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2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(十)垂直关系的性质北师大版必修2

课时跟踪检测(十)垂直关系的性质

一、基本能力达标

1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )

A.相交B.平行

C.异面D.相交或平行

解析:选B 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.

2.平面α⊥平面β,直线a∥α,则( )

A.a⊥β B.a∥β

C.a与β相交 D.以上都有可能

解析:选D 因为a∥α,平面α⊥平面β,所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能.故选D.

3.已知三个平面α,β,γ,若β⊥γ,且α与γ相交但不垂直,则( )

A.存在aα,a⊥γ B.存在aα,a∥γ

C.任意bβ,b⊥γ D.任意bβ,b∥γ

解析:选B 因为三个平面α,β,γ,若β⊥γ,且α与β相交但不垂直,则可知存在aα,a∥γ,选B.

4.已知平面α,β和直线m,l,则下列命题中正确的是( )

A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β

B.若α∩β=m,lα,l⊥m,则l⊥β

C.若α⊥β,lα,则l⊥β

D.若α⊥β,α∩β=m,lα,l⊥m,则l⊥β

解析:选D 选项A缺少了条件:lα;选项B缺少了条件:α⊥β;选项C缺少了条件:α∩β=m,l⊥m;选项D具备了面面垂直的性质定理的条件.

5.如图,点P为四边形ABCD外一点,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E

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为AD的中点,则下列结论不一定成立的是( )

A.PE⊥AC

B.PE⊥BC

C.平面PBE⊥平面ABCD

D.平面PBE⊥平面PAD

解析:选D 因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥AC,PE⊥BC,所以A、B成立.又PE

平面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD,所以C成立.若平面PBE⊥平面PAD,则AD⊥平面PBE,

必有AD⊥BE,此关系不一定成立,故选D.

6.如图,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD是正

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三角形,O为AB中点,则图中直角三角形的个数为________.

解析:∵CA=CB,O为AB的中点,∴CO⊥AB.

又平面ABC⊥平面ABD,交线为AB,

∴CO⊥平面ABD.

∵OD平面ABD,∴CO⊥OD,

∴△COD为直角三角形.

所以图中的直角三角形有△AOC,△COB,△ABC,△AOD,△BOD,△COD共6个.

答案:6

7.如图,直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD

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⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为________.

解析:如图,连接BC,

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∵二角面α-l-β为直二面角,

AC α,且AC⊥l,∴AC⊥β.

又BCβ,

∴AC⊥BC,

∴BC2=AB2-AC2=3,

又BD⊥CD,

∴CD=BC2-BD2= 2.

答案: 2

8.已知m,n是直线,α,β,γ是平面,给出下列说法:

①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β;

②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n;

③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;

④若α∩β=m,n∥m且nα,nβ,则n∥α且n∥β.

其中正确的说法序号是________(注:把你认为正确的说法的序号都填上).

解析:①错,垂直于交线,不一定垂直平面;②对;③错,凡是平面内垂直于m的射影的直线,m都与它们垂直;④对.

答案:②④

9.如图,PA ⊥平面ABD ,PC ⊥平面BCD ,E ,F 分别为BC ,CD 上的点,

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且EF ⊥AC .求证:CF DC =CE BC .

证明:∵PA ⊥平面ABD ,PC ⊥平面BCD ,

∴PA ⊥BD ,PC ⊥BD ,PC ⊥EF .

又PA ∩PC =P ,

∴BD ⊥平面PAC .

又EF ⊥AC ,PC ∩AC =C ,∴EF ⊥平面PAC ,

∴EF ∥BD ,

∴CF DC =CE BC .

10.如图,正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,CE ⊥

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AC ,EF ∥AC ,AB =2,CE =EF =1.

(1)求证:AF ∥平面BDE ;

(2)求证:CF ⊥平面BDE .

证明:(1)设AC 与BD 交于点G .

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因为EF ∥AC ,且EF =1,AG =12AC =1.

所以四边形AGEF 为平行四边形.

所以AF ∥EG .

因为EG 平面BDE ,AF 平面BDE ,

所以AF ∥平面BDE .

(2)连接FG .

因为EF ∥CG ,EF =CG =1,且CE =1,

所以四边形CEFG 为菱形,

所以CF ⊥EG .

因为四边形ABCD 为正方形,

所以BD ⊥AC .

又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ,CE ⊥AC ,

且平面ACEF∩平面ABCD=AC,

所以CE⊥平面ABCD,

所以CE⊥BD.

又AC∩CE=C,所以BD⊥平面ACEF,

所以CF⊥BD.

又BD∩EG=G,

所以CF⊥平面BDE.

