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高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课时规范练理

第2讲 三角恒等变换与解三角形

高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课时规范练理

一、选择题

1.(2017·衡水中学月考)已知α为锐角,cos α=35,tan(α-β)=-1

3,则tan β

高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课时规范练理

解析:由α为锐角,cos α=35,

得sin α=4

5

所以tan α=43,因为tan(α-β)=-1

3

所以tan β=tan[α-(α-β)]=tan α-tan (α-β)

1+tan α·tan (α-β)=3.

答案:B

2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.若c 2=(a -b)2

+6,C =π3,则

△ABC 的面积是( )

A .3 B.932 C.33

2

D .3 3

解析:c 2

=(a -b)2

+6,即c 2

=a 2

+b 2

-2ab +6.① 因为C =π3,由余弦定理得c 2=a 2+b 2

-ab ,②

由①和②得ab =6,

所以S △ABC =12absin C =12×6×32=33

2.

答案:C

3.(2017·德州二模)已知cos α=35,cos(α-β)=7210,且0<β<α<π

2,那么

β=( )(导学号 54850106)

A.

π12 B.π6 C.π4 D.π

3

解析:由cos α=35,0<α<π2,

得sin α=4

5

又cos(α-β)=7210,0<β<α<π

2,

得sin(α-β)=

210

, 则cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=35×72

10+

45×210=22

, 由0<β<π2,得β=π

4.

答案:C

4.(2017·韶关调研)已知cos ? ????x -π3=13,则cos ? ????2x -5π3+sin 2? ??

??π3-x 的值为( )

A .-19 B.19 C.53 D .-53

解析:cos ? ????2x -5π3+sin 2? ????π3-x =-cos ? ????2x -23π+sin 2(x -π3)=1-2cos 2? ????x -π3+1-cos 2

? ????x -π3=2-3cos 2? ????x -π3=53

.

答案:C

5.(2017·山东卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C +cos Asin C ,则下列等式成立的是( )

A .a =2b

B .b =2a

C .A =2B

D .B =2A

解析:因为2sin Acos C +cos Asin C =s in A ·cos C +sin(A +C)=sin Acos C +sin B.

所以等式左边去括号,得

sin B +2sin Bcos C =sin Acos C +sin B , 则2sin Bcos C =sin Acos C ,

因为角C 为锐角三角形的内角,所以cos C 不为0. 所以2sin B =sin A ,根据正弦定理变形,得a =2b. 答案:A 二、填空题

6.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2bcos B =acos C +ccos A ,则B =________.

解析:由正弦定理得2sin Bcos B =sin A ·cos C +sin C cos A =sin(A +C)=sin B .所

以2sin Bcos B =sin B ,

又sin B ≠0,所以cos B =12,故B =π

3.

答案:π

3

7.(2017·池州模拟)已知sin ? ????π3-α=13? ????0<α<π2,则sin ? ??

?

6+α

=________.

(导学号 54850107)

解析:因为sin ?

??

??π3-α=13, 所以cos ? ????π6+α=cos ??????π2-? ????π3

-α

=sin ? ??

??π3-α; 又0<α<π2,所以π6<π6+α<2π

3

.

所以sin ? ??

??π

6

+α

= 1-cos 2

? ??

??π

6

+α

= 1-? ??

??132

= 22

3

. 答案:223

8.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB =AC =4,BC =2.点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连接CD ,则△BDC 的面积是________,cos ∠BDC =________.

解析:由已知,cos ∠ABC =42

+22

-42

2×4×2=1

4

.

高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课时规范练理

所以cos ∠CBD =-1

4

所以sin ∠CBD =1-cos 2

∠CBD =

154

, 所以S △ABC =12×BD ×BC ×sin ∠CBD =12×2×2×154=15

2.

又BC =BD =2,且∠ABC=2∠BDC, 则cos ∠ABC =14

=2cos 2

∠BDC -1.

解得cos ∠BDC =

104或-104

(舍去). 答案:

152

104

三、解答题

9.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin A +3cos A =0,a =27,b =2.

(1)求c ;

(2)设D 为BC 边上一点,且AD⊥AC,求△ABD 的面积. 解:(1)由sin A +3cos A =0及cos A ≠0得tan A =-3, 又0<A <π,所以A =2π

3

.

由余弦定理,得28=4+c 2

-4c·cos 2π3.

则c 2

+2c -24=0,解得c =4或-6(舍去). (2)由题设AD⊥AC,知∠CAD=π

2.

所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=23π-π2=π

6

.

故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·ADsin π

6

1

2AC ·AD =1.

又△ABC 的面积为1

2×4×2sin ∠BAC =23,

所以△ABD 的面积为 3.

10.(2017·天津卷)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a>b ,a =5,c =6,sin B =3

5

.

(1)求b 和sin A 的值; (2)求sin ? ????2A +π4的值. 解:(1)在△ABC 中,因为a>b , 故由sin B =35,可得cos B =4

5

.

由已知及余弦定理,有b 2

=a 2

+c 2

-2accos B =13,所以b =13.

由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin A =asin B b =313

13.

所以b 的值为13,sin A 的值为313

13.

(2)由(1)及a

213

13

, 所以sin 2A =2sin Acos A =12

13,

cos 2A =1-2sin 2

A =-513

.

故sin ?

????2A +π4=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7226. 11.(2017·惠州模拟)已知函数f(x)=4cos x ·sin ? ????x +π6+m(m∈R),当x∈?

?????0,π2时,f(x)的最小值为-1.

(导学号 54850108)

(1)求实数m 的值;

(2)在△ABC 中,已知f(C)=1,AC =4,延长AB 至D ,使BC =BD ,且AD =5,求△ACD 的面积.

解:(1)因为f(x)=4cos xsin ? ????x +π6+m =4cos x ? ????sin xcos π6+cos xsin π6+m =

3sin 2x +2cos 2

x +m = 3sin 2x +cos 2x +1+m =2sin ? ????2x +π6+m +1.

因为x∈??????0,π2,2x +π6∈??????π6,7π6得

2sin ?

????2x +π6min =-1. 所以f(x)=-1=-1+m +1,解得m =-1. (2)由(1)知f(x)=2sin ? ????2x +π6,且f(C)=1,

所以2sin ?

????2C +π6=1,

因为C∈(0,π),得2C +π6∈? ????

π6,13π6,

所以2C +π6=5π6,解得C =π

3

.

高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课时规范练理

如图,设BD =BC =x ,则AB =5-x , 在△ACB 中,由余弦定理, 得cos C =1

2=

42

+x 2

-(5-x )

2

2×4×x ,

解得x =3

2

.

所以cos A =42

+? ????5-322-? ???

?322

2×4×? ??

?

?5-32=1314,得sin A =1-cos 2

A =77.

所以S △ACD =12AC ·ADsin A =12×5×4×77=107

7

.