随机图的点可区别全染色算法

图着色

算法设计课程设计 题目图着色问题 姓名学号 专业年级 指导教师职称 2014年 12月 4日

图的m着色问题 1 摘要 (3) 2 图的着色问题 (4) 2.1 图的着色问题的来源 (4) 2.2 图的着色问题的描述 (4) 3算法的基本思想 (4) 3.1 求极小覆盖法----布尔代数法 (4) 3.2 穷举法－Welch Powell着色法 (4) 3.3 回溯法 (4) 3.4 贪心法 (4) 3.5 蚁群算法 (5) 4算法步骤 (5) 4.1 求极小覆盖法----布尔代数法 (4) 4.2 穷举法－Welch Powell着色法 (4) 4.3 回溯法 (4) 4.4 贪心法 (4) 4.5 蚁群法 (4) 5 理论分析（复杂度比较）、实验性能比较 (7) 5.1 复杂度分析 (4) 5.2 实验性能比较 (4) 6 心得体会 (8) 7参考文献 (8) 8 附录 (8)

摘要 图论是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴学科，已广泛应用于运筹学、网络理论、信息论、控制论、博奕论以及计算机科学等各个领域。一般说来，图的着色问题最早起源于著名的“四色问题”，染色问题不但有着重要的理论价值，而且，它和很多实际问题有着密切联系，例如通讯系统的频道分配问题，更有着广泛的应用背景. 本文首先讨论了人工智能的状态搜索方法在图着色中的具体应用，并用可视化方法展示了低维的着色空间和约束的具体意义。 关键词：图着色 c++代码 2、图的着色问题 2.1图的着色问题的来源 1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)在一家科研单位从事地图着色工作时，发现“任何一张地图似乎只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” 用数学语言来表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这就是源于地图着色的四色猜想问题。这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共边界。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。 用四种颜色着色的世界地图： 采用四种颜色着色的美国地图： 2.2图的着色问题的描述 （一）图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。 （二）通常所说的着色问题是指下述两类问题：

若干图的Mycielski图的点可区别均匀边色数

若干图的Mycielski 图的点可区别 均匀边色数 安常胜，冯旭霞，罗 亮，崔俊峰（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州730070）摘要：简单图G 的正常边染色f ，若对于坌u ，v ∈V （G ），有C （u ）≠C （v ），称f 是图G 的点可区别边染色，其中C （u ）={f （uv ）uv ∈E （G ）}。若满足|E i |-|E j |≤1（i ，j=1，2，…，k ），其中坌e ∈E i ，f （e ）=i （i=1，2，…，k ），称f 是图G 的点可区别均匀边染色。讨论了若干图的Mycielski 图的点可区别均匀边染色。 关键词：圈；星；Mycielski 图；点可区别均匀边染色；点可区别均匀边色数 中图分类号：O157.5 MR （2000）Subject Classification ：05C15文献标识码：A 文章编号：1672－0687（2010）01－0021－05 图论在自然科学与应用科学中都起着重要作用，图的染色问题是图论研究的主要内容之一，具有很强的理论和现实意义。目前，国内外众多学者对该问题作了大量工作，其中包括确定具有某种属性的特殊图的色数的研究。笔者得到了圈、星的Mycielski 图的点可区别均匀边色数。 定义1[1~7] 对简单图G 的正常边染色f ，任意u,v ∈V （G ），若C （u ）≠C （v ），其中C （u ）={f （uv ）uv ∈E （G ）}，则称f 是图G 的点可区别边染色，简记为k -VDEC of G ，且称χvd ′（G ）=min{k k -VDEC of G }为G 的点可区别边色数。 若f 是图G 的点可区别边染色，且满足|E i |-|E j |≤1（i ，j=1，2，…，k ），其中任意e ∈E i ，f （e ）=i （i=1，2，…，k ），则称f 是图G 的点可区别均匀边染色，简记为k -VDEEC of G ，且称χvde ′（G ）=min{k k -VDEEC of G }为G 的点可区别均匀边色数。 定义2[1~7]对简单图G ，n i 表示具有度为i 的点数，δ、△分别表示图G 的最小度与最大度，称μ（G ）= max{min{λ|λλλ i ≥n i }δ≤i ≤△}为图G 的组合度。 猜想1[2，3] 对|V （G ）|≥3的简单连通图G ，则有μ（G ）≤χvde ′（G ）≤μ（G ）+1。猜想2[2，3] 对|V （G ）|≥3的简单连通图G ，则有χvde ′（G ）=χvd ′（G ）。定义3对图G （V ，E ），M （G ）称为G 的Mycielski 图，如果V （M （G ））=V （G ）∪V ′∪{w }； E （M （G ））=E （G ）∪{uv ′u ∈V （G ），v ′∈V ′，uv ∈E （G ）}∪{wv ′v ′∈V ′} 其中V ′={v ′v ∈V （G ）}，{w }∩（V （G ）∪V ′）=Φ。 在以下讨论中，记n +1阶星S n 为 V （S n ）={v i i=0，1，…，n }，E （S n ）={v 0v i i=1，2，…，n } 记n +1阶扇F n 为 V （F n ）={v i i=0，1，…，n }，E （F n ）={v 0v i i=1，2，…，n }∪{v i v i+1i=1，2，…，n -1} 记n +1阶轮W n 为 V （W n ）={v i i=0，1，…，n }，E （W n ）={v 0v i i=1，2，…，n }∪{v i v i+1i=1，2，…，n -1}∪{v 1v n } —————————————————— —[收稿日期]2008－04－23 [基金项目]国家自然科学基金资助项目（10771091） [作者简介]安常胜（1983-），男，甘肃榆中人，硕士研究生，研究方向：组合与网络优化的研究。 第27卷第1期苏州科技学院学报（自然科学版） Vol．27No．12010年3月 Journal of Suzhou University of Science and Technology （Natural Science ）Mar ．2010

