。 反之，对任意,x y X ∈，令V=ax+y ； （AV ，V ）=（A （ax+y ），ax+y ） =2a(Ax,y)=0 由y 的任意性，取Ax=y,则Ax=0； 由x 的任意性知，A=0 （这是参考教材P261，引理1做的） 4、设X 是实内积空间，若222 x y x y +=+，则x y ⊥，当X 是复内积空间时，这个结论是否依然成立？ （第九章：P265，#4） 解 当 X 是实内积空间且 222 x y x y +=+时，由 ()2 2 2 ,2,x y x y x y x y x y ++= +=++得,0x y =即x y ⊥ 在复内积空间上此结论不成立 ，例如0,x y ix ≠=，1x = ()2 ,x y x ix x ix +=++2222 ,,x y i x x i x x x y =++-=+ 但(),,x y x ix i ==-0≠ 泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 写给各位考研学子的话: 2019——2020年北京、天津、西南地区专业课考研，尤其是清华、北大、人大、北师、政法、川大、财大、电大、重大类专业课真题、押题、模考解析，学员专业课高分突破，大家如果复习困难，可以联系相应的群老师咨询和帮助。特别写在这里：每年的考研复习, 百分之八十以上的学生都有名校情结,但情结归情结，能否考上名校, 在名校遇见更好的自己，需要好的战略战术以及锲而不舍的奋斗精神。 而也是百分之八十的考生，尤其是本科还稍微不错的如中国传媒 大学的学生，如果想考北大，都会有一种极强而盲目的优越感，所以在整个考研复习过程中，老实抱有侥幸心理，我是川大的、我是财大的，我考北大清华，自然就比别人好，甚至有本专业考本专业的学生也经常这样，最后，该复习的没有复习到位，该打牢的基础没打牢, 所有考研成功目前有这样的趋势，往往学校专业不怎么样的，会比所谓的本科好出身好的学生考得高,进得早，不走弯路，反而容易成功。 所以准备要考研的同学，可以说考研不问出身，不问地位，是英 雄的首先得有自知之明。考研不外乎2方面，专业课和公共课，考数学的同学，得数学和专业课得天下，考2门专业课的，得专业课则得天王「大家在整个考研复习过程中，不要被很多机构忽悠去报所谓的公共课，而浪费了大量的专业课积累提高的时间，试问，没有专业课的积累和提高，导师怎么可能要你，要你能有何能力? 所以从大概率来讲，专业课9月份以后准备的，基本来不及，10 月份准备的基本考不上，被很多人忽悠说专业课学学背一背，就像期末考试一样就能得高分的，那么基本上被别人当场判了死刑还其乐融融，对某些机构感恩戴德，同学们，考研靠自己，靠自己不行的，一定要有方法，知道考 泛函分析期末复习题（2005-2006年度） （1）所有n n 矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？ （2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？ （3）什么是线性流形？ （4）什么是线性空间中的凸集？ （5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在n维欧几里德空间上常用的距离定义 （6）距离空间) X上的收敛是如何定义的？ , (d （7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？ （8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？ （9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？ （10）什么是希尔伯特空间？ （11）),(2b L空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为a 一个希尔伯特空间？ （12）什么是算子？为什么要求算子T的定义域) D是一个子空 (T 间？ （13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义 的理解。 （14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？ （15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。 （16）算子的强收敛是如何定义的？ （17）设X为一个线性赋范空间，而Y为一个Banach空间。那么从X到Y的线性算子所构成的空间), L是否构成一个Banach空 (Y X 间？ （18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？ （19）什么是泛函？什么是泛函的范数？ （20） 什么是线性赋泛空间X 的共轭空间？线性赋泛空间X 的共轭 空间是否总是完备的？ （21） 什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？ （22） 什么是的Gateaux 微分？ （23） 什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？ （24） 形如dt t x t x t g t x J b a ))(),(,())(('?=的泛函，其对应的Euler-Lagrange 方程是什么？ （25） 什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如 何？试画图说明。 上海大学2000年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 设 122(1)n n x x nx y n n +++= +，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2 n n a y →∞=； （2）当a =+∞时，lim n n y →∞ =+∞. 2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且 [] 0,1min ()1f x =- 证明：[] 0,1max ()8f x ''≥ 3、 证明：黎曼函数[]1 , x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ?>? =??? 当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：1 2210 () lim (0),t tf x dx f t x π+ -→=+?其中()f x 在[]1,1-上连续. 5、 设()1ln 11n n p a n ? ?=+- ???，讨论级数2 n n a +∞ =∑的收敛性. 6、 设 ()f x dx +∞ ? 收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：0 1 lim ()()h n h f nh f x dx + +∞ +∞ →==∑?. 7、 计算曲面2 2 2 2 x y z a ++=包含在曲面22 221(0)x y b a a b +=<≤内的那部分的面积. 8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数 1 sin k k k +∞ =∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 计算下列极限、导数和积分: (1) 计算极限1 lim();x x x + → (2) 计算 2 ()()x x f t dt ?=?的导数()x ?',其中()f x 2 ,(1) .1,(1)t t t t ≤? =? +> ? (3) 已知) 211sin x x ' ?=?+?,求积分2011sin I dx x π=+?. 四川大学期末考试试题——古代汉语之一(2009-04-20 08:48:31) 标签：校园分类：典型真题解答 课程号：10423040 课序号： 0 课程名称：古代汉语-2 任课教师： 适用专业年级：学生人数：印题份数：学号： 姓名： 第1页： 一、默寫。《離騷》“長太息以掩涕兮”至“余不忍爲此態也”。（10分） 二、填空。(30×0.5＝15) 1、按順序寫出《莊子·內篇》篇名：第一，第二，第三， 第四，第五，第六，第七。 2、段玉裁通過對《說文》的研究，發現了上古“”的原理，即同一個諧聲偏旁的諸多形聲字，上古屬於同一個韻部。 3、中古韻書的代表是隋代的《》，它共分個韻部。此書已亡佚，只留下部分殘卷，但是它的體例及其對中古音系的描述基本保留在宋代等的《》中。此書把中古韻母分為部。近古韻書則以元的《》個音部爲代表。 4、中古的平、上、去、入四聲，演變為近、現代的陰平、陽平、上聲和去聲四聲，發生了三項顯著的變化，即：，和。 5、補全“三十六字母”表： 第2页： 三、寫出下列反切的漢語拼音（10分）： 古電切（）古胡切（）居銀切（） 同都切（） 胡口切（）創舉切（）如林切（）府眉切（） 匹凡切（）博怪切（） 四、解釋下列句中加點的詞（有通假、特殊用法者須注明）。(15×1＝15分) 1、今至大爲不義，攻國，則弗知非，從而譽之，謂之義。非： 2、萬物作焉而不辭，生而不有，爲而不恃，功成而弗居。作： 3、此大小之辯也。辯： 4、我決起而飛，搶榆枋，時則不至，而控於地而已矣。搶： 5、木直中繩，輮以爲輪，其曲中規。中： 6、神莫大於化道，福莫長於無禍。莫： 7、聞而審之，則爲福矣；聞而不審，不若不聞。而： 8、夫離法者罪，而諸先生以文學取。離： 9、富國以農，距敵恃卒，而貴文學之士。距： 10、窈窕淑女，君子好逑。逑： 11、髧彼兩髦，實爲我特。特： 12、言既遂矣，至于暴矣。遂： 13、八月剝棗，十月獲稻。剝： 14、遵彼微行，爰求柔桑。爰： 泛函分析复习资料 一、判断题（每小题4分，共20分） 1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。 ( ) 2、 距离空间中的列紧集都是可分的。( ) 3、 若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。( ) 4、 任何一个Hilbert 空间都有正交基。( ) 5、设X 是线性赋范空间，T 是X X 的有界线性算子，若T 既是单射又是满射，则T 有逆算子。( ) 二、选择题（每小题5分，共25分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件 不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于距离空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是（）. A．集X是开的 B.集Y是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A．1- B.1 2C.1 D.1 2 - 三、填空题（每小题5分，共25分） 1、距离空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间 泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的 四川大学期末考试试题（B卷） (2012——2013学年下学期) 课程号：课序号：课程名称：中国近现代史纲要 适用专业年级：2012级任课教师： 学生姓名：学号：成绩： 一、单项选择题（每小题1分，共10分） 1、近代资本——帝国主义对中国的侵略中，侵占中国领土最多的国家是（）。 A英国 B法国 C俄国 D美国 2、在太平天国农民运动中颁布的具有资本主义色彩的方案是（）。 A《四洲志》 B《海国图志》 C《天朝田亩制度》 D《资政新篇》 3、在（）时期清政府派出了近代中国的第一批留学生，即赴美幼童。 A洋务运动 B戊戌变法 C辛亥革命 D 清末新政 4、标志着中国民族资产阶级领导的旧民主主义革命终结的是（）。 A二次革命的失败 B护国战争的失败 C护法运动的失败 D保路风潮的失败 5、新旧民主主义革命的转变、中国共产党成立的最基本条件是（）。 A马克思主义在中国的传播 B 中国无产阶级队伍的成长壮大 C中华民族民族危机进一步加深 D 资产阶级新文化运动的推动 6、大革命失败给中国共产党最深刻的教训是( )。 