误差限的病态总体最小二乘解算_葛旭明
第４２卷 第２期测 绘 学 报
Ｖｏｌ．４２，Ｎｏ．２
２
０１３年４月Ａｃｔａ Ｇｅｏｄａｅｔｉｃａ ｅｔ Ｃａｒｔｏｇｒａｐ
ｈｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ Ａｐ
ｒ．，２０１３ＧＥ Ｘｕｍｉｎｇ，ＷＵ Ｊｉｃａｎｇ．Ａ Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｉｌｌ－ｐ
ｏｓｅｄ Ｔｏｔａｌ Ｌｅａｓｔ Ｓｑｕａｒｅｓ ｗｉｔｈ Ｅｒｒｏｒ Ｌｉｍｉｔｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｇｅｏｄａｅｔｉｃａ ｅｔＣａｒｔｏｇｒａｐ
ｈｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２０１３，４２（２）：１９６－２０２．（葛旭明，伍吉仓．误差限的病态总体最小二乘解算［Ｊ］．测绘学报，２０１３，４２（２）：１９６－２０２．）误差限的病态总体最小二乘解算
葛旭明１，伍吉仓１，
２
１．同济大学测绘与地理信息学院，上海２０００９２；２．现代工程测量国家测绘地理信息局重点实验室，上海２０００９２
Ａ Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｉｌｌ－ｐｏｓｅｄ Ｔｏｔａｌ Ｌｅａｓｔ Ｓｑ
ｕａｒｅｓ ｗｉｔｈ Ｅｒｒｏｒ ＬｉｍｉｔｓＧＥ Ｘｕｍｉｎｇ１，ＷＵ Ｊｉｃａｎｇ
１，
２１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ ａｎｄ Ｇｅｏ－ｉｎｆｏｒｍａｔｉｃｓ，Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９２，Ｃｈｉｎａ；２．Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｍｏｄｅｒｎ ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｕｒｖｅｙｉｎｇ，ＳＢＳＭ，Ｓｈａｎｇ
ｈａｉ ２０００９２，ＣｈｉｎａＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ａｃｃｕｒａｃｙ，ｗｅ ａｔｔｅｍｐｔ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌｓ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｂｏｔｈｄｅｓｉｇｎ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｔｏ ｒｅｐｌａｃｅ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ．Ａ ｆｅｗ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔｔｏ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ａｎｄ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ
ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ．Ｋｅｙ
ｗｏｒｄｓ：ｉｌｌ－ｐｏｓｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ；ｔｏｔａｌ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ；ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ａｃｃｕｒａｃｙ；ｅｒｒｏｒ ｌｉｍｉｔｓ摘 要：大地测量和地球物理数据解算中时常会涉及病态问题的处理。基于客观的观测精度，利用设计矩阵与观测向量的误差限制，一方面降低了病态性对求解造成的波动；另一方面避免引入正常数，从而提高整个解算过程的客观性与可靠性。计算表明，本文提出的方法可以有效地处理病态总体最小二乘问题，并且具有较高的稳定性。关键词：病态性；正则化；总体最小二乘；观测精度；误差限度
中图分类号：Ｐ２０７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１－１５９５（２０１３）０２－０１９６－０７基金项目：国家自然科学基金（４１０７４０１９）；中美国际合作项目（２０１０ＤＦＢ２０１９０
）１ 引 言
ＴＬＳ算法最初由文献［１］
运用于数值计算领域，文献［２］将该算法推广，并进一步将ＴＬＳ理论及算法运用于科学与工程领域。另一方面，在处理线性模型Ａｘ≈ｂ时可能面临设计矩阵存在病态的情况，这将导致因观测量的微小波动而造成模型参数求解的巨大波动。在ＬＳ算法基础上，文献［３］提出的正则化理论以及文献［４］提出的截断奇异值（ＴＳＶＤ）的办法通常被用来解决线性估计下ＬＳ的病态问题。根据文献［１］及文献［５］推导得到的ＴＬＳ算法可知，ＴＬＳ的求解过程为一个降正则化的过程，因此在ＴＬＳ解算中，设计矩阵的病态不仅将导致求解参数的不稳定，并且随着病态性的加强，
其求解的不稳定性也将逐步增大。文献［６］利用广义奇异值分解（ＧＳＶＤ）的办法得到了ＴＬＳ方法下的截断奇异值法（Ｔ－ＴＬＳ）。基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化理论，文献［７］推导了总体最小二乘正则化方法（Ｒ－ＴＬＳ）。随后文献［８—１０］也相继推导了多种形式的Ｒ－ＴＬＳ方法。在
Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法中，
求解参数不仅应满足残差最小的约束目标函数，还应满足解的二次范数不等式条件，从而避免求解参数因观测值的微小变动而造成的巨大波动。在该方法的约束条件中需人为引入一个正常数，
进而使得解的二次范数满足不等式约束，但是正常数的引入并没有绝对的标准，也没有一个客观的参考值，因此其值的引入存在较强的主观性。文献［１１］首先考虑了利用误差限制的条件处理ＴＬＳ的病态问题，并利用牛顿迭代法推导和证明了该算法的可靠性。国内已有不少学者将ＴＬＳ方法引入到测量数据的处理中，文献［１２］利用加权总体最小二乘算法（ＷＴＬＳ
）对平面靶标及球靶标进行拟合；文献［１３］利用ＴＬＳ方法建立了更加可靠的坐标转换算法。但对病态总体最小二乘的分析及其在测量数据处理中的应用研究还不多，相关文献也较少，其解算方法也主要是基于文献［１］推导的Ｒ－ＴＬＳ方法及文献［１４］提出的Ｌ曲线法。文献［１５］推导了病态总体最小二乘模型的正则化迭代算法；文献［１６］基于平差模型推导了加权病态总体最小二乘的岭估计算法；文献［１７］推导了一种基于Ｌ曲线的广义病态总体最小二乘正则化算法。
基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化理论及文献［８］
和文
第２期葛旭明，等：误差限的病态总体最小二乘解算
献［１１］等的分析结果，本文探讨了利用误差限制下的ＴＬＳ正则化方法，并结合文献［１８］提出的最小－最大（ｍａｘ－ｍｉｎ，ＭＭ）残差法，推导出一种基于误差限的ＴＬＳ正则化算法（ｍａｘ－ｍｉｎ ｒｅｓｉｄｕａｌｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ＴＬＳ，ＭＭＲ－ＲＴＬＳ），以下简称Ｒ－ＲＴＬＳ。
２ 总体最小二乘解及正则化算法
２．１ 总体最小二乘方法
本文所采用的线性估计基础模型为
Ａｘ≈ｂ， Ａ∈Ｒｍ×ｎ，ｂ∈Ｒｍ，ｍ≥ｎ（１）式中，Ａ为设计矩阵且列满秩；ｂ为观测值向量；ｘ为待求参数。总体最小二乘求解约束条件可表达为
ｍｉｎ‖（Ａ，ｂ）－（Ａ＃，ｂ＃）‖Ｆ，式中Ａ＃ｘ＝ｂ＃
（２）式中，Ａ＃、ｂ＃分别为设计矩阵及观测值向量真值；‖‖Ｆ表示Ｆ范数。根据约束条件（２），基础模型的ＴＬＳ解为［１－２，５］
ｘＴＬＳ＝（ＡＴＡ－σ２ｎ＋１Ｉ）－１ ＡＴｂ（３）式中，σｎ＋１为增广矩阵Ａ
［］
ｂ的第ｎ＋１个奇异值；Ｉ为单位阵。如果Ａ为病态矩阵，则上述问题称之为病态总体最小二乘问题。由式（３）可以看出，ＴＬＳ的求解过程为一个降正则化过程。所以，对于病态总体最小二乘问题而言，其解的不稳定程度将超过对应的最小二乘解。
２．２ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化
Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化理论已广泛运用于处理病态问题。在ＬＳ的基础上，Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法需满足式（４）的约束［３］
ｍｉｎ‖Ａｘ－ｂ‖２并且‖Ｌｘ‖２≤δ（４）式中，δ为给定正常数；Ｌ通常为基于一阶或二阶偏导数的约束矩阵。在式（４）中不等式约束条件有效的情况下，通过建立拉格朗日多项式可以得
到Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化解ｘ
λ
应满足的更一般的最小约束表达
ｍｉｎＪα（ｘ） Ｊα（ｘ）＝‖Ａｘ－ｂ‖２２＋α‖Ｌｘ‖２２
（５）式中，α为正则化参数。因此Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化解ｘα为
ｘα＝ＡＴＡ＋αＬＴ
（）
Ｌ－１ ＡＴｂ（６）在式（６）的求解中，正则化参数α可由文献［１４］提出的Ｌ曲线法确定。这里式（６）的求解是基于式（５）的约束条件，而式（５）是在约束条件式（４）中不
等式约束有效且正常数δ足够小的情况下才成立。由此可以看到，在Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法中正常数δ起到了重要的控制作用。
２．３ 总体最小二乘的正则化
文献［７］等利用Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化理论推导并证明了总体最小二乘的正则化方法（Ｒ－ＴＬＳ）。基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法的约束条件，建立Ｒ－ＴＬＳ的约束条件式（７）
ｍｉｎ‖（Ａ，ｂ）－（Ａ＃，ｂ＃）‖Ｆ
并且Ａ＃ｘ＝ｂ＃，‖Ｌｘ‖２≤δ
（７）通过文献［７］的推导可知，Ｒ－ＴＬＳ下的解ｘＲＴＬＳ应满足式（８）
ＡＴＡ＋λＩＩ＋λＬＬＴ
（）
Ｌ ｘ＝ＡＴｂ（８）式中
λＩ＝－
‖ｂ－Ａｘ‖２２
１＋‖ｘ‖２２
， λ
Ｌ＝μ
（１＋‖ｘ‖２
２
），λＬδ２＝ｂＴ（ｂ－Ａｘ）＋λＩ
式中，μ为拉格朗日因子。
文献［９］在Ｇｏｌｕｂ推导基础上，运用特征值的办法推导并证明了Ｒ－ＴＬＳ下的解ｘＲＴＬＳ也同时满足式（９）
ＡＴＡ＋λＬＬＴＬ ＡＴｂ
ｂＴＡ－λＬδ２＋ｂＴ
［］
ｂ
ｘ
［］
－１
＝－λＩ
ｘ
［］
－１
（９）式中，λＬ、λＩ、δ的定义同式（８）。
文献［１０］证明了Ｒ－ＴＬＳ下类似于式（５）的约束式
ｍｉｎ
‖Ａｘ－ｂ‖２２
１＋‖ｘ‖２２
＋λ‖Ｌｘ‖
｛｝２２（１０）２．４ 误差限的正则化方法
在式（４）与式（７）中，δ均可视为不等式约束条件的上限，因此在处理Ｒ－ＴＬＳ问题时正常数δ的给定十分重要。但在实际问题处理中，δ通常是由经验假设给出，而真实的上限是不知道的，因此在实际求解中经常会遇到因δ给定不适所造成的求解过度平滑或未平滑的情况。但另一方面，由于观测量总是满足一定的精度，观测值误差导致的设计矩阵和观测向量的误差上限η和ηｂ是可以根据观测值精度预先确定的，基于式（２）可将误差限制表示为
‖Ａ＃－Ａ‖Ｆ≤η
‖ｂ＃－ｂ‖２≤η烍
烌
烎
ｂ
（１１）将Ｒ－ＴＬＳ的目标函数与不等式约束条件对换，在新的目标函数下将式（７）转换为
７
９
１
Ａｐ
ｒｉｌ ２０１３ Ｖｏｌ．４２ Ｎｏ．２ ＡＧＣＳ ｈｔｔｐ：∥ｘｂ．ｓｉｎｏｍａｐ
ｓ．ｃｏｍｍｉｎ‖Ｌｘ‖２２，
并且Ａ＃ｘ＝ｂ＃，‖Ａ＃－Ａ‖Ｆ≤η，‖ｂ＃
－ｂ‖２≤η烍烌烎
ｂ（１２）
从式（１２）可以看到，在该约束条件下去除了式（７）中所含有的正常数δ，取而代之的是２个约束条件不等式的约束上限，它们可由观测值精度先验确定，从而克服正则化方法中正常数不易正确给出的缺点。
３ 误差约束
３．１ ＭＭ约束条件
根据式（１２）中约束条件的表达可知，在观测精度一定时设计矩阵与观测值向量的误差范围可表达为
‖δＡ‖Ｆ≤η， ‖δｂ‖２≤ηｂ（１３）在实际的测量中，设计矩阵和观测值向量的取值可表达为图１所示圆周范围内的某一个值，即圆周表示理论真值，半径为客观的观测精度误差最
大值。用数学表达式表达为ａ＃ｉｊ＝ａｉｊ＋ηｉｊ，ｂ＃ｉ＝ｂｉ＋ηｂｉ
，其中ａ＃
ｉｊ为理论设计矩阵的第ｉ行ｊ列的元素，ａｉｊ为实际设计矩阵的第ｉ行ｊ列的元素，而ηｉｊ
为对应设计矩阵元素的观测误差，ｂ＃
ｉ、ｂｉ、ηｂｉ
的含义同设计矩阵元素。本文只考虑等精度观测情况，不等精度观测通过加权等处理可转换为等精度问题
。
图１ 观测值的范围Ｆｉｇ．１ Ｒａｎｇ
ｅｓ ｏｆ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ对于基础方程式（１）的每一个解＾ｘ，都可以得到一系列的残差
‖（Ａ＋δＡ）＾ｘ－（ｂ＋δｂ）‖２
（１４）在所有的解中筛选出一个解＾ｘ，该解使得式（１４）的最大值（ｍａｘ）达到最小（ｍｉｎ
），即ｍｉｎ＾ｘｍａｘ‖（Ａ＋δＡ）＾ｘ－（ｂ＋δｂ）‖２：
‖δＡ‖≤η‖δｂ‖≤η
｛｝
ｂ（１５）由式（１５
）可得 ‖（Ａ＋δＡ）＾ｘ－（ｂ＋δｂ）‖２≤
‖Ａ＾ｘ－ｂ‖２＋η‖＾ｘ‖２＋η
ｂ（１６）则式（１５
）的约束条件可转换为：ｍｉｎ＾ｘ‖Ａ＾ｘ－ｂ‖２＋η‖＾ｘ‖２＋η｛｝ｂ（１７
）３．２ ＭＭＲ－ＲＴＬＳ方法
在２．４节所讨论的基于测量误差的Ｒ－ＴＬＳ
方法中，将解的范数定为目标函数，利用观测值误差范围作为约束条件，这样可以有效地避免因正常数δ的不适所造成的影响；另一方面，在３．１节
的分析中，基于观测值误差范围，利用ＭＭ约束条件的方法可以有效地控制求解值的稳定性。
同样在基于观测值误差范围的前提下，建立如下约束
ｍｉｎ＾ｘ
‖Ａ＾ｘ－ｂ‖２＋η‖＾ｘ‖２＋η｛｝ｂｍｉｎ‖Ｌｘ‖烍烌烎２
２（１８）式（１８
）可以近似转换为ｍｉｎ＾ｘ
‖Ａ＾ｘ－ｂ‖２＋η‖＾ｘ‖２＋ηｂ＋‖Ｌ＾ｘ‖｛｝２２（１９
）建立目标函数式
ζ（ｘ）＝‖Ａｘ－ｂ‖２＋η‖ｘ‖２＋η
ｂ＋‖Ｌ＾ｘ‖２２（２０）显然式（２０）为一凹函数，对ｘ求导并且令其等于零，可以得到与式（８
）一致的法方程，此时λＬ＝
２‖Ａｘ－ｂ‖２λＩ＝
η‖Ａｘ－ｂ‖２‖
ｘ‖烍烌
烎２（２１）注意上述求导过程中，ηｂ对ｘ求导等于０，所以解中不再含ηｂ，但ηｂ决定了式（１９）中的目标函数极值。设计迭代算法如下：
（１）利用ＬＳ方法得到ｘＬＳ作为初始值。
（２
）根据观测量的精度及设计矩阵形式确定设计矩阵误差上限η。在实际运用中，由于观测
受到外界不确定因素的影响，
观测量的精度往往达不到仪器标称精度，
所以在确定误差上限时可以适当考虑在标称精度的基础上略有加大。
（３
）利用初始值及误差上限设定值，根据式（２１）分别求解λＬ和λＩ的初始值。（４）根据式（８
），求解正则化值。（５）判断‖Δｘ‖２＜ε，若不成立则将得到值作为初始值回到第３步，直至收敛（Δｘ表示每次迭代中对ｘ的改正数，ε表示一个小正数，
比如取１０
－６
）。４ 算 例
使用文献［１９］“Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｔｏｏｌｓ ２００７”中的病态试验数据来测试本文所探讨的病态总体最小二乘的正则化方法。在算例中同时对设计矩阵及观测值向量加入不同程度的随机扰动误差用于模拟观测误差，并分别使用上述几种方法求解
８
９１
第２期葛旭明，等：误差限的病态总体最小二乘解算
未知参数。
算例１：采用文献［１９］“Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｔｏｏｌｓ
２００７”病态模拟数据“ｐｈｉｌｌｉｐｓ”，设计矩阵条件数
的数量级为１０５。设计矩阵的元素方差为０．０１，
观测值向量方差为０．００５。图２（ａ）给出Ｇｏｌｕｂ算
法中给定不同正常数所得到的结果和本文方法得
到的结果，图中Ｒ值即为上文中的正常数δ。
图２（ｂ）给出了本文方法的结果与Ｌ曲线下Ｒ－ＬＳ
及Ｒ－ＴＬＳ的结果。
为对比不同方法所得到的结果相对真值的偏
差及波动大小，表１分别列出了几种方法求解的
偏差范数‖ｘ－ｘ＃‖２与相对偏差范数
‖ｘ－ｘ＃‖２‖ｘ‖２＝κ。表１中Ｒ－ＲＴＬＳ为本文所提出
方法结果，Ｒ－ＴＬＳ为Ｇｏｌｕｂ方法在给定不同正常
数Ｒ情况下的结果，Ｒ－ＴＬＳ（Ｌ）与Ｒ－ＬＳ（Ｌ）为利
用Ｌ曲线所得到的结果。
算例２：采用文献［１９］“Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｔｏｏｌｓ
２００７”病态模拟数据“ｓｈｏｗ”。设计矩阵条件数的
数量级为１０１９。设计矩阵的元素方差为０．０１，观
测值向量方差为０．００５。图３和表２的注释和表
头说明同图２和表１。
算例３：采用文献［１９］“Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｔｏｏｌｓ
２００７”病态模拟数据“ｓｈｏｗ”。设计矩阵的元素方
差为０．１，观测值向量方差为０．０１。图４和表３
中的注释和表头说明同图２和表１。
表１ 算例１的偏差范数与相对偏差范数
Ｔａｂ．１ Ｎｏｒｍ ｏｆ ｂｉａｓ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｂｉａｓ ｆｏｒ ｔｅｓｔ １
Ｒ－ＲＴＬＳ Ｒ－ＴＬＳ，Ｒ＝０．１ Ｒ＝０．６ Ｒ＝１．２ Ｒ＝３Ｒ－ＴＬＳ（Ｌ）Ｒ－ＬＳ（Ｌ）
‖Δｘ‖２０．１４７ ４ ２．７６９ ３ ０．１５５ １ ０．３１３ ０ ０．８１７ ４ ０．１８４ １ ０．５１８ ８κ０．０４９ ２ ０．９２３ ７ ０．０５１ ７ ０．１０４ ４ ０．２７２ ６ ０．０６１ ４ ０．１７３ ０
表２ 算例２的偏差范数与相对偏差范数
Ｔａｂ．２ Ｎｏｒｍ ｏｆ ｂｉａｓ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｂｉａｓ ｆｏｒ ｔｅｓｔ ２
Ｒ－ＲＴＬＳ Ｒ－ＴＬＳ，Ｒ＝１ Ｒ＝２ Ｒ＝２．５ Ｒ＝３Ｒ－ＴＬＳ（Ｌ）Ｒ－ＬＳ（Ｌ）‖Δｘ‖２１．９９０ ８ ３．０４６ ４ ２．７７９ ３ ２．７８９ ５ ２．８３１ ７ １．７４２ ６ １．７０３ ０κ０．２５７ ５ ０．３９４ ０ ０．３５９ ４ ０．３６０ ８ ０．３６６ ２ ０．２２５ ４ ０．２２０ ２
表３ 算例３的偏差范数与相对偏差范数
Ｔａｂ．３ Ｎｏｒｍ ｏｆ ｂｉａｓ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｂｉａｓ ｆｏｒ ｔｅｓｔ ３
Ｒ－ＲＴＬＳ Ｒ－ＴＬＳ，Ｒ＝０．５ Ｒ＝１ Ｒ＝１．２ Ｒ＝２Ｒ－ＴＬＳ（Ｌ）Ｒ－ＬＳ（Ｌ）‖Δｘ‖２２．７６０ ３ ３．５７２ １ ３．４３９ ６ ３．４３２ ９ ３．４８４ ０ ３．８１０ ６ ３．６２０ ６κ０．３５７ ０ ０．４６２ ０ ０．４４４ ８ ０．４４４ ０ ０．４５０ ６ ０．４９２ ８ ０．４６８ ３
从以上３组算例可以看到，本文所提出的方法可以有效地处理总体最小二乘的病态问题。Ｇｏｌｕｂ提出的Ｒ－ＴＬＳ算法，在正常数给定恰当时可以得到较好的解算结果，但当正常数给定超过或不足理论最佳值时，解算结果会出现过度平滑或未平滑状态，并且波动值较大，参见图２（ａ）～４（ａ）。本文提出的算法在无需假设正常数的情况下，通过设定观测值误差上限的办法从而稳定求解，因Ｇｏｌｕｂ算法中正常数的真值并不知道，所以对比给定较为恰当的正常数值时，本文方法较之Ｇｏｌｕｂ算法的结果精度相当，并略好于该算法。算例１中正常数在０．６处达到可靠值，该解算结果较之文本方法所得结果有０．０７７的偏差。算例２中正常数恰当时，其结果与本文方法结果有０．７８８ ５的偏差，而算例３中该偏差为０．６７２ ６。在病态性程度加强且误差增大时，本文算法相对于Ｇｏｌｕｂ算法其结果提高了近４０％和２４．４％。其次，在Ｌ曲线法较为理想时，其值也与本文提出算法所得结果精度相当。最后，算例２与算例３对比可以发现，在误差值较大的情况下，本文所提出算法的稳定性更强，相比其他方法可以更好地保持原有数据的总体形态及趋势，其稳定性
９
９
１
Ａｐｒｉｌ ２０１３ Ｖｏｌ．４２ Ｎｏ．２ ＡＧＣＳ ｈｔｔｐ：∥ｘｂ．ｓｉｎｏｍａｐｓ．ｃｏｍ
较好。
算例４：采用文献［２０］模拟空间测边网算例。Ｐ１、Ｐ２、…、Ｐ１０为１０个已知点，其坐标具体数据略去。１０个已知点到３个未知点Ｐ１１、Ｐ１２、Ｐ１３（假设模拟坐标真值分别为（０，０，０），（６８，－２６，９）和（１４，４１，－１１））的距离，以及３个未知点间的距离假定已通过测量得到。设各距离为等精度观测，中误差为±０．０１ｍ。根据３３个距离观测值确定３个未知点坐标。计算中３个未知点坐标近似值分别取（０．０３ｍ，－０．０２５ｍ，０．０１ｍ），（６８．０３ｍ，－２５．９７ｍ，８．９８ｍ）和（１４．０４ｍ，４０．９７ｍ，－１１．０４ｍ）。该测边网所建立观测方程的系数阵Ａ为严重病态，法矩阵条件数的数量级为１０５。表４列出各种算法结果及误差范数等。
表４ 各算法求解结果及误差范数等
Ｔａｂ．４ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｎｏｒｍｓ ｏｆ ｂｉａｓ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｂｉａｓ
真值Ｒ－ＲＴＬＳ ＬＳ Ｒ－ＬＳ（Ｌ）Ｒ－ＴＬＳ（Ｌ）Ｒ－ＴＬＳ，Ｒ＝１ Ｒ＝０．１ Ｒ＝３ Ｒ＝６ Ｒ＝１２０ ０．０３０ ０ ０．９７９ ５ ０．４３１ ３ ０．２３８ ２ ０．０２３ ８ ０．０２６ ２ ０．０２４ ７ ０．０２８ ８ ０．０２９ ５０－０．０２５ １－８．１３５ ７－６．６０１ ８－５．０９６ ６－０．０３４ １－０．０２８ ９－０．０４０ ３－０．０４３ ５－０．０４４ ９０ ０．０１０ ０－３０．７７６ ９－１２．３４３ ９－１．８７２ ３ ０．００３ ６ ０．００６ ２ ０．００５ ７ ０．００８ ３ ０．００９ ５６８ ６８．０２９ ９ ６５．７９７ ７ ６５．９６６ ７ ６６．１７０ ９ ６８．０２３ ０ ６８．０２６ ３ ６８．０１６ ８ ６８．０１３ ２ ６８．０１１ ７－２６－２５．９７０ ０ １１．０６８ ５－２４．９５７ ９－２５．２４７ ０－２５．９７１ ６－２５．９７３ ６－２５．９６６ １－２５．９６３ １－２５．９６１ ８９ ８．９８０ ０ １３４．９０８ ７ ９．９２８ ８ ８．９３４ ０ ８．９７８ ６ ８．９７６ ４ ８．９７８ ９ ８．９７８ １ ８．９７７ ７１４ １４．０４０ ０ １３．８６８ ８ １３．５９８ ６ １３．６５８ １ １４．０３９ ４ １４．０３６ ５ １４．０３９ ９ １４．０４０ ０ １４．０４０ ０４１ ４０．９７０ ０ ４５．６６８ ９ ４０．６９９ ６ ４０．７７６ ３ ４０．９６９ ８ ４０．９６６ ５ ４０．９７０ ３ ４０．９７０ ４ ４０．９７０ ５－１１－１１．０４０ ０ ３．２１１ ５－１２．０００ ６－１１．１６８ １－１１．０４０ ２－１１．０４３ ５－１１．０４０ ０－１１．０４０ １－１１．０４０ １‖Δｘ‖２０．０８９ ０ １３５．９０４ ７ １４．２６４ ５ ５．８００ ８ ０．０８７ ３ ０．０８８ ６ ０．０９０ ７ ０．０９４ ３ ０．０９５ ７κ０．００１ ０ １．５８２ １ ０．１６６ １ ０．０６７ ５ ０．００１ ０．００１ ０．００１ １ ０．００１ ２ ０．００１ ３
从表４中可以看到，本文提出的算法在实际边角网平差解算中效果较好。例４中给定的初始值并不理想，ＬＳ方法得到的解是完全不可靠的。Ｒ－ＬＳ（Ｌ）与Ｒ－ＴＬＳ（Ｌ）方法所得到结果均有一定程度的提高，相对误差系数也达到相对可靠的水平，但运用新方法所得到解算结果明显好于该两组解算结果，其偏差水平达到了观测误差给定水平（厘米级），相对偏差也有明显的提高。其次，Ｇｏｌｕｂ方法的解算结果表明，当正常数给定较为合适时，其解算结果与本文提出方法的解算结果相当，仅存在千分之几的偏差，这也证明了新方法的可靠性。
通过采用不同初始值实验可以发现（限于篇幅，具体数据略去），在初始值给定较为理想的情况下，ＬＳ的偏差明显减小，Ｌ曲线下的Ｒ－ＬＳ及合适Ｒ值下的Ｒ－ＴＬＳ的解算精度也有明显的提高。本文提出的新方法的解算精度同样也有一定程度的提高，并且明显好于其他方法。在正常数给定适当的情况下，Ｇｏｌｕｂ方法得到的解算结果与本文新方法的解算结果相当，也仅有万分之几的区别。５ 结 论
本文通过分析Ｇｏｌｕｂ所提出的Ｒ－ＴＬＳ方法（下称原方法），并结合文献［１１］关于误差限分析的结果，提出了一种更为可靠的病态问题正则化求解方法（Ｒ－ＲＴＬＳ，下称新方法）。通过本文的公式推导和算例分析，可以得到以下几点结论：（１）新方法通过“观测量的精度”这一客观标准给定误差上限值，克服因病态性所造成的总体最小二乘解的不稳定。该方法避免了原有方法中需主观给定正常数的过程，使其解算过程更加合理。
（２）在给定误差上限时，新方法充分考虑了因外界因素对观测值精度的影响，即在标称精度或设计精度上略有增加，使该方法更具可操作性，同时也避免了原有方法在给定正常数不适当时所造成解的剧烈波动。