回溯法实验(最大团问题)

算法分析与设计实验报告第七次附加实验

} } 测试结果 当输入图如下时： 当输入图如下时： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

当输入图如下时： 1 2 3 4 5

附录： 完整代码（回溯法） //最大团问题回溯法求解 #include using namespace std; class Clique { friend void MaxClique(int **,int *,int ); private: void Backtrack(int i); int **a; //图的邻接矩阵 int n; //图的顶点数 int *x; //当前解 int *bestx; //当前最优解 int cn; //当前顶点数 int bestn; //当前最大顶点数 }; void Clique::Backtrack(int i) { //计算最大团 if(i>n) //到达叶子节点 { for(int j=1;j<=n;j++) bestx[j]=x[j]; bestn=cn;

cout<<"最大团：（"; for(int i=1;i=bestn) { //修改一下上界函数的条件，可以得到 x[i]=0; //相同点数时的解 Backtrack(i+1); } } void MaxClique(int **a,int *v,int n) { //初始化Y Clique Y; Y.x=new int[n+1]; Y.a=a; Y.n=n; https://www.wendangku.net/doc/1312554950.html,=0; Y.bestn=0; Y.bestx=v; Y.Backtrack(1); delete [] Y.x; cout<<"最大团的顶点数："<

用回溯法求解图的m着色问题

实验二用回溯法求解图的m着色问题 一、实验目的 1 2、使用回溯法编程求解图的m着色问题。 二、实验原理 回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。回溯法在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任何一个结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树搜索。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。 回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。 回溯法从开始结点(根结点)出发，以深度优先搜索的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前的扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。 三、问题描述 给定一个无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。若一个图最少需要m种颜色才能使图中任何一条边连接的2个顶点着有不同的颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色优化问题。设计一个算法，找出用m种颜色对一个图进行着色的不同方案。 四、算法设计与分析 用邻接矩阵a来表示一个无向连通图G=(V,E)。用整数1,2,…,m来表示m种不同的颜色。x[i]表示顶点i所着的颜色来，则问题的解向量可以表示为n元组x[1:n]。问题的解空间可表示一棵高度为n+1的完全m叉树。解空间树的第i层中每一结点都有m个儿子，每个儿子相应于x[i]的m个可能的着色之一，第n+1层结点均为叶结点。 在回溯算法Backtrack中，当i>n时，表示算法已搜索至一个叶结点，得到一个新的m着色方案，因此当前已找到的可m着色方案数sum增1。当i≤n时，当前扩展结点Z是解空间树中的一个内部结点。该结点有x[i]=1,2,…,m。对当前扩展结点Z的每一个儿子结点,由函数Ok检查其可行性，并以深度优先的方式递归地对可行子树进行搜索，或剪去不可行子树。 五、实验结果 源程序： #include using namespace std;

