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线性代数练习册第三章答案(本)

第三章行列式及其应用

§3-1 行列式的定义

一、填空题。

1、行列式a b

c d

=__ad bc -___;112

13141

---=____-24____. 2、行列式

111

000

a a a a

b b

c c

d d =______0_____. 3、已知行列式1111111

11111111

D -=

-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____

13223144a a a a -____.

二、选择题。

1、方程01

0001x x x

=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.

2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__.

（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__.

（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21

4、n 阶行列式001

020

D n = 的值为__D ___.

（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n

n -; （D ）(1)2

(1)

!n n n --.

5、行列式312111321111x x x x x

--中4

x 的系数为__A____.

(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.

三、计算下列行列式

1、12

10001- 解：33

312

121

10(1)(1)1

001

r +--=-按展开

2、

1010120012301234

解：444321010

101

1200

4(1)120

1230

123

1234101

412024

003

r r +--=按c 展开

3、

11321011

23011

002

-- 解：

411321130

10111013

22301230310021000130

3303

c c --------=--按r 展开

四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为

(1)

n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，

且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为

12112122122(1)

()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=

（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a 或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和

等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数k

n C ，即11n n a a a - 的逆序数为

(1)

n n k --.）

§3-2 行列式的性质与计算

一、填空题。

1、行列式1111111

1x y y

+++=_____xy _____.

2、行列式232629

2730252831

=_____0______. 3、若0,1,2,3i i a b i ≠=，则行列式11

1213

222331

a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______0______.

4、若行列式2

234234

1111a a a a D b b b b c c c c =

,则21222324A A A A +++=____0_____. 5、若行列式1100

1010001x y z x y z =，则x =__0__;y =___0___;z =__0____.

二、选择题。

1、行列式

000

0000a b a b b a b

的值为_____C___. （A ）4

a b -; （B ）4()a b -; （C ）222()a b -; （D ）4()a b +.

2、行列式

33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231

a a a a a a a a a a a a ---------的值为__A___.

（A ）12; （B ）11;（C ）13; （D ）14.

3、若行列式120002

3121510

D -=

，则4243442M M M +-的值为__D__. （A ）-6; （B ）6; （C ）40; （D ）0;

4、若行列式

121314212223243132333441

a a a a a a a a a a a a a a a a a =，则行列式

41424344313233342122232411

a a a a a a a a a a a a a a a a =___B__.

（A ）0; （B ）a ; （C ）4a ; （D ）a -.

5、行列式212322212223

()333245354435743

x x x x x x x x f x x x x x x x x x --------=-------，则()0f x =的根的个数为____B___.

(A ）1; （B ）2; （C ）3; （D ）4.

三、解方程

1123

1223

0231523

19x x -=-

解：

2221432

232

23112312230100231

523

1900

0412

312(1)21

(1)(4)

0043(1)(1)(2)(2)

r r x x r r x x r x r x x x x x x x ----------=--+-+按展开按展开

所以，12341,1,2, 2.x x x x =-==-=

四、计算下列行列式

1、1123010130231211

----

解：

3141131111231123

30101010130230346

341

463433

343

435

r r r r c c ----------------+---------

=--按c 展开按c 展开

2、1210030200101000002400061

解：

12100

121

3020024

302

2(22)441010061

1010002400061

==--=

3、1

222251

234533333123455

555512

11111x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x = 解：

522

222212345

333331

2345444444351245

55555

455

111111()

()

i j i i i j y

x x x x x y x x x x x D x x x x x y x x x x x y x x x x x y y x x x =≤≤≤=--∏∏

由范德蒙德行列式

而

522

222212345

333331

54444

45555551234

554326665646362616

111111y

x x x x x y x x x x x D x x x x x y

x x

y x x x x x y

A y A y A y A y A y A =+++++按c 展开

所以，5561234515

()()j i i j D A x x x x x x x ≤≤≤=-=++++-∏

4、000

n x x x x

D x x =

解：

1212111

0(1)(1)(1)000

(1)00

(1)

(1)(1)0

n n

n x x n x n x n x x x x x D r r r x x x

r n x x x r r x n n x r r x

----=

+++÷----=----

5、1

31211111

1111111(0)1

1n n n

a a D a a a a a ++=

+≠+

解：

231

11121212313231

121111

111111111

10000000

0100000

111000

001

(1).

n n

n i i

a a D a a r r a a r r a a r r a a a a a a a a a r r r r a a a a a a a a a a a =++=

++------++

++-------=+∑

6、计算行列式1

1220000

000001

n n n a a a a D a a --=-

解：

112

2122121

2112120000000001

111

00000

000001

(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n

a a a a D a a a a a c c c a a n n a a a n a a a ++--=--++-++-=+-

按c 展开

五、证明：11

00100,(1),000

1n n n n a b ab a b a b a b D a b n a a b a b ab a b

++++?-≠?