A坚持无产阶级对革命的领导权 B坚持武装斗争 C不能相信资产阶级 D坚持走农村包围城市的道路 7、抗日战争时期中国共产党的土地政策是（）。 A实行耕者有其田 B平均分配土地 C没收地主阶级土地归农民所有 D减租减息 8、抗日战争时期，为了从思想上肃清“左”倾错误，我们党开展了延安整风 运动，最主要的任务是反对（）。 A主观主义 B 宗派主义 C党八股 D 机会主义 9、解放战争时期，国民党统治区人民民主运动高涨的根本原因是（）。 A国民党当局对民主党派的迫害 B上海学生举行了声势浩大的“三反”斗争 C国民党蒋介石集团的经济崩溃和政治危机 D民主党派的联合斗争和人民起义遍及各地 10、社会主义改造是指对（）的改造。 A生产方式 B 分配方式 C生产资料所有制 D人与人的权力关系 二、多项选择题（每小题2分，共10分） 1、近代中国半殖民地半封建社会的矛盾有（）。 A帝国主义和中华民族的矛盾，封建主义和人民大众的矛盾 B 资产阶级和地主阶级的矛盾 C 资产阶级和无产阶级的矛盾 D 封建统治阶级内部各集团派系之间的矛盾，各帝国主义国家在中国争夺的矛盾 E 知识分子和地主阶级的矛盾 2、南京临时政府是一个资产阶级共和国性质的革命政权，主要体现在 （）。 A资产阶级革命派的行动在一定程度上打击了帝国主义的侵略势力 B辛亥革命促使社会经济、思想习惯和社会风俗发生了新的变化 C资产阶级革命派在这个政权中占有领导和主体地位 D在作为国家立法机关的临时参议院中，同盟会员占多数 E南京临时政府制定的各项政策措施反映了中国民族资产阶级的愿望和利益 3、1921年中国共产党的成立是中国历史上划时代的里程碑，中国革命的面貌焕然一新，从此中国革命有了（）。 A正确的革命道路 B科学的指导思想 C坚强的领导核心 D崭新的奋斗目标 E土地革命的内容 4、毛泽东在论述“农村包围城市，武装夺取政权”理论时，提出的“工农武装割据”思想的主要内容是（）。 1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞ 【新】承前启后的大学数学 四川大学数学学院，马洪 2010-07-20于拉萨西藏大学 2010-07-28于成都四川大学 ●个人简介 马洪，1969年毕业于四川大学数学系基础数学专业，现为四川大学数学学院教授、博士生导师，研究方向为随机信号处理。 ●读书心得 有人说 数学是艰深的、抽象的、枯燥的； 但其实 数学也是简单的、直观的、有趣的。 ●我对数学的理解 ?数学的框架是简单的、 ?数学的原理是直观的、 ?数学的思想是有趣的。 ●承前启后的大学数学 1、中学数学：初等数学 研究静止的、不变的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学2、大学数学：高等数学 研究运动的、变化的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学 从初等数学到高等数学的历史沿革 （一）中学数学回顾：初等数学 在中学数学中学习了几种初等函数，其中最简单的就是线性函数： [1] 一元线性函数：y = )(x f b ax += 从“一维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射” 原像空间 像空间 R R f (.) → [2] 多元线性函数：Y=)(X f = b x a x a x a n n ++++ 2211 从“n 维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射” 原像空间 像空间 R R f n (.) → （二） 大学数学回顾：高等数学 （1）《线性代数》：数字信号处理的基础 线性代数在做什么？其实它就做了一件事情，就是将中学的线性函数的像空间从一维扩展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性映射”：][X T Y =，即 从“n 维实线性空间”到“m 维实线性空间”的“线性映射” m T n R R (.) → 函数（映射）的三要素：定义域、值域、对应关系 线性代数首先研究的就是线性映射的定义域和值域：它的定义域和值域都是“有穷维的向量空间”（也称有穷维线性空间），所以线性代数首先讲的就是有穷维向量空间的定义及性质； 然后再研究对应关系：从“n 维线性空间”到“m 维线性空间”的一个线性对应关系表现出来就是一个矩阵，因此线性代数主要研究矩阵，它研究了各种各样的矩阵及其性质。 所以线性代数的研究内容用一句话来说就是： 有穷维线性空间：映射的“原像空间”和“像空间” 有穷维线性映射：矩阵(完整word版)泛函分析习题标准答案
电子科技大学泛函分析(江泽坚)课后题集答案解析
实变和泛函期末试题答案
(完整版)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点
泛函分析试题B
四川大学期末考试试题(A卷).doc
泛函分析习题解答
川大参考书目
2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习4答案
最新泛函分析考试题集与答案
2019年四川大学统计学专业考研权威解析录取人数录取分参考书目考试大纲复习指导.docx
泛函分析复习题
上海大学数学分析历年考研真题
四川大学期末考试试题——古代汉语
泛函分析习题
泛函分析试题一
四川大学期末考试试题B卷
应用泛函分析习题解答
承前启后的大学数学2010.07.28
- 四川大学期末考试试题
- 计算机图形学 四川大学期末考试试题(
- 物理化学期末考试试卷及答案四川大学
- 四川大学 材料力学期末考试试题 闭卷
- 四川大学期末考试试题——古代汉语
- 最新四川大学JAVA期末试题
- 四川大学高化期末考试试题 (2)
- 四川大学期末考试试题A卷
- 四川大学期末考试试题(开卷闭卷)
- 四川大学高数期末考试题
- 四川大学期末考试试题B卷四川大学儿
- 四川大学期末考试试题
- 四川大学期末考试试题(闭卷A) 工程训练
- 四川大学阶段期中期末考试试题(开卷闭卷)-四川大学课程中心
- 四川大学物理化学期末考试题及答案(B卷)
- 四川大学期末考试试题
- 四川大学期末考试试题A卷
- 四川大学期末考试试题
- 四川大学期末考试试题B卷
- 四川大学锦江学院期末考试试题A(标准答案)