用回溯法分析着色问题

算法设计与分析课程设计 题目：用回溯法分析着色问题 学院：理学院 专业：信息与计算科学 班级：09信科二班 姓名：蔡秀玉 学号: 200910010207

用回溯法分析着色问题 目录 1 回溯法 (3) 1.1回溯法的概述 (3) 1.2 回溯法的基本思想 (3) 1.3 回溯法的一般步骤 (3) 2 图的m着色问题 (3) 2.1图的着色问题的来源 (3) 2.2通常所说的着色问题 (3) 2.3图的着色问题描述 (3) 2.4回溯法求解图着色问题 (5) 2.5图的m可着色问题的回溯算法描述 (6) 2.5.1回溯算法 (6) 2.5.2 m着色回溯法递归 (8) 2.5.3 m着色回溯法迭代 (9) 2.5.4例题利用回溯法给图着色 (11) 2.6复杂度分析着色回溯法迭代 (12)

§1 回溯法 1.1回溯法的概述 回溯法是一种系统地搜索问题解的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。 1.2回溯法的基本思想 回溯法的基本思想是，在确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。 1.3回溯法的一般步骤 用回溯法解题的一般步骤： （1）针对所给问题，定义问题的解空间； （2）确定易于搜索的解空间结构； （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。 §2 图的m着色问题 2.1图的着色问题的来源 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地图着色，使得

回溯法

第8章回溯法 (1) 8.1概述 (1) 8.1.1 问题的解空间树 (1) 8.1.2 回溯法的设计思想 (2) 8.1.3 回溯法的时间性能 (3) 8.1.4 一个简单的例子——素数环问题 (4) 8.2图问题中的回溯法 (5) 8.2.1 图着色问题 (5) 8.2.2 哈密顿回路问题 (8) 8.3组合问题中的回溯法 (10) 8.3.1 八皇后问题 (10) 8.3.2 批处理作业调度问题 (13) 习题8 (16)

第8章回溯法 教学重点回溯法的设计思想；各种经典问题的回溯思想教学难点批处理作业调度问题的回溯算法 教学内容 和 教学目标 知识点 教学要求 了解理解掌握熟练掌握问题的解空间树√ 回溯法的设计思想√ 回溯法的时间性能√ 图着色问题√ 哈密顿回路问题√ 八皇后问题√ 批处理作业调度问题√ 8.1 概述 回溯法（back track method）在包含问题的所有可能解的解空间树中，从根结点出发，按照深度优先的策略进行搜索，对于解空间树的某个结点，如果该结点满足问题的约束条件，则进入该子树继续进行搜索，否则将以该结点为根结点的子树进行剪枝。回溯法常常可以避免搜索所有的可能解，所以，适用于求解组合数较大的问题。 8.1.1 问题的解空间树 复杂问题常常有很多的可能解，这些可能解构成了问题的解空间（solution space），并且可能解的表示方式隐含了解空间及其大小。用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一般情况下，将问题的可能解表示为满足某个约束条件的等长向量X=(x1, x2, …, x n)，其中分量x i（1≤i≤n）的取值范围是某个有限集合S i={a i,1, a i,2, …, a i,r i }，所有可能的解向量构成了问题的解空间。例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解由一个等长向量{x1, x2, …, x n}组成，其中x i=1（1≤i≤n）表示物品i装入背包，x i=0表示物品i没有装入背包，则解空间由长度为n的0/1向量组成。当n=3时，其解空间是：