=-??+=+?

. 证明：

111

00000

r ()00000

01001n n n a b

a b a b D a b ab a b ab a b ab a b a b --++++-++++

按展开12()n n a b D abD --=+-

所以，

12112121()()()n n

n n n n n n n n n D a b D abD D bD a D bD D bD a D bD a -------=+-?-=-?-=-=2

12112121()()()n n

n n n n n n n n n D a b D abD D aD b D aD D aD b D aD b -------=+-?-=-?-=-=于是，11

()n n n a b D a b ++-=-

1）当a b ≠时， 11n n a b a b

++--

2）当a b =时，将n D 按r 1展开得：2122n n n D aD a D --=-，

212112*********()()()2(1)n n

n n n n n n n n n n n n n n D aD a D D aD a D aD D aD a

D aD a

D aD a a aD a a a D a n a

-----------=-?-=-?-=-=?=+=++=+==+

§3-3 行列式的应用

一、填空题。

1、矩阵1100010

000200011-??

? ?

?-??，则4

A =___16___;1A -=___110

00100001/200

01/2

1?? ?

? ? ???

_. 解：11000100000200001

1B A C -??

?? ?=

= ? ???

?-??

，1120,0111B C -????== ? ?-???? 所以，4

216A A B C ====

而 **1

111101,01122B C B C B C --????

==== ? ?????

所以，1

A -=1

111000

1000001/200

01/2

1B A C --?? ??? ?==

? ??? ???

2、若矩阵101210325A ?? ?= ? ?-??,则*A =__5

21108

2721-?? ?

- ? ?-??_; 1A -=_____5/121/61/125/62/31/67/121/61/12-?? ?

- ? ?-??

___.

3、若n 阶方阵A B 、等价，若0A =,则B =__0__.

4、A 为一个5阶行列式，且3A =-，则T A =_-3_;2A -=_96_;1

2A -=__323

_. 5、若向量

()()()()123310*********;110a a αααα====，, 线性无

关，则a =_1_.

二、选择题。

1、设A B 、都为n 阶方阵，且0A AB +=,则__D__.

（A ）0A =; （B ）0A =且0E B +=; （C ）0E B +=; （D ）0A =或0E B +=. 2、设A B 、都为n 阶方阵,则必有_C__.

（A ）AB BA =; （B ）A B A B +=+; （C ）()T T T A B A B +=+; （D ）111()A B A B ---+=+. 3、设A 为4阶方阵，且2A =，则*A A =__C___.

（A ）4; （B ）62; （C ）72; （D ）8

4、A 为3阶方阵，且1A =-,则1

*(2)A A --=___A___.

（A ）27; （B ）-27; （C ）3; （D ）-3.

解：111131

*(2)(2)3(3)(1)27A A A A A A ------=-=-=--=

5、若n 阶矩阵A 的秩为r ，则___C___.

（A ）0A =; （B ）0A ≠; （C ）r n ≤; （D ）r n >.

三、,A B 为n 阶可逆矩阵，若5A =，求12B A B --的值。

解：1212(1)(1)25

n n

B A B B A B ---=-=-

四、设向量组1231151,3,301k ααα?????? ? ? ?

===- ? ? ? ? ? ?-??????

线性相关，求常数k ；并找到一组最大无关

组。

解：

12321232

115115

,,133028

0101115

2014280004

r r k k r k r r k ααα=-----÷-=-=+-

所以，4k =时线性相关，12111,301αα???? ? ?

== ? ? ? ?-????

为极大无关组。

五、设A B 、同为n 阶正交阵，且0A B +=,证明：0A B +=.