（３）新方法对初值精度的要求不高，其抗差性较原有方法有一定的提高，扩大了该方法的使用范围。
００２
第２期葛旭明，等：
误差限的病态总体最小二乘解算
图２ 算例１中不同方法解算结果对比图
Ｆｉｇ．２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ ｂｙ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｅｓｔ
１图３ 算例２中不同方法解算结果对比图
Ｆｉｇ．３ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ ｂｙ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｅｓｔ
２图４ 算例３中不同方法解算结果对比图
Ｆｉｇ．４ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ ｂｙ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｅｓｔ ３参考文献：
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（王振杰．测量中不适定问题的正则化解法［Ｍ］．北京：
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（责任编辑：丛树平）
收稿日期：２０１２－０４－１７
修回日期：２０１２－０７－１４
第一作者简介：葛旭明（１９８５—），男，博士生，研究方向为大地测量数据处理及精密工程测量。
Ｆｉｒｓｔ ａｕｔｈｏｒ：ＧＥ Ｘｕｍｉｎｇ（１９８５—），ｍａｌｅ，ＰｈＤ ｃａｎｄｉｄａｔｅ，ｍａｊｏｒｓ ｉｎ ｇｅｏｄｅｔｉｃ ｄａｔａ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ａｎｄ ｐｒｅｃｉｓｅ ｓｕｒｖｅｙ－ｉｎｇ．
Ｅ－ｍａｉｌ：ｇｅｘｕｍｉｎｇｘｍｙ＠１６３
櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂櫂
．ｃｏｍ
（上接第１９５页）
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ｔｉｏｎ，１９８５．
（责任编辑：丛树平）
收稿日期：２０１２－０２－０６
修回日期：２０１２－０６－１８
第一作者简介：赵倩（１９８４—），女，博士生，研究方向为空间大地测量和卫星重力学。
Ｆｉｒｓｔ ａｕｔｈｏｒ：ＺＨＡＯ Ｑｉａｎ（１９８４—），ｆｅｍａｌｅ，ＰｈＤ ｃａｎｄｉ－ｄａｔｅ，ｍａｊｏｒｓ ｉｎ ｓｐａｔｉａｌ ｇｅｏｄｅｓｙ ａｎｄ ｓａｔｅｌｌｉｔｅ ｇｒａｖｉｍｅｔｒｙ．Ｅ－ｍａｉｌ：ｑｉａｎｚｈａｏ４１１＠１２６．ｃｏｍ
２０２
超定方程用最小二乘法求解
根据解的存在情况，线性方程可以分为: 有唯一解的恰定方程组， 解不存在的超定方程组， 有无穷多解的欠定方程组。 对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。 线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB 中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解； 还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。 左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠； 广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快； 独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解， 一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解, x=lsqnonneg(A,b) (3)矩阵求逆 行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为： B=inv(A) 该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。 在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解， 而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时， 并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。 因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。 (4)除法运算 在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB 中，定义了矩阵的除法运算。
计算机控制系统的稳态误差
计算机控制系统报告 --计算机控制系统的稳态误差 在计算机控制系统中存在稳态误差。怎样计算稳态误差呢？ 在连续系统中，稳态误差的计算可以通过两种方法计算：一是建立在拉氏变换中值定理基础上的计算方法，可以求出系统的终值误差；另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系数法，可以求出系统动态误差的稳态分量。 在离散系统中，根据连续系统稳态误差的两种计算方法,在一定的条件下可以推广到离散系统。又由于离散系统没有唯一的典型结构形式，离散系统的稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。 书上主要介绍了利用z 变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的终值误差。 设单位反馈误差采样系统如图4.12所示。 图4.12 单位反馈误差采样反馈系统 系统误差脉冲传递函数为 （4.1） 若离散系统是稳定的，则可用z 变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差 （4.2） Φ==+e ()1()()1()E z z R z G z )](1[)()1(lim )()1(lim )(lim )(1111*z G z R z z E z t e e z z t +-=-==∞-→-→∞ →
（4.2）式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关。除此之外，离散系统的稳态误差与采样系统的周期的选取也有关。上式只是计算单位反馈误差采样离散系统的基本公式，当开环脉冲传递函数G(z)比较复杂时，计算e(∞)仍然有一定的计算量，因此希望把线性定常连续系统中系统型别及静态误差系数的概念推广到线性定常离散系统，以简化稳态误差的计算过程。 在离散系统中，把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数v 作为划分离散系统型别的标准，与连续系统类似地把G(z)中 v=0,1,2,…的系统，称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型离散系统等。下面讨论不同类别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，并建立离散系统静态误差系数的概念。 1．单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，其z 变换函数为 （4.3） 得单位阶跃输入响应的稳态误差 （4.4） 上式代表离散系统在采样瞬时的终值位置误差。式中 （4.5） 称为静态位置误差系数。若G(z)没有z=1的极点，则Kp ≠∞，从而e(∞)≠0；若G(z)有一个或一个以上z=1的极点，则Kp= ∞，从1 11)(--=z z R →∞==+1p 11()lim 1()z e G z K →=+p 1lim[1()]z K G z
误差基本知识及中误差计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。 §2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值），n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=