二、综合能力提升

1.已知l,m,n是三条不同的直线,α是一平面.下列命题中正确的个数为( )

①若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;

②若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n;

③若l∥α,l⊥m,则m⊥α.

A.1 B.2

C.3 D.0

解析:选B 对于①,因为l∥m,m∥n,所以l∥n,又l⊥α,所以n⊥α,即①正确;对于②,因为m⊥α,n⊥α,所以m∥n,又l∥m,所以l∥n,即②正确;对于③,因为l ∥α,l⊥m,所以m∥α或mα或m⊥α或m与α斜交,即③错误.

2.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出如下命题:

①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;

②若α⊥β,m⊥β,mα,则m∥α;

③若α⊥β,m∥α,则m⊥β.

其中正确命题的个数为( )

A.0 B.1

C.2 D.3

解析:选B ①中,α,β可能平行,也可能相交,不正确;②中,α⊥β,m⊥β,m α时,只可能有m∥α,正确;③中,m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交,不正确.综上,可知正确命题的个数为1,故选B.

3.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC

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⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是( )

A.一条线段B.一条直线

C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点

解析:选D ∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,∴AC⊥平面PBC.

又∵BC平面PBC,∴AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴动点C运动形成的图形是以AB为直径

的圆,除去A 和B 两点,故选D.

4.在三棱锥P -ABC 中,平面PAC ⊥平面ABC ,∠PCA =90°,△ABC 是边长为4的正三角形,PC =4,M 是AB 边上的一动点,则PM 的最小值为( )

A .2 3

B .27

C .4 3

D .47

解析:选B 如图,连接CM ,则由题意PC ⊥平面ABC ,可得PC ⊥CM ,

所以PM = PC 2+CM 2

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,要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可,在△ABC 中,当CM ⊥AB 时CM 有最小值,此时有CM =4×

32=23,所以PM 的最小值为27.

5.如图,若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相

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垂直,则cos α∶cos β=________. 解析:由题意,两个矩形的对角线长分别为5,25,所以cos α=5

25+4=529,cos β=2529,所以cos α∶cos β=5∶2. 答案:5∶2

6.如图,平行四边形ABCD 中,AB ⊥BD ,沿BD 将△ABD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,连接AC ,则在四面体ABCD 的四个面中,互相垂直的平面的对数为________.

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解析:因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD =BD ,AB ⊥BD ,所以AB ⊥平面BCD .所以平面ABC ⊥平面BCD .在折起前,因为AB ⊥BD ,AB ∥CD ,所以CD ⊥BD .又因为平面ABD ⊥平面BCD ,所以CD ⊥平面ABD ,所以平面ACD ⊥平面ABD ,共3对.

答案:3

7.(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°.将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连接DG ,如图2.

(1)证明:图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ;

(2)求图2中的四边形ACGD 的面积.

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解:(1)证明:由已知得AD∥BE,CG∥BE,

所以AD∥CG,

所以AD,CG确定一个平面,

从而A,C,G,D四点共面.

由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,且BE∩BC=B,

所以AB⊥平面BCGE.

又因为AB?平面ABC,

所以平面ABC⊥平面BCGE.

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(2)取CG的中点M,连接EM,DM.

因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,

所以DE⊥CG.

因为四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°,

所以EM⊥CG,

又DE∩EM=E,所以CG⊥平面DEM.

所以DM⊥CG.

在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,

故DM=2.

所以四边形ACGD的面积为4.

探究应用题

8.如图所示,在斜三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=

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AC,D是BC的中点,侧面BB1C1C⊥底面ABC.

(1)求证:AD⊥CC1;

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C;

(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C,则AM=MA1吗?请叙述你的判断理由.

解:(1)证明:∵AB=AC,D是BC的中点,

∴AD⊥BC.

∵底面ABC⊥平面BB1C1C,底面ABC∩平面BB1C1C=BC,

∴AD⊥平面BB1C1C.

又CC1平面BB1C1C,

∴AD ⊥CC 1.

(2)证明:延长B 1A 1与BM 交于点N ,连接C 1N .

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∵AM =MA 1,

∴NA 1=A 1B 1.

∵A 1C 1=A 1N =A 1B 1,

∴C 1N ⊥B 1C 1,

∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C .

∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .

(3)结论正确.证明如下:过M 作ME ⊥BC 1于点E ,连接DE . ∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C , ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C .

又AD ⊥侧面BB 1C 1C ,

∴ME ∥AD ,∴M ,E ,D ,A 四点共面. ∵MA ∥侧面BB 1C 1C ,

∴AM ∥DE .

∴四边形AMED 是平行四边形, 又AM ∥CC 1,∴DE ∥CC 1.

∵BD =CD ,∴DE =12

CC 1, ∴AM =12CC 1=12

AA 1. ∴AM =MA 1.