证明：()T T T A B AB B AA B A B A B +=+=+

()T T T A B AB B AA B A B A B A A B B ∴+=+=+=+

(1)0A B A B ?+-=

又2

0110A B A B A B B +=?=-?-=+≠

0A B ∴+=

六、若()ij n n A a ?=是正交矩阵，证明: 当1A =时,,(,1,2,,)ij ij a A i j n == ;

当1A =-时,,(,1,2,,)ij ij a A i j n =-= .

证明：若()ij n n A a ?=是正交矩阵，则1

A AA E A A A

-=?== 所以，当1A =时,,(,1,2,,)ij ij a A i j n == ;

当1A =-时,,(,1,2,,)ij ij a A i j n =-= .

七、设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ,证明:1

*n A A

-=.

证明：由***n

AA A E AA A E A A A =?=?=，若0,A ≠则1

*n A A

-=；

若0,A =假设*0A ≠，则*A 可逆，由此得

1**(*)*|*|,AA A E O AA A O A O A O A O -==?=?=?=?=矛盾。

所以，1

*n A A -=。

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

太原理工大学2011级《线性代数》练习册(一)

一. 判断题（正确打√，错误打×） 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n .( × ) 正确答案：)!(1-n 解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是n nj j a a a 2211，其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!(1-n 项. 方法2 由行列式展开定理 =21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a n n A a A a A a 111111+++2211 ，而n n A a A a 1111++22 中不再含有11a ，而11A 共有)!(1-n 项，所以含有11a 的项数是 )!(1-n . 注意：含有任何元素ij a 的项数都是)!(1-n . 2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( √ ) 解答：将 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 中的n 、、、 32列都加到第一列，则行列式中有一列元素全为零，所以ij a 等于零. 3. 3 3 22 44114 4 332211 000000a b b a a b b a a b a b b a b a =.( √ ) 解答：方法1按第一列展开

3 3 2244 1144 11 41413 3 22413322 414 4 33221 1=-=-=0 00 000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a ) (. 方法2 交换2，4列，再交换2，4行 2 2 3344 114 4 3322114 4 3322110 000000=0 00000 0-=0 00 0000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =3 32 2 4411 a b b a a b b a . 方法3 Laplace 展开定理：设在n 阶行列式D 中任意取定了)(1-≤≤1n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D . 所以按2，3行展开 3 +2+3+24 4 33221 1 1-=0 00 000)(a b a b b a b a 33 224411a b b a a b b a =3 3 2 244 11 a b b a a b b a . 4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ，， ,,21=,则0≥ij a .(√) 解答：由行列式展开定理 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 n n A a A a A a 111111+++=2211 0≥+++=2 n a a a 1212211 . 5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( × )

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化为规范型。 ( × )

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个）二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ）（A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例（B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例（C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例（D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于（ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T

线性代数复习题及答案

《线性代数复习提纲及复习题》理解或掌握如下内容：第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式，行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。第二章矩阵及其运算矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。第三章线性方程组ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩；齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。复习题：一、填空（1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为负；（2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0）；（3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性无关；（4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ；（5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ；（6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ；（7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ；（8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解；（9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的充要条件；

线性代数练习册-答案

第一章行列式习题答案二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式（1） 23112 =；（2） cos sin 1sin cos θθθ θ -=；（3） 111112122121 2222 a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b 1221 12211221 1221a a a b b a b b （4） 11121112 21222122 a a b b a a b b + 11221122 1221 1221a a b b a a b b 2.计算下列三阶行列式（1）103 12 126231-=--； (2)11 1213222332 33 a a a a a a a 112233 112332 a a a a a a 1122332332a a a a a （3）a c b b a c c b a 3 3 3 3a b c abc 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）3214；（2）614235. 123t 112217t （3）() ()() 123225 24212n n n n --- 当n 为偶数时，2n k ，排列为 143425 2122 21 223 412 k k k k k k k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2 2 (1) 1 3 1 31 42 n k k k k k k n

其中11(1)(1)k k 为143425 2122k k k k --+的逆序数；k 为21k 与它前面数构成的逆序数；(1) (2) 21k k 为 23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和； 113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n k ，排列为 142345 2122 23 225 412 k k k k k k k k ++++++1122t k k (1)21k k 2 2 1 3 32 3432n k k k k k k n 其中1122k k 为142345 2122k k k k +++的逆序数； (1)21k k 为23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22, ,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i j ，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式：（1） 0001 002003004000(4321) (1) 2424 （2） 00 000000000 a c d b (1342) (1) abcd abcd

线性代数习题及答案(复旦版)1

线性代数习题及答案习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解：设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.