2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。§3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m 1、m 2 、…m n ，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error） m ，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
第五章--最小二乘问题的解法
第五章 最小二乘问题的解法 1.最小二乘问题 1)回归方程问题 []T i i l i y t t )() ()(1 ,,...,,m i ,...,2,1=是m 个实验点。现要根据这些点确定y 与l 个物理量 l t t t ,...,,21之间的关系式。 设这种关系式为),...,,,...,(11n l x x t t F y =，其中n x x ,...,1是方程中需要待定的n 个参数(系数)。 因此问题是如何通过)(n m m >个实验点，确定方程中的系数。 由于实验点的个数大于待定系数的个数，因此方程中系数的确定是一个超静定问题，无法按一般的方法进行求解。 此时将实验点到曲面距离最短的那个曲面作为所求曲面，从而求取该曲面方程。 即求解[]∑=-m i i i y x t F 12 )()(),(min ，这就是最小二乘问题。 2)非线性方程组问题 求解非线性方程组?? ? ?? ??===0),...,(. 0 ),...,(0 ),...,(11211n n n n x x f x x f x x f 可转化为求解如下形式的最小二乘问题。 ∑ =m i n i x x f 1 12 ),...,(min 显而易见，最小二乘法的一般形式可写为)()(min x f x f T 最小二乘法问题实际上是具有n 个变量的无约束极小化问题，前面解无约束优化问题的方法均可应用。 但是最小二乘问题具有一定的特殊性，即目标函数的表达式是由多个表达
式的平方和组成，理应有更、更有效的方法。这正是最小二乘解法要解决的问题。 2.线性最小二乘问题的解法 最小二乘法的一般形式可写为)()(min x f x f T 特别地，当b Ax x f -= )(，即)(x f 为线性函数时，则最小二乘问题可表示为： 2 min b Ax - 1) 线性最小二乘问题解的条件 定理1:*x 是线性最小二乘问题极小点的充要条件是*x 满足b A Ax A T T =。 证明：(1)必要性 令2 )(b Ax x s -= ，于是有： b b Ax b b A x Ax A x b Ax b A x b Ax b Ax x s T T T T T T T T T T +--=--=--=))(()()()( 由于b A x T T 是一个数，而一个数的转置是它的本身，因此有： Ax b A x b b A x b A x T T T T T T T T T T ===) () ( 故上式可化为：b b Ax b Ax A x x s T T T T +-= 2)( b A Ax A x s T T 22)(-=? 若*x 是)(x s 的极小点，则必有0)(=?x s ，则必有：b A Ax A T T = (2)充分性 若*x 满足b A Ax A T T =* ，即0)(*=-b Ax A T 考虑任一点n R z x v ∈+=*，计算
定位误差计算方法
定位误差的计算方法： （1）合成法 为基准不重合误差和基准位移误差之和； （2）极限位置法 工序基准相对于刀具（机床）的两个极限位置间的距离就是定位误差； （3）微分法 先用几何方法找出工序基准到定位元件上某一固定点的距离，然后对其全微分，用微小增量代替微分，将尺寸误差视为微小增量代入，就可以得到某一加工尺寸的定位误差。 注：基准不重合误差和基准位移误差它们在工序尺寸方向上的投影之和即为定位误差。 例如：用V 型块定位铣键槽，键槽尺寸标注是轴的中心到键槽底面的尺寸H 。T D 为工件定位外圆的公差；α为V 型块夹角。 1. 工序基准为圆柱体的中心线。 表示一批工件依次放到V 型块上定位时所处的两个极端位置情形，当工件外圆直径尺寸为极大和极小时，其工件外圆中心线分别出于点 O '和点O ''。 因此工序基准的最大位置变动量O O '''，便是对加工尺寸 H 1所产生的定位误差： 故得： O E O E H H O O 11DH 1 ''-'='-''='''=ε O A E Rt 1''?中： max 1 D 2 1A O ='' 2 sin A O O E 1α''= ' O A E Rt 1''''?中：min 1 D 2 1 A O ='''' 2 sin A O O E 1α''''= '' 2 sin 2T 2sin 2T 2sin A O A O O E O E D D 11DH 1 α=α=α''''-''=''-'=ε 2. 工序基准为圆柱体的下母线：
工件加工表面以下母线C 为其工序基准时，工序基准的极限位置变动量 C C '''就是加工尺寸H2所产生的定位误差。 C S C S C O O O H H 22DH 2 '-''=''-'''='-''=ε C O C O O O ) C O O S ()C O O S (' '-''''+'''=''+'-'''+'= 而 2 sin 2T O O D α= ''' min D 2 1C O ='''' max D 2 1C O ='' 所以： C O C O O O 2 DH ''-''''+'''=ε ) 12 sin 1(2T 2T 2sin 2T 2D D 2 sin 2T )D (21 )D (212sin 2T D D D max min D max min D DH 2 -α=-α=-+ α=-+α=ε 3. 工序基准为上母线 如果键槽的位置尺寸采用上母线标注时，上母线K 的极限位置变动量为 K K '''，就是对加工尺寸H 3 所产生的定位误差。
普通最小二乘法(OLS)
普通最小二乘法（OLS ） 普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。 在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下 （见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到， 为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见 图中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最 好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ????1021 10212?,?1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。 由于 2 1 ^1^012 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即
0011001100?,?1 ?,?0 =??=??====ββββββββββQ Q 容易推得特征方程： ()0)??(0?)??(1011 10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n i i i i i i n i i e x x y x e y y x y ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^ 1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ （） 所以有：???? ?????-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121 21121111??)())(()()()(?βββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。 为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记 ∑=-i x n x 1 ∑=-i y n y 1 y y y x x x i i i i -=-= （）的参数估计量可以写成