图的m着色问题回溯法

图的m着色问题 1．问题描述 给定无向量图G顶点和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G图中每条边的两个顶点着不同的颜色。这个问题是图的m 可着色判定问题。若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶点着不同的颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色问题。2．算法设计 一般连通图的可着色法问题并不仅限于平面图。给定图G=（V，E）和m种颜色，果这个图不是m可着色，给出否定回答，如果这个图是m的可着色的，找出所有不同的着色法。 下面根据回朔法的递归描述框架backtrack设计图的m着色算法。用图的邻接矩阵a表示无向量连通图G=（V，E）。若（i，j）属于图G=（V，E）的边集E，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。整数1，2，…，m用来表示m种不同颜色。顶点i所有颜色用x[i]表示，数组x[1：n]是问题的解向量。问题的解空间可表示为一棵高度为n+1的完全m叉树。解空间树的第I （1<=i<=n）层中每一结点都有m个儿子，每个儿子相应于x[i]的m个可能的着色之一。第n+1层结点均为叶结点。 在算法backtrack中，当i>n时，算法搜索至叶结点，得到新的m着色方案，当前找到的m着色方案数sum增1。 当I

m着色问题

图的m着色问题 问题描述： 给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。如果有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色，则称这个图是m 可着色的。图的m着色问题是对于给定图G和m种颜色，找出所有不同的着色法。 编程任务： 对于给定的无向连通图G和m种不同的颜色，编程计算图的所有不同的着色法。 数据输入： 由文件input.txt给出输入数据。第1行有3个正整数n，k和m，表示给定的图G 有n 个顶点和k条边，m种颜色。顶点编号为1，2，…，n。接下来的k行中，每行有2个正整数u,v，表示图G的一条边(u,v)。 结果输出: 程序运行结束时，将计算出的不同的着色方案数输出到文件output.txt中。 输入文件示例输出文件示例 input.txt output.txt 58448 12 13 14 23 24 25 34 45

/*图的m着色问题求解程序（回溯算法）*/ #include #include #include class color {private: int n,//图的顶点个数 m,//可用颜色数 **a,//图的邻接矩阵，用来表示一个无向连通图G *x;//当前解 long sum;//当前已找到的可m着色方案数 public: color(); int ok(int k); void backtrack(int t); void op(); ~color(); }; /*构造函数的定义*/ color::color() {int k;//边数 int i,j; int v1,v2;//构成边的两顶点 ifstream fin("input.txt",ios::nocreate); if(!fin) {cerr<<"文件不存在"; exit(0);} fin>>n>>k>>m;//读入顶点数、颜色数和边数if(!(a=new int*[n+1])) {cerr<<"insufficient memory!"<>v1>>v2; a[v1][v2]=a[v2][v1]=1;//对有连接的两个顶点v1,v2表示的边a[v1][v2]或a[v2][v1]赋值 } if(!(x=new int[n+1])) {cerr<<"insufficient memory!"<

图节点着色问题中的禁忌搜索算法

图节点着色问题中的禁忌搜索算法 09-03-25 作者：编辑：校方人员 图节点着色问题是组合最优化中典型的非确定多项式(NP)完全问题，也是图论中研究得最久的一类问题。目前解决该问题的算法很多，如回溯算法、分支界定法、Welsh-Powell算法、神经网络、遗传算法以及模拟退火算法等。综合比较各种算法，前两种算法是精确算法，但时间复杂性太大；后三种属于近似算法，虽然时间复杂性可接受，能够得到较好的近似解，但算法本身过于复杂，算法效率难以保证。 本文采用禁忌搜索算法，它同时拥有高效性和鲁棒性。禁忌搜索是一种全局逐步寻优的人工智能算法，它常能有效的应用于一些典型NP问题，如TSP。但禁忌搜索存在一些参数较难设置，这也是应用于通信系统时研究的热点。本文提出针对着色问题的禁忌搜索的具体设计方案，较好的设置了参数，并优化了数据结构，通过实验比较得到了较好的效果。最后提出通过领域简单的变化，禁忌搜索能较好的用于一般算法难以实现的List着色问题。 1图节点着色问题 图的着色问题可分为边着色、顶点着色、List着色和全着色，其中最主要的

