当前位置：文档库 › 二次函数基本知识点梳理及训练(最新)

二次函数基本知识点梳理及训练(最新)

①

二次函数

考点一

一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．

1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式；②x 的最高次数是2；③二次项系数a ≠0. 2．二次函数的三种基本形式

一般形式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)；

顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)；交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1

、x 2

是图象与x 轴交点的横坐标．考点二二次函数的图象和性质

考点三

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系

考点四

任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：

考点五

1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．

3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．

若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式

考点六

二次函数的应用包括两个方法

①用二次函数表示实际问题变量之间关系．

②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围．

(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是()

A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4)

(2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为()

A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2

(3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是()

②

③

A ．－1≤x ≤3

B ．－1

C ．x<－1或x>3

D ．x ≤－1或x ≥3 (4)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列结论： ①b 2－4ac>0；②abc>0；③8a ＋c>0；④9a ＋3b ＋c<0. 其中，正确结论的个数是(

)

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(5)为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

(1)在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；

(3)要使该商场销售彩电的总收益w(元)最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少元？并求出总收益w 的最大值．

【举一反三】

1．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值是( )

A ．2

B ．1

C ．－1

D ．－2 2．抛物线y ＝(x －2)2＋3的顶点坐标是( )

A ．(2,3)

B ．(－2,3)

C ．(2，－3)

D ．(－2，－3) 3．抛物线y ＝a(x ＋1)(x －3)(a ≠0)的对称轴是直线( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝－3 D ．x ＝3

4．二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象如何平移就得到y ＝－2x 2的图象( )

④

A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

5．把二次函数y ＝－1

x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式( )

A ．y ＝－14(x －2)2＋2

B ．y ＝1

(x －2)2＋4

C ．y ＝－1

(x ＋2)2＋4 D ．y ＝????12x －122＋3 6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式不正确．．．

的是( )

A ．a ＜0

B ．abc ＞0

C ．a ＋b ＋c ＞0

D ．b 2

－4ac ＞0

7．若A(－134，y 1)、B(－54，y 2)、C(1

，y 3)为二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象上的三个点，则y 1、y 2、y 3的大小

关系是( )

A ．y 1

B ．y 2

C ．y 3

D ．y 1

8．已知二次函数y ＝x 2

－2x －3的图象与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D. (1)求点A 、B 、C 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象． (2)说出抛物线y ＝x 2－2x －3可由抛物线y ＝x 2如何平移得到？ (3)求四边形OCDB 的面积．

一、选择题(每小题3分，共36分)

⑤

1．已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( ) A ．最小值－3 B ．最大值－3 C ．最小值2 D ．最大值2 2．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－1与x 轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

3．若二次函数y ＝x 2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b 、k 的值分别为( ) A ．0,5 B ．0,1 C ．－4,5 D ．－4,1

4．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x 2－2x －3，则b 、c 的值为( )

A ．b ＝2，c ＝2

B ．b ＝2，c ＝0

C ．b ＝－2，c ＝－1

D ．b ＝－3，c ＝

5．如图，已知抛物线y ＝x 2

＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，点A 、B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0,3)，则点B 的坐标为( )

A ．(2,3)

B ．(3,2)

C ．(3,3)

D ．(4,3)

6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝a

与正比例函数y ＝(b ＋c)x 在同一坐标系中的大

致图象可能是(

)

7．在抛物线y ＝x 2－4上的一个点是( ) A ．(4,4) B ．(1，－4) C ．(2,0) D ．(0,4)

8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a>0 B ．c<0 C ．b 2－4ac<0 D ．a ＋b ＋

c>0

9．对于反比例函数y ＝k

，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝kx 2＋kx 的大致图象是(

)

10．二次函数y ＝－1

(x －4)2＋5的图象的开口方向、顶点坐标分别是( )

A ．向上、(4,5)

B ．向上、(－4,5)

C ．向下、(4,5)

D ．向下、(－4,5)

11．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )

⑥

A ．y ＝x 2－x －2

B ．y ＝－12x 2＋12x ＋1

C ．y ＝－12x 2－1

x ＋1 D ．y ＝－x 2＋x ＋2

12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，动点P 从点C 沿

CA 以1 cm/s 的速度向点A 运动，同时动点Q 从点C 沿CB 以2 cm/s

的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPQ 的面积y(cm 2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是( )

二、填空题(每小题4分，共20分)

13．若二次函数y ＝－x 2

＋2x ＋k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝3，另一个解x 2＝________.

14．函数y ＝(x －2)(3－x)取得最大值时，x ＝________.

15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，其中a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0和9a －3b ＋c ＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线________．

16．如图，是二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A(3,0)，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集是________．

17．如右上图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．

三、解答题(共44分)

18．(15分)已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2.

(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________．

(2)选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；

(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的横坐标满足x1>x2>1，试比较y1与y2的大小．

19．(14分)如图，已知二次函数y＝－1

2＋bx＋c的图象经过A(2,0)、B(0，－6)两点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．

⑦

初三.二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：

2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。总结：

3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k

总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。总结：从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学二次函数知识点总结原文阅读 I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和 B（x ?，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P 在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结： 2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．

总结： 3. ()2 y a x h =-的性质：结论：左加右减。总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：总结： a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

二次函数知识点梳理

二次函数de 基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数de 概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）de 函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数de 定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++de 结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x de 二次式，x de 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数de 基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =de 性质： a de 绝对值越大，抛物线de 开口越小。 2. 2 y ax c =+de 性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-de 性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+de 性质：三、二次函数图象de 平移在原有函数de 基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++de 比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同de 表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2 y ax bx c =++图象de 画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取de 五点为：顶点、与y 轴de 交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称de 点()2h c ，、与x 轴de 交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称de 点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴de 交点，与y 轴de 交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++de 性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x de 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x de 增大而增大；当2b x a =-时，y

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目一.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0