(完整word版)最小二乘法及其应用..
最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差 数学表达式： S-标准偏差（%） n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 六个计算标准偏差的公式[1] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i?X σ2 = l2?X …… σn = l n?X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
（1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即 设一组等精度测量值为l1、l2、……l n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有
(2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时， ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为 (2') 在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差σ的无偏估计 数理统计中定义S2为样本方差
定位误差计算
定位误差计算 定位误差计算是工艺设计中经常的事。下面的几个例题属于典型定位条件下的计算。 例题一：如下图所示零件，外圆及两端面已加工好（外 圆直径0 1.050-=D ） 。现加工槽 B ，要求保证位置尺寸 L 和 H ，不考虑槽底面斜度对加工质量的影响。试求： 1）确定加工时必须限制的自由度； 2）选择定位方法和定位元件，并在图中示意画出； 3）计算所选定位方法的定位误差。 解：① 必须限制4个自由度：Z X Z Y ,,, 。 ② 定位方法如下图所示。
③ 定位误差计算： 对于尺寸H ： 工序基准是外圆下母线 定位基准是外圆下母线 限位基准是与外圆下母线重合的一条线（也可认为是一个平面） 因此： 基准不重合误差0=?B 基准位移误差0=?Y 所以定位误差0=?DW 同理，对于尺寸L 其定位误差 ：0=DW ? 例题二：如下图所示齿轮坯，内孔及外圆已加工合格（ 025 .00 35+=φD mm ，0 1.080-=φd mm ），现在插床 上以调整法加工键槽，要求保证尺寸2 .005.38+=H mm 。试计算图示定位方法的定位误差（忽略外圆与内孔同轴度误差）。
解：工序基准是D 孔下母线；定位基准是D 轴中心线；限位基准V 型块的对称中心（垂直方向上）。定位误差计算如下： 1、基准不重合误差：T D /2； 2、基准位移误差：0.707Td 0825 .0025.05.01.07.05.07.0=?+?=?+?=?D d DW T T (mm) 例题三：a ）图工件设计图。试分别计算按b ）、c ）、d ）三种定位方式加工尺寸A 时的定位误差。
定位误差计算方法
定位误差计算方法 皇甫彦卿 (杭州电子科技大学信息工程学院，浙江杭州310018) 摘要：分析了定位误差产生的原因和定位误差的本质,并结合具体的实例，对定位误差的计算提出了三种方法：几何法、微分法、组合法，并且为正确选择计算方法提供了依据。 关键词：定位误差；几何法；微分法；组合法 Position error calculation method Abstract：To analyze the causes of the positioning error and the nature of the positioning error, and combined with concrete examples, three methods are put forward for the calculation of position error: geometric method, differential method, group legal, and provide the basis for correct selection of calculation method. Key words: positioning error; Geometry method; Differentiation; Set of legal 1 引言 定位误差分析与计算，是机床夹具设计课程中的重点和难点。在机械加工中，能否保证工件的加工要求，取决于工件与刀具间的相互位置。而引起相互位置产生误差的因素有四个，定位误差就是重要因素之一（定位误差一般允许占工序公差的三分之一至五分之一）。定位误差分析与计算目的是为了对定位方案进行论证，发现问题并及时解决。 2 工件定位误差 2.1定位误差计算的概念 按照六点定位原理，可以设计和检查工件在夹具上的正确位置，但能否满足工件对工序加工精度的要求，则取决于刀具与工件之间正确的相互位置，而影响这个正确位置关系的因素很多，如夹具在机床上的装夹误差、工件在夹具中的定位误差和夹紧误差、机床的调整误差、工艺系统的弹性变形和热变形误差、机床和刀具的制造误差及磨损误差等。 因此，为保证工件的加工质量，应满足如下关系式： δ ?式中：?--各种因素产生的误差总和；δ--工件被加工尺寸的公差。 ≤ 2.2定位误差及其产生原因 所谓定位误差，是指由于工件定位造成的加工面相对工序基准的位置误差。因为对一批
误差基本知识及中误差计算公式
测量中误差 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=
2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即： 。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差 （unit weight mean square error）m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
定位误差计算习题
习题一：如下图所示零件，外圆及两端面已加工好（外圆直径0 1.050-=D ）。现加工槽 B ，要求保证位置尺寸 L 和 H ，不考虑槽底面斜度对加工质量的影响。试求： 1）确定加工时必须限制的自由度； 2）选择定位方法和定位元件，并在图中 示意画出； 3）计算所选定位方法的定位误差。 习题二：如下图所示齿轮坯，内孔及外圆 已加工合格（025 .0035+=φD mm ，01.080-=φd mm ） ，现在插床上以调整法加工键槽，要求保证尺寸2.005.38+=H mm 。 试计算图示定位方法的定位误差（忽略外圆与内孔同轴度误差）。 习题三：a ）图工件设计图。试分别计算按b ）、c ）、d ）三种定位方式加工尺寸A 时的定位误差。 例题四：计算以图示定位方案加工尺寸A 时的定位误差。
习题五： 如图下图工件分别以A 、B 面定位加工E 面，计算定位误差。 习题六：如图两种方案铣平面，试分析定位误差。 习题七：如图，工件以内孔 在心轴 上固 定单边接触或任意边接触定位加工平面，试分析工序尺寸分别为 h1、h2、h3(工序基准为外圆中心线)、h4、h5时的定位误差。（工件外圆和内孔的同轴度误差为△b ） 习题八：有一批如图所示的工件， 外圆， 内 孔和两端面均已加工合格，并保证外圆对内孔的同轴度误差在T (e)=φ0.015范围内。今按图示的定位方案，用 心轴定位，在立式铣床上用顶尖顶住心轴铣 的槽子。除槽宽要求外，还应保证下列要求： (1) 槽的轴向位置尺寸 (2) 槽底位置尺寸 (3) 槽子两侧面对φ50外圆轴线的对称度公差 T (c)=0.25 习题九：用角度铣刀铣削斜面，求加工尺寸为39±0.04mm 的定位误差 习题十： D D ?+d －d ?00.016506()h φ-0.021 0307()H φ+0.007 0.020306() g φ+-00.043 129h -0 10.212512()L H -=010.254212()H h - =00.010 10.0120.056 30,55,400.15,0.03d mm d H mm t mm φφφ---===± =
最小二乘法求解高斯函数拟和函数