给定一个无向图G=(V,E)，其中V是节点集V={1,2,…n}，E是边集，其中(i,j)表示有连接(i,j)的一条边。若，且V i内部的任何两个节点没有E中的边直接相连，则称(V1,V2,…,V n)为V的一个划分。图的节点着色问题可以描述为：求一个最小的k，使得(V1,V2,…,V n)为V的一个划分。 通常的解决着色问题的算法采用蛮力法、贪婪法、深度优先或广度优先等思想可以得到最优解，但时间复杂性太大，如回溯法，其计算时间复杂性为指数阶的；有的在多项式时间内能得到可行解，但不是最优解，如Welsh-Powell算法和贪婪算法。Welsh-Powell算法只能保证最多使用(为图中顶点的最大度)种颜色给一个图正常着色，而由Brooks定理，对于既不是完全图又不是奇圈的简单连通图，所需的颜色数。故通常的算法在解决图节点着色问题这样的NP完全问题时，存在很大的瓶颈，难以得到满意的结果。而对于像遗传算法和神经网络这样复杂的启发式算法，通常算法本身复杂性较大，并且算法效率难以分析，最终得到的是近似解，其是否最优解也不能保证。

回溯算法(解决着色问题)

实验四回溯算法 一、实验目的 1)理解回溯算法的基本原理，掌握使用回溯算法求解实际问 题。 二、方法原理 回溯法是一种类似穷举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就回退，尝试别的路径。 三、实验设备 PC机一台，C语言、PASCAL语言、Matlab任选 四、掌握要点 搜索到解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。 五、实验内容 实验内容：（二选一）1）编写程序实现4后问题的求解；2）编写程序实现用3种颜色为图2着色问题；

图2 六、实验要求 1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法； 2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作； 3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）； 4)分析和解释计算结果； 5)按照要求书写实验报告； 源代码：着色问题 #i n c l u d e #i n c l u d e #d e f i n e T R U E1 #d e f i n e F A L S E0 #d e f i n e M A X5 #d e f i n e C O L O R C O U N T3

i n t T F(i n t c o l o r,i n t i n d e x,i n t m[][M A X],i n t p[]){ f o r(i n t i=0;i

算法设计与分析学习提纲,第七章回溯

1 第七章 回溯 7.1 回溯法的思想方法 7.1.1 问题的解空间和状态空间树 一、解空间 问题的解向量为),,,(21n x x x X 。i x 的取值范围为有穷集i S 。把i x 的所有可能取值组合，称为问题的解空间。每一个组合是问题的一个可能解 例：0/1背包问题，}1,0{ S ，当3 n 时，0/1背包问题的解空间是： {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n 时，有n 2种可能的解。 例：货郎担问题，},,2,1{n S ，当3 n 时， }3,2,1{ S 。货郎担问题的解空间是： {(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),┅,(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)} 当输入规模为n 时，它有n n 种可能的解。 考虑到约束方程j i x x 。因此，货郎担问题的解空间压缩为： {(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)} 当输入规模为n 时，它有!n 种可能的解。 二、状态空间树：问题解空间的树形式表示 当4 n 时，货郎担问题的状态空间树。 图7.1 n=4时货郎担问题的状态空间树 4 n 时，0/1背包问题的状态空间树

2 图7.2 n=4时背包问题的状态空间树 7.1.2 状态空间树的动态搜索 一、可行解和最优解 可行解：满足约束条件的解，解空间中的一个子集 最优解：使目标函数取极值（极大或极小）的可行解，一个或少数几个 例：货郎担问题，有n n 种可能解。!n 种可行解，只有一个或几个解是最优解。 例：背包问题，有n 2种可能解，有些是可行解，只有一个或几个是最优解。 有些问题，只要可行解，不需要最优解，例如八后问题和图的着色问题 二、状态空间树的动态搜索 l _结点（活结点）：所搜索到的结点不是叶结点，且满足约束条件和目标函数的界， 其儿子结点还未全部搜索完毕， e _结点（扩展结点）：正在搜索其儿子结点的结点，它也是一个l _结点； d _结点（死结点）：不满足约束条件、目标函数、或其儿子结点已全部搜索完毕的结 点、或者叶结点，。以d _结点作为根的子树，可以在搜索过程中删除。 例7.1 有4个顶点的货郎担问题，其费用矩阵如图7.3 所示，求从顶点1出发，最后回到顶点1的最短路线。 ∞ ∞ 1 7 8 ∞ 5 1 7 2 ∞ 6 2 5 3 ∞ 图7.3 4个顶点的货郎担问题的费用矩阵及搜索树 7.1.3 回溯法的一般性描述 题的解向量),,,(110 n x x x X ， i x 的取值范围i S ，},,,{.1.0.i m i i i i a a a S 。 问题的解空间由笛卡尔积110 n S S S A 构成。

