高中数学解题思路大全—再谈解题切入点的找寻
再谈解题切入点的找寻
求解数学题的关键在于准确快速地找到解题的切入点，那么，如何寻找解题的切入点呢？文［1］做出了一些有益的探索，本文结合实例再谈一些具体做法。
1. 紧扣定义
理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙，也是寻找解题切入点的一条重要途径。
例1. 若点M （x ，y ）满足0|3|)1()3(22=+---++y x y x ，则点M 的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线 解：由0|3|)1()3(22=+---++y x y x ， 得22
|
3|)1()3(2
2=+--++y x y x 此式可以看成是动点M （x ，y ）到定点（-3，1）与到定直线03=+-y x 距离之比为2的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义，此轨迹为双曲线，故选C 。
注：本题若移项再平方，可进行化简，但表达式中会出现xy 项，对曲线的形状的判断有点难度，通过对原式的合理变形，利用圆锥曲线的定义则能很快解决。
2. 深挖隐含
隐含条件是指隐而不显，含而不露的已知条件，它们常常巧妙地隐藏在题目的背后，极易被解题者忽视，从而造成错解或繁解，甚至无法解决。优先考虑隐含条件往往能减少运算量，简化或避免复杂的变化与讨论，找到解题切入点，使问题简捷获解。
例 2. 已知x ，y 是实数，且满足1)1(1997)1(3-=-+-x x ，1)1(1997)1(3
=-+-y y ，则=+y x _________。
分析：按常规思路是解方程分别求出x 和y ，而x ，y 无法求出，思维受阻。若观察题目条件，发现)1(1997)1(3-+-x x 与)1(1997)1(3-+-y y 具有对称性。
若令t t t f 1997)(3
+=，则 )1(1997)1()1(3-+-=-x x x f ，)1(1997)1()1(3-+-=-y y y f 。这样使两方程联系起来。 解：令t t t f 1997)(3
+=
则1)1(1997)1()1(3-=-+-=-x x x f
1)1(1997)1()1(3=-+-=-y y y f
又易知)(x f 在R 上是奇函数，则
)1()1()1(y f y f x f -=--=-，又)(x f 在R 上是增函数，故y x -=-11，即2=+y x 。
例3. 解方程组
???-=+=-++)2(33|1|)1(4|1||1|y x y x
分析：此题按常规方法，需要分四种情况，讨论去掉绝对值符号，然后解方程组。但我们观察（2）式可以挖掘出一个隐含条件01≥-y ，利用这个隐含条件可以避免讨论。
解：由（2）知01≥-y ，（1）式可以变形为
)3(4)1(|1|=-++y x
由（2），（3）解得3|1|=+x
4221-==∴x x ，，分别代入（2）得原方程组的解为
???=-=???==24222
211y x y x ，
3. 展开联想
对于某些数学问题，从结构上的特点出发，在寻求命题的条件和结论间的逻辑联系时，由此及彼地联想（联想定义、定理或解决过的类似问题等），常常能启发思维，找到解题的切入点。
例4. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)(1)](1)[2(x f x f x f +=-+，1)(≠x f ，32)1(+=f ，
求)1989
(f 的值。 分析：由)(1)](1)[2(x f x f x f +=-+且1)(≠x f ，
)(1)(1)2(x f x f x f -+=
+∴联想到三角公式 αααπtan 1tan 1)4tan(-+=
+。由x y tan =的周期为
44?=π
π，猜想可能为周期函数，428?=是它的一个周期。
解：1)()(1)](1)[2(≠+=-+x f x f x f x f ，
)
(1)2(1)2(1]2)2[()4()
(1)
(1)2(x f x f x f x f x f x f x f x f -=+-++=++=+-+=+∴
)()
4(1]4)4[()8(x f x f x f x f =+-=++=+ 因此)(x f 是以8为周期的周期函数。
)
1985(1)41985()1989(3
2)1()18248()1985(f f f f f f -=+=+==+?= 23321-=+-
=
4. 把握转化
化归与转化的思想方法无处不在，它是寻求问题解决过程中最重要、最活跃的一个环节，是分析、解决问题的有效途径，是数学中最基本、最常用、最重要的思想方法，也是寻找解题切入点的常用方法。
例5. 两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？ 分析：如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”，然而我们对以下两题很熟悉：①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少？②如果两条异面直线称为“一对”的话，一个三棱锥中有多
少对异面直线？故可把本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应，由于①的答案是581248=-C 个；②的答案是3对，故本题答案为174358=?对。
点评：若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥的个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问题。
5. 数形结合
数形结合是寻找解题切入点的一条重要途径，它是把已知或要求的式子与图形结合起来。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。
例6. 已知2))(()(---=b x a x x f （其中b a <），且βα、是方程0)(=x f 的两根（βα<），则实数a 、b 、α、β的大小关系为（ ）
A. βα<<
B. b a <<<βα
C. βα<<
D. b a <<<βα
解析：a ，b 是方程0))(()(=--=b x a x x g 的两根，在同一坐标系中作出函数)()(x g x f 、的图象如图所示：
答案：A