拟和的高斯函数形式： ()2 ()exp f x a cx =?- 若干个测量点： 1212[,,......],[,,......]n n X x x x Y y y y == 最小二乘法原则： 2 2 1 (())m in n i i i V y f x == -=∑ 由于f(x)中有2个未知参数，a,c ，那么根据最小二乘法： 2 2 00V a V c ??=? ?????=??? 即： ()()2 2 1exp exp 0n i i i i cx y a cx =??---=? ? ∑ ()()22 2 1 exp exp 0n i i i i i x cx y a cx =??---=? ? ∑ 联立这两个方程解出a,c. 令()2exp i i x X -=，由第1式得： ()1 0n c c i i i i X y aX =-=∑ ，11 n c i i i n c c i i i X y a X X === ∑ ∑ 再根据第2式得（由于0a ≠，0c ≠）：()21 0n c c i i i i i x X y aX =-=∑ 2 21 1 n n c c c i i i i i i i i x X y a x X X ===∑∑，即：221 1 1 1 n n n n c c c c c c i i i i i i i i i i i i i i x X y X X X y x X X ===== ∑∑∑∑ 两边分别展开： 左边：
()() 222 2 2 22 2 121 112221 1 2 2 ,1 n n i i i i n n n n i i n i j j j i j X x X y X X X x X y x X y x X y X X x y ====++++++= ∑ ∑∑ 左边： ()() 222 2 2 2 2 2 11221 1221 1 2 2 ,1 n n i i i i n n n n i i n i j i j i j x X X y x X x X x X X y X y X y X X x y ====++++++= ∑∑ ∑ 消去相同的项得： ()2 22 ,1,0n i j i j j i j i j X X x x y =≠-=∑ 根据22exp i i x X c ??-= ??? 得：222221111222 exp exp exp i i i x x x x x X X c c c ?????? --=-?-=- ? ? ??????? 从而： ()222 2 2,1,2exp 0n i j i j j i j i j x x x x y c =≠??---= ? ??? ∑
定位误差分析计算综合实例
定位误差分析计算综合实例 定位误差的分析与计算，在夹具设计中占有重要的地位，定位误差的大小是定位方案能否确定的重要依据。为了掌握定位误差计算的相关知识，本小节将给出一些计算实例，抛砖引玉，以使学习者获得触类旁通、融会贯通的学习效果。 例3-3 如图3.25所示，工件以底面定位加工孔内键槽，求尺寸h 的定位误差？ 解：（1）基准不重合误差求jb ? 设计基准为孔的下母线，定位基准为底平面，影响两者的因素有尺寸h 和h 1，故jb ?由两部分组成： φD 半径的变化产生2 D ? 尺寸h 1变化产生12h T ，所以 122 h jb T D +?= ? 底平面，对刀基准（2）基准位置误差jw ? 定位基准为工件为与定位基准接触的支承板的工作表面，不记形状误差， 则有 0=?jw 所以槽底尺寸h 的定位误差为 122 h dw T D +?= ? 例3-4 有一批直径为0 d T d -φ的工件如图3.27所示。外圆已加工合格，今用V 形块定位铣宽度为b 的槽。若要求保证槽底尺寸分别为1L 、2L 和3L 。试分别分析计算这三种不同尺寸要求的定位误差。 解：（1）首先计算V 形块定位外圆时的基准位置误差jw ? 在图3.26中，对刀基准是一批工件平均轴线所处的位置O 点，设定位基准为外圆的轴线，加工精度参数的方向与21O O 相同，则基准位置误差jw ?为图中O 1 点到O 2点的距离。在ΔO 1CO 2中，2 2212α =∠= O CO T CO d ，，根据勾股定理求得 2 21sin 2α d jw T O O E = =?=? （2）分别计算图3.27三种情 况的定位误差 ①图a ）中1L 尺寸的定位误差 2 )(2 sin 2sin 20 1ααd L dw d jw jb T T E B = ?= ?=?=?=? ②图b ）中2L 尺寸的定位误差 L 2 L 3 L 1 0d T d -φ b 图3.27 V 形块定位外圆时定位误差的计算 图3.25 内键槽槽底尺寸定位误差计算 图3.26 V 形块定位外圆时 基准位置误差jw ?的计算 1—最大直径 2—平均直径 3—最小直径 B A α/ 2 1 C 3 2 O 2 O O
一种新的整体最小二乘迭代解法
一种新的整体最小二乘迭代解法 Jian Kong 1 Yibin Y ao 1,2 Han Wu 1 Jianqing Cai 2 (1 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,129 Luoyu road,430079,Wuhan,China) (2 Institute of Geodesy ，University of Stuttgart, Geschwister-Scholl-Str. 24D,D-70174 Stuttgart,Germany) E-mail:ybyao@https://www.wendangku.net/doc/1912663644.html, [摘要] 整体最小二乘(TLS)问题首先由Golub 和 V an Loan 提出并给出了第一个数值稳定解法，经过二十多年的研究，已经从数学的角度给出了整体最小二乘有解的充分条件和解的形式。近年来，不少学者提出过许多TLS 的新解法，其中较为实用的方法有SVD 方法、迭代法。本文首先介绍现有常用的TLS 解法，指出了这些方法实际应用中存在的缺陷，并在此基础上提出一种新的TLS 迭代算法；TLS 平差方法的精度评定一直是困扰测量数据领域的难题，本文在新迭代算法的基础上，提出了精度评定的策略，并通过算例归纳确定了TLS 的自由度；最后本文通过工程算例验证了新算法的可行性。 [关键词] 整体最小二乘 非线性方程求解 TLS 自由度 迭代计算 奇异值分解 坐标转换 0.引言 一直以来，最小二乘是测量数据处理理论中最基本、最常用的方法，但随着测量仪器精度的不断地提高，测量数据处理也更趋向于追求处理过程中估计理论的严密性。上个世纪末，有关学者提出在二维直线拟合问题中，由于观测点坐标在x 、y 方向均含有观测误差，如果将y 坐标作为观测量，那么这时平差模型中不仅观测向量含有误差，由x 坐标组成的系数矩阵也是含有误差的，而经典最小二乘数据处理过程中无法顾及这项误差[1,2,3]。 这类问题可以归结为系数矩阵含有误差的高斯-马尔科夫问题，在数据处理过程中，经常会遇到平差模型中系数矩阵也是有误差的情况，传统最小二乘处理过程中忽略掉这项误差，这样做显然是不合理的，估计出来的结果，从统计上来看是有偏的，而不是最优的[2]。整体最小二乘的提出正是为了解决这个问题，但是整体最小二乘解法的复杂性却制约了其自身的推广应用。为此，近年来不少学者给出了很多TLS 的解算方法[3-8]，但这些方法在实际应用中存在缺陷，本文提出的迭代解法不仅解决了TLS 算法复杂度的问题，而且在理论上完善了TLS 算法。 1. TLS 的SVD 解法和迭代算法 1.1 SVD 解法 TLS 的SVD 解法[3]由Golub 和V an Loan 提出，首次解决了TLS 的解算问题。这种算法的提出是建立在下面的数学定理之上的： 定理：如果 m n C R ?∈，且存在正交矩阵1 [. ..] m m m U u u R ?=∈，1 [... ]n n n V v v R ?=∈，使得1 1(... ),,m in(,) T p p U C V diag p m n σσσσ=∑=≥≥= 。 即C 的SVD 分解可以表示为()T USV svd C =，又若C 的秩为r ，有1T r i i i i C u v σ==∑。对于
利用最小二乘法求解拟合曲线