图着色问题的回溯算法

图着色问题的回溯算法 #include using namespace std; bool ok(int x[],int k,bool c[5][5],int n) //判断对顶点k着色以后是否合法着色 { int i; for(i=0;i=0) { x[k]++; while((x[k]<=m)&&(!ok(x,k,c,n))) x[k]++; if(x[k]<=m){ if(k==n-1)break; else k++;

} else { x[k]=0;k--; } } } int main() { bool c[5][5]; int i,j; for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<5;j++) c[i][j]=false; c[0][1]=true; c[0][2]=true; c[1][2]=true; c[1][3]=true; c[1][4]=true; c[3][4]=true; c[2][4]=true; c[1][0]=true; c[2][0]=true; c[2][1]=true; c[3][1]=true; c[4][1]=true; c[4][3]=true; c[4][2]=true; int x[5]; m_coloring(5,3,x,c); for(i=0;i<5;i++) cout<

第8节 图论应用实例_图着色问题

预备知识_回溯法 回溯法：在实际生活中，有些问题是不能用数学公式去解决的，它需要通过一个过程，此过程要经过若干个步骤才能完成，每一个步骤又分为若干种可能；同时，为了完成任务，还必须遵守一些规则，但这些规则无法用数学公式表示，对于这样一类问题，一般采用搜索的方法来解决，回溯法就是搜索算法（广度优先、深度优先等）中的一种控制策略，它能够解决许多搜索中问题。 回溯法基本思想：试探法，撞了南墙就回头。（一般采用深度优先搜索策略） 搜索策略：深度优先（不撞南墙不回头）。 在搜索过程中，如果求解失败，则返回搜索步骤中的上一点，去寻找新的路径，以求得答案。要返回搜索，前进中的某些状态必须保存，才能使得退回到某种状态后能继续向前。 白话搜索：如果用数组存放搜索信息，i 表示数组下标（当前状态）， ++i 表示往前走（下一个状态），--i 表示回溯（往回退，返回上一次状态）。 第8节 图论应用实例_图着色（graph coloring ）问题 数学定义：给定一个无向图G=（V , E ），其中V 为顶点集合，E 为边集合，图着色问题即为将V 分为k 个颜色组（k 为颜色数），每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。其优化版本是希望获得最小的k 值。 典型应用：地图的着色、调度问题等。 k-着色判定问题：给定无向连通图G 和k 种不同的颜色。用这些颜色为图G 的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使G 中任意相邻的2 个顶点着不同颜色？ 例 四色问题。设有如图1的地图，每个区域代表一个省，区域中的数字表示省的编号，现在要求给每个省涂上红、蓝、黄、白四种颜色之一，同时使相邻的省份以不同的颜色区分。 课外拓展：搜索“四色问题”，了解四色问题相关知识。 图1 问题分析： （1）属于图的搜索问题。将问题简化：将每个省抽象为一个点，省之间的联系看为一条边，可以得到图2。

图的m着色问题

图的m着色问题 #include int color[100]; //int c[100][100]; bool ok(int k ,int c[][100])//判断顶点k的着色是否发生冲突{ int i,j; for(i=1;i=1) { color[k]=color[k]+1; while(color[k]<=m) if (ok(k,c)) break; else color[k]=color[k]+1;//搜索下一个颜色 if(color[k]<=m&&k==n)//求解完毕，输出解 { for(i=1;i<=n;i++) printf("%d ",color[i]); printf("\n"); //return;//return表示之求解其中一种解} else if(color[k]<=m&&k

void main() { int i,j,n,m; int c[100][100];//存储n个顶点的无向图的数组printf("输入顶点数n和着色数m:\n"); scanf("%d %d",&n,&m); printf("输入无向图的邻接矩阵:\n"); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&c[i][j]); printf("着色所有可能的解:\n"); graphcolor(n,m,c); }

