课时跟踪检测（十）垂直关系的性质

一、基本能力达标

1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )

A．相交B．平行

C．异面D．相交或平行

解析：选B 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．

2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )

A．a⊥β B．a∥β

C．a与β相交 D．以上都有可能

解析：选D 因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．故选D.

3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，则( )

A．存在aα，a⊥γ B．存在aα，a∥γ

C．任意bβ，b⊥γ D．任意bβ，b∥γ

解析：选B 因为三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与β相交但不垂直，则可知存在aα，a∥γ，选B.

4．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )

A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β

B．若α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β

C．若α⊥β，lα，则l⊥β

D．若α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β

解析：选D 选项A缺少了条件：lα；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的条件．

5.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E

为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( )

A．PE⊥AC

B．PE⊥BC

C．平面PBE⊥平面ABCD

D．平面PBE⊥平面PAD

解析：选D 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD ∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE

平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，

必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.

6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正

三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．

解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.

又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，

∴CO⊥平面ABD.

∵OD平面ABD，∴CO⊥OD，

∴△COD为直角三角形．

所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．

答案：6

7.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD

⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．

解析：如图，连接BC，

∵二角面α-l-β为直二面角，

AC α，且AC⊥l，∴AC⊥β.

又BCβ，

∴AC⊥BC，

∴BC2＝AB2－AC2＝3，

又BD⊥CD，

∴CD＝BC2－BD2＝ 2.

答案： 2

8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法：

①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；

②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；

③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；

④若α∩β＝m，n∥m且nα，nβ，则n∥α且n∥β.

其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．

解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．

答案：②④

9.如图，PA ⊥平面ABD ，PC ⊥平面BCD ，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，

且EF ⊥AC .求证：CF DC ＝CE BC .

证明：∵PA ⊥平面ABD ，PC ⊥平面BCD ，

∴PA ⊥BD ，PC ⊥BD ，PC ⊥EF .

又PA ∩PC ＝P ，

∴BD ⊥平面PAC .

又EF ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ，∴EF ⊥平面PAC ，

∴EF ∥BD ，

∴CF DC ＝CE BC .

10．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥

AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.

(1)求证：AF ∥平面BDE ；

(2)求证：CF ⊥平面BDE .

证明：(1)设AC 与BD 交于点G .

因为EF ∥AC ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1.

所以四边形AGEF 为平行四边形．

所以AF ∥EG .

因为EG 平面BDE ，AF 平面BDE ，

所以AF ∥平面BDE .

(2)连接FG .

因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，

所以四边形CEFG 为菱形，

所以CF ⊥EG .

因为四边形ABCD 为正方形，

所以BD ⊥AC .

又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，CE ⊥AC ，

且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

所以CE⊥平面ABCD，

所以CE⊥BD.

又AC∩CE＝C，所以BD⊥平面ACEF，

所以CF⊥BD.

又BD∩EG＝G，

所以CF⊥平面BDE.

二、综合能力提升

1．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为( )

①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；

②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；

③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.

A．1 B．2

C．3 D．0

解析：选B 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l ∥α，l⊥m，所以m∥α或mα或m⊥α或m与α斜交，即③错误．

2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

②若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α；

③若α⊥β，m∥α，则m⊥β.

其中正确命题的个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选B ①中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；②中，α⊥β，m⊥β，m α时，只可能有m∥α，正确；③中，m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为1，故选B.

3．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC

⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )

A．一条线段B．一条直线

C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点

解析：选D ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.

又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径

的圆，除去A 和B 两点，故选D.

4．在三棱锥P -ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )

A ．2 3

B ．27

C ．4 3

D ．47

解析：选B 如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，

所以PM ＝ PC 2＋CM 2

，要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可，在△ABC 中，当CM ⊥AB 时CM 有最小值，此时有CM ＝4×

32＝23，所以PM 的最小值为27.

5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相

垂直，则cos α∶cos β＝________. 解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cos α＝5

25＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2. 答案：5∶2

6．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．

解析：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊥BD ，所以AB ⊥平面BCD .所以平面ABC ⊥平面BCD .在折起前，因为AB ⊥BD ，AB ∥CD ，所以CD ⊥BD .又因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，共3对．

答案：3

7.(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.

(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；

(2)求图2中的四边形ACGD 的面积．

解：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，

所以AD∥CG，

所以AD，CG确定一个平面，

从而A，C，G，D四点共面．

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，

所以AB⊥平面BCGE.

又因为AB?平面ABC，

所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)取CG的中点M，连接EM，DM.

因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，

所以DE⊥CG.

因为四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，

所以EM⊥CG，

又DE∩EM＝E，所以CG⊥平面DEM.

所以DM⊥CG.

在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，

故DM＝2.

所以四边形ACGD的面积为4.

探究应用题

8.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝

AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.

(1)求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．

解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC.

∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，

∴AD⊥平面BB1C1C.

又CC1平面BB1C1C，

∴AD ⊥CC 1.

(2)证明：延长B 1A 1与BM 交于点N ，连接C 1N .

∵AM ＝MA 1，

∴NA 1＝A 1B 1.

∵A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1，

∴C 1N ⊥B 1C 1，

∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C .

∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .

(3)结论正确．证明如下：过M 作ME ⊥BC 1于点E ，连接DE . ∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C .

又AD ⊥侧面BB 1C 1C ，

∴ME ∥AD ，∴M ，E ，D ，A 四点共面． ∵MA ∥侧面BB 1C 1C ，

∴AM ∥DE .

∴四边形AMED 是平行四边形， 又AM ∥CC 1，∴DE ∥CC 1.

∵BD ＝CD ，∴DE ＝12

CC 1， ∴AM ＝12CC 1＝12

AA 1. ∴AM ＝MA 1.