实验三函数逼近 一、 实验目标 1.掌握数据多项式拟合的最小二乘法。 2.会求函数的插值三角多项式。 二、实验问题 （ （2）求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的插值三角多项式。 三、 实验要求 1.利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。 2.求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的16次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与()f x 的图形比较。 3.对函数()2cos f x x x =，在区间[,]ππ-上的取若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。 《数值分析》实验报告 项式，画出拟合曲线 【实验目标】 （1）加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解 （2）学会编写最小二乘法的数值计算的程序； 【理论概述与算法描述】 在函数的最佳平方逼近中()[,]f x C a b ∈,如果()f x 只在一组离散点集{,0,1,,}i x i m =???上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(,),0,1,,}i i x y i m =???的曲线拟合，这里 (),0,1,,i i y f x i m ==???，要求一个函数*()y S x =与所给数据{(,),0,1,,}i i x y i m =???拟合，若 记误差*()(0,1,,)i i i S x y i m δ=-=???,()01,,,T m δδδδ=???,设01(),(),,()n x x x ??????是[,]C a b 上的线性无关函数族，在01{(),(),,()}n span x x x ????=???中找一个函数*()S x ，使误差平方和
孔定位误差计算实例[1]
孔定位误差计算实例（用定位销） 例 1 钻铰图 3-65 所示的零件上φ 10H7 的孔，工件以孔 定位 求：工序尺寸 50 ± 0.07mm 及平行度的定位误差。 解： （ 1 ）工序尺寸 50 ± 0.07mm 的定位误差 Δ B = 0mm( 定位基准与工序基准重合 ) 按式（ 3-5 ）得： Δ Y = δ D + δ d ０ ＋Ｘ min =0.021+0.009+0.007= 0.037mm 则由式（３－１２）得 Δ Ｄ ＝Δ Y = 0.037mm ( 2) 平行度 0.04mm 的定位误差 同理 , Δ B = 0mm 按式（ 3-7 ）得： 则平行度的定位误差为 Δ D = Δ Y = 0.018mm
定位误差的计算 由于定位误差Δ D 是由基准不重合误差 和基准位移误差组合而成的。因此在计算定位 误差时，先分别算出Δ B 和Δ Y ，然后将两者组合而得Δ D 。组合时可有如下情况： 1 ．Δ Y ≠ 0 ，Δ B =0 时，Δ D = Δ B （ 3-1 2 ） 2 ．Δ Y =0 ，Δ B ≠ 0 时，Δ D = Δ Y （ 3-1 3 ） 3 ．Δ Y ≠ 0 ，Δ B ≠ 0 时， 如果工序基准不在定位基面上：Δ D = Δ B + Δ Y （ 3-14 ） 如果工序基准在定位基面上，Δ D = Δ B ±Δ Y （ 3-15 ） “ + ”、“—”的判别方法为： ①分析定位基面尺寸由大变小（或由小变大）时，定位基准的变动方向； ②当定位基面尺寸作同样变化时，设定位基准不动，分析工序基准变动方向； ③若两者变动方向相同即“ + ”，两者变动方向相反即“—”。 定位误差及其要示 为保证工件的加工精度，工件加工前必须正确的定位。所谓正确的定位，除应限制必要的自由度、正确地选择定位基准和定位元件之外，还应使选择的定位方式所产生的误差在工件允许的误差范围以内。 由定位引起的同一批工件的设计基准在加工尺寸方向上的最大变动量，称为定位误差。当定位误差Δ D ≤1/3 δ K ，一般认为选定的定位方式可行。 造成定位误差的原因有两个： 一个是由于定位基准与设计基准不重合，称为基准不重合误差（基准不符误差）； 二是由于定位副制造误差而引起定位基准的位移，称为基准位移误差。
测量中误差计算公式(很有用哦)
测量中误差计算公式(很有用哦) 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一、系统误差（system error） 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二、偶然误差（accident error） 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2、特点： （1） 具有一定的范围。 （2） 绝对值小的误差出现概率大。 （3） 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4） 数学期限望等于零。即：
误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。 2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一、中误差 方差 某量的真误差，[]求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1、用真误差（true error）来确定中误差适用于观测量真值已知时。 真误差Δ观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2、用改正数来确定中误差（白塞尔公式）适用于观测量真值未知时。 V最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二、相对误差 1、相对中误差=
2、往返测较差率K= 三、极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。 3误差传播定律 一、误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二、权（weight）的概念 1、定义：设非等精度观测值的中误差分别为m 1、m 2、…mn，则有： 权 其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m0，故有：。 2、规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
标准误计算公式
标准误 标准误差，也称标准误，是描述对应的样本统计量抽样分布的离散程度及衡量对应样本统计量抽样误差大小的尺度。对一个总体多次抽样，每次样本大小都为n，那么每个样本都有自己的平均值，这些平均值的标准差叫做标准误差。 标准误计算公式 但由于通常σ为未知，此时可以用研究中取得样本的标准差 (s) 来估计： 标准差 在统计中，标准差是一种用于量化一组数据值的变化或分散程度的度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
在Excel中计算方差的公式为STDEV.P和STDEV.S（或STDEV）其中，STDEV.P 计算时，认为你给出的数据是总体，因此它的分母为N，而STDEV.S计算时，认为你给出的数据是样本，因此它的分母为N-1。在R中，用到的函数为sd，默认的就是样本，因此分母为N-1。 标准误与标准差的区别 从上面的描述我们就知道了，标准差与标准误的区别在于：
1.标准差是对一次抽样的原始数据进行计算的，而标准误则是对多次抽样的 样本统计量进行计算的（这个统计量可以是均值）； 2.标准差只是一个描述性指标，只是描述原始数据的波动情况，而标准误是 跟统计推断有关的指标，大多数的统计量计算都需要用到标准误。 最后举个简单的例子： 例如我们要调查地区A中10岁男孩的身高。如果全部都统计下来，直接测是最准确的数据。但是成本高，不现实。因此需要进行采样，一次测量100个男孩的身高，求这一次的均值M1与标准差S1，如果采样10次，每次都取100人，我们会得到10个均值，分别记为M1，M2，M3...M10，对这10个均值再求一个均值M以及标准差S，其中这个标准差S就是标准误(standard error)，即均值的标准误差(standard error of mean)。 文章参考： https://https://www.wendangku.net/doc/1912663644.html,/p/b6b87da11c82 https://https://www.wendangku.net/doc/1912663644.html,/wiki/Standard_error https://https://www.wendangku.net/doc/1912663644.html,/wiki/Standard_deviation