基于回溯法的地图着色

基于回溯法的地图着色 XXXXXXXX 摘要：人工智能是20世纪50年代中期兴起的一门边缘学科[1]。人工智能领域中，地图着色问题是一典型的优化的问题。由它引发的“四色猜想”是全世界的难题，直到1975年由三台超高速电子计算机，经过1200小时的计算才终于正明了“四色定理”。这是世界上最长的正明。本文并不是想证明，而只是想基于回溯法来给地图着色，求出最少用色。本文着重介绍利用MFC设计界面来对地图着色进行演示。计算机视觉是研究为完成在复杂的环境中运动和在复杂的场景中识别物体所需要哪些视觉信息，以及如何从图像中获取这些信息的科学领域[2]。 关键词：地图着色；回溯法；MFC 本组成员：XXXXXXXXX 本人分工：本人承担界面设计，edge文档和node文档的编写。 1 引言 人，现在社会的发展中心都离不开这个人字，人是发展的本体，人类的自然智能伴随到处都是，本次实验研究什么是人工智能，人工智能又能如何的运用在生活和学习中。 人工智能(Artificial Intelligence)，英文缩写为AI。它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。人工智能（Artificial Intelligence，AI）是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。人工智能从诞生以来，理论和技术日益成熟，应用领域也不断扩大，但没有一个统一的定义。人工智能是计算机科学的一个分支，它企图了解智能的实质，并生产出一种新的能以人类智能相似的方式做出反应的智能机器，该领域的研究包括机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理和专家系统等。 本次实验研究的是关于人工智能中搜索的功能，实现用回溯法对地图不同地区的着色问题，地图上有不同国家（不同区域），每个国家都与其他一些国家邻接。现要求对地图着色，使所有的国家与它的邻接的国家有不同的颜色。通常由四种颜色就已足够。地图着色的算法比较多，但是切实可行的算法很少，回溯法在地图区域较大，邻接关系复杂的情况下，回溯次数将会大大增多，严重影响了程序执行效率。不过本次作业则是采用修改后的回溯法，在一定的条件下，执行效率还是很高。 本次实验是要对中国地图中的省级行政区最多使用四种颜色来进行着色，编程实现回溯算法用于地图自动着色。我要实现的是对中国地图着色的界面设计，我利用VS中的MFC来实现界面设计。 2 算法原理与系统设计 2.1 回溯算法原理 要解决地图着色的问题，本文采用的是回溯法。回溯法是一种系统地搜索问题解的搜索算法。回溯法递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。 而地图着色的问题可以处理为：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 2.2 详细设计 地图着色功能流程图如下：

图着色问题的回溯算法

●图着色问题的回溯算法：(非递归算法，求一个解) 非递归算法： 算法m-COLORING 输入：正整数m, n和含n个顶点的无向连通图G的邻接矩阵graph。 输出: 图G的m着色问题的一个解x[1..n],若无解，则输出no。solution。 flag=false //用flag标记问题是否有解。 k=1 ; x[1]=0 while k>=1 and not flag while x[k]

k=k-1//回溯 end while if flag then output x //输出一个解 else output “no solution”//输出无解 end m-COLORING 过程color (k) //在前k-1个顶点已着色的情况下，判断第k个 顶点是否可 //着颜色x[k], 是则返回true, 否则返回false。 j=1 while j

回溯法实验(图的m着色问题)

算法分析与设计实验报告第六次附加实验

只要输入边即可

附录： 完整代码（回溯法） //图的m着色问题回溯法求解 #include using namespace std; class Color { friend void mColoring(int,int,int **); private: bool ok(int k); void Backtrack(int t); int n, //图的顶点个数 m, //可用颜色数 **a, //图的邻接矩阵 *x; //当前解 long sum; //当前已找到的可m着色的方案数}; bool Color::ok(int k) //检查颜色可用性 {

for(int j=1;j<=n;j++) if((a[k][j]==1)&&(x[j]==x[k])) //两个点之间有约束且颜色相同return false; return true; } void Color::Backtrack(int t) { if(t>n) //到达叶子节点 { sum++; //可行解+1 cout<<"着色："; for(int i=1;i<=n;i++) //输出可行解方案 cout<