线性代数练习册

线性代数练习冊第一章行列式一、填空： 1、 =4 8 39 32 6871 （）。 2、=2290387431（）。 3、=3 421（）。 4、=8191910161714121（）。 5、=0786989444222211（）。 6、4 095230357268015中元素31a 的余子式等于（）。

7、 40952 3035 7210 011中元素( )的余子式等于4 092305 72。 8、 409523035 7268015中元素31a 的代数余子式等于（）。 9、 400523035 7218901按第（）列展开计算最简单。 10、 4 095 23035 7210011中元素32a 的代数余子式等（）。二、选择填空： 1、下列行列式中，（）的值等于6。（a ） 4 321 (b) 1321 (c) 4 839 920 891 (d) 4 616360261 2、若行列式 02 12 =k ，则k ＝（） (a)1 (b)-1 (c) 0 (d)不存在 3、若行列式 02 14 2=k ，则k ＝（）

(a)1 (b)-1 (c) 0 (d)不存在 4、若行列式 62 12=k ，则k ＝（） (a)4 (b)-4 (c) 0 (d)不存在 5、若行列式 22 12 -=k ，则k ＝（） (a)1 (b)-1 (c) 0 (d)不存在 6、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333（） (a)6 (b)18 (c)162 (d)54 7、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 232323（） (a)36 (b)8276?? (c)72 (d)216 8、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333（） (a)6 (b)18 (c)162 (d)54 9、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333333（） (a)6 (b)18 (c)162 (d)54 10、如果6222==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333（） (a)6 (b)18 (c)9 (d)54 三、判断题（对，填“√”；错，填“?”。） 1、行列式的行数和列数可以不相等。（） 2、行列式的行数和列数必须相等。（） 3、用一个数k 乘一个行列式，等于用k 乘此行列式的每一个元素。（） 4、用一个数k 乘一个行列式，等于用k 乘此行列式的某一行元素。（）

线性代数第五章答案

第五章相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

线性代数练习册附答案

第1章矩阵习题 1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==011y x x ； (2) ?? ?+=-=? ?? ?cos sin sin cos 11y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设????? ??--=111111111Α，??? ? ? ??--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112???? ? ??

(2) ???? ? ??????? ??1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=?????,??? ??+-=+=+-=323 3122 11323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.

6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m - 1+…+ a m E . 当f (x )=x 2 -5x +3，??? ? ??--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O . (2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求：（1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

线性代数练习册习题及答案本

第四章线性方程组 §4-1 克拉默法则一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=??+=? 解： 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 63 D = =- 所以，125,62D D x y D D = ===-

2．123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---， 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----， 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3．21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=， 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--， 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D = =====

线性代数练习题及答案精编

线性代数练习题一选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。（B ）A 是满秩矩阵。（C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )

线性代数题目及解析。

一. 判断题（正确打√，错误打×） 1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答：反例：取01=α，02≠α，则2α不能由1α线性表示，但21,αα线性相关. 2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答：向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是 m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ；所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×) 解答：正确结论：向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×) 解答：反例：取0,0==≠γβα，则向量组γβα,,只有一个极大无关组α，但γβα,,线性相关. 正确命题：若γβα,,线性无关，则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题 1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( A ). （A ）向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.

解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以 32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A ）（A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示; （C ）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; （D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示. 解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A ） 3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则(B ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关; （C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B ）正确. 注意（D ），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001000 ( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 1 10000 0100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 003232 1 1112)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若21 3332 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 222123 21 12 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若573411111 3263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23500101 1 110403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数第五章习题答案

思考题5-1 1. 1123123100,000=?+?+?=?+?+?a a a a 0a a a . 2.不一定。例如，对于123101,,012?????? ===???????????? a a a ，它们中的任两个都线性无关，但是123,,a a a 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。 4. 不一定。例如，对于12121100,;,0012-???????? ====???????????????? a a b b 。12,a a 和12,b b 这两个向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。 5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。习题5-1 1.提示：用行列式做。（1）线性无关。（2）线性相关。. 2. 0k ≠且1k ≠。 3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。设[]12,,,,T n b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e 4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关. 证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证：（1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0 由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。（2）若P 可逆，则1-=A P B 。由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。 6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.

线性代数练习册第三章答案(本)

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